1、 1 导数的概念导数的概念 2 求导法则求导法则 3 参变量函数的导数参变量函数的导数 4 高阶导数高阶导数 5 微分微分1 导数的概念一一 问题的提出问题的提出1.直线运动的速度问题直线运动的速度问题,)(0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求数数为为设设动动点点于于时时刻刻的的位位置置函函ttfs 0t如图如图,0tt 的时刻的时刻取一邻近于取一邻近于,t 运运动动时时间间tsv 平均速度平均速度0000)()(tttftfttss ,0时时当当tt 取极限得取极限得tt00)()(lim0tttftfVtt 瞬时速度瞬时速度2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限播放播放MNT割
2、线割线MN绕点绕点M旋旋转而趋向转而趋向极限位置极限位置MT,直线直线MT就称就称为曲线为曲线C在点在点M处处的切线的切线.2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN2.切线问题
3、切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN割线割线MN绕点绕点M旋旋转而趋向转而趋向极限位置极限位置MT,直线直线MT就称就称为曲线为曲线C在点在点M处处的切线的切线.T0 xxoxy)(xfy CNM).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 二二 导数的定义导数的定义,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxx
4、fyyxxxxxxxfy 记记为为处处的的导导数数在在点点数数并并称称这这个个极极限限为为函函处处可可导导在在点点则则称称函函数数时时的的极极限限存存在在之之比比当当与与如如果果得得增增量量取取相相应应地地函函数数时时仍仍在在该该邻邻域域内内点点处处取取得得增增量量在在当当自自变变量量有有定定义义的的某某个个邻邻域域内内在在点点设设函函数数1.定义定义.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 导数定义其它常见形式：导数定义其它常见形式：.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000)(,00 xfdxdyxx 即即.,0慢慢
5、程程度度而而变变化化的的快快因因变变量量随随自自变变量量的的变变化化反反映映了了它它处处的的变变化化率率点点导导数数是是因因变变量量在在点点 x.)(,)(内可导内可导在开区间在开区间就称函数就称函数处都可导处都可导内的每点内的每点在开区间在开区间如果函数如果函数IxfIxfy 1）注注12 导函数导函数.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记作记作的导函数的导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即很明显很明显.)()(00 xxxfxf 2）如果如果
6、)(xf在开区间在开区间 ba,内可导，且内可导，且)(af 及及)(bf 都存在，就说都存在，就说)(xf在闭区间在闭区间 ba,上可导上可导.3）右导数右导数:3 单侧导数单侧导数左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 判断函数在某一点可导的充分必要条件：判断函数在某一点可导的充分必要条件：)()()(000 xfxfxxf 点点可可导导在在函函数数例例.0)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy xyo,)0()0(h
7、hhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim,1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim.1 ),0()0(ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy三三 由定义求导数举例由定义求导数举例步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim.0 常数的导数是零。常数的导数是零。即即 .0)(C例例2 2.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数n
8、xyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0!2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1为常数为常数 xx)()(21 xx例如例如,12121 x.21x)()1(1 xx11)1(x.12x 例例3 3)(sin,sin)(xxxf求求若若函函数数解解hxhxxxfhsin)sin(lim)(sin)(0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x xxcos)(sin 故故xxsin)(cos 同同样样地地，例例4 4.)1,0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(
9、haahhx1lim0 .lnaax xxee )(特别地，特别地，.lnaax)(xa例例5 5.)1,0(log的的导导数数求求函函数数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa xx1)(ln 特别地，特别地，四 导数的意义oxy)(xfy T0 xM1 几何意义几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).
