1、晶格动力学粒子并非静止不动而是在平衡位粒子并非静止不动而是在平衡位置附近振动，即所谓的晶格振动置附近振动，即所谓的晶格振动原子比热：原子比热：3VBCNk 杜隆珀替定杜隆珀替定律律()VVCCT 电阻率：电阻率：金属的电阻率随温度升高而增大金属的电阻率随温度升高而增大红外吸收与喇漫散射红外吸收与喇漫散射经典理论经典理论温度有关的原子比热正是晶格振动的最直接反映温度有关的原子比热正是晶格振动的最直接反映温度有关的电阻率则是由于晶格振动使得电子运动受到散射温度有关的电阻率则是由于晶格振动使得电子运动受到散射红外吸收与喇漫散射等则是由于光子与声子相互作用的结果红外吸收与喇漫散射等则是由于光子与声子相
2、互作用的结果粒子是运动的，但不能乱动，粒子是运动的，但不能乱动，有一个平衡位置，即在平衡有一个平衡位置，即在平衡位置附近运动位置附近运动振动振动r0=a0fABCD 晶格动力学晶格动力学格点运动及其规律的描述格点运动及其规律的描述 晶格热力学晶格热力学简谐振动简谐振动平衡态平衡态比热物态方程比热物态方程非简谐振动非简谐振动非平衡态非平衡态热膨胀、热传导热膨胀、热传导每个原子都具有相同的质量每个原子都具有相同的质量m，平衡，平衡时原子间距为时原子间距为a，平衡位置时两个相平衡位置时两个相邻原子的相互作用能为邻原子的相互作用能为U(a)由于热运动，各原子离开自身的平衡由于热运动，各原子离开自身的平
3、衡位置，用位置，用xn表示第表示第n个原子离开平衡位个原子离开平衡位置的位移，则第置的位移，则第n个原子和第个原子和第n+1个原个原子的相对位移为子的相对位移为=xn+1-xn2221()()()().2aadUd UU aU adrdrnx1nx2nx1nx2nx 常数常数平衡位置势能极小平衡位置势能极小由一种原子组成的一维无限周期性阵列由一种原子组成的一维无限周期性阵列1.运动方程运动方程相对位移后相互作用势能变成相对位移后相互作用势能变成U(a+)，将将U(a+)在平衡位置附近展开：在平衡位置附近展开：2221()()()2ad UU aU adr 对微小振动，即对微小振动，即 很小时很
4、小时22()adUd Uddr 22()ad Udr 恢复力常数恢复力常数()f 恢复力恢复力xn-1xn+1xnxO11()();nnnf xxx 11()()nnnf xxx 1111()()()()nnnnnnf xf xxxxx 11(2)nnnxxx 第第n个原子的受力：个原子的受力：来自右边原子来自右边原子来自左边原子来自左边原子第第n个原子所受个原子所受到的合作用力到的合作用力22()adUd Uddr 可见在这样的力的作用下粒子在平衡位置可见在这样的力的作用下粒子在平衡位置附近作简谐运动，相应的近似叫简谐近似附近作简谐运动，相应的近似叫简谐近似2112(2),(1,2,.,)n
5、nnnd xmxxxnNdt 第第n个原子的运个原子的运动方程可写成动方程可写成2112(2),(1,2,.,)nnnnd xmxxxnNdt 如果第如果第n个和第个和第n个原子的相位差个原子的相位差为为2 的整数倍，即的整数倍，即qna是第是第n个原子个原子振动的初相位振动的初相位意味着，位相差为意味着，位相差为2 整数倍的原子振动的位移相同整数倍的原子振动的位移相同2.方程的解方程的解对谐振子对谐振子写成复写成复数形式数形式两者比较，可以看到，方程两者比较，可以看到，方程描述的是振幅为描述的是振幅为A、角频率、角频率为为 的简谐振动，其解为：的简谐振动，其解为：可见晶格中各原子间振动相互间
6、均有固定的位相关系可见晶格中各原子间振动相互间均有固定的位相关系2220d xxdt2m解为解为()i qn atnxAe 2()li q natqaAe (2)i qnatlnAex 通过上面的分析可以看到，晶格通过上面的分析可以看到，晶格中各原子间振动相互间均有固定中各原子间振动相互间均有固定的位相关系的位相关系格波波矢格波波矢波速波速(相速相速)格波波长格波波长n是波传播方是波传播方向的单位矢量向的单位矢量3.格波格波意味着：意味着：在晶格中存在着角频率在晶格中存在着角频率为为 的平面波，这种波称为的平面波，这种波称为格波格波（频率为（频率为 的平面波的平面波），是一个），是一个简谐平面
