1、第 1 页（共 26 页） 2020 年湖南省长沙市中考数学试卷年湖南省长沙市中考数学试卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的请在答题卡中填涂符合一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的请在答题卡中填涂符合 题意的选项题意的选项本大题共本大题共 12 个小题，个小题，每小题每小题 3 分，分，共共 36 分）分） 1 （3 分） （2020长沙） （2）3的值等于（） A6 B6 C8 D8 2 （3 分） （2020长沙）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（） A B C D 3 （3 分） （2020长沙）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响
2、降至最低，中国政府采取积 极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展据国家统计 局相关数据显示，2020 年 1 月至 5 月，全国累计办理出口退税 632400000000 元，其中数 字 632400000000 用科学记数法表示为（） A6.3241011 B6.3241010 C632.4109 D0.63241012 4 （3 分） （2020长沙）下列运算正确的是（） A Bx8x2x6 C D （a5）2a7 3 +2 =53 2 =5 5 （3 分） （2020长沙）2019 年 10 月， 长沙晚报对外发布长沙高铁西站设计方案该方 案以“三湘四水，杜娟花
3、开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态该高铁站 建设初期需要运送大量土石方某运输公司承担了运送总量为 106m3土石方的任务，该 运输公司平均运送土石方的速度 v（单位 ： m3/天）与完成运送任务所需时间 t（单位 ： 天） 之间的函数关系式是（） Av Bv106t Cvt2 Dv106t2 = 106 = 1 106 6 （3 分） （2020长沙）从一艘船上测得海岸上高为 42 米的灯塔顶部的仰角为 30时，船 离灯塔的水平距离是（） A42米 B14米 C21 米 D42 米 33 第 2 页（共 26 页） 7 （3 分） （2020长沙）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（
4、） x + 1 - 1 2 1 A B C D 8 （3 分） （2020长沙） 一个不透明袋子中装有 1 个红球， 2 个绿球， 除颜色外无其他差别 从 中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个下列说法中，错误的是（） A第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球 B第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球 C第一次摸出的球是红球的概率是 1 3 D两次摸出的球都是红球的概率是 1 9 9 （3 分） （2020长沙）2020 年 3 月 14 日，是人类第一个“国际数学日” 这个节日的昵称 是“（Day） ” 国际数学日之所以定在 3 月 14 日，是因为“3.14”是与圆
5、周率数值最接 近的数字在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时 数学与科技发展水平的一个主要标志我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的 精确值计算到小数点后第 7 位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年以下对于圆周率 的四个表述： 圆周率是一个有理数； 圆周率是一个无理数； 圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比； 圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比 其中表述正确的序号是（） A B C D 10 （3 分） （2020长沙）如图：一块直角三角板的 60角的顶点 A 与直角顶点 C 分别在两 平行线 FD、 GH 上，
6、 斜边 AB 平分CAD， 交直线 GH 于点 E， 则ECB 的大小为 （） 第 3 页（共 26 页） A60 B45 C30 D25 11 （3 分） （2020长沙）随着 5G 网络技术的发展，市场对 5G 产品的需求越来越大，为满 足市场需求，某大型 5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更 新技术前多生产 30 万件产品， 现在生产 500 万件产品所需时间与更新技术前生产 400 万 件产品所需时间相同设更新技术前每天生产 x 万件产品，依题意得（） A B 400 30 = 500 400 = 500 + 30 C D 400 = 500 30 400 +
