1、公众号：有一点数学 1 最值系列之将军饮马 一、什么是将军饮马？ 【问题引入】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀古从军行里的一句诗。而由 此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 【问题描述】 如图，将军在图中点 A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能 使得路程最短？ A B 将军 军营 河 【问题简化】 如图，在直线上找一点 P 使得 PA+PB 最小？ P B A 【问题分析】 这个问题的难点在于 PA+PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我 们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等
2、，所以此处，需转化问 题，将折线段变为直线段 【问题解决】 作点 A 关于直线的对称点 A，连接 PA，则 PA=PA，所以 PA+PB=PA+PB A A B P 公众号：有一点数学 2 当 A、P、B 三点共线的时候，PA+PB=AB，此时为最小值（两点之间线段最短） 折点 端点 A P B A 【思路概述】 作端点（点 A 或点 B）关于折点（上图 P 点）所在直线的对称，化折线段为直线段 公众号：有一点数学 3 二、将军饮马模型系列 【一定两动之点点】 在 OA、OB 上分别取点 M、N，使得PMN 周长最小 M N P P N M B A P O O P A B 此处 M、N 均为折
3、点，分别作点 P 关于 OA（折点 M 所在直线） 、OB（折点 N 所在直线）的 对称点，化折线段 PM+MN+NP 为 PM+MN+NP，当 P、M、N、P共线时，PMN 周长 最小 【例题】如图，点 P 是AOB 内任意一点，AOB=30 ，OP=8，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，则PMN 周长的最小值为_ P O B A M N 【分析】PMN 周长即 PM+PN+MN 的最小值，此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OB、 OA 对称点 P、P，化 PM+PN+MN 为 PN+MN+PM P P N M A B O P 当 P、N、M、P共线时，得
4、PMN 周长的最小值，即线段 PP长，连接 OP、OP，可 得OPP为等边三角形，所以 PP=OP=OP=8 P O B A M N P P 公众号：有一点数学 4 【两定两动之点点】 在 OA、OB 上分别取点 M、N 使得四边形 PMNQ 的周长最小。 Q P M N B A P O QQ O P A B N M 考虑 PQ 是条定线段，故只需考虑 PM+MN+NQ 最小值即可，类似，分别作点 P、Q 关于 OA、OB 对称，化折线段 PM+MN+NQ 为 PM+MN+NQ，当 P、M、N、Q共线时，四边形 PMNQ 的周长最小。 【一定两动之点线】 在 OA、OB 上分别取 M、N 使得
5、 PM+MN 最小。 P M N B A P OO P A B N M 此处 M 点为折点，作点 P 关于 OA 对称的点 P，将折线段 PM+MN 转化为 PM+MN，即过 点 P作 OB 垂线分别交 OA、OB 于点 M、N，得 PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线 段最短） 公众号：有一点数学 5 三、几何图形中的将军饮马 【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】 1正方形中的将军饮马 【关于对角线对称】 如图， 正方形 ABCD 的边长是 4， M 在 DC 上， 且 DM=1， N 是 AC 边上的一动点， 则DMN 周长的最小值是_ N M D C B A 【分析】
6、考虑 DM 为定值，故求DMN 周长最小值即求 DN+MN 最小值 点 N 为折点， 作点 D 关于 AC 的对称点，即点 B，连接 BN 交 AC 于点 N，此时DMN 周长最小 N A B C D M 【假装不存在的正方形】 （2019山东聊城）如图，在 RtABO 中，OBA=90 ，A（4,4） ，点 C 在边 AB 上， 且 AC:CB=1:3，点 D 为 OB 的中点，点 P 为边 OA 上的动点，当点 P 在 OA 上移动时，使四 边形 PDBC 周长最小的点 P 的坐标为( ) y x P OD C B A A(2,2) B 5 ( 2 ， 5) 2 C 8 (3， 8) 3
7、D(3,3) 公众号：有一点数学 6 【分析】此处点 P 为折点，可以作点 D 关于折点 P 所在直线 OA 的对称： D A B C DO P x y 也可以作点 C 的对称： C A B C DO P x y 【隐身的正方形】 （2017 辽宁营口） 如图， 在ABC 中， AC=BC， ACB=90 ， 点 D 在 BC 上， BD=3， DC=1， 点 P 是 AB 上的动点，则 PC+PD 的最小值为( ) P D C B A A4 B5 C6 D7 【分析】作点 C 关于 P 点所在直线 AB 的对称点 C，当 C、P、D 共线时，PC+PD 最小， 最小值为 5，故选 B C P
