1、 第 1 页（共 25 页） 2020 年四川省自贡市中考数学试卷年四川省自贡市中考数学试卷 一选择题（共一选择题（共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有一项分，在每题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1 （4 分）如图，直线 ab，150，则2 的度数为（ ） A40 B50 C55 D60 2 （4 分）5 月 22 日晚，中国自贡第 26 届国际恐龙灯会开启网络直播，有着近千年历史的 自贡灯会进入“云游”时代，70 余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀璨人 数 700000 用科学记数法表示
2、为（ ） A70104 B0.7107 C7105 D7106 3 （4 分）如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 4 （4 分）关于 x 的一元二次方程 ax22x+20 有两个相等实数根，则 a 的值为（ ） A1 2 B 1 2 C1 D1 5（4 分） 在平面直角坐标系中， 将点 （2， 1） 向下平移 3 个单位长度， 所得点的坐标是 （ ） A （1，1） B （5，1） C （2，4） D （2，2） 6 （4 分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A B 第 2 页（共 25 页） C D 7 （4 分）对于一组数据 3，7，5，3，2，下列说
3、法正确的是（ ） A中位数是 5 B众数是 7 C平均数是 4 D方差是 3 8 （4 分）如果一个角的度数比它补角的 2 倍多 30，那么这个角的度数是（ ） A50 B70 C130 D160 9 （4 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，A50，以点 B 为圆心，BC 长为半 径画弧，交 AB 于点 D，连接 CD，则ACD 的度数是（ ） A50 B40 C30 D20 10（4 分） 函数 y= 与 yax 2+bx+c 的图象如图所示， 则函数 ykxb 的大致图象为 （ ） A B C D 11 （4 分）某工程队承接了 80 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实
4、际工作 时每天的工作效率比原计划提高了 35%，结果提前 40 天完成了这一任务设实际工作时 每天绿化的面积为 x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） 第 3 页（共 25 页） A80(1:35%) 80 =40 B 80 (1:35%) 80 =40 C80 80 (1:35%) =40 D80 80(1:35%) =40 12 （4 分） 如图， 在平行四边形 ABCD 中， AD2， AB= 6， B 是锐角， AEBC 于点 E， F 是 AB 的中点，连结 DF、EF若EFD90，则 AE 长为（ ） A2 B5 C32 2 D33 2 二、填空题（共二、填空题（共 6 个小
5、题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13 （4 分）分解因式：3a26ab+3b2 14 （4 分）与14 2 最接近的自然数是 15 （4 分）某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了 “最受欢迎菜品”的调查统计以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序 （只填番号） ： 绘制扇形图； 收集最受学生欢迎菜品的数据； 利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品； 整理所收集的数据 16 （4 分）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 ABCD，DCABBC 长 6 米， 坡角 为 45，AD 的坡角 为 30，则 AD 长为 米（结果保留根
6、号） 17 （4 分）如图，矩形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，连接 DE，将ADE 沿 DE 翻折，恰好 使点 A 落在 BC 边的中点 F 处，在 DF 上取点 O，以 O 为圆心，OF 长为半径作半圆与 CD 相切于点 G若 AD4，则图中阴影部分的面积为 第 4 页（共 25 页） 18 （4 分）如图，直线 y= 3x+b 与 y 轴交于点 A，与双曲线 y= 在第三象限交于 B、C 两点，且 ABAC16下列等边三角形OD1E1，E1D2E2，E2D3E3，的边 OE1， E1E2， E2E3， 在x轴上， 顶点D1， D2， D3， 在该双曲线第一象限的分支上， 则k ，