7、 30 = 500 12 （3 分） （2020长沙） “闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小， 但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐 块数的百分比称为“可食用率” 在特定条件下， “可食用率”P 与加工煎炸时间 t（单位 ： 分钟）近似满足的函数关系为：pat2+bt+c（a0，a，b，c 是常数） ，如图记录了三次 实验的数据根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为 （） A3.50 分钟 B4.05 分钟 C3.75 分钟 D4.25 分钟 二、填空题（二、填空题（本大题共本大题共 4 个小题，个小题，每小题
8、每小题 3 分，分，共共 12 分）分） 13 （3 分） （2020长沙）长沙地铁 3 号线、5 号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出 行的次数，某校园小记者随机调查了 100 名市民，得到如下统计表： 次数 7 次及以 上 6 5 4 3 2 1 次及以 下 人数 8 12 31 24 15 6 4 这次调查中的众数和中位数分别是 ， 14 （3 分） （2020长沙）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给 A、B、 C 三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多） ，然后依次 第 4 页（共 26 页） 完成以下三个步骤： 第一步，A 同学拿出二张扑
9、克牌给 B 同学； 第二步，C 同学拿出三张扑克牌给 B 同学； 第三步，A 同学手中此时有多少张扑克牌，B 同学就拿出多少张扑克牌给 A 同学 请你确定，最终 B 同学手中剩余的扑克牌的张数为 15 （3 分） （2020长沙）已知圆锥的母线长为 3，底面半径为 1，该圆锥的侧面展开图的面 积为 16 （3 分） （2020长沙）如图，点 P 在以 MN 为直径的半圆上运动（点 P 不与 M，N 重合） ， PQMN，NE 平分MNP，交 PM 于点 E，交 PQ 于点 F （1） + = （2）若 PN2PMMN，则 = 三三、解答题解答题（本大题共本大题共 9 个小题个小题，第第 17、
10、18、19 题每小题题每小题 6 分分，第第 20、21 题每小题题每小题 6 分分， 第第 22、23 题每小题题每小题 6 分分，第第 24、25 题每小题题每小题 6 分分，共共 72 分分解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤） 17 （6 分） （2020长沙）计算：|3|（1）0cos45+（ ）1 10 + 2 1 4 18 （6 分） （2020长沙）先化简再求值：，其中 x4 + 2 2 6 + 9 2 9 + 2 3 19 （6 分） （2020长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第 48 页告诉我们一种作已知角 的平分线
11、的方法： 已知：AOB 求作：AOB 的平分线 作法：（1）以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N （2）分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在AOB 的内部相交于 1 2 点 C （3）画射线 OC，射线 OC 即为所求（如图） 请你根据提供的材料完成下面问题 第 5 页（共 26 页） （1）这种作已知角的平分线的方法的依据是 （填序号） SSSSASAASASA （2）请你证明 OC 为AOB 的平分线 20 （8 分） （2020长沙）2020 年 3 月，中共中央、国务院颁布了关于全面加强新时代大 中小学劳动教育的意见 长沙市
12、教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指 标” 为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计 图表： （1）这次调查活动共抽取 人； （2）m ，n ； （3）请将条形统计图补充完整； （4）若该校学生总人数为 3000 人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动 4 次及以上 的学生人数 21 （8 分） （2020长沙）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 与过 C 点的直线 互相垂直，垂足为 D，AC 平分DAB （1）求证：DC 为O 的切线 （2）若 AD3，DC，求O 的半径 = 3 第 6 页（共 26 页） 22 （9 分） （2020长
13、沙）今年 6 月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生 活受到了极大的影响 “一方有难，八方支援” ，某市筹集了大量的生活物资，用 A，B 两 种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区具体运输情况如下： 第一批 第二批 A 型货车的辆数（单位：辆） 1 2 B 型货车的辆数（单位：辆） 3 5 累计运输物资的吨数（单位：吨） 28 50 备注：第一批、第二批每辆货车均满载 （1）求 A、B 两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？ （2）该市后续又筹集了 62.4 吨生活物资，现已联系了 3 辆 A 种型号货车试问至少还 需联系多少辆 B 种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的
