1、第六篇第六篇 量子论量子论早期量子论早期量子论量子力学量子力学相对论量子力学相对论量子力学普朗克能量量子化假说普朗克能量量子化假说爱因斯坦光子假说爱因斯坦光子假说康普顿效应康普顿效应玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论德布罗意实物粒子波粒二象性德布罗意实物粒子波粒二象性薛定谔方程薛定谔方程波恩的物质波统计解释波恩的物质波统计解释海森伯的测不准关系海森伯的测不准关系狄拉克把量子力学与狭义狄拉克把量子力学与狭义相对论相结合相对论相结合物体在不同温度下发出的各种电磁波的能物体在不同温度下发出的各种电磁波的能量按波长的分布随温度而不同的电磁辐射量按波长的分布随温度而不同的电磁辐射热辐射热辐射15-1 黑体
2、辐射黑体辐射 普朗克量子假设普朗克量子假设一、热辐射一、热辐射 绝对黑体辐射定律绝对黑体辐射定律单色辐射本领（单色辐出度）单色辐射本领（单色辐出度）波长波长 为的单色辐射本领是指单位时间内从物为的单色辐射本领是指单位时间内从物体的单位面积上发出的波长在体的单位面积上发出的波长在 附近单位波长间隔附近单位波长间隔所辐射的能量。所辐射的能量。)T(M 3m/W如果一个物体能全部吸收投射在如果一个物体能全部吸收投射在它上面的辐射而无反射，这种物它上面的辐射而无反射，这种物体称为体称为绝对黑体绝对黑体，简称，简称黑体黑体。0 1 2 3 4 5 6(m)1700K1500K1300K1100K)T(B
3、B 1、斯忒藩斯忒藩玻尔兹曼定律玻尔兹曼定律 0 d)T(M)T(MBB黑体辐射的总辐射本领（辐射出射度）黑体辐射的总辐射本领（辐射出射度）4T)T(MB 斯斯忒忒藩藩常常数数42810675 KmW.（即曲线下的面积）（即曲线下的面积）当绝对黑体的温度升高时，单色辐射出当绝对黑体的温度升高时，单色辐射出射度最大值向短波方向移动。射度最大值向短波方向移动。2、维恩位移定律维恩位移定律峰值波长峰值波长bTm 维维恩恩常常数数Km.b 3108982)T(MB m 实验值实验值)T(MB 维恩维恩瑞利瑞利-金斯金斯紫紫外外灾灾难难0123456789)m(TCBeC)T(M 251 TC)T(MB
4、43 二、普朗克量子假设二、普朗克量子假设h普朗克常数普朗克常数sJh 341063.6普朗克得到了普朗克得到了黑体辐射公式黑体辐射公式：11252 kThcBehc)T(M c 光速光速k 玻尔兹曼恒量玻尔兹曼恒量普朗克量子假说普朗克量子假说(1)黑体是由带电谐振子组成，这些谐振子辐射电磁波，黑体是由带电谐振子组成，这些谐振子辐射电磁波，并和周围的电磁场交换能量。并和周围的电磁场交换能量。h(2)这些谐振子能量不能连续变化，只能取一些分立值这些谐振子能量不能连续变化，只能取一些分立值，是最小，是最小能量能量 的整数倍的整数倍,这个最小能量称为这个最小能量称为能量子能量子。M.V.普朗克普朗克
5、 研究辐射的量子理研究辐射的量子理论，发现基本量子论，发现基本量子，提出能量量子化，提出能量量子化的假设的假设1918诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖15-2 光的量子性电效应光的量子性电效应一、光电效应一、光电效应 爱因斯坦方程的实验规律爱因斯坦方程的实验规律光电效应光电效应 光照射到金属表面时，光照射到金属表面时，有电子从金属表面逸出的现象。有电子从金属表面逸出的现象。光电子光电子 逸出的电子。逸出的电子。OOOOOOOOAKGVR光电子由光电子由K飞向飞向A，回路中，回路中形成形成光电流光电流。光电效应伏安特性曲线光电效应伏安特性曲线饱饱和和电电流流光光 强强 较较 强强光光 强强 较较 弱
6、弱截截止止电电压压IaU1sI2sIOU实验规律实验规律1、单位时间内从阴极逸出、单位时间内从阴极逸出的光电子数与入射光的强的光电子数与入射光的强度成正比。度成正比。2、存在遏止电势差、存在遏止电势差ameUmv 2210UkUa aU O0221eUekmvm kU0 称为红限频率称为红限频率kU00 0212 mmv对于给定的金属，当照射光频率小于金属的红限频率，对于给定的金属，当照射光频率小于金属的红限频率，则无论光的强度如何，都不会产生光电效应。则无论光的强度如何，都不会产生光电效应。ameUmv 2210UkUa (3)光电效应瞬时响应性质光电效应瞬时响应性质实验发现，无论光强如何微
