1、本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心l卷积方法的基本出发点是，将信号分解为单位冲激信号的移位加权和或者加权积分。l我们可以看出，将任意信号分解为基本信号的组合，往往是分析信号与系统的前提。l本章将介绍信号的另一种分解方式，即傅里叶分解，并且进而引入频谱的概念。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心前面两章中，我们以分析信号的时间函数的方式，来分析信号，这种分析方法被称为时域(time domain)方法。傅里叶方法帮助我们使用信号的频率分量来分析信号，这种方法被称为频域(frequency domain)方法。我们将看到，在频域上来刻画LTI系统对信号
2、实施的变换，将会使分析变得相当简单。频域方法是一类重要的系统与信号的分析方法，除用于LTI系统的分析以外，它还适用于更广泛的系统分析，或者仅仅分析信号本身。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心傅里叶分解的基本出发点是将信号分解为复指数信号的加权和，或者积分。复指数信号的物理背景就是正弦信号。在电路分析等课程中，我们对正弦信号已经有了足够的了解。人们很早就意识到，正弦振荡是各种振荡的基本形式，这正是傅里叶分解的真正基础。傅里叶分析帮助我们从时域的分析方法转变到频域的分析方法。工程上，频域方法具有更加广泛的应用，是一种常用的信号分析方法。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂
3、网-下载中心下载中心在介绍周期信号的傅里叶分解之前，我们先讨论一下LTI系统对典型正弦信号和复指数信号的响应。在电路分析里面，我们知道线性时不变系统在正弦信号的激励下，其响应仍然是同频率的正弦信号，只是在幅度和相位上有所变化。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 LTILTI系统对正弦信号的响应仍然是同频正弦信号系统对正弦信号的响应仍然是同频正弦信号)cos(t)cos(tA同频率本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心复指数信号激励复指数信号激励LTI系统的情况。系统的情况。stethty*)()(dehts)()(dehesst)()(sHestdt
4、ethsHst)()(ste LTI?只取决于s和系统的参数本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 LTI LTI系统对复指数信号的响应仍然是复指数信号系统对复指数信号的响应仍然是复指数信号ste)(sHest系统函数系统函数传递函数传递函数本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心tskkeatx)(如果我们能将信号分解成为复指数信号的加权和tskkkesHaty)()(完全说明了LTI系统的变换规律 可以针对输入信号的复指数分解可以针对输入信号的复指数分解,求得求得LTI系统的输出响应。系统的输出响应。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下
5、载中心js js在傅里叶分析里面，我们将上述复数在傅里叶分析里面，我们将上述复数s限定为纯虚数限定为纯虚数由此导出的方法称为由此导出的方法称为傅里叶傅里叶(Fourier)方法方法；傅里叶傅里叶方法是以法国数学家方法是以法国数学家,物理学家傅里叶物理学家傅里叶(1768-1830)的名字命名的。的名字命名的。由此导出的一套方法称为由此导出的一套方法称为拉普拉斯方法拉普拉斯方法，在第九章，在第九章里面讨论。里面讨论。如果不对复数如果不对复数s进行限定，即进行限定，即本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心),(Zktk3
6、.2.1 谐波复指数信号集谐波复指数信号集tjkket0)(成谐波关系的复指数信号集成谐波关系的复指数信号集本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心0T)(txktjkkeatx0)(002T如果一个以如果一个以为周期的周期信号为周期的周期信号满足，满足，存在一个存在一个傅里叶级数的表达傅里叶级数的表达本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心ktjkkeatx0)(。傅里叶级数傅里叶级数 分解分解傅里叶级数展开傅里叶级数展开本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心tjkkea0tjkkea00atjea01tjea01k次谐波分量次谐波分量
7、直流分量直流分量基波分量基波分量谐波合成谐波合成在信号中所占的比重在信号中所占的比重ktjkkeatx0)(本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心tjtejtsincos 2cosjtjteet2sinjtjteet欧拉公式欧拉公式本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心例题3.1 将下面的复指数信号的线性组合变换为正弦信号的线性组合，其中，332)(ktjkkeatx10a4/111aa2/122aa3/133aa本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)(31)(21)(411)(664422tjtjtjtjtjtjeeeeeetxt
