1、 数学广角数与形教材分析 数形结合是一种非常重要的数学思想，把数和形结合起来解决问题，可以使复杂的问题变得更简单， 使抽象的问题变得更直观。 数与形相结合的例子在小学数学教材与教学中随处可见。有些情况下，是图形中隐含着数的规律，可 利用数的规律来解决图形的问题。 本单元的例 1 以及相关练习就属于这种情况。 例如， 第 109 页第 2 题 （如 下图），使学生通过观察，发现第 2 个图比第 1 个图增加 2 个小圆，第 3 个图比第 2 个图增加 3 个小圆， 第 4 个图比第 3 个图增加 4 个小圆这样依次下去，各个图形中的小圆个数分别是 1，3，6，10， 即 1，1+2，1+2+3，
2、1+2+3+4，如果是第个图，小圆的个数是。等学生将来学习了等 差数列的有关知识，就知道第个图形中小圆的个数是。 而有些情况下，是利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实，让人一目了然。尤其是对 于小学生，其思维的抽象程度还不够高，经常需要借助直观模型来帮助理解。例如，利用长方形模型来教 学分数乘法的算理，利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理，利用面积模型来解释两位数乘两位数的 算理、乘法分配律、完全平方公式等。 还有的时候，数与形密不可分，可用“数”来解决“形”的问题，也可用“形”来解决“数”的问题。 例如，解析几何中，函数图象与方程、方程组互为工具，互为解释，有机融合。小学中的正
3、比例关系和反 比例关系图象也很好地反映了这样的思想。 本单元教材以“”“”为例，引导 学生认识利用数和形的结合解决一些有趣的数学问题。 一、与实验教材（义务教育课程标准实验教科书数学六年级，下同）的主要区别一、与实验教材（义务教育课程标准实验教科书数学六年级，下同）的主要区别 新教材把义务教育课程标准实验教科书数学六年级上册的“鸡兔同笼”问题移至四年级下册，新 编“数形结合”的内容。本册的数学广角，编排了一个新的内容数与形。 二、教材例题分析二、教材例题分析 例 1：连续奇数的等差数列之和等于某平方数。 本例让学生计算从 1 开始的连续若干奇数之和。在计算时，即使不借助图形，也可以通过， ，发
4、现规律：从 1 开始，连续个奇数之和，就是的平方。但把图形与 算式对应起来，更具直观性，更能让学生体会到数学之美。图中有的规律显而易见（每个图都是一个大的 正方形，第个图形中，大正方形的每行、每列都有个小正方形，因此，小正方形的总数是）,有的 规律相对比较隐蔽(从左下角到右上角，每个“”形的小正方形的个数分别是 1，3，5，7，)。每个图 中都“隐藏”着一个等式，如第个图中的等式就是。从图形的角度直观 理解“正方形数”或“平方数”的特点，显然，使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点得到 关于数的规律。 例 2：等比数列之和等于 1。 本例让学生计算的得数。学生在计算的过程中发现 ， 加
5、数有规律，即后一个加数是前一个加数的；和也有规律，每次相加所得的和都等于 1 减去最后一 个加数；加数的项数越多，和越接近 1。 这些加数无限地加下去，最后的和无限接近于 1。但这个无限接近于 1 的数到底是多少呢？教材利用 “分数的认识”中的面积模型和长度模型，在圆上和线段上表示出这些加数，使学生借助图理解：无限加 下去，最终的得数为 1。由此，教材借助图形解决了比较抽象的、复杂的、不好解决的问题。 但在实际教学中，即使有了图形的直观支持，仍有学生对最终结果为 1 这一事实不能理解，这也是非 常正常的。可以有两种解释的方法：第一种，如果学生认为和为，教师可以追问：如果再加上一项 呢？加上，和
6、就变成了。不管找到一个多么接近 1 的数，总还能再加一项，得到一个比它更接 近 1 的和，这恰恰是极限思想的精髓所在。第二种，可以利用反推的方法来使学生明白其中的道理： 本单元的教学重点是自主探索图形中隐藏着的数的规律，会利用图形来解决一些有关数的问题，并学 会应用所发现的规律。教学难点是体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。 基于上述内容和要求，教师在实际教学时需注意以下方面问题： （一）引导学生自主探索规律、应用规律，培养学生合作交流、抽象概括的能力（一）引导学生自主探索规律、应用规律，培养学生合作交流、抽象概括的能力 “形”的问题中包含着“数”的规律，“数”的问题也可以用“形