7、弱，从光照射到光实验发现，无论光强如何微弱，从光照射到光电子出现只需要电子出现只需要 的时间。的时间。s910 爱因斯坦光电效应方程爱因斯坦光电效应方程Amvhm 221 爱因斯坦光子假说爱因斯坦光子假说光是以光速光是以光速 c 运动的微粒流，称为运动的微粒流，称为光量子光量子（光子光子）h 光子的能量光子的能量 金属中的自由电子吸收一个光子能量金属中的自由电子吸收一个光子能量h 以后，以后，一部分用于电子从金属表面逸出所需的逸出功一部分用于电子从金属表面逸出所需的逸出功A，一一部分转化为光电子的动能。部分转化为光电子的动能。0221eUekmvm Ahmvm 221ekh 0eUA hAkU
8、 00 3.从方程可以看出光电子初动能和照射光的从方程可以看出光电子初动能和照射光的频率频率 成线性关系。成线性关系。爱因斯坦对光电效应的解释爱因斯坦对光电效应的解释2.电子只要吸收一个光子就可以从金属表面逸出，电子只要吸收一个光子就可以从金属表面逸出，所以无须时间的累积。所以无须时间的累积。1.光强大，光子数多，释放的光电子也多，光强大，光子数多，释放的光电子也多，所以光电流也大。所以光电流也大。例例 根据图示确定以下各量根据图示确定以下各量1、钠的红限频率、钠的红限频率2、普朗克常数、普朗克常数3、钠的逸出功、钠的逸出功解：由爱因斯坦方程解：由爱因斯坦方程Amvhm 221 其中其中ame
9、Umv 221截止电压与入射光频关系截止电压与入射光频关系AheUa )V(UaO)Hz(1410 20.21065.00.6钠的截止电压与钠的截止电压与入射光频关系入射光频关系39.4AheUa 从图中得出从图中得出Hz141039.4 hddUea 从图中得出从图中得出sV.bcabddUa 1510873)V(UaO)10(14Hz 20.21065.039.4钠的截止电压与钠的截止电压与入射光频关系入射光频关系abc0.6sJ.ddUeha 341026 J.hA1910722 普朗克常数普朗克常数钠的逸出功钠的逸出功)V(UaO)10(14Hz 20.21065.039.4钠的截止电
10、压与钠的截止电压与入射光频关系入射光频关系abc0.6 A.爱因斯坦爱因斯坦 对现物理方面的贡对现物理方面的贡献，特别是阐明光献，特别是阐明光电效应的定律电效应的定律1921诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖二、康普顿效应二、康普顿效应 1922年间康普顿观察年间康普顿观察X射线通过物质散射时，发射线通过物质散射时，发现散射的波长发生变化的现象。现散射的波长发生变化的现象。X 射线管射线管R光阑光阑1B2B0 石墨体（散射物）石墨体（散射物）A晶晶体体探测器探测器石石墨墨的的康康普普顿顿效效应应.(a)(b)(c)(d)(埃埃)0.7000.75000 045 0135 090 1.散射散射X射线的
11、波长中射线的波长中有两个峰值有两个峰值0 02 .与散射角与散射角 有关有关3.不同散射物质，不同散射物质，在同一散射角下波在同一散射角下波长的改变相同。长的改变相同。4.波长为波长为 的散射光强的散射光强度随散射物质原子序度随散射物质原子序数的增加而减小。数的增加而减小。光子理论对康普顿效应的解释光子理论对康普顿效应的解释高能光子和低能自由电子作弹性碰撞的结果。高能光子和低能自由电子作弹性碰撞的结果。1、若光子和外层电子相碰撞，光子有一部分能量、若光子和外层电子相碰撞，光子有一部分能量传给电子传给电子,光子的能量减少，因此波长变长，频率光子的能量减少，因此波长变长，频率变低。变低。2、若光子
12、和内层电子相碰撞时，碰撞前后光子能、若光子和内层电子相碰撞时，碰撞前后光子能量几乎不变，故波长有不变量几乎不变，故波长有不变的成分的成分。3、因为碰撞中交换的能量和碰撞的角度有关，所以、因为碰撞中交换的能量和碰撞的角度有关，所以波长改变和散射角有关。波长改变和散射角有关。光子的能量、质量和动量光子的能量、质量和动量由于光子速度恒为由于光子速度恒为c，所以，所以光子的光子的“静止质量静止质量”为零为零.2201cvmm 光子的动量：光子的动量：cEp hch 光子能量光子能量:hE 420222cmcpE 康普顿效应的定量分析康普顿效应的定量分析0 hYX0meYX hvm（1）碰撞前碰撞前（2
13、）碰撞后碰撞后（3）动量守恒动量守恒Xnch vm00nch 碰撞前，电子平均动能（约百分之几碰撞前，电子平均动能（约百分之几eV），与入），与入射的射的X射线光子的能量（射线光子的能量（104105eV）相比可忽略，）相比可忽略，电子可看作静止的。电子可看作静止的。由由能量守恒能量守恒:由由动量守恒动量守恒:2002cmhhmc 22200 sincmh vmnchnch 00 2201cvmm 康普顿散射公式康普顿散射公式cmhc0 电子的康普顿波长电子的康普顿波长0243.0c Xnch vm00nch cosnn 01927诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖 A.H.康普顿康普顿 发现了发现