7、波。简谐平面波。代入代入4.色散关系色散关系2112(2),(1,2,.,)nnnnd xmxxxnNdt 得到得到格波的波速与波长有关系，格波的波速与波长有关系，p是是 的函数。的函数。由于波速与波长有关，不由于波速与波长有关，不同频率的波在介质中的传同频率的波在介质中的传播就会不同，发生所谓的播就会不同，发生所谓的。一维布喇菲格子中一维布喇菲格子中格波的色散关系格波的色散关系一维布喇菲格子的振动频谱一维布喇菲格子的振动频谱当当q甚小（甚小（q0)，即波长很长，即波长很长，sin(qa/2)qa/2,波速波速=a(/m)1/2是常数是常数线性关系！线性关系！长波极限情况长波极限情况5、讨论、
8、讨论如果将一维单原子晶格看成连续介质，相应的波为弹性波如果将一维单原子晶格看成连续介质，相应的波为弹性波对弹性波，波速为对弹性波，波速为K为弹性模量为弹性模量 为介质密度为介质密度弹性模量密度弹性模量密度对一维原子链对一维原子链格波和弹性波格波和弹性波的速度相同的速度相同上述的结果可以理解为，在长波上述的结果可以理解为，在长波近似下，一个波长内包含许多原子，如图近似下，一个波长内包含许多原子，如图因此，晶格可以看成是连续介质因此，晶格可以看成是连续介质短波极限情况短波极限情况此时，此时，sin(qa/2)=1，有最大值，有最大值，格波的波长格波的波长即在短波近似下，一个波长内包含三个原即在短波
9、近似下，一个波长内包含三个原子，如图，两个相邻原子的振动位相相反子，如图，两个相邻原子的振动位相相反1)注意到这个关系中没有注意到这个关系中没有n，即所有的原子的运动方程都可，即所有的原子的运动方程都可以导出色散关系，也可以说以导出色散关系，也可以说。2)从方程的解：从方程的解：可以看出一维单原子振动是一种简谐波，称其为可以看出一维单原子振动是一种简谐波，称其为3)色散关系表明了其周期性，即：色散关系表明了其周期性，即：是等价的。为了保证是等价的。为了保证 一一对应，限定：一一对应，限定：关于格波的讨论关于格波的讨论221222212(2)nnnnd xmxxxdt 2222321222(2)
10、nnnnd xMxxxdt 由质量较大由质量较大(M)、质量较小、质量较小(m)的的两种不同原子构成的一维原子链两种不同原子构成的一维原子链1.运动方程运动方程质量为质量为m的原子位于的原子位于2n-3,2n-1,2n+1,2n+3各点各点相邻同种原子间的距离为相邻同种原子间的距离为2a（复式格子的晶格常数）（复式格子的晶格常数）质量为质量为M的原子位于的原子位于2n-2,2n,2n+2,2n+4各点各点类似于单原子的讨论，对每类似于单原子的讨论，对每种原子，可写出其运动方程种原子，可写出其运动方程2、方程的解、方程的解221222212(2)nnnnd xmxxxdt 2222321222(
11、2)nnnnd xMxxxdt 类似于前面的讨论，可以将方程的解写类似于前面的讨论，可以将方程的解写成角频率为成角频率为 的简谐振动的形式，即的简谐振动的形式，即两种原子振动的振幅两种原子振动的振幅一般来说是不同的一般来说是不同的22(2)(2cos)0(2cos)(2)0mAqa Bqa AMB 2222cos02cos2mqaqaM 2221/2()2cos(2)mMmMmMqamM 221222212(2)nnnnd xmxxxdt 2222321222(2)nnnnd xMxxxdt 3、色散关系、色散关系得到得到代入代入A、B非非0解的条件是系解的条件是系数行列式必须为数行列式必须为
12、0，即，即由此得到由此得到两个独立的振动两个独立的振动模式或者格波模式或者格波2221/2()2cos(2)mMmMmMqamM 2221/2()2cos(2)mMmMmMqamM 2qa=0:-取最小值，而取最小值，而 +取最大值取最大值2qa=:-取最大值，取最大值，而而+取最小值取最小值1/21/21/2max2()()()()()mMMmmMM 1/2min2()()m 4.4 4.4 声学波和光学波声学波和光学波minmax,()()Mm 1/2max2()()M 1/2min2()()m 2221/2()2cos(2)mMmMmMqamM 2221/2()2cos(2)mMmMmM