8、tt6cos324cos2cos211解：解：本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心kaka0k和和表示了频率为表示了频率为的正弦信号的权重。的正弦信号的权重。ttt6cos324cos2cos211直流分量直流分量基波分量基波分量三次谐波分量三次谐波分量 二次谐波分量二次谐波分量本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心物理上存在的信号都是实信号。物理上存在的信号都是实信号。下面讨论信号为实函数的情况。下面讨论信号为实函数的情况。)()(txtxktjkkeatx0*)(ktjkkea0*ktjkkea0本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下
9、载中心kkaa*kkaa*因此，因此，严格地说，上面的推导是由正交函数的讨论取得的。严格地说，上面的推导是由正交函数的讨论取得的。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心ktjkkeatx0)(11000ktjkkktjkkeaeaa10)(00ktjkktjkkeaeaa11000ktjkkktjkkeaeaa本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心10)(00ktjkktjkkeaeaa10Re20ktjkkeaa10)(00ktjkktjkkeaeaa本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心kjkkeAa100)cos(2)(kkkt
10、kAatx)sin()(cos(0000kkktjkjktjkktkjtkAeeAeak)cos(Re00kktjkktkAea本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心kkkjCBa1000)sincos(2)(kkktkCtkBatx)sin)(cos(000tkjtkjCBeakktjkkjXtkCtkBkk)sincos(00本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心3.2.2 傅里叶级数系数的确定傅里叶级数系数的确定),(Zktk)()(0*lkMdtttlklkMTlk正交函数集正交函数集T的周期函数的周期函数正交函数集的概念本书由天疯天疯上传于世界
11、工厂网世界工厂网-下载中心下载中心,0Zketjk正交函数集？正交函数集？002T?000nkMdteeTtjntjk本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)()(Ttxtx周期函数的一个基本性质。周期函数的一个基本性质。aTadttx)(aTTTadttxdttx)()(aTadttxdttx0)()(Tdttx0)(TamTaa000,本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心一个以一个以T为周期的周期函数在一段长度为为周期的周期函数在一段长度为T的区的区间上的积分，与起始位置无关间上的积分，与起始位置无关Tdttx)(本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界
12、工厂网-下载中心下载中心000Ttjntjkdtee00)(Ttnkjdte00)sin()cos(00TTdttnkjdttnk 0sincos0000TTtdttdt正弦波的上波瓣和下波瓣的面积相等正弦波的上波瓣和下波瓣的面积相等本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心0sincos0000TTtdtktdtk本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心nknkTTtjntjkdtee000000nkT,0Zketjk 构成了一个正交函数集。构成了一个正交函数集。复指数函数集复指数函数集本书由天疯天疯
13、上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心如果如果可以分解，可以分解，利用正交性来求傅里叶级数的系数利用正交性来求傅里叶级数的系数ktjkkeatx0)(ktjkktjntjneaeetx000)(0000)()(TtnkjkkTtjndteadtetx kTtnkjkdtea00)(kknkTa00Tanktnkjktjneaetx00)()(本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心00)(10TtjnndtetxTaktjkkeatx0)(傅里叶级数分析公式傅里叶级数分析公式傅里叶级数综合公式傅里叶级数综合公式00)(10TtjkkdtetxTa本书由天疯天疯上传于世界
14、工厂网世界工厂网-下载中心下载中心tjkkea0tjkkea0频率分量在信号中所占的比重)cos(0kktkA频谱系数 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心0)(100TdttxTa一个特殊的频率分量一个特殊的频率分量信号的均值信号的均值直流分量直流分量本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心例题例题3.2 试确定试确定ttx0sin)(的傅里叶级数的傅里叶级数ttx0sin)()(2100tjtjeej解解：根据欧拉公式，：根据欧拉公式，ja211ja2110:1|kak 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心例题例题3.3 试确定