14、地？ 23 （9 分） （2020长沙）在矩形 ABCD 中，E 为 DC 边上一点，把ADE 沿 AE 翻折，使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F （1）求证：ABFFCE； （2）若 AB2，AD4，求 EC 的长； 3 （3）若 AEDE2EC，记BAF，FAE，求 tan+tan 的值 24 （10 分） （2020长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对 称，则把该函数称之为“H 函数” ，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H 点” 根 据该约定，完成下列各题 （1）在下列关于 x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“” ， 第 7 页（
15、共 26 页） 不是“H 函数”的打“” y2x（ ） ； y（m0） （ ） ； = y3x1（ ） （2）若点 A（1，m）与点 B（n，4）是关于 x 的“H 函数”yax2+bx+c（a0）的一 对“H 点” ，且该函数的对称轴始终位于直线 x2 的右侧，求 a，b，c 的值或取值范围 （3）若关于 x 的“H 函数”yax2+2bx+3c（a，b，c 是常数）同时满足下列两个条件： a+b+c0，（2c+ba） （2c+b+3a）0，求该“H 函数”截 x 轴得到的线段长度的 取值范围 25 （10 分） （2020长沙）如图，半径为 4 的O 中，弦 AB 的长度为 4，点 C 是
16、劣弧3AB 上的一个动点，点 D 是弦 AC 的中点，点 E 是弦 BC 的中点，连接 DE、OD、OE （1）求AOB 的度数； （2）当点 C 沿着劣弧从点 A 开始，逆时针运动到点 B 时，求ODE 的外心 P 所经过AB 的路径的长度； （3）分别记ODE，CDE 的面积为 S1，S2，当 S12S2221 时，求弦 AC 的长度 第 8 页（共 26 页） 2020 年湖南省长沙市中考数学试卷年湖南省长沙市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的请在答题卡中填涂符合一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题
17、意的请在答题卡中填涂符合 题意的选项题意的选项本大题共本大题共 12 个小题，个小题，每小题每小题 3 分，分，共共 36 分）分） 1 （3 分） （2020长沙） （2）3的值等于（） A6 B6 C8 D8 【解答】解：（2）38， 故选：D 2 （3 分） （2020长沙）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（） A B C D 【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； 故
18、选：B 3 （3 分） （2020长沙）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积 极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展据国家统计 局相关数据显示，2020 年 1 月至 5 月，全国累计办理出口退税 632400000000 元，其中数 字 632400000000 用科学记数法表示为（） A6.3241011 B6.3241010 C632.4109 D0.63241012 【解答】解：632 400 000 0006.3241011， 故选：A 4 （3 分） （2020长沙）下列运算正确的是（） A Bx8x2x6 C D （a5）2a7 3
19、 +2 =53 2 =5 第 9 页（共 26 页） 【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，计算错误，故本选项不符合题意 32 B、原式x82x6，计算正确，故本选项符合题意 C、原式，计算错误，故本选项不符合题意 = 3 2=6 D、原式a52a10，计算错误，故本选项不符合题意 故选：B 5 （3 分） （2020长沙）2019 年 10 月， 长沙晚报对外发布长沙高铁西站设计方案该方 案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态该高铁站 建设初期需要运送大量土石方某运输公司承担了运送总量为 106m3土石方的任务，该 运输公司平均运送土石方的速度 v（单位 ： m
20、3/天）与完成运送任务所需时间 t（单位 ： 天） 之间的函数关系式是（） Av Bv106t Cvt2 Dv106t2 = 106 = 1 106 【解答】解：运送土石方总量平均运送土石方的速度 v完成运送任务所需时间 t， 106vt， v， = 106 故选：A 6 （3 分） （2020长沙）从一艘船上测得海岸上高为 42 米的灯塔顶部的仰角为 30时，船 离灯塔的水平距离是（） A42米 B14米 C21 米 D42 米 33 【解答】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为 42tan3042（米） 3 故选：A 7 （3 分） （2020长沙）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）