14、了X射线通过射线通过物质散射时，波长物质散射时，波长发生变化的现象发生变化的现象光的波粒二象性光的波粒二象性表示粒子特表示粒子特性的物理量性的物理量波长、频率是表示波长、频率是表示波动性的物理量波动性的物理量 表示光子不仅具有波动性，同时也具有粒子性，表示光子不仅具有波动性，同时也具有粒子性，即具有波粒二象性。即具有波粒二象性。h hp 2chm 光子是一种基本粒子，在真空中以光速运动光子是一种基本粒子，在真空中以光速运动一一、氢原子光谱的实验规律氢原子光谱的实验规律谱线是线状分立的谱线是线状分立的15-2 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论光谱公式光谱公式)n(R221211 422 nnB
15、R=4/B 里德伯常数里德伯常数 1.0967758107m-1连连续续0A73645.H 0A16562.H 红红0A74860.H 深绿深绿0A14340.H 青青0A24101.H 紫紫0A73645.B ,n6543 巴耳末公式巴耳末公式赖曼系赖曼系)n(R22111 在紫外区在紫外区,n432 帕邢系帕邢系)n(R22131 在近红外区在近红外区654,n 布喇开系布喇开系)n(R22141 在红外区在红外区765,n 普芳德系普芳德系)n(R22151 在红外区在红外区,n876 广义巴耳末公式广义巴耳末公式)nk(R2211 ,k321,k,k,kn321 )n(T)k(T 称为
16、光谱项称为光谱项22nR)n(T,kR)k(T 二二、玻尔氢原子理论玻尔氢原子理论原子的核式结构的原子的核式结构的缺陷缺陷：无法解释原子的稳定性无法解释原子的稳定性 无法解释原子光谱的不连续性无法解释原子光谱的不连续性玻尔原子理论的三个玻尔原子理论的三个基本假设基本假设：1、定态假设、定态假设原子系统存在一系列原子系统存在一系列不连续的能量状态不连续的能量状态，处于这些状，处于这些状态的原子中电子只能态的原子中电子只能在一定的轨道上在一定的轨道上绕核作圆周运动绕核作圆周运动，但，但不辐射能量不辐射能量。这些状态称为稳定状态，简称定态。这些状态称为稳定状态，简称定态。对应的能量对应的能量E1,E
17、2,E3是不连续的。是不连续的。2、频率假设、频率假设原子从一较大能量原子从一较大能量En的定态向另一较低能量的定态向另一较低能量Ek的的定定态跃迁时，辐射一个光子态跃迁时，辐射一个光子 knEEh 3、轨道角动量量子化假设、轨道角动量量子化假设 2hnL 轨道量子化条件轨道量子化条件n为正整数，称为量子数为正整数，称为量子数跃迁频率条件跃迁频率条件原子从较低能量原子从较低能量Ek的的定态向较大能量定态向较大能量En的定态的定态跃迁时，吸收一个光子跃迁时，吸收一个光子 基本假设应用于氢原子：基本假设应用于氢原子：(1)轨道半径量子化轨道半径量子化2222041nnrvmre 2hnmvrLn
18、)meh(nrn2202 第一玻尔轨道半径第一玻尔轨道半径02201A530.mehr (2)能量量子化和原子能级能量量子化和原子能级nnnremvE022421 ),n()hme(nEn3218122042 基态能级基态能级V.Ee58131 激发态能级激发态能级eVn.nEEn2215813 氢原子的电离能氢原子的电离能eV.EEE58131 电离电离)meh(nrn2202 (3)氢原子光谱氢原子光谱hEEkn c 12nRchEn 氢原子发光机制是能级间的跃迁氢原子发光机制是能级间的跃迁)nk(chme223204118 hcEEkn R理论理论里德伯常数里德伯常数1.09737310
19、7m-1R实验实验=1.096776107m-1氢原子光谱中的不同谱线氢原子光谱中的不同谱线赖曼系赖曼系巴耳末系巴耳末系帕邢系帕邢系布喇开系布喇开系连续区连续区 nE)eV(0850.511.393.613.43 n2 n1 n例例 试计算氢原子中巴耳末系的最短波长试计算氢原子中巴耳末系的最短波长 和最长波长各是多少？和最长波长各是多少？解：解：根据巴耳末系的波长公式，其最长波长应根据巴耳末系的波长公式，其最长波长应是是n=3n=2跃迁的光子，即跃迁的光子，即)(.)(Rmax22722312110097131211 o7A656310566 m.max 最短波长应是最短波长应是n=n=2跃迁