15、周期方波信号的傅里叶级数试确定周期方波信号的傅里叶级数)(tx0T1T0T02Tt00)(10TtjkkdtetxTa解：解：根据傅里叶级数分析公式，根据傅里叶级数分析公式，本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心0k避免被零除避免被零除0k11001TTtjkkdteTa110|00TTtjkTjke)(1101000TjkTjkeeTjk 000)sin(2TjktkjkTk10sin0100021)(1110TTdtTdttxTaTTT本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心复指数信号是连续的，而任意信号却不一定。什么样的信号可以展开成傅里叶级数？有限
16、多个连续函数累加起来仍然是连续函数，而无限多个连续函数累加起来是否可以收敛到一个不连续函数？这就成了法国学者傅里叶与其同时代的其他学者争论的焦点。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心ktjkkeatx0)(每一项都是连续函数不一定是连续函数本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心傅里叶认为，周期信号无论连续与否都可以表示为傅里叶级数.但后来的许多学术的发展证明了傅里叶当初的论断至少在数学上是不严密的。从数学上来讲，无穷级数的收敛是有条件的。如果级数不收敛，那么级数的表示也是不成立的。在傅里叶级数的收敛性研究方面，狄利赫利等人卓有成效的工作完善了傅里叶分析
17、方法，给出了傅里叶级数的收敛条件。由于收敛条件的证明过于专业化，不便在本书中展开详细讨论。本节只是给出了这些收敛条件的理论结论。讨论傅里叶级数的收敛问题，所采用的收敛讨论傅里叶级数的收敛问题，所采用的收敛准则是准则是误差平方和准则误差平方和准则，又称为，又称为误差能量准则误差能量准则。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心NNktjkkNeatxtx0)()()()()(txtxteNN近似的误差近似的误差误差信号的能量误差信号的能量02)(TNNdtteE本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心N0NE)(tx)(tx)(txN能量的角度能量的角度,收敛
18、收敛近似近似ktjkkea0本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心00)(10TtjkkdtetxTa最小NE可以证明可以证明本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)(txTdttx2)(0NE1.如果2.如果如果不连续，但是不连续，但是平方可积平方可积 不加证明地给出傅里叶级数收敛的条件不加证明地给出傅里叶级数收敛的条件:连续，其傅里叶级数一定收敛.)(tx本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心Tdttx)(0NE)(tx3.狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)条件条件，该条件包括三个部分，分别是：该条件包括三个部分，分别是：满足
19、狄里赫利条件，可以保证，在满足狄里赫利条件，可以保证，在的意义上，的意义上，的傅里叶级数收敛，并保证在每一个连续点上，的傅里叶级数收敛，并保证在每一个连续点上，都收敛于其傅里叶级数表达。都收敛于其傅里叶级数表达。条件条件1：绝对可积绝对可积(Absolutely Integrable)条件条件2：在一个周期内，最大值和最小值数目有限。在一个周期内，最大值和最小值数目有限。条件条件3：有限区间内有有限个不连续点有限区间内有有限个不连续点)(tx本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心从傅里叶级数的收敛条件可以看出，对于从傅里叶级数的收敛条件可以看出，对于常见的信号而言，其傅里叶
20、级数都是收敛常见的信号而言，其傅里叶级数都是收敛的，这是傅里叶分析方法经久不衰，得到的，这是傅里叶分析方法经久不衰，得到广泛应用的基础。广泛应用的基础。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心几个不满足收敛条件的例子几个不满足收敛条件的例子10,1)(tttx不满足狄里赫利条件不满足狄里赫利条件1的例子。考虑信号，的例子。考虑信号，并对它进行周期延拓并对它进行周期延拓本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心ttx2sin)(10 t不满足狄里赫利条件不满足狄里赫利条件2的例子。的例子。并对它进行周期延拓，并对它进行周期延拓，不满足狄里赫利条件不满足狄里赫利条
21、件3的例子的例子本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心kFSatx)(傅里叶级数傅里叶级数本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心3.4.2 时间平移性质时间平移性质 3.4.1 线性线性kaFStx)(kbFSty)(kaFStx)(ktjktjkkkttjkkeeaeattx00000)()()(000)(0tjkkFSeattxkkBbAaFStBytAx)()(系数系数本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心3.4.3 时间反转特性时间反转特性 kaFStx)(ktjkkeatx0)(ktjkkea0kaFStx)(3.4.4 时