10、)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 四、导数几何意义的应用 1、根据导数的几何意义，可以得到曲线 在定点 处的切线方程为：)(xfy),(000yxM)(000 xxxfyy 2、如果 ，则法线的斜率为 ，从而点 处法线方程为：0)(0 xf)(10 xf)()(1000 xxxfyy0M 例6 求曲线 在点（4，2）处的切线方程和法线方程。xy 解：（1）函数 在x=2处的导数：xy 4xy（2）所求切线的斜率 41切k)4(412xy044 yx即（4）法线的斜率 ，故所求的法线方程为：41切法kk)4(42xy0184yx即 （3）由直线的点斜式方程可得曲线的切线
11、方程为：41214xx 例7 曲线 上哪些点处的切线与直线 平行？23xy 13 xy解：由导数的几何意义可知，曲线 在点 处的 切线的斜率为：23xy),(00yxM)(2300 xyxx 而直线 的斜率为 13 xy3k3230 x解此方程，得 40 x将 代入曲线方程 ，得 。40 x23xy80y根据两直线平行的条件有所以，曲线 在点 处的切线与直线 平行。23xy)8,4(M13 xy02102323xx u 练习 求曲线 在点（1，1）处的切线方程和法线方程3xy 解：1xy3切k所以，切线方程为：)1(31xy 法线方程为：)1(311xy即023 yx即043 yx3312xx
12、即切线的斜率为：例例8 8.,)4,2(2方方程程和和法法线线方方程程并并写写出出在在该该点点处处的的切切线线斜斜率率处处的的切切线线的的在在点点求求曲曲线线xy 解解根据导数的几何意义根据导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为2 xyk所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),2(44 xy),4(414 xy.044 yx即即.0174 yx即即xxy2)(2 42 xyk2 简单的物理意义简单的物理意义1 1）变速直线运动中）变速直线运动中路程对时间的导数为物路程对时间的导数为物体的瞬时速度体的瞬时速度.lim)(0dtdststvt 2 2）交流电路中）交流电路中电量对时间
13、的导数为电流强电量对时间的导数为电流强度度.lim)(0dtdqtqtit 3 3）非均匀物体中）非均匀物体中质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的的导数为物体的线导数为物体的线(面面,体体)密度密度.lim)(0dPdmPmPP 五五 可导与连续的关系可导与连续的关系结论：结论：可导的函数一定是连续的。可导的函数一定是连续的。证证,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0.)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x 比如比如处处连连续续但但不不可可导导在在函函数数0)(xxxf
14、解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim,1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim.1 ),0()0(ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy注意注意:反之不成立反之不成立.即连续不一定可导。即连续不一定可导。六 小结与思考判断题1.导数的概念与实质导数的概念与实质:增量比的极限增量比的极限;2.axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义:5.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;4.由定义求导数由定义求导数.思考判断题思考判断题1、初
15、等函数在其定义区间内必可导、初等函数在其定义区间内必可导2、初等函数的导数仍是初等函数、初等函数的导数仍是初等函数一一定定存存在在。处处有有切切线线，则则在在（曲曲线线、)()(,)(3000 xfxfxxfy 六、练习六、练习1、利用幂函数的求导公式，求下列函数的导数、利用幂函数的求导公式，求下列函数的导数8.018.18.18.1)1(xxy解：41333)2(xxy2312121212121)()1()3(xxxxy491413413413413413413)()()()4(xxxxxxy81)1(xy3)2(xyxy1)3(43)4(xxy2、熟记以下导数公式：、熟记以下导数公式：（1
16、）（C)=0（2）1)(xx(3)xxcos)(sin（4）xxsin)(cosaxxaln1)(logxx1)(ln（5）八、作业八、作业 P94:1、3、4、5、6、7.2 求导法则求导法则一一 和、差、积、商的求导法则和、差、积、商的求导法则定理定理2并且并且处也可导处也可导们的和在点们的和在点则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(),(xxxvxu);()()()(xvxuxvxu 并且并且处也可导处也可导们的差在点们的差在点则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(),(xxxvxu);()()()(xvxuxvxu 定理定理1证证(1)(1)()()(xvxux
17、f 设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 (2)(2)略略.hxvhxvxuhxuh)()()()(lim0 )()(xvxu 推论推论)()()()()()()1(2121xfxfxfxfxfxfmm 例例1 1.ln23的的导导数数求求xxxy 解解xxxy1232定理定理3并且并且处也可导处也可导们的积在点们的积在点则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(),(xxxvxu);()()()()()(xvxuxvxuxvxu 推论推论);()()2(xfCxCf wuvwvuvwuuvw )3(注意注意:);()()()(x
18、vxuxvxu 例例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx 并并且且处处也也可可导导在在点点分分母母不不为为零零们们的的商商则则它它处处可可导导在在点点如如果果函函数数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()(2 xvxvxvxuxvxuxvxu定理定理4证证),0)(,)()()(xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvx
19、uhxvhxuh)()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf注意注意:.)()()()(xvxuxvxu 例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 同理可得同理可得xxy2sec)(tan xxy2csc)(cot 例例4 4.