13、qamM 下面通过对频率和振幅的分析下面通过对频率和振幅的分析讨论声学波和光学波的意义讨论声学波和光学波的意义2221/221/22()2cos(2)4()1 1sin()()mMmMmMqamMmMmMqamMmM 224sin()1()mMqamM 在实际的复式格子里：在实际的复式格子里：总是成立的总是成立的21/2222421sin()1sin()()()mMmMqaqamMmM -/2a/2a2221/221/22()2cos(2)4()1 1sin()()mMmMmMqamMmMmMqamMmM 1/22()sin()qamM 类似类似说明由一种原子构成的格子说明由一种原子构成的格子
14、只有声学波！而复式格子中只有声学波！而复式格子中也有一个格波类似。也有一个格波类似。声学波的频率声学波的频率-最大值为最大值为1/22()M；最小值为；最小值为0。221/221/22()()2(1cos(2)4()11sin()()mMmMmMqamMmMmMqamMmM 224sin()1()mMqamM 利用利用2222()1sin()()mMmMqamMmM 当当q0时候时候1/2max2()()mMmM 当当q0时候，声学波时候，声学波0 1/22()sin()qamM （1）声学波的频率）声学波的频率-最大值为最大值为1/22()M；最小值为；最小值为0。q=/2aq=0（2）光学
15、波的频率）光学波的频率+最大值为最大值为1/22()；最小值为；最小值为1/22()m 光学波和声学波的色散关系光学波和声学波的色散关系一维布喇菲格子有一个格波一维布喇菲格子有一个格波一维复式格子有两个格一维复式格子有两个格波：波：声学波和光学波声学波和光学波 22(2)(2cos)0(2cos)(2)0mAqa Bqa AMB 22cos()2AqaBm 0 max2()cos()0()2Mqaqa 22()2cosMABqa 0 min2()cos()0()2mqaqa ()AMBm 2()mMmM 0mAMB 只有一个格波，简正模式的格波只有一个格波，简正模式的格波。有两个格波，光频支格
16、波和声频支格波有两个格波，光频支格波和声频支格波可以用光波来激发可以用光波来激发可以用超声波来激发可以用超声波来激发为了保持波函数的单值性，考虑了波矢的取值范围为了保持波函数的单值性，考虑了波矢的取值范围qaa22qaa4.5 Born-Karman4.5 Born-Karman边界条件边界条件体内原子体内原子边界原子边界原子边界原子边界原子Na考虑由考虑由N个原子构成的一维晶体个原子构成的一维晶体很显然，边界上原子的振动状态不同于体内原子的振动状态很显然，边界上原子的振动状态不同于体内原子的振动状态为了消除边界原子的影响，玻恩卡门作了如下假设：为了消除边界原子的影响，玻恩卡门作了如下假设：在
17、一个长度为在一个长度为Na的有限晶体外仍然有无限多个相同的晶体，的有限晶体外仍然有无限多个相同的晶体，且各块晶体内相对应的原子的运动情况相同且各块晶体内相对应的原子的运动情况相同Na.Na.Na.不同于理想晶体，实不同于理想晶体，实际晶体有边界的存在际晶体有边界的存在Na.Na.Na.因此，第因此，第j个原子和第个原子和第sN+j个原子的运动情况相同个原子的运动情况相同11Nxx 1,2,3,.s 玻恩卡门玻恩卡门边界条件边界条件若将若将q限制在限制在则则l限制在限制在qaa22NNl=Na周期性边界条件也可以采用如下的图像周期性边界条件也可以采用如下的图像212()1nn Nxx 若将若将q
18、限制在限制在则则l限制在限制在22qaa22NNl4.6 4.6 声子声子晶格振动中的简谐振子的能量量子，称为声子晶格振动中的简谐振子的能量量子，称为声子或者或者格波的能量量子称为声子格波的能量量子称为声子q声子的能量或者格波的能量量子声子的能量或者格波的能量量子声子的定义声子的定义光波光波 能量量子能量量子光子光子(photon)格波格波 能量量子能量量子声子声子(phonon)例如：个原子构成的一维布喇菲格子例如：个原子构成的一维布喇菲格子22211111()(2)22nnnnnnnnUxxxxx x 势能函数势能函数通过正则变换，将原来的坐标系变换成正则坐标系，通过正则变换，将原来的坐标
19、系变换成正则坐标系，消除哈米顿量中两两原子坐标的交叉项，从而将晶消除哈米顿量中两两原子坐标的交叉项，从而将晶格振动的总能量表述为独立简单振子能量之和格振动的总能量表述为独立简单振子能量之和4.7 4.7 晶格振动量子化的数学处理晶格振动量子化的数学处理处理思路处理思路 简正振动回顾对弹簧或单摆简正振动回顾对弹簧或单摆.2222211,22111222Fku Tmu UkuLTUmuUmuku 引入简正坐标和正则动量引入简正坐标和正则动量22222222222,1111()()22221()2LQmupQQkLQQQQTQUQmHTUQQ正则方程及其解正则方程及其解HQPHPQ 200i tQQ