22、域尺度变换时域尺度变换 kaFStx)(ktajkkeaatx)(0)(kaFSatx)(系数系数基波频率本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心3.4.5 相乘特性相乘特性 kaFStx)(kbFSty)(llklFSbatytx)()(3.4.6 共轭及共轭对称性共轭及共轭对称性 kaFStx)()()(0ktjkkeatx 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心ktjkkeatx0)(ktjkkea0kFSatx)()()(0ktjkkeatx本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)()(*txtx实信号实信号kkaa|kkaa实
23、信号频谱的幅度谱线关于实信号频谱的幅度谱线关于y轴对称。轴对称。两个共轭的复指数信号组成了一个正弦信号。两个共轭的复指数信号组成了一个正弦信号。kkaa本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心kkTadttxT22|)(|1 时域平均功率时域平均功率频域平均功率频域平均功率本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心例题例题3.4 连续时间周期信号的傅里叶级数为：连续时间周期信号的傅里叶级数为：ktjkkeatx0)(试证明：试证明：)(txka1、如果、如果为实偶信号，则为实偶信号，则为实数；为实数；)(txka2、如果、如果为实为实奇奇信号，则信号，则为为虚
24、虚数；数；)(txka3、如果、如果为为虚虚偶信号，则偶信号，则为为虚虚数；数；)(txka4、如果、如果为为虚奇虚奇信号，则信号，则为实数；为实数；本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)()()(*txtxtx*kkaakkaa*kkaa*kkaa 解：解：实偶信号实偶信号本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)()()(*txtxtx*kkaakkaa*kkaa*kkaa 实实奇奇信号信号本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)()(),()(*txtxtxtx*kkaakkaa*kkaa*kkaa 虚虚偶信号偶信号本书由天疯天
25、疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)()(),()(*txtxtxtx*kkaakkaa*kkaa*kkaa 虚奇虚奇信号信号本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心与连续时间周期信号的傅里叶级数类似，离散时间周期信号的傅里叶级数也是信号频域分析的基础。本节专门讨论离散时间周期信号分解为傅里叶级数的问题。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心,Zknk成谐波关系的复指数信号构成了信号分解的基本依据。成谐波关系的复指数信号构成了信号分解的基本依据。nNjkken2周期为周期为N 彼此成彼此成谐波关系谐波关系本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网
26、-下载中心下载中心nNNkjNken2)（NnnkknjnNjkee22nNjke2等于1本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心NnnnkkNk本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心nNjkkkeanx2?NlNmk 1,0Nmm)(ll本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心nNjkkkeanx2lnNlNmjNmlNmlNmkea2)(10llNmNmnNjmae102lnNjmNmlNmea210102NmlnNjmlNmeallNkkabllNmmab本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心nNjkNkkebn
27、x210llNkkabNkkbb离散时间信号的傅里叶级数只有有限多项离散时间信号的傅里叶级数只有有限多项本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心1mNmnnx任意一段长度为任意一段长度为N的区间上的求和的区间上的求和:,:lkm lNkm10,NkZl 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心11lNkNlNknmNmnnxnx1NkkrlNnrlNrx1Nkkrrx11NkNrNkrrxrx1010NnNrnxrx101krNkrrxrx本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心任意一个周期长度内的求和运算相等任意一个周期长度内的求和运算相
28、等 NknNjkNkkebnx2nNjkNkkeanx2离散时间周期信号存在一个离散时间周期信号存在一个傅里叶级数的表达傅里叶级数的表达，或者说成，或者说成谐波关系的复指数信号的上述组合是的谐波关系的复指数信号的上述组合是的傅里叶级数展开傅里叶级数展开，也可以说，周期信号也可以说，周期信号分解分解为傅里叶级数为傅里叶级数 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心综合公式综合公式 弹性的求和起始位置，有时可以简化分析计算过程。弹性的求和起始位置，有时可以简化分析计算过程。nNjkNkkeanx2k次谐波分量离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数频谱系数频谱系数本书由天疯天疯上传于
