1、 引言引言 前面，我们讨论了参数点估计前面，我们讨论了参数点估计.它是用样本算它是用样本算得的一个值去估计未知参数得的一个值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大值的误差范围，使用起来把握不大.区间估计正好区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷弥补了点估计的这个缺陷.7.3正态总体参数的区间估计正态总体参数的区间估计在实际中以及理论上在实际中以及理论上,我们都希望确定一个区间，我们都希望确定一个区间，使我们能以比较高的使我们能以比较高的可靠程度可靠程度相信它包含参数相
2、信它包含参数真值真值.这里所说的这里所说的“可靠程度可靠程度”是用概率来度量的是用概率来度量的，称为称为置信度置信度或或置信水平置信水平.习惯上把置信度记作习惯上把置信度记作 1 ，这里，这里 是一个是一个 很小的正数很小的正数.置信水平的大小是根据实际需要选定的置信水平的大小是根据实际需要选定的.置信区间置信区间.称区间称区间 为为 的的 1置信水平为置信水平为 的的(),例如，通常可取置信水平例如，通常可取置信水平 =0.95或或0.9等等.1 根据一个实际样本，由给定的置信水平，我根据一个实际样本，由给定的置信水平，我小的区间小的区间 ，使，使们求出一个尽可能们求出一个尽可能(,)1P一
3、、一、区间估计的概念区间估计的概念,0 设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定X1,X2,Xn确定的两个统计量确定的两个统计量若由样本若由样本12(,)n x xx 12(,)n x xx()1 和和 分别称为置信下限和置信上限分别称为置信下限和置信上限.满足满足则称区间则称区间 是是 的置信水平（置信度的置信水平（置信度)为为 的置信区间的置信区间.1P (,)这里有两个要求这里有两个要求:可见，可见，对参数对参数 作区间估计，就是要设法找出两个作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限只依赖于样本的界限(构造统计量构造统计量).一旦有了样本，就把一旦有了样本，就把 估计在区
4、间估计在区间 内内.12(,)n x xx 12(,)n x xx()（，）可信度与精度是一对矛盾，美国统计学家可信度与精度是一对矛盾，美国统计学家J.奈曼一般是在保证可信度的条件下尽可奈曼一般是在保证可信度的条件下尽可能提高精度能提高精度.1.要求要求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率内，就是说，概率 要尽可能大要尽可能大.即要求估计尽量可靠即要求估计尽量可靠.()，P 2.估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度如要求区间长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则尽可能短，或能体现该要求的其它准则.我们只研究正态总体参数的区间估计我们只研究
5、正态总体参数的区间估计,即即2期期望望 及及方方差差抽样分布定理抽样分布定理样本均值的分布样本均值的分布).,(,),(212nNXXXXXNXn 有有则样本均值则样本均值的样本，的样本，是来自总体是来自总体，设设样本方差、均值的分布样本方差、均值的分布方差，则有方差，则有分别是样本均值和样本分别是样本均值和样本的样本，的样本，是来自总体是来自总体设设221,),(,SXNxXn )1()1()2(222nSnW)1()3(ntnSXTU(0,1)Nn X X或或（1 1）=1P 求参数求参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间.设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本，2,已已知知
6、),(2 N1 二正态总体均值的区间估计二正态总体均值的区间估计 分析分析:按题意就是要找一个区间按题意就是要找一个区间 ,使使XX.n ni ii=1i=11 1因因为为=X=X 为为 的的无无偏偏估估计计,所所以以我我们们n n自自然然想想到到要要构构造造的的区区间间与与 有有关关问题问题1b a不不防防设设X XX Xa b即即XX1a,b,Pa b我我们们要要计计算算使使得得XX2U(0,1)Nn X X因因为为已已知知,且且=1Pa bPabnnn 所所以以XXX X在同一置信水平下在同一置信水平下,取最短的置信区间取最短的置信区间,1abPabPUbnnnn 即即取取对对称称的的区
7、区间间,所所以以取取X X,22(1)(1)1SPtntnn 所所以以X X22(1)(1)1SSXXnPtntnn整整理理得得于是所求于是所求 的的 置信区间为置信区间为/2/2(,1)1)tntSXXnnnS 2:2未知未知,求求的置信度为的置信度为1-置信区间：置信区间：(1)选择包含选择包含的分布已知函数的分布已知函数:(1)/XTt nSn(2)构造构造T的的 一个一个1-区间区间:2(|(1)1P Ttn22(1)(1)1SSP XtnXtnnn (3)得到得到的的1-置信区间置信区间:22(1),(1)SSXtnXtnnn (4)带入数值带入数值,得到具体的区间得到具体的区间.例
8、例2 假定初生婴儿假定初生婴儿(男孩男孩)的体重服从正态分布的体重服从正态分布,随随机抽取机抽取12名婴儿名婴儿,测体重为测体重为3100,2520,3000,3000,3600,3160,3560,3320,2880,2600,3400,2540.试以试以95%的置信系数估计新生男婴儿的平均的置信系数估计新生男婴儿的平均体重体重(单位单位:克克).n解解 设新生男婴儿体重为设新生男婴儿体重为X X克克,由于由于X服从正态分布服从正态分布,n方差方差 2未知。因为未知。因为(1)/XTt nSn 这里这里n=12,211(31002540)3057121(3057)375.311niiXSx