20、QQ e()qi naqtnqqxA e 第第n个原子总的位移个原子总的位移()()inaqnnqqqqxtxA t e 由于周期性边界条件，波矢由于周期性边界条件，波矢q取分立的不同值，所取分立的不同值，所以，每一个原子的振动是一些独立振动模式的迭加以，每一个原子的振动是一些独立振动模式的迭加第第q个格波引起的位移个格波引起的位移考虑第考虑第n个原子个原子()inaqqA t e()qitqqA tA e 动能动能212nnTmx 势能势能211()2nnnUxx 晶格振动的总能量（哈米顿量）晶格振动的总能量（哈米顿量）22111()22nnnnnHTUmxxx 引入简正坐标引入简正坐标12
21、3,NQQQQ原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来1inaqnqqxQ eNm (1)11i naqnqqxQ eNm 211()2nnnUxx 1()(),011()2Nia q qiaqiaqina q qqqq qnUQ QeeeemN 22iaqiaqqqqQ Qeem 1(),0Nina q qq qneN1cos()qqqQ Qaqm 1cos()qqqUQ Qaqm )cos(122aqmq代入代入212qqqqUQ Q 得到得到q代表前进的简谐波代表前进的简谐波q代表后退的简谐波代表后退的简谐波*qqQQ 利利用用2212qqqQ 2
22、12nnTmx 1inaqnqqxQ eNm 1inaqnqqxQ eNm 212qnQ 2221()2qqqqHTUQQ代入代入哈米顿量哈米顿量2221()2qqqqHTUQQ哈米顿量哈米顿量代表一个谐代表一个谐振子能量振子能量包含有项，因此，总能量包含有项，因此，总能量是个独立谐振子的能量之和是个独立谐振子的能量之和能量本征值能量本征值qqnnq)21(2()exp()()2qqqnqnQH本征态函数本征态函数量子力学量子力学一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为q当这种振动模处于当这种振动模处于 时，说明有时，说明有 个声子个声子qqn)21
23、(qnq 1qnE nqE1qnE qnEq q E E q 1()1qBk Tn qe 1()1BEk Tn qe 4.8 固体比热固体比热固体的定容热容固体的定容热容VVTEC)(E 固体的平均内能固体的平均内能固体内能包括固体内能包括晶格振动的能量晶格振动的能量电子热运动的能量电子热运动的能量温度不是太低的情况温度不是太低的情况，忽略电子对比热的，忽略电子对比热的贡献，观察到的比热贡献，观察到的比热主要来自晶格的振动主要来自晶格的振动4.8.1 比热的定义比热的定义铝铝金刚石金刚石铅铅高温比热趋向于常数高温比热趋向于常数低温随温度而快速趋向于零低温随温度而快速趋向于零4.8.2经典理论经
24、典理论 一个简谐振动平均能量一个简谐振动平均能量TkBN个原子，总的平均能量个原子，总的平均能量TNkEB3摩尔固体热容摩尔固体热容VVTEC)(RkNCBAV33 杜隆杜隆 珀替定律珀替定律 实验表明在低温时，实验表明在低温时，热容量随温度迅速趋于零热容量随温度迅速趋于零!能量均分定律能量均分定律动能和势动能和势能各占能各占1/2jBjBjjnTknTknneeP/1()2jjjEn频率为频率为 j的的振动模由一系列量子能级为振动模由一系列量子能级为 组成组成 子体系子体系/jBjEk TnPCe子体系处于量子态子体系处于量子态 的概率的概率1()2jjjEn/(1)jjBjBjnk Tk
25、TnPee1)1(xxnn4.8.3量子理论量子理论 根据前面的讨论，晶格振动的能量是量子化的根据前面的讨论，晶格振动的能量是量子化的一个振动模的平均能量一个振动模的平均能量 与晶格振动频率和温度有关系与晶格振动频率和温度有关系()jjVVdECdT/2/2()(1)jBjBk TjjVBk TBeCkk Te 一个振动模对热容贡献一个振动模对热容贡献/1()21jBjjjk TE TejjjnjnEP E振动模的平均能量振动模的平均能量222(1)()1()2jjjBVBjjBBBk TCkk Tk Tk TjBTkjVBCk 高温极限高温极限/2/2()(1)jBjBk TjjVBk TB