21、x + 1 - 1 2 1 A B C D 【解答】解：由不等式组，得2x2， x + 1 - 1 2 1 故该不等式组的解集在数轴表示为： 第 10 页（共 26 页） 故选：D 8 （3 分） （2020长沙） 一个不透明袋子中装有 1 个红球， 2 个绿球， 除颜色外无其他差别 从 中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个下列说法中，错误的是（） A第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球 B第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球 C第一次摸出的球是红球的概率是 1 3 D两次摸出的球都是红球的概率是 1 9 【解答】解 ： A、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不
22、一定是绿球，故本选项错误 ； B、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球，故本选项正确； C、不透明袋子中装有 1 个红球，2 个绿球，第一次摸出的球是红球的概率是 ，故 1 3 本选项正确； D、共用 9 种等情况数，分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿 绿，则两次摸出的球都是红球的概率是 ，故本选项正确； 1 9 故选：A 9 （3 分） （2020长沙）2020 年 3 月 14 日，是人类第一个“国际数学日” 这个节日的昵称 是“（Day） ” 国际数学日之所以定在 3 月 14 日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接 近的数字在古代，一个国家所算得的圆周
23、率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时 数学与科技发展水平的一个主要标志我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的 精确值计算到小数点后第 7 位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年以下对于圆周率 的四个表述： 圆周率是一个有理数； 圆周率是一个无理数； 圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比； 圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比 其中表述正确的序号是（） A B C D 【解答】解：因为圆周率是一个无理数，是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的 周长与直径的比， 第 11 页（共 26 页） 所以表述正确的序号是； 故选：A 10 （3 分）
24、（2020长沙）如图：一块直角三角板的 60角的顶点 A 与直角顶点 C 分别在两 平行线 FD、 GH 上， 斜边 AB 平分CAD， 交直线 GH 于点 E， 则ECB 的大小为 （） A60 B45 C30 D25 【解答】解：AB 平分CAD， CAD2BAC120， 又DFHG， ACE180DAC18012060， 又ACB90， ECBACBACE906030， 故选：C 11 （3 分） （2020长沙）随着 5G 网络技术的发展，市场对 5G 产品的需求越来越大，为满 足市场需求，某大型 5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更 新技术前多生产 30 万
25、件产品， 现在生产 500 万件产品所需时间与更新技术前生产 400 万 件产品所需时间相同设更新技术前每天生产 x 万件产品，依题意得（） A B 400 30 = 500 400 = 500 + 30 C D 400 = 500 30 400 + 30 = 500 【解答】解：设更新技术前每天生产 x 万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件 产品， 依题意，得： 400 = 500 + 30 故选：B 12 （3 分） （2020长沙） “闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小， 但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐 块数的百
26、分比称为“可食用率” 在特定条件下， “可食用率”P 与加工煎炸时间 t（单位 ： 第 12 页（共 26 页） 分钟）近似满足的函数关系为：pat2+bt+c（a0，a，b，c 是常数） ，如图记录了三次 实验的数据根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为 （） A3.50 分钟 B4.05 分钟 C3.75 分钟 D4.25 分钟 【解答】解 ： 将图象中的三个点（3，0.8） 、 （4，0.9） 、 （5，0.6）代入函数关系 pat2+bt+c 中， ， 9a + 3b + c = 0.8 16 + 4 + = 0.9 25 + 5 + = 0.6 解得， a =
