1、第三章第三章 静态电磁场及其静态电磁场及其边值问题的解边值问题的解3.1 3.1 静电场分析静电场分析1.1.基本方程基本方程这组方程揭示静电场的基本性质：这组方程揭示静电场的基本性质：有散有散、无旋无旋、保守性保守性微分形式微分形式D 0EVSdVSdDlldE0积分形式积分形式或或2.2.边界条件边界条件(S 是界面上自由电荷面密度是界面上自由电荷面密度):ne介质介质21S21DDenS21nnDD或021nEEettEE21或3.3.电位函数电位函数 静电场是无旋场，故可令 rrE标量函数 称为电位函数。因 沿等电位面的法线方向，故E 垂直于等电位面。r rl dEd在直角坐标系中，微
2、分电位：l ddzzdyydxxdl d是任意的线元矢量。空间任意两点P、Q的电位差QPQPQPdl dE参考电位 0Q空间任意点的电位:QPPl dEPPl dE参考电位 0 点电荷的电位C rrq4 连续带电体的电位Cdq rrV141体电荷 dV面电荷 SdS线电荷 dlldq积分与路径无关积分与路径无关意义：将单位正电荷移意义：将单位正电荷移动到无穷远电场的功动到无穷远电场的功例子：计算均匀电场的电位分布。例子：计算均匀电场的电位分布。0EPor解：任意两点解：任意两点O、P的电位差的电位差 rE-rdEl dEOPPOOP000 取参考电位取参考电位 0O rE-P0在球坐标系中，取
3、极轴在球坐标系中，取极轴(z轴轴)与电场方向一致，则与电场方向一致，则 rEErerE-Pzcos000在柱坐标系中，取在柱坐标系中，取x轴与电场方向一致，则轴与电场方向一致，则 cos000EzeeEerE-Pzx坐标原点在o点4.4.Poisson方程方程根据Helmholtz定理，静电场由一组微分方程唯一确定：E 0E（1）等价等价E（2）（2）式代入（1）式 rr2(Poisson方程方程)该式即为静电位满足的微分方程 Poisson方程。Poisson方程和上述方程组等价，故它也唯一确定了静电场。在无电荷分布区域 02r(Laplace方程方程)求解Poisson方程或Laplace
4、方程时，解电位中的积分常数需要应用电位的边界条件确定：介质2介质1ne 1221Snn2211n电位函数沿界面法线方向 (介质21)的方向导数ne 界面上电位连续界面上电位连续特殊情况下的边界条件：特殊情况下的边界条件：界面上不存在自由电荷，0S21nn2211 介质之一(如介质2)为导体 导体2介质1ne 12const.Sn(如两种理想介质的界面)和均在界面上取值和均在界面上取值例子：例子：半径为a的带电导体球，球体的电位U，无穷远的电位为0，计算求外空间的电位。c解：球外空间的电位函数满足Laplace方程020sin1sinsin11222222rrrrrr由于电场和电位均具有球对称分
5、布，即 r0122drdrdrdr其解 21crcrc1、c2待定积分常数。边界条件：Ua,r0,r 求解区域的边界是r=a和r=的两闭合球面利用条件 1得aUc1利用条件 2得02c故解 raUr 5.5.导体系统的电容导体系统的电容部分电容：部分电容：对于一个多导体系统(3个及3个以上)，每一个导体和另一个导体之间的电容。描述导体系统储存电荷能力的物理量。任何导体和导体之间以及导体和大地之间都存在电容。电容是导体系统的一种基本属性，它是111112121313222221213131333331313232()()()()()()qCCCqCCCqCCCijC指导体之间形成的电容，称为导体
6、互有部分电容导体互有部分电容iiC指导体与地之间形成电容，称为导体自有部分电容导体自有部分电容i指导体i对地的电位考虑三个导体系统：ijjiCC电容网络6.6.静电场的能量静电场的能量 静电场的能量静电场的能量静电场的能量来自于建立电荷系统(电场)过程中外界的功。假设在建立系统过程中的任一时刻t，空间各点的电荷密度均是各自终值的倍(0)任意点的电位：qqR-qRq ;44R 原点电荷q到场点的距离R 像点电荷q到场点的距离212122222222114hzyxhzyxq此即所给问题的电位解，取其梯度便可得电场分布。原问题的平面导体上的感应电荷面密度：2122202hyxqhzzS感应电荷量(采
7、用极坐标系)：qhrrdrdqhdSqSSin20022212恰好等于像电荷。交角 的两半无限大导体平面的镜像.,n n321结论：镜像电荷数目为结论：镜像电荷数目为(2n-1个个)1qq3qqxy1h2h2h1hq2qq(n=2)xqqq1qq 2qq3qq 4qq5(n=3)平面镜像特点：像、原平面镜像特点：像、原电荷互为镜像对称。电荷互为镜像对称。多重镜像多重镜像 球面导体镜像球面导体镜像qzod如图，点电荷q位于一半径为a的接地导体球外，与球心距离为d，计算球外的电位分布。解：解：在求解区域外(即球内)用一个像电荷代替球面上的感应电荷，同时撤去导体球面。由于对称性，像电荷q必定在oq的