26、eCkk Te 与杜隆与杜隆 珀替定律相符珀替定律相符/211()2jBk TjjBBek Tk T 一个振动模对热容贡献一个振动模对热容贡献 忽略不计忽略不计jBTk2/1()jBjjVBk TBCkk Te0T0jVC 低温极限低温极限1/TkBje 与实验结果相符与实验结果相符/2/2()(1)jBjBk TjjVBk TBeCkk Te 一个振动模对热容贡献一个振动模对热容贡献晶体中有晶体中有3N个振动模，总的能量个振动模，总的能量NjjTETE31)()(NjjVVCC31NjjVdTTEdC31)(晶体总的热容晶体总的热容/32/21()(1)jBjBk TNjVBk TjBeCk
27、k Te)(30TkfNkCBBBV4.8.4 爱因斯坦模型爱因斯坦模型 N个原子构成的晶体，所有的原子以相同的频率个原子构成的晶体，所有的原子以相同的频率 0振动振动 VVTEC)(000/3321Bk TNNe3/11()21jBNjjk TjEe2/20)1()(300TkTkBBBBeeTkNk/1()21jBjjjk TE Te一个振动模式的平均能量一个振动模式的平均能量晶体热容晶体热容总能量总能量爱因斯坦温度爱因斯坦温度EBk0BEk02/2)1()(3TTEBVEEeeTNkC 选取合适的选取合适的 E值，在较大温度变化的范围内，理论计值，在较大温度变化的范围内，理论计算的结果和
28、实验结果相当好地符合算的结果和实验结果相当好地符合 大多数固体大多数固体KKE3001002/200)1()()(00TkTkBBBBBeeTkTkf 爱因斯坦热容函数爱因斯坦热容函数金刚石金刚石KE1320理论计算和实验结果比较理论计算和实验结果比较 22/2/2/)(1)1(TTTTEEEEeeee22)()22(1EEETTTBVNkC3温度较高时温度较高时 10TkB2/2)1()(3TTEBVEEeeTNkCTE 与杜隆与杜隆 珀替定律相符珀替定律相符0BEk 晶体热容晶体热容温度非常低时温度非常低时10TkBTETkBBVBeTkNkC020)(31/TEe 按温度的指数形式降低按
29、温度的指数形式降低实验测得结果实验测得结果3ATCV 爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别0BEk 2/2)1()(3TTEBVEEeeTNkC晶体热容晶体热容4.8.5 德拜模型德拜模型 1912年德拜提出以年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波，将布喇连续介质的弹性波来代表格波，将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质菲晶格看作是各向同性的连续介质 有有1个纵波和个纵波和2个独立的横波个独立的横波ltC qFor LognitudinalWaveC qFor TransverseWave 不同不同q的纵波和横波，构成了晶格的全部振动模的纵波和横波，构成了晶格的全
30、部振动模 不同的振动模，能量不同不同的振动模，能量不同色散关系色散关系三维晶格，态密度三维晶格，态密度 V:晶体体积晶体体积3)2(V 受边界条件限制波矢受边界条件限制波矢q分立取值，允许的取值在分立取值，允许的取值在q空间空间形成了均匀分布的点子形成了均匀分布的点子体积元体积元zyxdqdqdqqd qdV3)2(态的数目态的数目 q是近连续变化的是近连续变化的dqqV234)2(dqqq振动数目振动数目频率在频率在 之间振动模式的数目之间振动模式的数目 ddgdn)(pqv各向同性的介质各向同性的介质 频率也近似于连续取值频率也近似于连续取值 振动频率分布函数，或者振动模的态密度函数振动频
31、率分布函数，或者振动模的态密度函数)(g一个振动模的热容一个振动模的热容/2/2()(1)jBjBk TjjVBk TBeCkk Te晶体总的热容晶体总的热容/2/20()()(1)mBBk TVBk TBeCkgdk Te 振动频率分布函数振动频率分布函数 和和 m的计算的计算)(g频率在频率在 之间，纵波数目之间，纵波数目ddqqV234)2(lCqdCVl2322频率在频率在 之间，格波数目之间，格波数目d22322tVdC频率在频率在 之间，横波数目之间，横波数目d233212()2ltVdCC波矢的数值在波矢的数值在 之间的振动方式的数目之间的振动方式的数目dqqqlCddq频率分布