9、对对a=0.05,因样本数因样本数n=12,则查自由度为则查自由度为11的的t分布表分布表,t0.025(11)=2.201，计算得置信区间为计算得置信区间为2(|(1)1P Ttn由由0.0250.025(1),(1)SSXtnXtnnn得到平均体重的得到平均体重的95%的置信区间的置信区间:这里这里0.05 2818,329521P 2),(2 N 分析分析:类似前面问题的分析类似前面问题的分析,就是要找一个区间就是要找一个区间(,)使使 222SX n ni ii=1i=11 1因因为为=X=X为为的的无无偏偏估估计计,n-1n-1三三.正态总体方差的区间估计正态总体方差的区间估计2(1
10、)Wn 2 22 2(n-1)S(n-1)S构构造造统统计计量量=求参数求参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间.设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本，1 问题问题3,未未知知 12,1.WP W2 22 2由由及及的的关关系系 我我们们可可以以由由来来确确定定的的置置信信区区间间12,:由由前前面面取取置置信信区区间间的的原原则则和和 可可以以这这样样确确定定 122P WP W 121,22P WP W1222212(1),(1)nn 所所以以1221,2222222 22 2(n-1)S(n-1)S(n-1)S(n-1)S(n-1)S(n-1)S这这时时由由得得于是所求于
11、是所求 的的 置信区间为置信区间为212222,(1)(1)nn 2 22 2(n n-1 1)S S(n n-1 1)S S222211221(X)(X),(1)(1)nniiiiXXnn 或或 3:求求2置信度为置信度为1-的置信区间：的置信区间：(1)选择包含选择包含2的分布已知函数的分布已知函数:222(1)(1)nSW n (2)构造构造 的的 一个一个1-区间区间:W121P W2222122(1)(1)(1)1nSP nn (3)变形得到变形得到2的的1-置信区间置信区间:2222122(1)(1),(1)(1)nSnSnn (4)带入数值带入数值,得到具体的区间得到具体的区间.
12、例例3 有一大批糖果有一大批糖果.现从中随机地取现从中随机地取 16 袋袋,称称得重量得重量(以克计以克计)如下如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总试求总体标准差体标准差 的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间的置信区间.解解 设袋装糖果的重量为设袋装糖果的重量为X，X服从正态分布。服从正态分布。因为因为222(1)(1)nSW n 这里这里20.025,120.975,115,n220.0250.925(15)(15)
13、0.95P W由由于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为0.95222121515(,)(15)(15)SS 20.025(15)27.488,20.975(15)6.262.16211()6.2022.15iisxx 带入数据得带入数据得(4.58,9.60).由由设总体设总体XN(,2),X1,X2,Xn 为一组样本，为一组样本，1:2已知已知,求求的置信度为的置信度为1-置信区间：置信区间：(1)选择包含选择包含的分布已知的函数的分布已知的函数:/XUn )1,0(N(2)构造构造U的的 一个一个1-区间区间:22()1/XPuun 2()12u (3)变形
14、得到变形得到的的1-置信区间置信区间:22(,)XuXunn 置信区间求解步骤：置信区间求解步骤：(4)带入数值带入数值,得到具体的区间得到具体的区间.2:2未知未知,求求的置信度为的置信度为1-置信区间：置信区间：(1)选择包含选择包含的分布已知函数的分布已知函数:(1)/XTt nSn (2)构造构造T的的 一个一个1-区间区间:2(|(1)1P Ttn22(1)(1)1SSP XtnXtnnn (3)得到得到的的1-置信区间置信区间:22(1),(1)SSXtnXtnnn (4)带入数值带入数值,得到具体的区间得到具体的区间.3:求求2置信度为置信度为1-的置信区间：的置信区间：(1)选
15、择包含选择包含2的分布已知函数的分布已知函数:222(1)(1)nSW n (2)构造构造 的的 一个一个1-区间区间:W2121P 2222122(1)(1)(1)1nSP nn (3)变形得到变形得到2的的1-置信区间置信区间:2222122(1)(1),(1)(1)nSnSnn (4)带入数值带入数值,得到具体的区间得到具体的区间.写出参数写出参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间.设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本，1 练习练习1 N 2(,)2(1)已知已知,(2)未知未知并写出参数并写出参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间.122 练习练习2 有一大批
16、糖果有一大批糖果.现从中随机地取现从中随机地取 16 袋袋,称称得重量得重量(以克计以克计)如下如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总试求总体均值体均值 的置信水平的置信水平0.95为的置信区间为的置信区间.(1)/XTt nSn (|(1)1P Ttn由由0.050.05(1),(1)SSXtnXtnnn得到总体均值的得到总体均值的95%的置信区间的置信区间:这里这里0.05 因为因为练练习习2解解这里这里10.95,0.05,115,n0.05(15)2.131.t 1611503.75,16iixx 16211()6.2022.15iisxx 于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间为为0.95(500.4,507.1)