20、的光子，即跃迁的光子，即410097121172/.Rmin oA3464 min 例例（1）将一个氢原子从基态激发到）将一个氢原子从基态激发到n=4的激发态需的激发态需要多少能量？（要多少能量？（2）处于）处于n=4的激发态的氢原子可发的激发态的氢原子可发出多少条谱线？其中多少条可见光谱线，其光波波出多少条谱线？其中多少条可见光谱线，其光波波长各多少？长各多少？解：（解：（1）JeV.).(.EEEEE1821211410275125813458134 （2）在某一瞬时，一个氢原子只能发射与某一谱）在某一瞬时，一个氢原子只能发射与某一谱线相应的一定频率的一个光子，在一段时间内可以线相应的一定
21、频率的一个光子，在一段时间内可以发出的谱线跃迁如图所示，共有发出的谱线跃迁如图所示，共有6条谱线。条谱线。1 n2 n3 n4 n由图可知，可见光的谱线为由图可知，可见光的谱线为n=4和和n=3跃迁到跃迁到n=2的两条的两条)(R22424121 1771021016141100971 m.)(.o4242A48611 )(R22323121 1710150 m.o3232A65631 二、玻尔理论的缺陷二、玻尔理论的缺陷1.把电子看作是一经典粒子把电子看作是一经典粒子，推导中应用了牛顿，推导中应用了牛顿定律，使用了轨道的概念，定律，使用了轨道的概念，所以玻尔理论不是彻所以玻尔理论不是彻底的量
22、子论。底的量子论。2.角动量量子化的假设以及电子在稳定角动量量子化的假设以及电子在稳定轨道上运动轨道上运动时不辐射电磁波的是十分生硬的。时不辐射电磁波的是十分生硬的。3.无法解释光谱线的精细结构。无法解释光谱线的精细结构。4.不能预言光谱线的强度。不能预言光谱线的强度。N.玻尔玻尔 研究原子结构，特研究原子结构，特别是研究从原子发别是研究从原子发出的辐射出的辐射1922诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖15-4 粒子的波动性粒子的波动性一、德布罗意波一、德布罗意波德布罗意提出了德布罗意提出了物质波的假设物质波的假设：任何运动的粒子皆伴随着一个波，粒子的运动任何运动的粒子皆伴随着一个波，粒子的运动和波
23、的传播不能相互分离。和波的传播不能相互分离。运动的实物粒子的能量运动的实物粒子的能量E、动量、动量p与它相关联的与它相关联的波的频率波的频率 和波长和波长 之间满足如下关系：之间满足如下关系：hmcE 2 hmvp 德布罗意关系式德布罗意关系式表示自由粒子的平面波称为表示自由粒子的平面波称为德布罗意波德布罗意波(或或物质波物质波)自由粒子速度较小时自由粒子速度较小时电子的德布罗意波长为电子的德布罗意波长为mpE22 meVh2 0A212V.VV100 0A221.例如例如：电子经加速电势差：电子经加速电势差 V加速后加速后eVE mEhph2 物质波的实验验证物质波的实验验证 1927年戴维
24、孙和革末用加速后的电子投射到晶体年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体上进行电子衍射实验。上进行电子衍射实验。GK狭缝狭缝电电流流计计镍镍集集电电器器U电子束电子束单单晶晶 衍射最大值：衍射最大值：32102,kksind meUh2 电子的波长：电子的波长：meUhksind22 5102015250IV电流出现峰值电流出现峰值戴维孙戴维孙革末实验中革末实验中063 A0328000.kU.d nL.V.L.V.德布罗意德布罗意 n电子波动性的理论电子波动性的理论研究研究1929诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖nC.J.戴维孙戴维孙 n通过实验发现晶体通过实验发现晶体对电子的衍射作用对电子的衍射
25、作用1937诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖二、德布罗意波的统计解释二、德布罗意波的统计解释 1926年，德国物理学玻恩年，德国物理学玻恩(Born,1882-1972)提出了概率波，认为提出了概率波，认为个别微观粒子个别微观粒子在何处出现有一在何处出现有一定的定的偶然性偶然性，但是，但是大量粒子大量粒子在空间何处出现的空间在空间何处出现的空间分布却服从分布却服从一定的统计规律一定的统计规律。Y M.玻恩玻恩 Y对量子力学的基础对量子力学的基础研究，特别是量子研究，特别是量子力学中波函数的统力学中波函数的统计解释计解释1954诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖 微观粒子的空间位置要由概率波来描述，概率微