7、前 25 个等边三角形的周长之和为 三、解答题（共三、解答题（共 8 个题，共个题，共 78 分）分） 19 （8 分）计算：|2|（5 +）0+（ 1 6） 1 20 （8 分）先化简，再求值： :1 2;4 （ 1 :1 +1） ，其中 x 是不等式组 + 1 0 5 23的整数解 21 （8 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 边的延长线上，点 F 在 CD 边的延长线 上，且 CEDF，连接 AE 和 BF 相交于点 M 求证：AEBF 22 （8 分）某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪， 第 5 页（共 25 页） B：环境保护，C：
8、卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与为 了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条 形统计图和扇形统计图 （1）本次调查的学生人数是 人，m ； （2）请补全条形统计图； （3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动如果小张同学随机选择连 续两天，其中有一天是星期一的概率是 ；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他 在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是 23 （10 分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品新冠疫情期间，为了减少库 存，甲、乙两家商场打折促销甲商场所有商品按 9 折出售，乙商场对一次购物中超过 1
9、00 元后的价格部分打 8 折 （1）以 x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商 场的让利方式写出 y 关于 x 的函数解析式； （2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？ 24 （10 分）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微” ，数形结合 是解决数学问题的重要思想方法例如，代数式|x2|的几何意义是数轴上 x 所对应的点 与 2 所对应的点之间的距离：因为|x+1|x（1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上 x 所对应的点与1 所对应的点之间的距离 （1）发现问题：代数式|x+1|+|x2|的最小值是多少？ （2）探究问题：
10、如图，点 A、B、P 分别表示数1、2、x，AB3 |x+1|+|x2|的几何意义是线段 PA 与 PB 的长度之和， 当点 P 在线段 AB 上时，PA+PB3，当点 P 在点 A 的左侧或点 B 的右侧时，PA+PB 3 第 6 页（共 25 页） |x+1|+|x2|的最小值是 3 （3）解决问题： |x4|+|x+2|的最小值是 ； 利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x1|4； 当 a 为何值时，代数式|x+a|+|x3|的最小值是 2 25（12分） 如图， O是ABC的外接圆， AB为直径， 点P为O外一点， 且PAPC= 2AB， 连接 PO 交 AC 于点 D，延长 PO
11、 交O 于点 F （1）证明： = ； （2）若 tanABC22，证明：PA 是O 的切线； （3）在（2）条件下，连接 PB 交O 于点 E，连接 DE，若 BC2，求 DE 的长 26 （14 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴交于点 A（3，0） 、B（1， 0） ，交 y 轴于点 N，点 M 为抛物线的顶点，对称轴与 x 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，连接 AM，点 E 是线段 AM 上方抛物线上一动点，EFAM 于点 F，过点 E 作 EHx 轴于点 H，交 AM 于点 D点 P 是 y 轴上一动点，当 EF 取最大值时： 求
12、PD+PC 的最小值； 如图 2，Q 点为 y 轴上一动点，请直接写出 DQ+ 1 4OQ 的最小值 第 7 页（共 25 页） 第 8 页（共 25 页） 2020 年四川省自贡市中考数学试卷年四川省自贡市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有一项分，在每题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1 （4 分）如图，直线 ab，150，则2 的度数为（ ） A40 B50 C55 D60 【解答】解：如图所示： ab， 3150， 23