20、sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin 同理可得同理可得例例5 5).(,0,0,sin)(xfxxxxxf 求求设设分段函数分段函数求导时求导时,分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.xxxycotcsc)(csc 解解,1)(xf,0时时当当 x,0时时当当 xxxfcos)(,0时时当当 x10)0sin(lim)0(0 hhfh10lim)0(0 hhfh.1)0(f.0,10,cos)(xxxxf二二 反函数的导数反函数的导数.)(1)(,)(,0)()(xxfIxfyyIyxxy 且有且有
21、内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数证证,xIx 任取任取xx 以以增增量量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy ,0 y),0(xIxxx 法则法则于是有于是有,1yxxy ,)(连连续续因因为为xf0,0yx必必有有时时所所以以当当)0)(yxyxfx0lim)(故故yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即即是即是反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例例1 1.arcsinsin的的导导数数为为直直接接函函数数，求求设设函函数数xyyx 解解,)2,2
22、(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx,0cos)(sin yy且且内内有有在在所所以以)1,1(xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 同理可得同理可得211x 211)(arccosxx 例例2 2.arctantan的的导导数数为为直直接接函函数数，求求设设函函数数xyyx 解解,)2,2(tan内单调、可导内单调、可导在在 yIyx,0sec)(tan2 yy且且内内有有在在所所以以),(xI)(tan1)(arctan yxy2sec1 y2tan11 同理可得同理可得211x 211)cot(xxarc 例例3 3,0ln)(aaayy且且,),0
23、(内有内有在在故故 xI)(1)(log yaaxaayln1.ln1ax 解解,),(内内单单调调、可可导导在在 yyIax特别地特别地.1)(lnxx .log 的导数的导数为直接函数，求为直接函数，求设函数设函数xayyax 三 复合函数的求导法则链式法则链式法则（Chain Rules)：).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数证明证明,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu 所以所以)0lim()(00
24、uufuy故故uuufy )(0则则xyx0lim故故)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 注注1：链式求导法则，即：链式求导法则，即因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自乘以中间变量对自变量求导变量求导.注注2),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例4 4.tanln的的导导数数求求函函数数xy 解解.tan,lnxuuy dxdududydxdy xu2sec1 xxcos
25、sin1 例例5 5.)cos(ln的导数的导数求函数求函数xey 解解xevvuuy ,cos,lndxdvdvdududydxdy )tan()sin(1xxxeeevu 注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以这样写：这样写：)cos()cos(1)cos(ln xxxeeedxdy)tan()()cos()sin(xxxxxeeeee 例例6 6.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy练习：练习：.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xe
26、xx 例例7 求求 的导数。的导数。)42tan(lnxy解：解：设设 42,tan,lnxvvuuy由由 得得)()()(xvufy)42()(tan)(ln xvuy21)42(cos1)42tan(12xx.sec)2sin(1)42cos()42sin(21xxxx21cos112vu 熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，由外及里、逐层求导。由外及里、逐层求导。例例8 求求 的导数的导数5)23(xy解：解：y=(3x+2)5=5(3x+2)4(3x+2)=5(3x+2)4(3+0)=15(3x+2)4 例例9 求求 的导数的导数
27、xy2cos解：解：y=(cosx)2=2cosx(cosx)=2cosx(-sinx)x2sin 例例10 求求 的导数的导数 32sin xy y=sin(x3)2=2sin(x3)sin(x3)=2sin(x3)cos(x3)(x3)=2sin(x3)cos(x3)3x2=6x2sin(x3)cos(x3)例例11 求求 的导数的导数xy4sinlny=lnsin(4x)=sin(4x)x4sin1=cos(4x)(4x)x4sin1x4sin4=cos(4x)x4cot4 例例12 求求 的导数的导数2cotxy 解：解：)2(cot)2(cot21)2cot(21xxxy)2(2si