26、观粒子的空间位置要由概率波来描述，概率波只能给出粒子在各处出现的概率。任意时刻不具波只能给出粒子在各处出现的概率。任意时刻不具有确定的位置和确定的动量。有确定的位置和确定的动量。衍射图样衍射图样电子束电子束x缝缝a 2X方向电子的位置不准确量为：方向电子的位置不准确量为：ax 15-5 测不准关系测不准关系 sinx sinppx X方向的分动量方向的分动量px的测不准量为：的测不准量为：xp ph xxpxpx hphp xpypp 电子束电子束x缝缝a 2ax 考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以：考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以：经严格证明此式应为：经严格证明此式应为
27、：hxpx 2 xpx 这就是著名的海森伯测不准关系式这就是著名的海森伯测不准关系式hxpx 2 ypy 2 zpz 测不准关系式的理解测不准关系式的理解1.用经典物理学量用经典物理学量动量、坐标来描写微观粒子动量、坐标来描写微观粒子行为时将会受到一定的限制行为时将会受到一定的限制。3.对于微观粒子的能量对于微观粒子的能量 E 及它在能态上停留的平均及它在能态上停留的平均时间时间t 之间也有下面的测不准关系：之间也有下面的测不准关系：2.可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。力学来描写还是用量子力学来描写。2 t
28、E 原子处于激发态的平均寿命一般为原子处于激发态的平均寿命一般为这说明原子光谱有一定宽度，实验已经证实。这说明原子光谱有一定宽度，实验已经证实。2 tE st810 JtE26102 于是激发态能级的宽度为：于是激发态能级的宽度为：nW.海森堡海森堡 n创立量子力学，创立量子力学，并导致氢的同素并导致氢的同素异形的发现异形的发现1932诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖所以坐标及动量可以同时确定所以坐标及动量可以同时确定1.宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？，若，若的乒乓球的乒乓球,其直径其直径,可以认为其位可以认为其位置是完全确定的。其动量是否完全确定呢？置是完全
29、确定的。其动量是否完全确定呢？例例kgm210 cmd5 1200 smvxmx610 xvmx 2 6341010 12810 smkgxvm12 smkg问题？问题？电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。01Adx 例例 一电子以速度一电子以速度的速度穿过晶体。的速度穿过晶体。161001 sm.vxxmvx 2 1103134101010 sm1710 sm1610 smvx2.微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？15-6 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程)xt(cosA)t,x(y 2)
30、(2),(xtiAetxy 单色平面简谐波波动方程单色平面简谐波波动方程一一、波函数、波函数描述微观粒子的运动状态的概率波的数学式子描述微观粒子的运动状态的概率波的数学式子)(20),(xtietx 0)t,x(区别于经典波动区别于经典波动只只取取实实部部hEph )pxEt(ie)t,x(0 2h 其中其中若系统能量为确定值而不随时间变化若系统能量为确定值而不随时间变化只与坐标有关而与时间无关，只与坐标有关而与时间无关，振幅函数振幅函数Etie)x()t,x(pxie)x(0 波函数波函数物理意义物理意义在某处发现一个实物粒子的在某处发现一个实物粒子的几率几率同同波函数平方波函数平方成正比成
31、正比t时刻在时刻在(x,y,z)附近小体积附近小体积dV中出现微观粒子的概率为中出现微观粒子的概率为dVdV 2dxdydzdV 12 Vdxdydz波函数归一化条件波函数归一化条件波函数的标准条件：波函数的标准条件：单值单值、有限有限和和连续连续波函数的平方表征了波函数的平方表征了t 时刻，空间时刻，空间(x,y,z)处出现的处出现的概率密度概率密度)t,z,y,x(2物质波与经典波的本质区别物质波与经典波的本质区别经典波的波函数是实数，具有物理意义，可测量。经典波的波函数是实数，具有物理意义，可测量。可测量，具有物理意义可测量，具有物理意义1、物质波是复函数，本身无具体的物理意义，、物质波