13、50； 故选：B 2 （4 分）5 月 22 日晚，中国自贡第 26 届国际恐龙灯会开启网络直播，有着近千年历史的 自贡灯会进入“云游”时代，70 余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀璨人 数 700000 用科学记数法表示为（ ） A70104 B0.7107 C7105 D7106 【解答】解：700000 用科学记数法表示为 7105， 故选：C 3 （4 分）如图所示的几何体的左视图是（ ） 第 9 页（共 25 页） A B C D 【解答】解：该几何体从左边看有两列，左边一列底层是一个正方形，右边一列是三个 正方形 故选：B 4 （4 分）关于 x 的一元二次方程 ax22
14、x+20 有两个相等实数根，则 a 的值为（ ） A1 2 B 1 2 C1 D1 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 ax22x+20 有两个相等实数根， 0 = (2)2 4 2 = 0， a= 1 2 故选：A 5（4 分） 在平面直角坐标系中， 将点 （2， 1） 向下平移 3 个单位长度， 所得点的坐标是 （ ） A （1，1） B （5，1） C （2，4） D （2，2） 【解答】解：将点 P（2，1）向下平移 3 个单位长度所得点的坐标为（2，13）即（2， 2） ； 故选：D 6 （4 分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：
15、A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：A 第 10 页（共 25 页） 7 （4 分）对于一组数据 3，7，5，3，2，下列说法正确的是（ ） A中位数是 5 B众数是 7 C平均数是 4 D方差是 3 【解答】解：A、把这组数据从小到大排列为：2，3，3，5，7，最中间的数是 3，则中 位数是 3，故本选项错误； B、3 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 3，故本选项错误； C、平均数是：
16、 （3+7+5+3+2）54，故本选项正确； D、方差是：1 52（34） 2+（74）2+（54）2+（24）23.2，故本选项错误； 故选：C 8 （4 分）如果一个角的度数比它补角的 2 倍多 30，那么这个角的度数是（ ） A50 B70 C130 D160 【解答】解：设这个角是 x，根据题意，得 x2（180 x）+30， 解得：x130 即这个角的度数为 130 故选：C 9 （4 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，A50，以点 B 为圆心，BC 长为半 径画弧，交 AB 于点 D，连接 CD，则ACD 的度数是（ ） A50 B40 C30 D20 【解答】解：在 Rt
17、ABC 中，ACB90，A50， B40， BCBD， BCDBDC= 1 2（18040）70， ACD907020， 故选：D 第 11 页（共 25 页） 10（4 分） 函数 y= 与 yax 2+bx+c 的图象如图所示， 则函数 ykxb 的大致图象为 （ ） A B C D 【解答】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知 k0， 根据二次函数的图象确知 a0，b0， 函数 ykxb 的大致图象经过一、二、三象限， 故选：D 11 （4 分）某工程队承接了 80 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作 时每天的工作效率比原计划提高了 35%，结果提前 40 天完成了
18、这一任务设实际工作时 每天绿化的面积为 x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A80(1:35%) 80 =40 B 80 (1:35%) 80 =40 C80 80 (1:35%) =40 D80 80(1:35%) =40 【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，则原计划每天绿化的面积为 1:35%万平方米， 依题意，得： 80 1+35% 80 =40， 即80(1:35%) 80 =40 故选：A 12 （4 分） 如图， 在平行四边形 ABCD 中， AD2， AB= 6， B 是锐角， AEBC 于点 E， 第 12 页（共 25 页） F 是 AB 的中点
19、，连结 DF、EF若EFD90，则 AE 长为（ ） A2 B5 C32 2 D33 2 【解答】解：如图，延长 EF 交 DA 的延长线于 Q，连接 DE，设 BEx 四边形 ABCD 是平行四边形， DQBC， QBEF， AFFB，AFQBFE， QFAEFB（AAS） ， AQBEx， EFD90， DFQE， DQDEx+2， AEBC，BCAD， AEAD， AEBEAD90， AE2DE2AD2AB2BE2， （x+2）246x2， 整理得：2x2+4x60， 解得 x1 或3（舍弃） ， BE1， AE= 2 2= 6 1 = 5， 故选：B 第 13 页（共 25 页） 二、