7、”来帮助解决。教师教学 时，通过学生的自主探究、合作交流，既要让学生充分利用图形的直观、形象特点，用图形 来表示数的规律性，感受化数为形的简捷性；同时，又要让学生寻找图形中所包含的数的规 律，用数（或代数式）来表示图形，建立模式，感受用数或者代数式表示的概括性。总之， 要让学生在解决问题的过程体会到数与形的完美结合，并逐步培养学生的抽象概括能力。 （二）引导学生从多角度探索数与形的通用模式，培养学生的数学思想（二）引导学生从多角度探索数与形的通用模式，培养学生的数学思想 小学阶段，虽然不要求写出一个数列的通项公式，但可以通过数形结合的方式，利用图形的 规律，从不同角度用自己的语言描述出数列的通
8、用表达式，进而达到渗透数形结合、抽象概 括等数学思想的教学目的。 数学广角数与形重难点突破 一、自主探索图形中隐藏着的数的规律，会利用图形来解决一些有关数的问题，并学会应用所发现的一、自主探索图形中隐藏着的数的规律，会利用图形来解决一些有关数的问题，并学会应用所发现的 规律规律 突破建议： 1引导学生数形结合，从不同角度寻找规律。形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以用形来 帮助解决，教学时，要让学生通过解决问题体会到数与形的这种完美结合。既可以从数的角度出发，让学 生看看可以怎样用图形来表示数的规律，也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律。通过数与形的对应 关系，互相印证结果，感受数学的魅
9、力。例如，教学例 1 时，可从形引入，先让学生说一说三幅图中分别 有多少个小正方形？你是怎么发现的？通过学生的讨论，学生容易得出小正方形数为 1 2，22，32，的结 论；也可以使学生看到三个图中的小正方形数还可以分别表示成 1，1+3，1+3+5，的结论。也可以从数 引入，让学生通过计算，发现 1+3=4，1+3+5=9，有的学生可能很快发现 4=2 2，9=32，此时老师可以引 导学生用正方形来表示这些算式，使学生通过数与形的比照，看到这些连续的奇数在图形中的什么地方， 平方数代表的又是图形中的什么。从而对规律形成更为直观的认识。 2充分发挥教师的指导作用，让学生感受用形来解决数的有关问题
10、的直观性与简捷性。例 2 中， “无 限”的概念非常抽象，学生不易理解。因此，在教学过程中，教师要积极发挥自身的主导作用，帮助学生 深刻理解。比如说，教师可以出示一个圆或者一条线段或者一个正方形，让学生根据分数的意义表示出这 些加数，使学生直观地看到最终的结果是“1”。从而进一步感受到“化数为形”的直观、形象、简捷特 点。当然，如果学生还是有困难，教师也可以通过反推的方法帮助学生理解 。 二、体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想二、体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想 突破建议： 1在学生经历发现模式、应用模式的过程中渗透数形结合、归纳推理等数学思想。本单元教学通过 数
11、与形的比照，引导学生从不同角度探索规律。例如，通过观察与计算 1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，既能 发现加数的规律，又能发现和的规律。在发现规律的基础上，通过推理，逐步抽象，形成模式，再引导学 生把规律应用于一般的情形，解决问题。显然，这样的一个教学过程，既是学生自主探究获取知识的过程， 更是有机渗透数学思想方法的过程，使学生在潜移默化的过程体会与领悟推理和数形结合的思想。 2在利用数形结合解决问题的过程中积累基本的数学经验，培养基本的数学思想。例如，在例 2 教 学中，让学生通过计算，发现和越来越趋向于 1，感受什么叫“无限接近”。虽然无法一一穷举所得的结 果，但可以利用观察到的规律进行“无穷无尽”类推，使学生在这一过程中体会推理和极限的思想。