32、是复函数，本身无具体的物理意义，一般是不可测量的。一般是不可测量的。22、物质波是概率波。、物质波是概率波。C 等价等价对于经典波对于经典波CAA ECE2 解：利用归一化条件解：利用归一化条件 dx)x(2例：求波函数归一化常数和概率密度。例：求波函数归一化常数和概率密度。)0()0(0axxasinAeax,xxEti adxaxsinA022 122 aAaA2 2 )0(2)0(02axaxsinaax,x 这就是这就是一维自由粒子（含时间）薛定谔方程一维自由粒子（含时间）薛定谔方程)pxEt(ie)t,x(0 2222px Eit 对于非相对论粒子对于非相对论粒子mpE22 tixm
33、 2222一维自由粒子的波函数一维自由粒子的波函数二、薛定谔方程二、薛定谔方程在外力场中粒子的总能量为：在外力场中粒子的总能量为：tiVxm 2222VpmE 221一维薛定谔方程一维薛定谔方程2222px Eit 三维薛定谔方程三维薛定谔方程tiVm 2222222222zyx 拉普拉斯算符拉普拉斯算符 哈密顿量算符哈密顿量算符VmH 222薛定谔方程薛定谔方程 Hti ti)t,z,y,x(Vm 222)t(f)z,y,x()t,z,y,x(如势能函数不是时间的函数如势能函数不是时间的函数代入薛定谔方程得：代入薛定谔方程得：tffiVm 12122 用分离变量法将波函数写为：用分离变量法将
34、波函数写为：)z,y,x(VmH 222只是空间坐标的函数只是空间坐标的函数只是时间的函数只是时间的函数Etffi 1Etike)t(f EVm 222Etie)z,y,x()t,z,y,x(粒子在空间出现的几率密度粒子在空间出现的几率密度222Etie)z,y,x()t,z,y,x(2)z,y,x(几率密度与时间无关，波函数描述的是几率密度与时间无关，波函数描述的是定态定态定态薛定谔方程定态薛定谔方程定定态态波波函函数数 02222 )x()VE(m)x(dxd 粒子在一维势场中粒子在一维势场中1933诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖15-7 薛定谔在几个一维问题中的应用薛定谔在几个一维问题中的
35、应用一、一维无限深一、一维无限深势阱势阱金属中的自由电子可看作在一维无限深势阱中运动金属中的自由电子可看作在一维无限深势阱中运动势能函数为：势能函数为：)ax,ax()axa()x(V22220 VO2a Vx2a 0 V VO2a Vx2a 0 V)x()EV(mdx)x(d 2222 V对对区：区：)EV(m 222 令令 ,V当当)x(dx)x(d 222 xxeBeA)x(,ax2当当0 BA)x(0)x(2ax 当当 BA)x(0 0)x(通解为通解为02222 )x(mEdx)x(d 0 VmEk2 令令0222 )x(kdx)x(d 方程的通解为：方程的通解为：ikxikxBeA
36、e)x(波函数连续波函数连续022 kasinDkacosC0 kasin,nnka21 VO2a Vx2a 0 V 对对区：区：kxsinDkxcosC)x(或或022 kasinDkacosC粒子的能量粒子的能量 321 22222,nn)ma(En mEk2,nnka21 xansinDxancosC)x()nsin(D)ncos(C)a(2202 ,nD)(C,n)(DC6420153110,nxancosC)x(531 ,nxansinD)x(642 ,n)xansin(an)xancos(a)x(64221,3,5,2 12222 aaxdxancosC 12222 aaxdxan
37、sinD aDC2 ,nxancosC)x(531 ,nxansinD)x(642 一一维维无无限限深深势势阱阱中中的的粒粒子子)x(2)x(OO2axx1 n2 n3 n4 n1E2E3E4E2a 2a2a 1,3,5,2 n)xancos(a)x(,n)xansin(a)x(6422 )x()x(相对于原点是对称的，称为正宇称或偶宇称。相对于原点是对称的，称为正宇称或偶宇称。)x()x(相对于原点是反对称的，称为负宇称或奇宇称。相对于原点是反对称的，称为负宇称或奇宇称。二、隧道效应二、隧道效应玻璃玻璃光波能透过界面进入光波能透过界面进入空气达数个波长的深空气达数个波长的深度（渗透深度）。度