32、函数频率分布函数2233()2VgC333213tlCCC格波总的数目格波总的数目dVCCtl22332)21(频率在频率在 间，格波数目间，格波数目dmdgN0)(321/36()mNCVdeeTkkCVTkTkBBBBm22/2032)1()(23晶体总的热容晶体总的热容/2/20()()(1)mBBk TVBk TBeCkgdk TedeeTkkCVCTkTkBBVBBm22/2032)1()(23德拜温度德拜温度BmDkTDDVDdeeTRTC/0243)1()(9)/(晶体总的热容晶体总的热容 TkB令令)(3)/(TRfTCDDDVTDDDDdeeTTf/0243)1()(3)(德
33、拜热容函数德拜热容函数DT1TkB1eTDDDDdTTf/023)1()(3)(1RCV3在高温极限下在高温极限下)(3)/(TRfTCDDDV晶体总的热容晶体总的热容 与杜隆珀替定律一致与杜隆珀替定律一致TDDDDdeeTTf/0243)1()(3)(德拜热容函数德拜热容函数BDmk 低温极限低温极限DT TDDVDdeeTRTC/0243)1()(9)/(4312(/)()15VDDTCTR T3成正比成正比 德拜定律德拜定律0243)1()(9deeTRD1Bk TBDmk 晶体热容晶体热容 晶体热容晶体热容 4.9 4.9 非谐效应非谐效应2U4.9.1 4.9.1 非谐效应非谐效应f
34、k 意味着在原子的相互作用势能表达式中只保留了意味着在原子的相互作用势能表达式中只保留了 2项，项，而忽略了而忽略了 的三次方以上的高次项的三次方以上的高次项在这样的近似下，晶格的原子振动可以描述成一系列独立的在这样的近似下，晶格的原子振动可以描述成一系列独立的谐振子，由于振动是线性独立的，相应的振子之间不发生相谐振子，由于振动是线性独立的，相应的振子之间不发生相互作用，因此，不能交换能量，意味着晶体中某种声子一旦互作用，因此，不能交换能量，意味着晶体中某种声子一旦被激发出来，其数目就一直保持不变，它既不能把能量传递被激发出来，其数目就一直保持不变，它既不能把能量传递给其它频率的声子，也不能使
35、自身处于热平衡分布给其它频率的声子，也不能使自身处于热平衡分布在前面的讨论中我们均作了简谐近似，即认为当原在前面的讨论中我们均作了简谐近似，即认为当原子离开其平衡位置发生位移时，它所受到的相邻原子离开其平衡位置发生位移时，它所受到的相邻原子作用力，即恢复力，与该原子的位移成正比子作用力，即恢复力，与该原子的位移成正比困难困难:不能解释不能解释 (1)热传导热传导,热扩散热扩散 格波独立格波独立,无相互作用无相互作用,能量无法传播能量无法传播 (2)声子与其它声子与其它”粒子粒子”的相互作用的相互作用 声子无相互作用声子无相互作用,不产生不产生,不湮不湮灭灭实际情况是，原子间的相互作用力实际情况
36、是，原子间的相互作用力（恢复力）并非严格地与该原子的（恢复力）并非严格地与该原子的位移成正比位移成正比当考虑到原子的相互作用势能表当考虑到原子的相互作用势能表达式中达式中 3及以上的高次项时，及以上的高次项时，由非谐项引起的效应称为非谐效应由非谐项引起的效应称为非谐效应232323()11()()()().2!3!aaaU aUUUU arrr 0r0rU(r)则则晶格的原子振动就不能再描述成一系列严格独立的线性谐振子晶格的原子振动就不能再描述成一系列严格独立的线性谐振子0=2=2fU ()()const 0=项称为非谐项项称为非谐项3132311232311()23U a一般情况下，原子的位
37、移很小，一般情况下，原子的位移很小，321132因此可以将因此可以将 看成微扰项看成微扰项3131q2q3q4.9.2 0r0rU(r)23230230002311()()23!1123UUUU rU rrrr2()()()dUfUdr 不是常数不是常数非简谐非简谐最紧邻近似最紧邻近似:11(2)nnnnfxxx 2.运动方程及其解运动方程及其解 nnmxf 11(2)nnnxxx 试探解试探解:()i qnatnxAeN个方程个方程3.两点讨论两点讨论:24sin2aqm 与与 a 无关无关与晶格常数与晶格常数a无关无关,即与即与 无关无关 LNa()LV222sinsin2alqlqNaN