8、连线上，且由于面对q的一侧感应电荷的密度较大，故q必在o点的右侧。qzodq根据镜像法，将导体球移去后，原电荷q和像电荷q在原球面上任意点的电位应该保持为0，即041RqRqqzodqd可以取球面上过q的直径的两个端点，它们的电位：欲确定像电荷的电量及位置，右端点左端点 041 041daqadqdaqdaq解得da d q daq2;于是球外任意点P的电位：RdaRqRqRq14 41qzoqRRP同样可以证明像电荷恰好等于球面上感应电荷量像电荷恰好等于球面上感应电荷量。讨论两种不同情况的球面镜像：讨论两种不同情况的球面镜像：导体球不接地也不带电，球外有点电荷导体球不接地也不带电，球外有点电
9、荷qqodqo1q2q边界条件:(a)球面是等位面但电位不为0；(b)球面上感应电荷量为0像电荷q1和q2：qda;qqq1210像电荷q2 位于球心，保证了球面为等位面且电位非0；和q1等量异号可以保证感应电荷为0 导体球不接地但带电量导体球不接地但带电量Q，球外有点电，球外有点电荷荷q (如何设置像电荷？如何设置像电荷？)qodQqo1q2qqdaqQ;qq121与类似，但 ，而应满足qq12qz12xh 平面介质镜像平面介质镜像(a)计算介质1中的场时：在z0空间对称地设置像电荷q 代替极化电荷，同时要将介质1也镜像，则原介质1中的电位qz11xhqh图(a)0 44111zRqRq(b
10、)计算介质2中的场时：在原电荷q的位置处设置像电荷q 代替极化电荷和原电荷q的影响，同时要将介质2也镜像，则原介质2中的电位qz22xh图(b)0 4 22zRqq 和q 通过满足边界条件来确定：0220110201 zzzzz z 以及21qqqq;qqqq;qq21221212将像电荷q和q 代入1和1的表达式即得两介质中的电位分布。5 5.分离变量法分离变量法界），则使用直角坐标系中的分离变量法；若边界形状适宜用直角坐标系（如矩形边 若边界形状适宜用圆柱坐标系（如柱面边界），则使用柱坐标系中的分离变量法；若边界形状适宜用球坐标系（如球边界），则使用球坐标系中的分离变量法；以直角坐标系中的
11、分离变量法直角坐标系中的分离变量法为例。在直角坐标系中，电位函数的Laplace方程为0222222zyx设可以表示为三个函数的乘积，即)()()(),(zZyYxXzyx（试探解）然后用XYZ除上式，得 0ZZYYXX0222222dzZdXYdyYdXZdxXdYZ回代入方程该式左边的每一项都只是一个变量的函数，其成立的唯一条件就是每项都必须为常数。kZZ kYY kXXzyx222;kkkzyx0222kx、ky、kz称为分离常数分离常数，只有2个是独立的：通过分离变量将Laplace方程分解成三个一维的线性常微分方程，它们的解与分离常数的取值有关：00(BxAx)X 当 kx=0 时
12、当kx2 0 时(kx为实数)，则 xkxkxxeBeBX(x)21xchkCxshkCxXxx21)(或以上A、B、C等为积分常数，可由边界条件确定。Y和Z的解与X类似。例题：例题：两彼此平行的无限大接地金属板，板间距b，两平行板的一端另有一块电位为U0的无限长的金属条，它们之间的缝隙极小，但彼此绝缘，求两板间的电位分布。xy000Ub横截面图解：解：本题的电位与z无关，只是x、y的函数，即 yYxXx,y 边界条件 x=0,(0,y)=U0 x,(,y)=0 xkxkxxeCeCX(x)21 y=0,(x,0)=0；y=b,(x,b)=0 xy000UbyyyyjkyCyCY(y);cos
13、sin43yCyCeCeCyyxkxkxxcossin y,x4321kk kkyxyx022kyCkyCeCeCkxkxcossin y,x4321C1C4以及k为待定常数，由边界条件确定。kyCkyCeCeCkxkxcossin y,x4321 y=b,(x,b)=0由条件,.,n;bnk321 x,(,y)=0由条件 02 C由条件 04 C y=0,(x,0)=0重写电位如下：xbneybnCx,ysin上式满足边界条件，但不满足条件，为了使之满足条件，根据线性微分方程解得叠加原理，取上式解的线性组合作为电位的新解：1nnsinxbneybnCx,y现利用边界条件确定其中的系数Cn：x=0,(0,y)=U01nn0sinybnCU上式右端为付里叶级数形式，两边同乘以 ;sinybmm为非0整数，然后将y从0b积分：1n00100sinsin sinsinsinbnbnnbdyybmybnCdyybmybnCdyybmU,.,mmbU,.,m 531264200左边nm bCnmdyybmybnCnbn当当 2 0sinsin0右边的积分项为mn bCn 2右边,.,n nU,.,n Cn531 464200当当,.,nxbneybnnUx,y5310sin14则电位的定解