38、（渗透深度）。玻璃玻璃电子的隧道结：在两层金属导体之间夹一薄绝缘层。电子的隧道结：在两层金属导体之间夹一薄绝缘层。电子的隧道效应：电子可以通过隧道结。电子的隧道效应：电子可以通过隧道结。EE0V0V0VV x1x2xO垒垒高高度度金金属属中中电电子子能能量量低低于于势势0VE 22101 00 0 xxxxxVxx)x(V区区薛定谔方程为：薛定谔方程为：0121212 kx0222222 kx0323232 kx2232mEk20222)EV(mk EE0V0V0VV x1x2xO2212mEkxikxikBeAe111 区区薛定谔方程为：薛定谔方程为：xkxkeBeA22222 区区薛定谔方
39、程为：薛定谔方程为：xikeA333 区粒子进入区粒子进入区的概率为区的概率为)EV(maxxxxeP012122222222123 势垒越宽透过的概率越小，势垒越宽透过的概率越小，(V0-E)越大透过的概率越小。越大透过的概率越小。为为势势垒垒的的宽宽度度12xxa)EV(maPln022xkxkeBeA22222 EE0V0V0VV x1x2xO样品表面样品表面隧道电流隧道电流扫描探针扫描探针计算机计算机放大器放大器样品样品探针探针运动控制运动控制系统系统显示器显示器扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜示意图示意图48个个Fe原子形成原子形成“量子围栏量子围栏”，围栏中的电子形成驻波围栏中的电子形
40、成驻波.三、三、一维谐振子一维谐振子粒子的势能函数粒子的势能函数222121xmkxV 薛定谔方程薛定谔方程02122222 )xmE(mdxd,nh)n(E21021 Ox2 1n2 n3 n0n221kx15-8 量子力学对氢原子的应用量子力学对氢原子的应用 氢原子由一个质子和一个电子组成，质子质量氢原子由一个质子和一个电子组成，质子质量是电子质量的是电子质量的1837倍，可近似认为质子静止，电子倍，可近似认为质子静止，电子受质子库仑电场作用而绕核运动。受质子库仑电场作用而绕核运动。电子势能函数电子势能函数re)r(V2041 电子的定态薛定谔方程为电子的定态薛定谔方程为04122022
41、)reE(m由于氢原子中心力场是球由于氢原子中心力场是球对称的，采用球坐标处理。对称的，采用球坐标处理。cossinrx sinsinry cosrz 2222222211 1 sinr)(sinsinr)rr(rrxzy OrP定态薛定谔方程为：定态薛定谔方程为：0421110222222222 )reE(msinr)(sinsinr)rr(rr用分离变量求解，令用分离变量求解，令)()()r(R),r(代入方程可得：代入方程可得：04121111120222222 reEmrddsin)dd(sinddsin)drdRr(drdR 2221 lmdd 令令011)41212220222 s
42、inm)dd(sinddsinreE(mr)drdRr(drdRl上式可分解为两个方程：上式可分解为两个方程：)reE(mr)drdRr(drdR202224121011)41212220222 sinm)dd(sinddsinreE(mr)drdRr(drdRl 2211sinm)dd(sinddsinl2221lmdd 氢原子只能处于一些分立的状态，可用三个量子数描写：氢原子只能处于一些分立的状态，可用三个量子数描写：1、主量子数、主量子数n决定着氢原子的能量决定着氢原子的能量2、角量子数、角量子数l角动量大小角动量大小)l(lL1 )n(,l1210 1822204nhmeE ,n321
43、 3、磁量子数、磁量子数ml角动量空间取向量子化角动量空间取向量子化lzmL l,ml 210空间量子化示意图空间量子化示意图)(z101 1 l)(z101 2 l)(z101 3 l3223 2 2 2 L6 L12 L15-9 斯特恩斯特恩盖拉赫实验盖拉赫实验证实了原子的磁矩在外场中取向是量子化的。证实了原子的磁矩在外场中取向是量子化的。即角动量在空间的取向是量子化的。即角动量在空间的取向是量子化的。1、电子的轨道磁矩、电子的轨道磁矩电子磁矩大小电子磁矩大小IA I dze rev回路包围的面积回路包围的面积电流强度电流强度 AITeI 周周期期电电子子电电量量 Te 扫扫过过的的面面积
44、积时时间间内内电电子子矢矢径径 rdt dr221I dze rev绕绕行行一一周周扫扫过过的的面面积积 TdtdtdrdrA022022121 dtdmr 2电子的角动量电子的角动量 TdtmLA02电子在有心力场中运动，角动量守恒电子在有心力场中运动，角动量守恒TmLA2 LmeIA2 Lme2 是是角角量量子子数数l,)l(lL 1 角动量在外磁场方向（取为角动量在外磁场方向（取为z轴正向）的投影轴正向）的投影是磁量子数是磁量子数llzm,mL 磁矩在磁矩在z轴的投影轴的投影BllzzmmmeLme 221512410795102792 TeV.TJ.meB 玻尔磁子玻尔磁子载流线圈在外