38、00dddadadLdV与 无关简谐简谐:(1)非谐项对频率非谐项对频率 的影响的影响 两边取对数两边取对数:2lnlnln10,02adddada与 无关的项表明表明:非谐项对振动有影响非谐项对振动有影响aa；非谐非谐:enharmonic()24sin2aqm与与a有关有关(2)声子散射的正声子散射的正(Normal)过程与倒逆过程与倒逆(umklapp)过程过程(Process)非谐作用非谐作用 微扰微扰 基本基本简谐简谐 独立振动独立振动 声子声子 微扰微扰非谐非谐 声子相互作用声子相互作用产生第三个声子产生第三个声子1q2q3q123123qqq能量与动量守恒能量与动量守恒12312
39、3qqq三声子散射三声子散射!存在两种散射过程存在两种散射过程:(1)正常过程正常过程(normal process)123qqqBZI1q2q3qaa1q2q3q(,0)a(,0)a(0,)a(0,)a(2)倒逆过程倒逆过程(umklapp process)123qqqBZI解决解决:由由 在倒空间的周期性在倒空间的周期性:()()hqqK33hqqKBZI 一般一般312qqq与 和 反向,0a0,a1q2q3q3q0,120,Ka4.9.3 状态方程状态方程()TFpV lnBFk TZ/iBEk TZe1()2jjjn1ln(1)2jBjk TBjBFUk Tek T30ln112ln
40、exp/1NjjjjjddUPdVdVVkT 简谐简谐:ln0lnddVdUPdV 与温度无关与温度无关非简谐非简谐:ln0lnddVdUEPdVV GruneisenlnlnjddVlnlnddV 常数常数3012exp/1NEkT晶格的平均振动能晶格的平均振动能 其中其中 4.9.4非谐项对非平衡态的影响非谐项对非平衡态的影响1.热膨胀热膨胀0dVdTV热膨胀是没有压力下晶体体积随温度的变化，热膨胀系数热膨胀是没有压力下晶体体积随温度的变化，热膨胀系数定义为：定义为：，其中，其中V0是没有晶格振动时晶体的是没有晶格振动时晶体的体积，体积，V=V-V0是没有压力下温度引起晶体体积的变化是没有
41、压力下温度引起晶体体积的变化在状态方程中令在状态方程中令p=0，则有，则有dUEdVV0022VVdUdUd UVdVdVdV当体积变化不大时，当体积变化不大时，022Vd UEVdVV0200211VVEVVVd UdV0202Vd UVdV0dVdTV体弹性摸量体弹性摸量0200211VVEVVVd UdV1/由此得到热膨胀系数由此得到热膨胀系数1VCV1dEdTV晶格比热晶格比热CV2.热传导热传导dTQdx 如果晶体内存在温度梯度如果晶体内存在温度梯度dT/dx，则在晶体内将有能流密，则在晶体内将有能流密度度Q（单位时间内通过单位面积的热能单位时间内通过单位面积的热能）流过：）流过：是
42、晶体的热导系数，负号表示热传输总是从高温流向低温是晶体的热导系数，负号表示热传输总是从高温流向低温金属中主要通过电子运动导热，而半导体和绝缘体中主要金属中主要通过电子运动导热，而半导体和绝缘体中主要通过格波的传播导热通过格波的传播导热热传输的载体热传输的载体价电子价电子格波格波电子热导电子热导晶格热导晶格热导晶格热导晶格热导若忽略掉电子对热传导的贡献，则晶体中的热传导主要依靠若忽略掉电子对热传导的贡献，则晶体中的热传导主要依靠声子来完成声子来完成设晶体的单位体积热容量为设晶体的单位体积热容量为C，晶体一端温度为，晶体一端温度为T1（高温（高温端），另一端温度为端），另一端温度为T2（低温端），
43、则温度高的一端晶格的（低温端），则温度高的一端晶格的振动将具有较多的振动模式和较大的振动幅度，即有较多的振动将具有较多的振动模式和较大的振动幅度，即有较多的声子被激发，当这些格波传至晶体的另一端，使那里的晶格声子被激发，当这些格波传至晶体的另一端，使那里的晶格的振动趋于具有同样多的振动模式和幅度，这样就将热量从的振动趋于具有同样多的振动模式和幅度，这样就将热量从晶体的一端传到另一端晶体的一端传到另一端在简谐近似下，晶格的振动被描述成一系列独立的谐振子，由在简谐近似下，晶格的振动被描述成一系列独立的谐振子，由于振动是线性独立的，相应的振子或声子之间不存在相互作用，于振动是线性独立的，相应的振子或