27、- 0.2 = 1.5 = 1.9 所以函数关系式为：p0.2t2+1.5t1.9， 由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标： t3.75， =- 2 = 1.5 2 ( 0.2) = 则当 t3.75 分钟时，可以得到最佳时间 故选：C 二、填空题（二、填空题（本大题共本大题共 4 个小题，个小题，每小题每小题 3 分，分，共共 12 分）分） 13 （3 分） （2020长沙）长沙地铁 3 号线、5 号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出 行的次数，某校园小记者随机调查了 100 名市民，得到如下统计表： 次数 7 次及以 上 6 5 4 3 2 1 次及以 下 人数
28、8 12 31 24 15 6 4 这次调查中的众数和中位数分别是5，5 【解答】解：这次调查中的众数是 5， 第 13 页（共 26 页） 这次调查中的中位数是， 5 + 5 2 = 5 故答案为：5；5 14 （3 分） （2020长沙）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给 A、B、 C 三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多） ，然后依次 完成以下三个步骤： 第一步，A 同学拿出二张扑克牌给 B 同学； 第二步，C 同学拿出三张扑克牌给 B 同学； 第三步，A 同学手中此时有多少张扑克牌，B 同学就拿出多少张扑克牌给 A 同学 请你确定，最终 B
29、同学手中剩余的扑克牌的张数为7 【解答】解：设每人有牌 x 张，B 同学从 A 同学处拿来二张扑克牌，又从 C 同学处拿来 三张扑克牌后， 则 B 同学有（x+2+3）张牌， A 同学有（x2）张牌， 那么给 A 同学后 B 同学手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3（x2）x+5x+27 故答案为：7 15 （3 分） （2020长沙）已知圆锥的母线长为 3，底面半径为 1，该圆锥的侧面展开图的面 积为3 【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形， S侧rl313， 该圆锥的侧面展开图的面积为 3 故答案为：3 16 （3 分） （2020长沙）如图，点 P 在以 MN 为直径的半圆上运动（点 P
30、不与 M，N 重合） ， PQMN，NE 平分MNP，交 PM 于点 E，交 PQ 于点 F （1）1 + = （2）若 PN2PMMN，则 = 5 1 2 第 14 页（共 26 页） 【解答】解：（1）MN 为O 的直径， MPN90， PQMN， PQNMPN90， NE 平分PNM， MNEPNE， PENQFN， ，即， = = PNQ+NPQPNQ+PMQ90， NPQPMQ， PQNPQM90， NPQPMQ， ， = 得， = QFPQPF， 1， = =- 1， + = 故答案为：1； （2）PNQMNP，NQPNPQ， NPQNMP， ， = PN2QNMN， PN2PMM
31、N， PMQN， ， = tanM， = = 第 15 页（共 26 页） ， = ， = + NQ2MQ2+MQNQ，即， 1 = 2 2 + 设，则 x2+x10， = 解得，x，或 x0（舍去） ， = 5 1 2 =- 5+ 1 2 ， = 5 1 2 故答案为： 5 1 2 三三、解答题解答题（本大题共本大题共 9 个小题个小题，第第 17、18、19 题每小题题每小题 6 分分，第第 20、21 题每小题题每小题 6 分分， 第第 22、23 题每小题题每小题 6 分分，第第 24、25 题每小题题每小题 6 分分，共共 72 分分解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明、
32、 证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤） 17 （6 分） （2020长沙）计算：|3|（1）0cos45+（ ）1 10 + 2 1 4 【解答】解：原式314 + 2 2 2 + 2+1+4 7 18 （6 分） （2020长沙）先化简再求值：，其中 x4 + 2 2 6 + 9 2 9 + 2 3 【解答】解： + 2 2 6 + 9 2 9 + 2 3 = + 2 ( 3)2 ( + 3)( 3) + 2 3 = + 3 3 3 ， = 3 3 当 x4 时，原式3 = 3 4 3 = 19 （6 分） （2020长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第 48 页告诉我们一种作已知角
33、的平分线的方法： 已知：AOB 求作：AOB 的平分线 作法：（1）以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N 第 16 页（共 26 页） （2）分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在AOB 的内部相交于 1 2 点 C （3）画射线 OC，射线 OC 即为所求（如图） 请你根据提供的材料完成下面问题 （1）这种作已知角的平分线的方法的依据是 （填序号） SSSSASAASASA （2）请你证明 OC 为AOB 的平分线 【解答】解：（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是SSS 故答案为： （2）由基本作图方法可得：OMON，OCOC，