20、填空题（共二、填空题（共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13 （4 分）分解因式：3a26ab+3b2 3（ab）2 【解答】解：3a26ab+3b2 3（a22ab+b2） 3（ab）2 故答案为：3（ab）2 14 （4 分）与14 2 最接近的自然数是 2 【解答】解：3.5144， 1.514 22， 与14 2 最接近的自然数是 2 故答案为：2 15 （4 分）某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了 “最受欢迎菜品”的调查统计以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序 （只填番号） ： 绘制扇形图； 收集最受
21、学生欢迎菜品的数据； 利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品； 整理所收集的数据 【解答】解：收集最受学生欢迎菜品的数据； 整理所收集的数据； 绘制扇形图； 利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品； 故答案为： 16 （4 分）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 ABCD，DCABBC 长 6 米， 坡角 为 45，AD 的坡角 为 30，则 AD 长为 62 米（结果保留根号） 【解答】解：过点 D 作 DEAB 于 E，过点 C 作 CFAB 于 F 第 14 页（共 25 页） CDAB，DEAB，CFAB， DECF， 在 RtCFB 中，CFBCsin4532（米） ， DECF32（
22、米） ， 在 RtADE 中，A30，AED90， AD2DE62（米） ， 故答案为 62 17 （4 分）如图，矩形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，连接 DE，将ADE 沿 DE 翻折，恰好 使点 A 落在 BC 边的中点 F 处，在 DF 上取点 O，以 O 为圆心，OF 长为半径作半圆与 CD 相切于点 G若 AD4，则图中阴影部分的面积为 23 9 【解答】解：连接 OG， 将ADE 沿 DE 翻折，恰好使点 A 落在 BC 边的中点 F 处， ADDF4，BFCF2， 矩形 ABCD 中，DCF90， FDC30， 第 15 页（共 25 页） DFC60， O 与 CD 相
23、切于点 G， OGCD， BCCD， OGBC， DOGDFC， = ， 设 OGOFx，则4; 4 = 2， 解得：x= 4 3，即O 的半径是 4 3 连接 OQ，作 OHFQ， DFC60，OFOQ， OFQ 为等边；同理OGQ 为等边； GOQFOQ60，OH= 3 2 OQ= 23 3 ，S扇形OGQS扇形OQF， S阴影（S矩形OGCHS扇形OGQSOQH）+（S扇形OQFSOFQ） S矩形OGCH 3 2SOFQ= 4 3 23 3 3 2（ 1 2 4 3 23 3 ）= 23 9 故答案为：23 9 18 （4 分）如图，直线 y= 3x+b 与 y 轴交于点 A，与双曲线
24、y= 在第三象限交于 B、C 两点，且 ABAC16下列等边三角形OD1E1，E1D2E2，E2D3E3，的边 OE1， E1E2，E2E3，在 x 轴上，顶点 D1，D2，D3，在该双曲线第一象限的分支上，则 k 43 ，前 25 个等边三角形的周长之和为 60 第 16 页（共 25 页） 【解答】解：设直线 y= 3x+b 与 x 轴交于点 D，作 BEy 轴于 E，CFy 轴于 F y= 3x+b， 当 y0 时，x= 3 3 b，即点 D 的坐标为（ 3 3 b，0） ， 当 x0 时，yb，即 A 点坐标为（0，b） ， OAb，OD= 3 3 b 在 RtAOD 中，tanADO
25、= = 3， ADO60 直线 y= 3x+b 与双曲线 y= 在第三象限交于 B、C 两点， 3x+b= ， 整理得，3x2+bxk0， 由韦达定理得：x1x2= 3 3 k，即 EBFC= 3 3 k， =cos60= 1 2， AB2EB， 同理可得：AC2FC， ABAC（2EB） （2FC）4EBFC= 43 3 k16， 解得：k43 由题意可以假设 D1（m，m3） ， m23 =43， m2 OE14，即第一个三角形的周长为 12， 设 D2（4+n，3n） ， （4+n） 3n43， 解得 n22 2， E1E242 4，即第二个三角形的周长为 122 12， 设 D3（42
26、 +a，3a） ， 由题意（42 +a） 3a43， 解得 a23 22，即第三个三角形的周长为 123 122， 第 17 页（共 25 页） ， 第四个三角形的周长为 124 123， 前 25 个等边三角形的周长之和 12+122 12+123 122 +124 123 + +1225 1224 =1225 =60， 故答案为 43，60 三、解答题（共三、解答题（共 8 个题，共个题，共 78 分）分） 19 （8 分）计算：|2|（5 +）0+（ 1 6） 1 【解答】解：原式21+（6） 1+（6） 5 20 （8 分）先化简，再求值： :1 2;4 （ 1 :1 +1） ，其中