44、声子之间不存在相互作用，则热导系数为无穷大，即在晶体中不可能建立起温度梯度则热导系数为无穷大，即在晶体中不可能建立起温度梯度而实际情况是，由于非谐项（而实际情况是，由于非谐项（）的存在，声子之间存在）的存在，声子之间存在相互作用，因此，当它们从一端移向另一端时，相互间会发生相互作用，因此，当它们从一端移向另一端时，相互间会发生碰撞，另外一方面，晶体中的缺陷是难免的，声子也会与晶体碰撞，另外一方面，晶体中的缺陷是难免的，声子也会与晶体中的缺陷发生碰撞，因此，声子在晶体中移动时有一个自由程中的缺陷发生碰撞，因此，声子在晶体中移动时有一个自由程l（定义为两次碰撞之间声子所走过的路程定义为两次碰撞之间
45、声子所走过的路程）dTTldx 假设晶体内存在温度梯度假设晶体内存在温度梯度dT/dx，则在晶体内距离相差，则在晶体内距离相差 l 的两的两个区域间的温度差可写成个区域间的温度差可写成声子移动声子移动l后，把热量后，把热量C T从距离从距离l的一端携带到另一端，若声的一端携带到另一端，若声子在晶体中沿子在晶体中沿x方向的移动速率为方向的移动速率为vx，则单位时间内通过单位，则单位时间内通过单位面积的热量，即热能密度面积的热量，即热能密度Q，可表示成，可表示成()xQC T vxdTCv ldx 利用利用xlv（为为驰豫时间）驰豫时间）2xdTCvdx 2xdTQCvdx 2213xvv由能量均
46、分原理可知由能量均分原理可知应是对所有声子的平均值应是对所有声子的平均值13dTQCvldx dTQdx 由此得到晶格热导系数由此得到晶格热导系数13Cvl和气体的热导系数形式相同和气体的热导系数形式相同低温下晶格比热低温下晶格比热3CT意味着低温下晶体的热导将按意味着低温下晶体的热导将按T3规律变化规律变化1、对一维双原子分子链，原子质量均为、对一维双原子分子链，原子质量均为m，原子统一编号，原子统一编号，任一原子与两最近邻的间距不同，力常数分别为任一原子与两最近邻的间距不同，力常数分别为 1和和 2，晶，晶格常数为格常数为a，求原子的运动方程以及色散关系，求原子的运动方程以及色散关系。作业
47、作业5、按德拜模型试计算晶体中的声子数目，并对高温和、按德拜模型试计算晶体中的声子数目，并对高温和很低温度两种情况分别进行讨论。很低温度两种情况分别进行讨论。3、（、（1）温度一定时，问一个光学波的声子数目和一个）温度一定时，问一个光学波的声子数目和一个 声学波的声子数目哪个多？声学波的声子数目哪个多？（2）对同一个振动模式，问温度高时的声子数目和）对同一个振动模式，问温度高时的声子数目和 温度低时的声子数目哪个多？温度低时的声子数目哪个多？2、问长光学支格波与长声学支格波在本质上有何区别？、问长光学支格波与长声学支格波在本质上有何区别？4 4、晶体振动某一个频支格波色散关系晶体振动某一个频支
48、格波色散关系 ，分别求，分别求3D3D，2D2D，1D1D情况下的情况下的 2()qcq()?6、设一长度为、设一长度为L的一维简单晶格，原子质量为的一维简单晶格，原子质量为m，原子间，原子间距距为为a，原子间的相互作用势可表示成，原子间的相互作用势可表示成试由简谐近似求试由简谐近似求（1）色散关系；）色散关系；（2）模式密度）模式密度D（）；）；（3）晶格比热。）晶格比热。()cos()U aAa 7、设有一个一维简单格子、设有一个一维简单格子,晶格常数为晶格常数为a,原子质量为原子质量为M,在平在平衡位置附近两原子间的互作用势能可表为衡位置附近两原子间的互作用势能可表为:此处此处 及及 均
49、常数均常数;仅只考虑最近邻原子的相互作用仅只考虑最近邻原子的相互作用,(1)在简谐近似下在简谐近似下,求出晶格振动的色散关系求出晶格振动的色散关系;(2)求求 (3)求出比热的解析表达式求出比热的解析表达式 (4)考虑非谐作用，求出格林爱森堡常数考虑非谐作用，求出格林爱森堡常数?2230111()()226U rUaarrr8.8.已知一金刚石固体的体积为已知一金刚石固体的体积为V V，晶格常数为，晶格常数为a a，求该，求该固体的波矢数与格波数，并判定出声学支与光学支的个固体的波矢数与格波数，并判定出声学支与光学支的个数。数。此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