29、世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心,2 NkenNjk正交正交?lNkNenNjkNn210lNknNjkNne21001122NjkNNjkee本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心ZllNklNkNnNjkNne,02nNjkNkkeanx2nNjkNkknNjlnNjleaeenx222lnNlkjNkkea2)(本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 NnnNlkjNkknNjlNneaenx2)(2两边都是以n为自变量，N为周期的周期序列 NnnNlkjNkkea2)(NnnNlkjNkkea2)(10本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂
30、网-下载中心下载中心:,:00mkl Nmkl00100NkNnnNlkjNkkea2)(10NnnNNmkkjNkkea2)(1000NnnNkkjNkkea2)(1000kNalNmlNaNa0本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心nNjkNnkenxNa21nNjkNkkeanx2离散时间傅里叶级数的系数的一个特点就是它的周期性离散时间傅里叶级数的系数的一个特点就是它的周期性 NkkaanNjlNnlenxNa21本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心例题例题3.6 计算周期序列计算周期序列nnx0sin的傅里叶级数的傅里叶级数 解解：Nm20N2
31、0)(2122nNjnNjeejnx1112121Najaja，Nm20)(2122nNjmnNjmeejnxjajamm2121，Nm20本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心lNkm10NkkNkkajaja2121，kNkaa，kN组成了组成了在一个在一个周期内的频谱。周期内的频谱。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心10nx11NkNnNkNotherwise例题例题3.7 计算周期离散方波信号的傅里叶级数，其中计算周期离散方波信号的傅里叶级数，其中N1N1NN解解：由傅里叶分解公式：由傅里叶分解公式 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-
32、下载中心下载中心nNjkNnkenxNa21nNjkNNnenxN2111lNk 11120)(21NmNmNjkNnmkeNanNjkNnNNjkenxeN2202111NjkNNjkNNjkeeeN2)12(2211111)2/2sin(/)2/1(21sin11NkNNkN本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心NkkNNa21|2/sin2/)12sin(lNkNNak121本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心nNjkMMkkeanx2离散时间傅里叶级数与连续时间傅里叶级数的另外一个重要区别离散时间傅里叶级数与连续时间傅里叶级数的另外一个重要区别
33、就是，因为离散时间傅里叶级数只有有限多项，因此它就是，因为离散时间傅里叶级数只有有限多项，因此它不存在收不存在收敛问题敛问题，只要级数，只要级数 离散时间信号离散时间信号nNjkNkkeanx2有了有了N项离散时间傅里叶级数就可以如实地再现项离散时间傅里叶级数就可以如实地再现本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心在讨论了离散周期信号的傅里叶级数展开的基础上，本节讨论非周期的有限时间长度的离散信号的傅里叶分析。l 对于有限时宽的离散信号，我们有其独特的傅里叶表示_离散傅里叶变换。l 本节的讨论是为了信号的计算机处理做准备。计算机由于存储容量的限制，不可能处理无限长的序列，只能
34、处理有限长的序列。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心0nx0n1 Nn长度为长度为N的序列的序列当当 或者或者周期延拓周期延拓，形成一个周期信号，形成一个周期信号rrNnxnx本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心nxrrNnxnxnx本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)(kXak)()(NkXkX kFSanx一个以一个以k为自变量的、以为自变量的、以N为周期的离散时间序列为周期的离散时间序列 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心修改一下离散周期信号的傅里叶级数表达式修改一下离散周期信号的傅里叶级数表达
35、式 nNjkNnkenxa2nNjkNkkeaNnx21 nNjkNnkenxNa21nNjkNkkeanx2本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心NnnNjkenxkX2)(nNjkNkekXNnx2)(110Nn10Nk102)(NnnNjkenxkXnNjkNkekXNnx210)(1本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心NjNeW2)()()(kRkXkXN1010)(NkotherwiseNkR 矩形窗矩形窗本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)(kX010knNNnWnx10Nkotherwisenx)(1010knNN