8、 D C B A 公众号：有一点数学 7 2三角形中的将军饮马 【等边系列】 如图，在等边ABC 中，AB=6， N 为 AB 上一点且 BN=2AN， BC 的高线 AD 交 BC 于点 D， M 是 AD 上的动点，连结 BM，MN，则 BM+MN 的最小值是_ A BC D M N 【分析】M 点为折点，作 B 点关于 AD 的对称点，即 C 点，连接 CN，即为所求的最小值 A BC D M N 过点 C 作 AB 垂线，利用勾股定理求得 CN 的长为 2 倍根号 7 H N M D CB A 【隐身的等边三角形】 如图，在 RtABD 中，AB=6，BAD=30 ，D=90 ，N 为
9、 AB 上一点且 BN=2AN， M 是 AD 上的动点，连结 BM，MN，则 BM+MN 的最小值是_ N M D B A 公众号：有一点数学 8 【分析】对称点并不一定总是在已知图形上 A BC D M N 【角分线系列之点点】 （2018山东潍坊）如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，AC=6AB=12，AD 平分CAB， 点 F 是 AC 的中点，点 E 是 AD 上的动点，则 CE+EF 的最小值为( ) E A F CD B A3 B4 C3 3 D2 3 【分析】此处 E 点为折点，可作点 C 关于 AD 的对称，对称点 C在 AB 上且在 AB 中点，化 折线段 CE+EF
10、 为 CE+EF，当 C、E、F 共线时得最小值，CF 为 CB 的一半，故选 C C A F E C D B 公众号：有一点数学 9 【角分线系列之点线】 （2018辽宁营口）如图，在锐角三角形 ABC 中，BC=4，ABC=60 ， BD 平分ABC， 交 AC 于点 D，M、N 分别是 BD，BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是( ) N M D C B A A3 B2 C2 3 D4 【分析】此处 M 点为折点，作点 N 关于 BD 的对称点，恰好在 AB 上，化折线 CM+MN 为 CM+MN N A B C D M N 因为 M、N 皆为动点，所以过点 C 作 AB 的垂线，
11、可得最小值，选 C N M D C B A N 公众号：有一点数学 10 3矩形、菱形中的将军饮马 【菱形高】 （2018 广西贵港）如图，在菱形 ABCD 中，AC=6 2，BD=6，E 是 BC 的中点，P、M 分别 是 AC、AB 上的动点，连接 PE、PM，则 PE+PM 的最小值是( ) A6 B3 3 C2 6 D4.5 【分析】此处 P 为折点，作点 M 关于 AC 的对称点 M，恰好在 AD 上，化折线 EP+PM 为 EP+PM M E P D C B A M 当 E、P、M共线时，EP+PM 最小，最小值即为菱形的高，可用面积法：AC BD/2=BC EM M M A B
12、C P E E P D C B A M 公众号：有一点数学 11 【折点在边上】 （2017 山东菏泽）如图，矩形 ABOC 的顶点 A 的坐标为（-4,5） ，D 是 OB 的中点，E 是 OC 上的一点，当ADE 的周长最小时，点 E 的坐标是( ) E O D C B A x y A 4 (0, ) 3 B 5 (0, ) 3 C(0,2) D 10 (0,) 3 【分析】点 E 为折点，E 是 y 轴上一点，作点 D 关于 y 轴的对称点 D，连接 AD，与 y 轴交 点即为所求 E 点 D E OD C B A x y 【折点与面积】 （2019 西藏）如图，在矩形 ABCD 中，A
13、B=6，AD=3，动点 P 满足 1 3 PABABCD SS 矩形 ，则点 P 到 A、B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为( ) DC B A P A2 13 B2 10 C3 5 D41 【分析】由 1 3 PABABCD SS 矩形 可作出 P 点轨迹为直线 MN（AM=BN=2） ，作点 B 关于 MN 的 对称点 B，化折线 PA+PB 为 PA+PB 公众号：有一点数学 12 B MN D C B A P 当 A、P、B共线时，取到最小值，选 A 6 4 P A B C D NM B 【全等与对称】 （2017 江苏南通）如图，矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5，点 E
14、、F、G、H 分别在矩形 ABCD 各边上，且 AE=CG，BF=DH，则四边形 EFGH 周长的最小值为( ) H F G E DC BA A5 5 B10 5 C10 3 D15 3 【分析】考虑到四边形 EFGH 是平行四边形，即求 EH+EF 最小值，此处 E 为折点，作 F 关于 AB 对称点 F，则 BF=BF=DH=CM，MF=BC=5，MH=DC=10，HF为 5 倍根号 5， 周长最小值为 10 倍根号 5，故选 B 5 10 F MH F G E DC BA 公众号：有一点数学 13 四、特殊角的对称 【60 角的对称】 （2018 滨州）如图，AOB=60 ，点 P 是A
15、OB 内的定点且 OP=3，若点 M、N 分别是 射线 OA、OB 上异于点 O 的动点，则PMN 周长的最小值是( ) A B M O P N A 3 6 2 B 3 3 2 C6 D3 【分析】此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OB、OA 的对称点 P、P，化PMN 周长 为 PN+NM+MP P P A B M O P N 当 P、N、M、P共线时，得最小值，利用 60 角翻倍得POP=120 ，OP=OP=OP，可 得最小值 3 3 3 120 N P O M B A P P 公众号：有一点数学 14 【30 角的对称】 （2017 湖北随州）如图，AOB 的边 OB 与 x