34、MCNC， 则在OMC 和ONC 中， ， OM = ON = = OMCONC（SSS） ， AOCBOC， 即 OC 为AOB 的平分线 20 （8 分） （2020长沙）2020 年 3 月，中共中央、国务院颁布了关于全面加强新时代大 中小学劳动教育的意见 长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指 标” 为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计 第 17 页（共 26 页） 图表： （1）这次调查活动共抽取200人； （2）m86，n27； （3）请将条形统计图补充完整； （4）若该校学生总人数为 3000 人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动
35、 4 次及以上 的学生人数 【解答】解：（1）2010%200（人） ， 故答案为：200； （2）20043%86（人） ，5420027%，即，n27， 故答案为：86，27； （3）20020%40（人） ，补全条形统计图如图所示： （4）300027%810（人） ， 答：该校 3000 名学生中一周劳动 4 次及以上的有 810 人 21 （8 分） （2020长沙）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 与过 C 点的直线 互相垂直，垂足为 D，AC 平分DAB （1）求证：DC 为O 的切线 （2）若 AD3，DC，求O 的半径 = 3 第 18 页（共 26 页） 【
36、解答】解：（1）如图，连接 OC， OAOC， OACOCA， AC 平分DAB， DACOAC， OCADAC， ADOC， ADDC， OCDC， 又 OC 是O 的半径， DC 为O 的切线； （2）过点 O 作 OEAC 于点 E， 在 RtADC 中，AD3，DC， = 3 tanDAC， = = 3 3 DAC30， AC2DC2， 3 OEAC， 根据垂径定理，得 AEECAC， = 1 2 = 3 EAODAC30， 第 19 页（共 26 页） OA2， = 30 = O 的半径为 2 22 （9 分） （2020长沙）今年 6 月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民
37、的生 活受到了极大的影响 “一方有难，八方支援” ，某市筹集了大量的生活物资，用 A，B 两 种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区具体运输情况如下： 第一批 第二批 A 型货车的辆数（单位：辆） 1 2 B 型货车的辆数（单位：辆） 3 5 累计运输物资的吨数（单位：吨） 28 50 备注：第一批、第二批每辆货车均满载 （1）求 A、B 两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？ （2）该市后续又筹集了 62.4 吨生活物资，现已联系了 3 辆 A 种型号货车试问至少还 需联系多少辆 B 种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？ 【解答】解：（1）设 A 种型号货车每辆满载能运 x
38、吨生活物资，B 种型号货车每辆满载 能运 y 吨生活物资， 依题意，得：， x + 3y = 28 2 + 5 = 50 解得： x = 10 = 6 答：A 种型号货车每辆满载能运 10 吨生活物资，B 种型号货车每辆满载能运 6 吨生活物 资 （2）设还需联系 m 辆 B 种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地， 依题意，得：103+6m62.4， 解得：m5.4， 又m 为正整数， m 的最小值为 6 答：至少还需联系 6 辆 B 种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地 23 （9 分） （2020长沙）在矩形 ABCD 中，E 为 DC 边上一点，把ADE 沿 AE 翻折，
39、使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F （1）求证：ABFFCE； 第 20 页（共 26 页） （2）若 AB2，AD4，求 EC 的长； 3 （3）若 AEDE2EC，记BAF，FAE，求 tan+tan 的值 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， BCD90， 由翻折可知，DAFE90， AFB+EFC90，EFC+CEF90， AFBFEC， ABFFCE （2）设 ECx， 由翻折可知，ADAF4， BF2， =2 2=16 - 12 = CFBCBF2， ABFFCE， ， = ， 23 2 = 2 x， = 23 3 EC = 23 3 （3）ABFFCE， ， =