28、n12cot1212xxx2cot12sin1412xx2sin42tan2xx练习练习 求下列函数的导数求下列函数的导数 1.xey3解：解：xxxexeey3333)3()(2.)cos(3xy 解：解：)(sin)(cos333xxxy32sin3xxxey1sin)1(sin1sinxeyx)1(1cos1sinxxexxxex1cos)1(21sinxexx1cos11sin2 3.解：解：4.32ln1xy)ln1()ln1(3121312xxy解：)(ln1)ln1(312322xx)(lnln20)ln1(31322xxxxxxln12)ln1(31322xxxln)ln1(3
29、2322 例例13 求下列函数的导数求下列函数的导数综合运用求导法则求导综合运用求导法则求导xexy22sin).1()2(sin2xexy解：)()2(sin2xex)2()2(2cos2xexxxxex222cos233)(lnln).2(xxy)(ln)(ln33xxy解：)(ln)(ln3)(1233xxxxxxxx1)(ln331223)(ln1 3)(ln3322xxxxx 例例14 求下列函数的导数求下列函数的导数321)45(xxy解：解：y312)1()45(xx)1)(45(312xx)1()1(31)45()1(1032231xxxx.)1(1)45(311103223x
30、xxx（1）42)sin(xxy解：)sin()sin(4232xxxxy)(sin)sin(4232xxxx)(sinsin21)sin(432xxxx)cossin21()sin(432xxxx)2sin1()sin(432xxx（2）l 先化简再运用导数法则求导先化简再运用导数法则求导 例例15 求下列函数的导数求下列函数的导数 112xxy解解：先将已知函数分母有理化，先将已知函数分母有理化，得得)1)(1(1222xxxxxxy12xxy)1(121122xx112xx（1）xxycos1sin2解：因为xxycos1sin2xxxcos1cos1cos12 所以xysin11lnx
31、xy解：因为11lnxxy)1ln()1ln(21xx所以 y211)1111(21xxx（2）（3）练习练习 求下列函数的导数求下列函数的导数xeyx3sin.1221.2xxeey)3(sin3sin)(22xexeyxx解：)3(3cos3sin)2(22xxexxexxxexexx3cos33sin222）（）（解：21xxeey)(1212xexexx）（22121xxxexe22112xxxeexxxy2cos12sin.4xxxxxxycotsincossin211cossin22解：)(cotxyx2csc1)1(.32xxy)1)(1(1)1(22xxxxy解：12 x)1(
32、)1(21)1(2212xxx12 xxxx2)1)(1(212121)1(122xxxx11222xxx四、双曲函数与反双曲函数的导数四、双曲函数与反双曲函数的导数chxshx )(shxchx )(xchthx21)(211)(xarthx 211)(xarshx 11)(2 xarchx)11(1122xxxx 211x )1ln(sinh2xxx ar221)1()sinh(xxxxx ar只证明其中一个公式只证明其中一个公式例例1616.)arctan(的的导导数数求求函函数数shxy 解解)(112 shxxshychxxsh 211xshchx21 xxxxxxxCtansec)
33、(secsec)(tancos)(sin0)(2 1 常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)(xxeexx1)(ln)(五五 小结小结2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1）vuvu )(,（2）uccu )(（3）vuvuuv )(,（4）)0()(2 vvvuvuvu.(是
34、常数是常数)C 3 复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.(1)、复合函数求导的关键，在于首先把、复合函数求导的关键，在于首先把复合函数分解成复合函数分解成初等函数或基本初等函数的和、差、积、商初等函数或基本初等函数的和、差、积、商，然后运用，然后运用复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算。求导复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算。求导之后应该把引进的中间变量代换成原来的
35、自变量。之后应该把引进的中间变量代换成原来的自变量。(2)、熟悉了复合函数的求导法则后，可不写出中间变量，熟悉了复合函数的求导法则后，可不写出中间变量，直接直接由外及里、逐层处理复合关系由外及里、逐层处理复合关系进行求导。进行求导。(3)、有些函数可先化简再求导。、有些函数可先化简再求导。u 作业作业 p102 2：(1)(12)3:(1)(26)六六 思考判断题思考判断题1 幂函数在其定义域内一定可导。幂函数在其定义域内一定可导。2 任何初等函数的导数都可以按常数和基本任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出初等函数的求导公式和上述求导法则求出.3 3 初等函