27、x 是不等式组 + 1 0 5 23的整数解 【解答】解： :1 2;4 （ 1 :1 +1） = +1 (+2)(2) 1+1 +1 = +2 (+2)(2) = 1 2， 由不等式组 + 1 0 5 23，得1x1， x 是不等式组 + 1 0 5 23的整数解， x1，0， 当 x1 时，原分式无意义， x0， 第 18 页（共 25 页） 当 x0 时，原式= 1 02 = 1 2 21 （8 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 边的延长线上，点 F 在 CD 边的延长线 上，且 CEDF，连接 AE 和 BF 相交于点 M 求证：AEBF 【解答】解：在正方形 ABC
28、D 中， ABCDCDAD， CEDF， BECF， 在AEB 与BFC 中， = = = ， AEBBFC（SAS） ， AEBF 22 （8 分）某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪， B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与为 了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条 形统计图和扇形统计图 （1）本次调查的学生人数是 60 人，m 30 ； （2）请补全条形统计图； 第 19 页（共 25 页） （3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动如果小张同学随机选择连 续两天，其中有
29、一天是星期一的概率是 1 4 ；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在 其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是 1 2 【解答】解： （1）1220%60（人） ，18 60 100%30%， 则 m30； 故答案为：60，30； （2）C 组的人数为 601812921（人） ，补全条形统计图如图： （3） 如果小张同学随机选择连续两天， 有 4 种等可能的结果， 即 （星期一， 星期二） 、 （星 期二，星期三） 、 （星期三，星期四） 、 （星期四，星期五） ， 其中有一天是星期一的概率是1 4； 小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，画树状图如图： 共有
30、 12 个等可能的结果，其中有一天是星期三的结果有 6 个， 其中有一天是星期三的概率为 6 12 = 1 2； 故答案为：1 4， 1 2 23 （10 分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品新冠疫情期间，为了减少库 存，甲、乙两家商场打折促销甲商场所有商品按 9 折出售，乙商场对一次购物中超过 100 元后的价格部分打 8 折 （1）以 x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商 场的让利方式写出 y 关于 x 的函数解析式； 第 20 页（共 25 页） （2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？ 【解答】解： （1）由题意可得， y甲0.9
31、x， 当 0 x100 时，y乙x， 当 x100 时，y乙100+（x100）0.80.8x+20， 由上可得，y乙= (0 100) 0.8 + 20(100) ； （2）当 0.9x0.8x+20 时，得 x200，即此时选择甲商场购物更省钱； 当 0.9x0.8x+20 时，得 x200，即此时两家商场购物一样； 当 0.9x0.8x+200 时，得 x200，即此时选择乙商场购物更省钱 24 （10 分）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微” ，数形结合 是解决数学问题的重要思想方法例如，代数式|x2|的几何意义是数轴上 x 所对应的点 与 2 所对应的点之间的距
32、离：因为|x+1|x（1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上 x 所对应的点与1 所对应的点之间的距离 （1）发现问题：代数式|x+1|+|x2|的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点 A、B、P 分别表示数1、2、x，AB3 |x+1|+|x2|的几何意义是线段 PA 与 PB 的长度之和， 当点 P 在线段 AB 上时，PA+PB3，当点 P 在点 A 的左侧或点 B 的右侧时，PA+PB 3 |x+1|+|x2|的最小值是 3 （3）解决问题： |x4|+|x+2|的最小值是 6 ； 利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x1|4； 当 a 为何值时，代数式|x+a|+|x3|