45、磁场中受力矩作用载流线圈在外磁场中受力矩作用BM cosBdsinBMdW 22BBcosBUz 力矩作功力矩作功相互作用势能（磁矩垂直磁场方向时为势能零点）相互作用势能（磁矩垂直磁场方向时为势能零点）zBzUfzz 磁场在磁场在z方向不均匀，载流线圈在方向不均匀，载流线圈在z方向受力方向受力结论结论：原子射线束通过不均匀磁场，：原子射线束通过不均匀磁场，原子磁矩在磁力作用下偏转。原子磁矩在磁力作用下偏转。1921年，斯特恩年，斯特恩（O.Stern）和盖拉赫和盖拉赫（W.Gerlach）发现一些处于发现一些处于S 态的原子射线态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为两束。束，在非均匀磁场中一束
46、分为两束。Q1S2SSNLsOzvLt zz)vL(zBMtMfats 222212121 向上偏转向上偏转0 z 向下偏转向下偏转0 z 实验现象实验现象：屏上几条清晰可辨的黑斑：屏上几条清晰可辨的黑斑结论结论：原子磁矩只能取几个特定方向，：原子磁矩只能取几个特定方向，即角动量在外磁场方向的投影是量子化的。即角动量在外磁场方向的投影是量子化的。斑纹条纹数斑纹条纹数=2l+1从斑纹条纹数可确定角量子数从斑纹条纹数可确定角量子数l发现发现：Li,Na,K,Cu,Ag,Au等基态原子的斑纹数为等基态原子的斑纹数为221 l2121或或 zL矛矛盾盾？与与,l210 15-10 电子自旋电子自旋 1
47、925年，乌仑贝克年，乌仑贝克(G.E.Uhlenbeck)和高德斯密和高德斯密特特(S.A.Goudsmit)提出：提出：除轨道运动外，电子还存在一种除轨道运动外，电子还存在一种自旋自旋运动。运动。电子具有电子具有自旋角动量自旋角动量和相应的和相应的自旋磁矩自旋磁矩。)1(ssS自旋角动量自旋角动量21 ss称为自旋量子数称为自旋量子数23 S自旋角动量的空间取向自旋角动量的空间取向是量子化的，是量子化的，在外磁场方向投影在外磁场方向投影szmS 21 ssmm 称为自旋磁量子数称为自旋磁量子数自旋磁矩自旋磁矩Smes 在外磁场方向投影在外磁场方向投影BzSmeSmez 2meSS meLL
48、2 自旋磁矩大小与自旋角动量大小的比值自旋磁矩大小与自旋角动量大小的比值轨道磁矩大小与轨道角动量大小的比值轨道磁矩大小与轨道角动量大小的比值电子自旋及空间量子化电子自旋及空间量子化S23 S21 sm21 smzO“自旋自旋”不是宏观物体的不是宏观物体的“自转自转”只能说电子自旋是电子的一种内部运动只能说电子自旋是电子的一种内部运动15-11 原子的壳层结构原子的壳层结构 多电子的原子中电子的运动状态用多电子的原子中电子的运动状态用(n,l,ml,ms)四个量子数表征：四个量子数表征：（1）主量子数）主量子数n，可取，可取n=1,2,3,4,决定原子中电子能量的主要部分。决定原子中电子能量的主
49、要部分。（2）角量子数）角量子数l，可取，可取l=0,1,2,(n-1)确定电子轨道角动量的值。确定电子轨道角动量的值。nl表示电子态表示电子态l 0 1 2 3 4 5 6 7 8记号记号 s p d f g h i k l如如 1s 2p（3）磁量子数）磁量子数ml，可取，可取ml=0,1,2,l 决定电子轨道角动量在外磁场方向的分量。决定电子轨道角动量在外磁场方向的分量。（4）自旋磁量子数）自旋磁量子数ms，只取，只取ms=1/2 确定电子自旋角动量在外磁场方向的分量。确定电子自旋角动量在外磁场方向的分量。“原子内电子按一定壳层排列原子内电子按一定壳层排列”主量子数主量子数n四个相同的电
50、子组成一个主壳层。四个相同的电子组成一个主壳层。n=1,2,3,4,的壳层依次叫的壳层依次叫K,L,M,N,壳层。壳层。每一壳层上，对应每一壳层上，对应l=0,1,2,3,可分成可分成s,p,d,f分壳层。分壳层。（一）泡利（一）泡利(W.Pauli)不相容原理不相容原理在同一原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有在同一原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的四个量子数（即处于完全相同的状态）。完全相同的四个量子数（即处于完全相同的状态）。各壳层所可能有的最多电子数各壳层所可能有的最多电子数:当当n给定，给定，l 的可取值为的可取值为0,1,2,n-1共共n个个;当当l给定，给定，