36、数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.)()()()(4000点可导点可导在在则则点不可导，点不可导，在在点可导，点可导，在在、若、若xxgxfxxgxxf.)()()()(5000点不可导点不可导在在则则点不可导，点不可导，在在点可导，点可导，在在、若、若xxgxfxxgxxf.)()()()(6000点不可导点不可导在在则则点不可导，点不可导，在在点不可导，点不可导，在在、若、若xxgxfxxgxxf 3 参变量函数的导数参变量函数的导数 由参数方程所确定的函数的导由参数方程所确定的函数的导数数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函
37、数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx xy2 消参数法消参数法 消参困难或无法消参的求导可用复合函数消参困难或无法消参的求导可用复合函数 求导方法求导方法1 由参数方程确定的函数的定义由参数方程确定的函数的定义2 由参数方程所确定的函数的求导数的方法由参数方程所确定的函数的求导数的方法2xy 例如例如 t ttyt tx2114),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy ,0)(,)(),(ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1
38、)()(tt ,)()(中中在方程在方程 tytxdtdxdtdydxdy 故故,)()(二阶可导二阶可导同样得到函数同样得到函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()()(1)()()()()(2tttttt )()()()()(322tttttdxyd 故故例例1 1解解:先求运动的方向先求运动的方向。的运动方向和速度大小的运动方向和速度大小抛射体在时刻抛射体在时刻求求设抛射体的运动方程为设抛射体的运动方程为tgttvytvx ,21,221xyovxvyv0v.,可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映轨道的切线方向轨道的切线方向时刻的运动方向，即时刻的运动方
39、向，即在在t)()21(tan122 tvgttvdxdy 12vgtv 水水平平分分速速度度为为1vdtdxvx gtvdtdyvy 2时刻抛射体的速度为时刻抛射体的速度为故在故在t22yxvvv 2221)(gtvv ，则则设设切切线线的的倾倾角角为为 再求速度的大小再求速度的大小铅铅直直分分速速度度为为例例2 2解解dtdxdtdydxdy tatbcossin abdxdyt 4.方方程程处的切线处的切线在在求椭圆求椭圆4sincos ttbytax.22,22,4byaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)22(22axabby abbxay2 即即例例3 3 解解.arct
40、an)1ln(2表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 ttytxdtdxdtdydxdy tttt211211122 )(22dxdydxddxyd tttt41122122 相关变化率问题相关变化率问题.,)()(变变化化率率称称为为相相关关变变化化率率这这样样两两个个相相互互依依赖赖的的之之间间也也存存在在一一定定关关系系与与从从而而它它们们的的变变化化率率之之间间存存在在某某种种关关系系与与而而变变量量都都是是可可导导函函数数及及设设定定义义：相相关关变变化化率率dtdydtdxyxtyytxx 相关变化率解决的问题相关变化率解决的问题:已知其中一个变化率时求出另一个
41、变化率已知其中一个变化率时求出另一个变化率例例4 4解解?,500./140,500率是多少率是多少观察员视线的仰角增加观察员视线的仰角增加米时米时当气球高度为当气球高度为秒秒米米其速率为其速率为上升上升米处离地面铅直米处离地面铅直一汽球从离开观察员一汽球从离开观察员则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线其高度为其高度为秒后秒后设气球上升设气球上升,ht500tanh 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米时米时当当h)/(14.0分分弧度弧度 dtd 米米500米米500例例5 5解解大大速速率率。厘厘米米时时
42、，气气体体体体积积的的增增求求在在半半径径为为秒秒的的速速度度增增大大，厘厘米米已已知知一一气气球球半半径径以以 10/103334rVVr，则则，体体积积为为设设气气球球的的半半径径为为dtdrrdtdv24 于是有于是有240,10rdtdVscmdtdr 则则已知已知scmdtdVcmr324000104010 时，时，当当 小结与思考判断题小结与思考判断题隐函数求导方法隐函数求导方法:直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法:对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐函数的求导法则求导导法则求导;参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则实质上是利