33、的最小值是 2 【解答】解： （1）发现问题：代数式|x+1|+|x2|的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点 A、B、P 分别表示数1、2、x，AB3 第 21 页（共 25 页） |x+1|+|x2|的几何意义是线段 PA 与 PB 的长度之和， 当点 P 在线段 AB 上时，PA+PB3，当点 P 在点 A 的左侧或点 B 的右侧时，PA+PB 3 |x+1|+|x2|的最小值是 3 （3）解决问题： |x4|+|x+2|的最小值是 6； 故答案为：6； 如图所示，满足|x+3|+|x1|4 的 x 范围为 x3 或 x1； 当 a 为1 或5 时，代数式|x+a|+|x3|的最小值
34、是 2 25（12分） 如图， O是ABC的外接圆， AB为直径， 点P为O外一点， 且PAPC= 2AB， 连接 PO 交 AC 于点 D，延长 PO 交O 于点 F （1）证明： = ； （2）若 tanABC22，证明：PA 是O 的切线； （3）在（2）条件下，连接 PB 交O 于点 E，连接 DE，若 BC2，求 DE 的长 【解答】 （1）证明：连接 OC PCPA，OCOA， OP 垂直平分线段 AC， = （2）证明：设 BCa， AB 是直径， ACB90， tanABC= =22， 第 22 页（共 25 页） AC22a，AB= 2+ 2=2+ (22)2=3a， OCO
35、AOB= 3 2 ，CDAD= 2a， PAPC= 2AB， PAPC32a， PDC90， PD= 2 2= 182 22=4a， DCDA，AOOB， OD= 1 2BC= 1 2a， AD2PDOD， = ， ADPADO90， ADPODA， PADDOA， DOA+DAO90， PAD+DAO90， PAO90， OAPA， PA 是O 的切线 （3）解：如图，过点 E 作 EJPF 于 J，BKPF 于 K BC2， 由（1）可知，PA62，AB6， PAB90， PB= 2+ 2= 72 + 36 =63， PA2PEPB， PE= 72 63 =43， CDKBKDBCD90，
36、 四边形 CDKB 是矩形， 第 23 页（共 25 页） CDBK22，BCDK2， PD8， PK10， EJBK， = = ， 43 63 = 22 = 10， EJ= 42 3 ，PJ= 20 3 ， DJPDPJ8 20 3 = 4 3， DE= 2+ 2=(4 2 3 )2+ (4 3) 2 = 43 3 26 （14 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴交于点 A（3，0） 、B（1， 0） ，交 y 轴于点 N，点 M 为抛物线的顶点，对称轴与 x 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，连接 AM，点 E 是线段 AM 上方抛物线上一
37、动点，EFAM 于点 F，过点 E 作 EHx 轴于点 H，交 AM 于点 D点 P 是 y 轴上一动点，当 EF 取最大值时： 求 PD+PC 的最小值； 如图 2，Q 点为 y 轴上一动点，请直接写出 DQ+ 1 4OQ 的最小值 【解答】解： （1）抛物线的表达式为：ya（x+3） （x1）a（x2+2x3）ax2+2ax 第 24 页（共 25 页） 3a， 即3a3，解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx22x+3； （2）由抛物线的表达式得，点 M（1，4） ，点 N（0，3） ， 则 tanMAC= =2， 则设直线 AM 的表达式为：y2x+b， 将点 A 的坐标代入上式并解得
38、：b6， 故直线 AM 的表达式为：y2x+6， EFDDHA90，EDFADH， MACDEF，则 tanDEF2，则 cosDEF= 5 5 ， 设点 E（x，x22x+3） ，则点 D（x，2x+6） ， 则 FEEDcosDEF（x22x+32x6） 5 5 = 5 5 （x24x3） ， 5 5 0，故 EF 有最大值，此时 x2，故点 D（2，2） ； 点 C（1，0）关于 y 轴的对称点为点 B（1，0） ，连接 BD 交 y 轴于点 P，则点 P 为 所求点， PD+PCPD+PBDB 为最小， 则 BD= (1 + 2)2+ (0 2)2= 13； 过点 O 作直线 OK，使
39、 sinNOK= 1 4，过点 D 作 DKOK 于点 K，交 y 轴于点 Q，则 点 Q 为所求点， 第 25 页（共 25 页） DQ+ 1 4OQDQ+QKDK 为最小值， 则直线 OK 的表达式为：y= 15x， DKOK，故设直线 DK 的表达式为：y= 1 15x+b， 将点 D 的坐标代入上式并解得：b2 2 15， 则直线 DK 的表达式为：y= 1 15x+2 2 15， 故点 Q（0，2 2 15） ， 由直线 KD 的表达式知， QD 与 x 负半轴的夹角 （设为 ） 的正切值为 1 15 ， 则 cos= 15 4 ， 则 DQ= = 2 15 4 = 8 15，而 1 4OQ= 1 4（2 2 15） ， 则 DQ+ 1 4OQ 为最小值= 8 15 + 1 4（2 2 15）= 15+1 2