16、 轴正半轴重合，点 P 是 OA 上的一动点，点 N （3,0）是 OB 上的一定点，点 M 是 ON 的中点，AOB=30 ，要使 PM+PN 最小，则点 P 的坐标为 NM P O B A x y 【分析】 此处点 P 为折点， 作点 M 关于 OA 的对称对称点 M如图所示， 连接 PM， 化 PM+PN 为 PM+PN 30 30 M NM P O B A x y 当 M、P、N 共线时，得最小值，又MON=60 且 ON=2OM，可得OMN=90 ，故 P 点 坐标可求 M y x A B O P N M 30 30 公众号：有一点数学 15 【20 角的对称】 如图，已知正比例函数
17、 y=kx（k0）的图像与 x 轴相交所成的锐角为 70 ，定点 A 的坐标为 （0， 4） ， P 为 y 轴上的一个动点， M、 N 为函数 y=kx （k0） 的图像上的两个动点， 则 AM+MP+PN 的最小值为_ P A M N Ox y 【分析】先考虑 M 为折点，作点 P 关于 OM 对称点 P，化 AM+MP+PN 为 AM+MP+PN P P A M N Ox y 此处 P为折点，作点 N 关于 OP对称点 N，化 AM+MP+PN 为 AM+MP+PN P N y xO N M A P 当 A、M、P、N共线且 ANON时，值最小 M P A Ox y N 公众号：有一点数
18、学 16 最值系列之将军饮马（二） 【将军过桥】 已知将军在图中点 A 处，现要过河去往 B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在 何处能使路程最短？ 河 B军营 A将军 N M 考虑 MN 长度恒定，只要求 AM+NB 最小值即可问题在于 AM、NB 彼此分离，所以首先通 过平移，使 AM 与 NB 连在一起，将 AM 向下平移使得 M、N 重合，此时 A 点落在 A位置 A河 B军营 A将军 N M 问题化为求 AN+NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置 A河 B军营 A将军 N M 【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】 公众号：有一点数学 17 【将
19、军过两个桥】 已知将军在图中点 A 处，现要过两条河去往 B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥 建在何处能使路程最短？ 军营 将军 河 河 Q A B M N P 考虑 PQ、MN 均为定值，所以路程最短等价于 AP+QM+NB 最小，对于这彼此分离的三段， 可以通过平移使其连接到一起 B A Q A B M N P AP 平移至 AQ，NB 平移至 MB，化 AP+QM+NB 为 AQ+QM+MB P N M B A Q A B 当 A、Q、M、B共线时，AQ+QM+MB取到最小值，再依次确定 P、N 位置 公众号：有一点数学 18 【将军遛马】 如图，将军在 A 点处，现在将军要带马
20、去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营， 问怎么走路程最短？ 【问题简化】已知 A、B 两点，MN 长度为定值，求确定 M、N 位置使得 AM+MN+NB 值最 小？ M N 将军 A 军营 B 河 【分析】 考虑 MN 为定值， 故只要 AM+BN 值最小即可 将 AM 平移使 M、 N 重合， AM=AN， 将 AM+BN 转化为 AN+NB A B A NM 构造点 A 关于 MN 的对称点 A，连接 AB，可依次确定 N、M 位置，可得路线 A MN A B A 【例题】如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 B 在原点，点 A、C 在坐标轴上， 点 D 的坐标为（6，4
21、） ，E 为 CD 的中点，点 P、Q 为 BC 边上两个动点，且 PQ=2，要使四 边形 APQE 的周长最小，则点 P 的坐示应为_ E y x B( ) Q A C D O P 公众号：有一点数学 19 【分析】考虑 PQ、AE 为定值，故只要 AP+QE 最小即可，如图，将 AP 平移至 AQ，考虑 AQ+QE 最小值 A P O D C A Q B( ) x y E 作点 A关于 x 轴的对称点 A，连接 AE，与 x 轴交点即为 Q 点，左移 2 个单位即得 P 点 A A A B( )O PQ C E D 【练习】如图，矩形 ABCD 中，AD=2，AB=4，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的 动点，且 EFAC 于点 M，连接 AF、CE，求 AF+CE 的最小值 A BC D E F M 【分析】此题难点在于要得到 AF 与 CE 之间的关系，方能将这两条线段联系到一起过点 E 作 EHCD 交 CD 于 H 点，由相似可得：FH=1 公众号：有一点数学 20 1 H A BC D E F 连接 BH，则 BH=CE F E D CB A H 1 问题转化为 BH+AF 最小值 1 H A BC D E F F D C B A H 1 参考将军遛马的作法，作出图形，得出 AF+BH=AH+BH=AB=5 B A 1 H A B C D F