36、kWkXN10Nnotherwise离散傅里叶变换离散傅里叶变换 l我们注意到：离散时间傅里叶级数可以看成是将一个N周期的序列变换为另外一个N周期的序列的变换；l而离散傅里叶变换（DFT）却是，将一个0到N-1的序列变换到另外一个0到N-1的序列的变换。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心离散傅里叶变换（DFT）在信号处理中是常用的计算，在第七章中我们还会讨论DFT和连续时间傅里叶变换的关系。在工程上，我们都是通过DFT来求信号的频谱的，DFT是由时域分析进入频域分析的一个关键环节，因此，能否快速地计算DFT是实时信号处理的关键。所谓快速傅里叶变换FFT是一种计算DFT的
37、快速算法，它的提出大大推动了信号处理技术的实用化。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心计算复杂性是计算机学科里面的一个专用术语，它是用来描述算法的计算效率的一个指标，它度量的是算法所需要的乘法或者加法的次数与计算对象的规模之间的关系。在这里，计算对象的规模一般是计算对象的大小，例如：图像的像素点数、一段一维信号的采样点数。我们通过分析DFT的计算机算法来理解，计算复杂性这个概念。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)ReImIm(ReImImReRe)(10knNknNknNknNNnWnxWnxjWnxWnxkX4次实数乘法次实数乘法4N次实数乘法
38、次实数乘法10),(NkkX次乘法24N计算复杂性计算复杂性级2N本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心mN210)(NnknNWnxkX为奇为偶nknNnknNWnxWnx1-N/2021-N/202122rkkrNrkrNWrxWrxrn212 rn本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心1-N/202/1-N/202/122)(rkrNkNrkrNWrxWWrxkX)()(kHWkGkNNjNeW2NNjaaNjaaNWeeW22)(krNkrNWW2/2krNkNkkrNWWW2/2k的变化范围均为0N-1本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-
39、下载中心下载中心1-N/202/2)(rkrNWrxkG1-N/202/12)(rkrNWrxkHkrNkrNrrNkNWWWW)(krNrNkNWW2/)2/(2/)()2/(kGNkG)()2/(kHNkH1rW)(kGng)(kHnh是原信号的偶数点所组成的信号是原信号的偶数点所组成的信号的的DFT的两次延拓的两次延拓;是原信号的奇数点所组成的信号是原信号的奇数点所组成的信号的的DFT的两次延拓。的两次延拓。2nxng 12nxnh本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心0 x2 x4 x6 x 1 x3 x7 x5 x0 x2 x4 x6 x 1 x3 x7 x5 x
40、DFT)0(G)1(G)2(G)3(G)4(G)5(G)6(G)7(G)4()0(GG)5()1(GG)6()2(GG)7()3(GG延拓ng本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)()()(kHWkGkXkN)(kX)2/(NkX)(kG)(kHkNW)2/(NkG)2/(NkH2/NkNW碟形运算本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心4点DFT4点DFT0 x2 x4 x6 x 1 x3 x7 x5 x)0(G)1(G)2(G)3(G)0(H)1(H)2(H)3(H)0(X)1(X)2(X)3(X)4(X)5(X)6(X)7(X0NWNW2NW3NW
41、4NW本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心ng进一步分解为奇数点和偶数点，进一步分解为奇数点和偶数点，)()(2/kPWkOkN1-N/202/)(rkrNWrgkG1-N/404/2/1-N/404/122llkNkNllkNWlgWWlg1-N/4022/2/1-N/4022/122llkNkNllkNWlgWWlg本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心当然，当然，4点点DFT还可以进一步分解为还可以进一步分解为2点点DFT 第一级第一级 第二级第二级 第三级第三级 0 x2 x6 x4 x7 x5 x3 x 1 x)0(X)1(X)2(X)3(X
42、)4(X)5(X)6(X)7(X本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)(kXkNW2/NkNW可以放在存储器里面不必要每次都计算可以放在存储器里面不必要每次都计算1次乘法1次加法)()()(kHWkGkXkN本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心N2logN点的点的FFT，有，有 级级碟形运算碟形运算。NN2log每一级碟形运算有N次乘法，N次加法。因此我们说，FFT的计算复杂性计算复杂性是是 级别的。级别的。l比较一下DFT正变换和DFT反变换，可以发现，它们的差异很小。因此，计算DFT正变换的FFT程序稍加参数的改动，就可以计算DFT反变换。l除了按时间抽取的FFT算法，还有按频率抽取的FFT算法，还有不限定N的取值的FFT算法。