43、用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的变化率变化率;由其中一个变化率时求出另一个变化率由其中一个变化率时求出另一个变化率思考题思考题1,2,2222 tdxydtttdxdytytx设设下面的计算是否正确下面的计算是否正确4 高阶导数高阶导数一 问题的提出(Introduction)变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度问题问题 ),(tss 设设dtdststv )()(则速度为则速度为的的变变化化率率对对时时间间是是速速度度而而加加速速度度tva).()()()(tststvta 故故 即加速度是位移对时间的导数的导数。即加
44、速度是位移对时间的导数的导数。二 高阶导数的定义.)()(,)()(处处的的二二阶阶导导数数在在点点为为函函数数则则称称处处可可导导在在点点的的导导数数如如果果函函数数xxfxfxxfxf 记作记作2222)(),(,dxxfddxydxfy或或 )()(22dxdydxddxydyy 或或即即类似地，类似地，二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,记作记作3333)(),(,dxxfddxydxfy或或 记作记作阶导数阶导数的的函数函数阶导数的导数称为阶导数的导数称为的的函数函数一般地一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或
45、三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(称为一阶导数称为一阶导数称为零阶导数称为零阶导数xfxf 高阶导数的定义高阶导数的定义三 高阶导数的求法例例1 1.,arctanyyxy 求求设设解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 1 1 直接法直接法求高阶导数就是多次接连地求导数求高阶导数就是多次接连地求导数.例例2 2ybaxy 求求设设,0,yay例例3 3.阶阶导导数数公公式式求求幂幂函函数数的的 n解解1 xy)(1 xy2)1(x3)
46、2)(1(x)1(2 xy)1()1()1()(nxnynn则则若若,n)()()(nnnxy,!n)!()1(nyn.0)(Rxy 设设例例4 4.),1ln()(nyxy求求设设 解解xy 112)1(1xy 3)1(!2xy 4)4()1(!3xy )1!0,1()1()!1()1(1)(nxnynnn2 数学归纳法证明高阶导数数学归纳法证明高阶导数例例5 5.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin(x)2cos(xy)22sin(x)22sin(x)22cos(xy)23sin(x)2sin()(nxyn)2cos()(cos)(nxxn同理可得同理可得3 高阶导数的
47、运算法则高阶导数的运算法则则则阶导数阶导数具有具有和和设函数设函数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 公式（公式（3）称为）称为莱布尼兹公式莱布尼兹公式例例6 6.,)20(22yexyx求求设设 解解则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,22xveux 0)()(!2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20(xexexeyxxx22!2192022202218219
48、2220 xxxexexe)9520(22220 xxex3 3 间接法间接法几个初等函数的高阶导数几个初等函数的高阶导数nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)()2sin()(sin)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkxnn)0(ln)()1()(aaaanxnxxnxee)()(利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过四则通过四则1)(!)1()1(nnnxnx运算运算,变量代换等方法变量代换等方法,求出求出n阶导数阶导数.例例7 7.,11)50(2yxy求求设设 解解)1111(21112 xxxy)
49、1(!50)1(!50215151)50(xxy四四 小结与思考判断题小结与思考判断题高阶导数的定义高阶导数的定义;高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则;n阶导数的求法阶导数的求法;几个初等函数的高阶导数几个初等函数的高阶导数.思考判断题思考判断题322)(,1yydyxdydydx 则则设设5 微分微分一 问题的提出20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到如果边长由如果边长由则则正正方方形形面面积积改改变变量量为为2020)(xxxA .)(220 xxx )()(;,的的主主要要部部分分为为的的线线性性函函数数Ax.,很小时可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷小xx :)(
50、:)(x x 2)(x xx 0 xx 01 1 面积问题面积问题 设有一边长为设有一边长为 的正方形的正方形0 x2 自由落体问题自由落体问题202021)(21gtttgs 20)(21tgtgt ,很很小小时时当当 t),()(212tottg的的高高阶阶无无穷穷小小是是221 gts 动动方方程程为为当当质质点点自自由由下下落落时时，运运时刻经过的路程为时刻经过的路程为时刻到时刻到质点从质点从ttt 00tgts0 所以所以二二 微分的定义微分的定义1 定义定义.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxf
