1、School of Electronic Engineering第6章 数字控制器z域直接设计方法School of Electronic Engineering )(1)(sGseZzGsT1ZZ2W、平面根轨迹法（时域法）；试凑法域直接设计方法、变换法（频域法）；解析式法School of Electronic Engineering寻求一，使其闭环系统具有所描述的特性。School of Electronic Engineeringn将广义对象离散化，求得；n由期望闭环传函 导出控制器；系统开环传函相应的闭环传函可导出D(z)()()()()(zGzDzEzYzK)()(1)()()()
2、()(zGzDzGzDzRzYz)()()()(1)()()()()(zzGzzzGzzEzUzDee()1 ()1()()1()()E zzzzR zD z G z 误差 传递函数为School of Electronic Engineering2、解析设计对 (z)的约束1）D(z)在物理上的可实现性设 M(z)、N(z)为 z 的多项式，将D(z)表示为)()()(zMzNzD 如果如果 D(z)的分子的分子N(z)具有比分母具有比分母 M(z)低或相同低或相同的阶次，则的阶次，则 D(z)在实时控制时是可实现的。此时控制在实时控制时是可实现的。此时控制算式用到的是算式用到的是过去过去
3、或现在或现在 的测量值与计算值。的测量值与计算值。反之，如果反之，如果N(z)的阶次比的阶次比 M(z)高，则控制算式中将出高，则控制算式中将出现未来的测量值与计算值，使实时控制无法实现。现未来的测量值与计算值，使实时控制无法实现。School of Electronic Engineering 2）(z)的极点应全部在单位圆内，即保证系统是稳定的。I）若G(z)有不稳定的零点则(z)也含有G(z)所有不稳定的零点；II）G(z)所有不稳定的极点（(1,0j)除外除外），由 e(z)的零点来抵消。()()()()ezD z G zz根据School of Electronic Engineer
4、ing 为达到闭环稳定的要求，可使为达到闭环稳定的要求，可使)()1()(1)()1()(2111zFzbzzFzazjjii 其中，其中，与与 分别为分别为中单位圆上或圆外的零点与极点；中单位圆上或圆外的零点与极点；P(z)、Q(z)为稳定零极点组成的多项式。为稳定零极点组成的多项式。11(1)()()(1)()iijja zQ zG zb zP z其中，其中，与与 为不含上述零极点的多项式。为不含上述零极点的多项式。School of Electronic Engineering也称，指系统在典型输入作用下，具有最快的响应速度，能在有限个采样周期内达到采样点上无稳态误差或无静差。故也称最小
5、调整时间系统或。School of Electronic Engineeringn系统输出在稳态实现对给定输入的；n能在（最少拍）内结束过渡过程进入稳态；n最少拍控制器在物理上要；n闭环系统应是的的。School of Electronic Engineeringn单位阶跃输入111)()(1)(zzRttrn单位速度输入单位速度输入211)1()()(zTzzRttrn单位加速度输入单位加速度输入311122)1(2)1()(21)(zzzTzRttr综合起来综合起来mzzAzR)1()()(1 其中，其中，为为 z 的多项式，且不含的多项式，且不含 处处 的零点。的零点。School of
6、 Electronic Engineering 为求出为求出D(z)，需要知道，需要知道G(z)、e(z)和和(z)，而，而 e(z)和和(z)与偏差与偏差E(z)有关。有关。最少拍随动系统的调节时间，就是系统误差零点的时间。最少拍随动系统的调节时间，就是系统误差零点的时间。根据根据Z变换的定义变换的定义 120()()(0)()(2)LkkE ze k zee T zeT z最少拍随动系统要求在典型输入的作用下，系统的稳态误差为零。特殊对象特殊对象：1）G(z)无单位圆上和圆外的极点（1,0j）除外；2）G(z)无单位圆上和圆外的零点；3）G(z)不含纯滞后环节School of Elect
7、ronic Engineering1()()()()()(1)eeqA zE zR zzzz设误差脉冲传递函数的形式为：1()(1)(),QezzF zQq 当选择Q=m，且F(z)=1时，不仅可以简化数字控制器的结构，还可以使E(z)的项数最少，即相应的调节时间最短(即，系统的快速性最好)。School of Electronic Engineering由以上讨论可得mmzzGzzzGzzD)1)()1(1)(1)()()(11 m=111)(zze1)(1)(zzze则有)1)()(1)()()(11 zzGzzzGzzDSchool of Electronic Engineering 此
8、时此时1)1(11)()()(11 zzzzRzEe0.)2()1(,1)0(eeeSchool of Electronic Engineering m=2则有21)1()(zze212)(1)(zzzze2121)1)(2)(1)()()(zzGzzzzGzzD121211)1()1()()()(TzzzTzzzRzEe0.)3()2(,)1(,0)0(eeTee此时 School of Electronic Engineering m=331)1()(zze32133)(1)(zzzzze则有31321)1)(33)(1)()()(zzGzzzzzGzzD2212313111222)1()
9、1(2)1()()()(zTzTzzzzTzzRzEe此时0.)4()3(,2)2(,2)1(,0)0(22 eeTeTee School of Electronic Engineering【注】上述设计仅适用于的对象。11 z21)1(z31)1(z1 z)1)(11 zzGz2121)1)(2 zzGzz31321)1)(33 zzGzzz212 zz32133 zzzSchool of Electronic Engineering解 广义对象 z 传函 已知被控对象为已知被控对象为，T=0.5s，试设计，试设计单位速度输入时的最少拍控制器。单位速度输入时的最少拍控制器。对速度输入对速度输
10、入)15.0(4)(sssG)368.01)(1()717.01(736.0)(1)(1111 zzzzsGseZzGTs21)1()(zze21212)1(1)(1)(zzzzzeSchool of Electronic Engineering可得控制器即输出序列其输出序列的 z 变换为即经过两拍，便在上。)717.01)(1()5.01)(368.01(717.2)()()()(1111zzzzzzGzzDe1121 22345()()()2(1)2345TzY zz R zzzzTzTzTzTz L(0)0,()0,(2)2,(3)3,yy TyTT yTTLSchool of Elec
11、tronic Engineering2、一般对象的最少拍控制系统设计如果被控对象含有l个滞后环节，具有i个单位圆外或单位圆外或者者 圆上的零点圆上的零点 ，具有j个单位圆外或者圆上的极点 （(1，j0)除外），则应选择12,ia aaL12,jb bbL)()1)(1).(1()(1)()1).(1()(1111111zFzzbzbzzzazazzmjil其中1,.1)(1,.)(11110litzfzfzFmjszmzmmzttssm与输入信号有关School of Electronic Engineering 已知被控对象为在 T=1s，求得广义对象为试针对设计。)252.1(1.2)(2
12、 sssG)286.01()1()2.01)(78.21(0265)(121111 zzzzzzGSchool of Electronic Engineering G(z)在单位圆外有一个 ，应选取 )1)(1()(1)78.21()(111111zfzzzmzz735.0265.011 fm)2.01)(735.01()286.01)(1()(1)()()(1111 zzzzzzGzzD控制器解得 School of Electronic Engineering输出采样序列在第 2 个采样时刻实现无偏跟踪。.1166.05832.0486.112.01)286.01)(1()()()()(3
13、21111 zzzzzzzRzGzzU.265.01)78.21(265.0)()()(321111zzzzzzzRzzY控制量序列是School of Electronic Engineering由图可见，闭环系统是，经过两拍在采样点达到无静差。最少拍控制系统的采样点间的输出系统输出在采样点之间存在一定程度的波动，即系统输出在采样点之间存在一定程度的波动，即。School of Electronic Engineering 有波纹最少拍系统在输出误差为零时，控制器仍然有输有波纹最少拍系统在输出误差为零时，控制器仍然有输出，出，即作用到执行器上使执行器也不断地动作，这样会对执即作用到执行器上使
14、执行器也不断地动作，这样会对执行器造成磨损，是不希望出现的情况。行器造成磨损，是不希望出现的情况。系统进入稳态后，加到被控对象上的系统进入稳态后，加到被控对象上的控制信号还在波动控制信号还在波动，则稳态过程中系统输出就有波纹，因此要使系统在稳态过，则稳态过程中系统输出就有波纹，因此要使系统在稳态过程中无波纹，就要求稳态时的控制信号为常数。程中无波纹，就要求稳态时的控制信号为常数。怎么改进怎么改进：使：使u(k)进入稳态后为一恒定值。进入稳态后为一恒定值。School of Electronic Engineering 最少拍系统中的纹波现象是由控制量的波动控制量的波动 而引起的，即U(z)中含
15、有非零极点中含有非零极点，使控制序列不能经有限拍完成过渡过程进入稳态（0 或常值）。School of Electronic Engineering()()()()()()()()()()Y zz R zzU zR zY zG z U zG z 可以看出，可以看出，当当(z)包含包含G(z)的全部零点时的全部零点时，能使，能使R(z)到到U(z)的脉冲传递函数为的脉冲传递函数为z-1的有限次多项式，即脉冲响应为有限的有限次多项式，即脉冲响应为有限长，从而消除了波纹。因此，有波纹和无波纹最少拍的长，从而消除了波纹。因此，有波纹和无波纹最少拍的区别区别就在于就在于 是否包含是否包含G(z)的的全部
16、零点全部零点。控制器的输出()z分析分析School of Electronic Engineering如果被控对象含有l个滞后环节滞后环节，具有i个非零零点非零零点 ，具有j个单位圆外或者圆上单位圆外或者圆上的极点 （(1，j0)除外），则应选择iaaa,21jbbb,21)()1)(1).(1()(1)()1).(1()(1111111zFzzbzbzzzazazzmjil其中1,.1)(1,.)(11110litzfzfzFmjszmzmmzttssm与输入信号有关School of Electronic Engineering 广义对象仍为广义对象仍为即G(z)具有不稳定极点 ，稳定的
17、非零零点 。)286.01()1()2.01)(78.21(0265)(121111 zzzzzzG78.21 z2.02 z )1)(1()(1)2.01)(78.21()(221111111zfzfzzzmzzz1226.078.022.0211 ffm解得解得对于，则有School of Electronic Engineering即即 进入稳态后为进入稳态后为 0。21111226.078.01)28.01)(1(83.0)(zzzzzD21112374.00676.183.0)28.01)(1(83.0)(zzzzzU.8754.022.01)2.01)(78.21(22.0)(54
18、3211111zzzzzzzzzzY 在第 3 拍（比有波纹延迟1拍）达到稳态。School of Electronic Engineering 输出采样点之间的纹波被消除了，而调节时间则比有纹波系统增加了一拍。一般而言，(z)中每增加一个零点，调节时间将延长一拍。实现无波纹是以牺牲调节时间为代价的，即拍数要增加。实现无波纹是以牺牲调节时间为代价的，即拍数要增加。School of Electronic Engineering 对不同输入类型的适应性差对不同输入类型的适应性差 针对某类输入设计的最少拍系统，对其它输入未必为最少拍系统，而且还可能引起大的超调和静差。对参数变化过于敏感对参数变化过
19、于敏感 按最少拍控制设计的闭环系统只有多重极点 z=0，在理论上，这一多重极点对系统参数变化的灵敏度灵敏度 可达无穷大。因此，如果系统参数发生变化，将使实际控制严重偏离期望状态。最少拍系统从理论上讲，T 越小，所需的调节时间也越短；但T 越小，意味着所需的控制能量也越强，对于实际系统，这一控制能量很容易超出其约束范围（即饱和），从而使控制性能变坏。School of Electronic Engineering 针对最少拍系统对输入类型的适应性较差这一问题针对最少拍系统对输入类型的适应性较差这一问题的改进设计。以牺牲控制的有限拍无差性质为代价，而的改进设计。以牺牲控制的有限拍无差性质为代价，而
20、使系统对多种类型输入有较满意的响应。即将原误差传使系统对多种类型输入有较满意的响应。即将原误差传函增加一惯性因子，变为函增加一惯性因子，变为11)()(*zzzee 111111)(1)(11)(1)(*1)(*zzzzzzzzzzeee 相应的闭环传函为相应的闭环传函为School of Electronic Engineering在最少拍的基础上，将得到的误差传函乘以一个在最少拍的基础上，将得到的误差传函乘以一个 z 1 的有限次多项式的有限次多项式 使其幂次使其幂次提高（一般提高一阶到二阶），闭环响应将比最少拍多提高（一般提高一阶到二阶），闭环响应将比最少拍多持续一到二拍完成过渡过程，通
21、过选取参数持续一到二拍完成过渡过程，通过选取参数 有利于降有利于降低系统对参数变化的敏感性低系统对参数变化的敏感性，并，并减小控制作用减小控制作用。101().nnH zhh zh zihSchool of Electronic Engineeringn6.3 6.3 扰动作用下最少拍控制系统设计扰动作用下最少拍控制系统设计存在干扰作用下的控制系统 School of Electronic Engineering最小拍控制：时间最优，其它动态指标无约束。最小拍控制：时间最优，其它动态指标无约束。大林算法：大林算法：约束超调量约束超调量，对调节时间不加以严格限制。，对调节时间不加以严格限制。被控
22、对象带有纯滞后的一阶或二阶环节：被控对象带有纯滞后的一阶或二阶环节：6.3 大林算法设计大林算法设计1、大林算法基本原理、大林算法基本原理1(),1sKG seTs12(),(1)(1)sKG seTsT sSchool of Electronic Engineering6.4 大林算法设计大林算法设计1、大林算法基本原理、大林算法基本原理设被控对象具有纯滞后时间 ，将期望闭环传函设计为带有近似相同滞后时间的一阶惯性环节，即,1)(0lTsTess且1/)1(/0001)1(11)(zezesTeseZzTTlTTssT期望闭环脉冲传函为0/T Te11(1)1lzzzSchool of El
23、ectronic Engineering原因：原因：（1）加入零阶保持器：保证离散前后的）加入零阶保持器：保证离散前后的阶跃响应相等阶跃响应相等（2）不加零阶保持器：保证离散前后的）不加零阶保持器：保证离散前后的脉冲响应相等脉冲响应相等而阶跃响应常用来衡量系统的动态性能。而阶跃响应常用来衡量系统的动态性能。School of Electronic EngineeringnD(z)的一般形式的一般形式)1(1)()1()(1)()()()1(1)1(llzzzGzzzGzzD School of Electronic Engineering对象为具有纯滞后的一阶惯性环节时：对象为具有纯滞后的一阶
24、惯性环节时：其中：其中：得到控制器传递函数为：得到控制器传递函数为：(1)111(1)()11TslTsleKezG zZKsTsz11(1)(1)(1)()(1)1(1)NzD zKzz1/T TeSchool of Electronic Engineering例例3 已知某控制系统被控对象的传递函数为已知某控制系统被控对象的传递函数为设期望的闭环传递函数为设期望的闭环传递函数为采样周期采样周期T=0.5s，试用大林算法设计数字控制器。，试用大林算法设计数字控制器。解：广义被控对象的脉冲传递函数为：解：广义被控对象的脉冲传递函数为：()1seG ss11/(1)/10.5330.5111(1
25、)()()110.393511 0.6065T TsTlT TeezG zZG sKsezezzezz()0.11sess期望的闭环脉冲传递函数为：00/(1)/101(1)()11T TTslTslT TeezezZsT sezSchool of Electronic Engineering于是得到数字控制器于是得到数字控制器D(z)：阶跃输入下系统控制信号序列和阶跃响应序列：阶跃输入下系统控制信号序列和阶跃响应序列：000/(1)/1(1)135135153112()1(1)()()(1()()1(1)1 0.6065(1)2.524(1 0.6065)0.39351(1)(1)(1 0.
26、99330.9933)T TNT TT TNzzeD zG zzG zezezzzezze zezzzzSchool of Electronic Engineering例4 被控对象 ，取 T=1s，设期望 的闭环传函为 ，试用大林算法设计数字控制器试用大林算法设计数字控制器D(z).解解：广义对象为设期望闭环脉冲传函脉冲传函为134.3)(46.1 sesGs1127413.01)733.01(1493.0)(zzzzG1208065.013935.0)(12)(zzzsTess可得控制器)3935.01)(1)(733.01()7413.01(6356.2)(1111 zzzzzD65.4
27、0T165.42)(sessSchool of Electronic Engineering在阶跃输入时，系统输出为相应的控制量为.8647.07769.06322.03935.0)1)(6065.01(3935.0)()()(5432112zzzzzzzzRzzY.4093.16078.08096.13484.06356.2)733.01)(1)(6065.01()7413.01(6356.2)()()()(43211111 zzzzzzzzzRzGzzUSchool of Electronic Engineering可见，就输出采可见，就输出采样点而言，是逐步平样点而言，是逐步平稳地进入稳
28、态的。稳地进入稳态的。但是由于控制量但是由于控制量的大幅波动，使得输的大幅波动，使得输出采样点之间也出现出采样点之间也出现了纹波。了纹波。n振铃现象振铃现象这种控制量以这种控制量以1/2 采样频率大幅度的衰采样频率大幅度的衰减振荡，称为减振荡，称为“振铃振铃”。School of Electronic Engineering 2、振铃现象会引起采样点之间的系统输出纹波，并使执行机构磨损，甚至会威胁到系统的稳定性，必须设法消除。n振铃现象产生的原因n根本原因根本原因 U(z)中含有单位圆内靠近 z=1 处的极点（称为振铃极点），且该极点越靠近 z=1，振幅就越大。School of Electr
29、onic Engineering 令令 D(z)对应于振铃极点的因子中的对应于振铃极点的因子中的 z=1，由终值定理可知，这样并不改变系统的稳态值，却能由终值定理可知，这样并不改变系统的稳态值，却能够改善动态特性；够改善动态特性；合理选择采样周期合理选择采样周期 T 与期望闭环传函的时间常与期望闭环传函的时间常数数T0，使振铃极点尽量远离，使振铃极点尽量远离 z=1。)()(1)()(zRzzDzUSchool of Electronic Engineering例5、在 例 4 中可见，具有振铃极点 z=0.733)3935.01)(1)(733.01()7413.01(6356.2)(111
30、1 zzzzzD 令D(z)中振铃因子中的 z=1，即该因子变为常数1.733，则有)3935.01)(1()7413.01(5208.1)(111 zzzzDSchool of Electronic Engineering相应的闭环传函变为在阶跃输入时，输出为控制量为321121664.01664.06065.01)733.01(2271.0)()(1)()()(zzzzzzGzDzGzDz.9009.07534.05312.02271.0)1)(1664.01664.06065.01()733.01(2271.0)()()(5432132112zzzzzzzzzzzRzzY.063.116
31、34.12351.1445.13161.1521.1)1)(1664.01664.06065.01()7413.01(521.1)()()()(5432113211 zzzzzzzzzzzRzGzzUSchool of Electronic Engineering可见，振铃现象与输出纹波均已基本消除。【注】上述方法隐含了对闭环传函的调整，因此，一般应检验在其改变后系统是否稳定。School of Electronic Engineering作作 业业P1805.5补充：补充：已知某控制系统被控对象的传递函数为已知某控制系统被控对象的传递函数为设期望的闭环传递函数为设期望的闭环传递函数为 ，采样周期，采样周期T=1s，试用大林算法设计数字控制器。试用大林算法设计数字控制器。()51seG ss()21sess