40、tan+tan， = + = + = + = 设 ABCDa，BCADb，DEx， AEDE+2CEx+2（ax）2ax， 第 21 页（共 26 页） ADAFb，DEEFx，BCD90， BF，CF， =2 2=2 ( )2=2ax - 2 AD2+DE2AE2， b2+x2（2ax）2， a2axb2， = 1 4 ABFFCE， ， = ， 2 ( )2 = 2 2 a2ax， =2 22ax - 2 b2， 1 4 =2 2a2 1 2 2 整理得，16a424a2b2+9b40， （4a23b2）20， ， = 23 3 tan+tan = = 23 3 24 （10 分） （20
41、20长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对 称，则把该函数称之为“H 函数” ，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H 点” 根 据该约定，完成下列各题 （1）在下列关于 x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“” ， 不是“H 函数”的打“” y2x（） ； y（m0） （） ； = y3x1（） （2）若点 A（1，m）与点 B（n，4）是关于 x 的“H 函数”yax2+bx+c（a0）的一 第 22 页（共 26 页） 对“H 点” ，且该函数的对称轴始终位于直线 x2 的右侧，求 a，b，c 的值或取值范围 （3）若关于 x 的“H 函数”
42、yax2+2bx+3c（a，b，c 是常数）同时满足下列两个条件： a+b+c0，（2c+ba） （2c+b+3a）0，求该“H 函数”截 x 轴得到的线段长度的 取值范围 【解答】解 ： （1）y2x 是“H 函数” y（m0）是“H 函数” y3x1= 不是“H 函数” 故答案为：， （2）A，B 是“H 点” ， A，B 关于原点对称， m4，n1， A（1，4） ，B（1，4） ， 代入 yax2+bx+c（a0） 得， a + b + c = 4 + = 4 ， b = 4 + = 0 该函数的对称轴始终位于直线 x2 的右侧， 2， - 2 2， - 4 2 1a0， a+c0，
43、0c1， 综上所述，1a0，b4，0c1 （3）yax2+2bx+3c 是“H 函数” ， 设 H（p，q）和（p，q） ， 代入得到， a 2+ 2 + 3 = 2 2 + 3 = 解得 ap2+3c0，2bpq， p20， a，c 异号， 第 23 页（共 26 页） ac0， a+b+c0， bac， （2c+ba） （2c+b+3a）0， （2caca） （2cac+3a）0， （c2a） （c+2a）0， c24a2， 4， 2 2 22， 设 t，则2t0， = 设函数与 x 轴交于（x1，0） ， （x2，0） ， x1，x2是方程 ax2+2bx+3c0 的两根， |x1x2|
44、 = (1+ 2)2 412 =( 2 )2 4 3 = 4( + )2 2 12 =41 + 2 + ( ) 2 3 2 1 + 2t + 2 3 2， (t - 1 2) 2+ 3 4 2t0， 2|x1x2|2 7 25 （10 分） （2020长沙）如图，半径为 4 的O 中，弦 AB 的长度为 4，点 C 是劣弧3AB 上的一个动点，点 D 是弦 AC 的中点，点 E 是弦 BC 的中点，连接 DE、OD、OE （1）求AOB 的度数； （2）当点 C 沿着劣弧从点 A 开始，逆时针运动到点 B 时，求ODE 的外心 P 所经过AB 的路径的长度； （3）分别记ODE，CDE 的面积
45、为 S1，S2，当 S12S2221 时，求弦 AC 的长度 第 24 页（共 26 页） 【解答】解：（1）如图 1 中，过点 O 作 OHAB 于 H OAOB4，OHAB， AHHBAB2，AOHBOH， = 1 2 3 sinAOH， = = 3 2 AOH60， AOB2AOH120 （2）如图 2 中，连接 OC OAOCOB，ADDC，CEEB， ODAC，OECB， ODCOEC90， ODC+OEC180， O，D，C，E 四点共圆， OC 是直径， OC 的中点 P 是OED 的外接圆的圆心， OPOC2， = 1 2 第 25 页（共 26 页） 点 P 的运动路径的长
46、= 120 2 180 = 4 3 （3）如图 3 中，若 ACBC，连接 OC 交 AB 于 J，过点 O 作 OHAB 于 H，过点 C 作 CKAB 于 K ADCD，CEEB， DEAB，AB2DE， CDECAB， （）2， = = 1 4 SABC4S2， SADOSODC，SOBESOEC， S四边形 ODCES四边形 OACB， = 1 2 S1+S2（4S2+4）2S2+2， = 1 2 33 S1S2+2， 3 S12S2221， S22+4S2+12S2221， 3 S2， = 33 4 SABC3ABCK， 3 = 1 2 CK， = 3 2 OHAB，CKAB， OHCK， CKJOHJ， ， = 第 26 页（共 26 页） ， = 3 2 2 = 3 4 CJ4，OJ4， = 3 7 = 12 7 = 4 7 = 16 7 JK，JH， =2 2=( 12 7 )2 (3 2) 2= 315 14 =2 2=( 16 7 )2 22= 215 7 KH， = 15 2 AKAHKH2， 3 15 2 AC =2+ 2=(23 15 2 )2+ (3 2) 2= 18 - 6 5=15 3 若 ACBC 时，同法可得 AC， = 15+3 综上所述，AC 的长为或15 315 +3
