新人教A版高中数学必修二《6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》教案+课件.zip

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示(人教 A 版普通高中教科书数学必修第二册第六章)一、教学目标一、教学目标1.借助平面直角坐标系，理解平面向量的正交分解.2.掌握平面向量的坐标表示.二、教学重难点二、教学重难点1.教学重点：对平面向量正交分解及坐标表示的理解.2.教学难点：平面向量的坐标表示.三、教学过程三、教学过程1.复习引入1.复习引入问题 1：问题 1：什么是平面向量基本定理？【答案预设】如果21ee，是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数21，使2211eea。我们把不共线向量21ee，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.【设计意图】引导学生从本质上认识平面向量基本定理的实质就是把向量分解为两个不共线的向量之和.特殊地，21ee，互相垂直时一种特殊分解，会为我们带来方便.例如，在物理中，重力G能分解成12FF ，两个方向的力，12FF ，互相垂直，这就是力的正交分解.引出正交分解的概念，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做正交分解2.问题探究，形成概念2.问题探究，形成概念问题 2：问题 2：我们知道，在平面直角坐标系中，每一点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示.那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢?【预设答案】（1）建立直角坐标系，选 x,y 轴方向上的单位向量ij，作为基底；（2）作平面内的任意一个向量a，以ij，为基底，根据平面向量基本定理，分解向量axiy j；（3）这样，平面内的任一向量a都可由 x，y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作()yax，.其中，x 叫做a在 x 轴上的坐标，y 叫做a在 y 轴上的坐标，()yax，叫做向量a的坐标表示.【设计意图】借助平面直角坐标系，引导学生理解平面向量的正交分解及坐标表示.3.概念深化概念深化思考 1：思考 1：在平面直角坐标系中，向量a的坐标是什么含义？思考 2：思考 2：你能写出向量,0ij ，的坐标表示吗？思考 3：思考 3：实数对“（0，1）”表示什么意思？【活动预设】（1）以 x、y 轴方向上的单位向量为基底，a分解后的系数所对应的实数对(x,y)（2）(1 0)(0 1)0(0 0)ij，.（3）点 A（0，1），区间（0，1），向量a（0，1），如果不作说明则指向不明.【设计意图】引导学生对向量坐标表示概念进行深入理解.4.平面向量坐标与点得坐标的联系平面向量坐标与点得坐标的联系问题问题 3：如图，以 O 为起点作向量OAa ，则a的坐标与点 A 的坐标有何联系？【活动预设】设OAxiy j，则向量OA 的坐标(x，y)就是终点 A 的坐标；反过来，终点 A 的坐标(x，y)也就是向量OA 的坐标.因为OAa，所以终点 A 的坐标(x，y)就是向量a的坐标.所以，如果向量的起点在原点，则终点的坐标就是向量的坐标.这就建立了点的坐标与向量坐标之间的联系.【设计意图】理解平面直角坐标系中，向量的坐标与点的坐标之间的联系.5.初步应用，理解概念5.初步应用，理解概念例例：如图，分别用基底ij，表示向量a b c d ，并求出它们的坐标.【预设的答案】方法 1：由图可知，1223aAAAAij，所以(2 3)a，.同理，323(2)bij ，323(2)cij ，323(2)dij，.方法 2：作=OMaONbOP cOQ d ，易得点 M 的坐标为(2,3),则=(2,3)aOM 因为点 M 与 N 关于 y 轴对称，与点 P 关于原点对称，与 Q 点关于 x 轴对称则 N(-2,3),P(-2,-3),Q(2,-3),同理，3(2)b ，3(2)c，3(2)d，.【设计意图】（1）加深对向量坐标表示的理解；（2）向量坐标与点坐标联系的应用.5.归纳小结5.归纳小结思考：思考：1.你对平面向量的坐标表示如何理解？2.平面向量的坐标与点的坐标有什么联系？【设计意图】总结本节课学习的重点内容.四、课外作业四、课外作业1.设ij，是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若OA 4+2ij，OB 3+4ij，则 2OA OB 的坐标是()A(1,2)B(7,6)C(5,0)D(11,8)2.设ij，是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，且 A(2,3)，B(4,2)，则AB 可以表示为()A2+3ij B4+2ij C2ij D2+ij【预设答案】1.D 2.C【设计意图】巩固本节课学习的重点内容.6.3.26.3.2平面向量的平面向量的正交分解正交分解及坐标表示及坐标表示一、复一、复习引入引入问题问题1:1:什么是平面向量基本定理？给定平面内两个不共线的向量 ，对于这个平面内任一向量 ，有且只有一对实数 ，使得 .平面内任一向量 均可分解为同平面内两个不共线向量 的和向量.特别地，不共线的向量 相互垂直是一种重要情形.例如：重力G可以分解为两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力F1 垂直于斜面的压力F2把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做正交分解正交分解二、正交分解及坐二、正交分解及坐标表示表示问题问题2:2:如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为 ,对平面内任意一个向量 ,有且只有一对实数x,y,使得 .给定向量 可由实数x,y唯一确定，把有序数对(x,y)叫做 的坐标，记作 =(x,y).如图，在平面直角坐标系中，其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标.xyOi j a 思考思考3 3：实实数对数对“（0 0，1 1）”表示什么意思？表示什么意思？点A（0，1）,区间（0，1）,如果不作说明则指向不明思考思考2 2：你能写出向量你能写出向量 的坐标表示吗？的坐标表示吗？思考思考1 1：在平面直角坐标系中，向量在平面直角坐标系中，向量 的坐标是什么含义的坐标是什么含义？以以x、y轴方向上的单位向量为基底，轴方向上的单位向量为基底，a分解后的系数所对应的实数对分解后的系数所对应的实数对(x,y)i 向量a（0，1）=1i+0j=(1,0)j=0i+1j=(0,1)0=0i+0j=(0,0)三、向量的坐三、向量的坐标与点的坐与点的坐标之之间的的联系系则向量 的坐标(x,y)就是终点A的坐标;如果向量的起点在原点，则终点的坐标就是向量的坐标问题问题3:3:以O为起点作向量 ，则 的坐标与点A的坐标有何联系？设 ，反过来，则终点A的坐标也就是向量 的坐标则终点A的坐标就是向量 的坐标.因为 ，xyOi j a xyA A(x,y)例例1 1：如图，分别用基底如图，分别用基底 表示向量表示向量 ，你能求出它们的坐标吗？，你能求出它们的坐标吗？a=2i+3j=(2,3)b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3).=AA1+AA2同理同理解：解：M易得点易得点M的坐标为的坐标为(2,3),则则 a=(2,3)同理可求同理可求 的坐标的坐标.b，c，d 作作OM=a,ON=b,OP=c,OQ=d,点点M与与N关于关于y轴对称，与点轴对称，与点P关于原点对称，与关于原点对称，与Q点关于点关于x轴对称轴对称则则N(-2,3),P(-2,-3),Q(2,-3),法法2 2：NPQ