1、 【题型综述题型综述】 三点共线问题证题策略一般有以下几种：斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过 任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于 另外两个距离之和，则这三点共线；向量法：利用向量共线定理证明三点共线；直线方程法：求出过 其中两点的直线方程，在证明第 3 点也在该直线上;点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程， 计算出第三点到该直线的距离，若距离为 0，则三点共线.面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面 积，若面积为 0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”. 【典例指引】
2、【典例指引】 类型一类型一 向量法证三点共线向量法证三点共线 例 1 （2012 北京理 19） （本小题共 14 分）已知曲线C: 22 (5)(2)8m xmy（mR） ()若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围； ()设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方） ，直线 4ykx与曲线交于不同的两 点M,N,直线1y 与直线BM交于点G，求证：A，G，N三点共线. MB方程为： 6 2 M M kx yx x ，则 3 1 6 M M x G kx ， 3 1 6 M M x AG x k ，2 NN ANxx k， 欲证AGN， ，三点共线，只需证AG，AN共线 即
3、 3 (2) 6 M NN M x x kx x k 成立，化简得：(3)6() MNMN kk x xxx 将代入易知等式成立，则A GN， ， 三点共线得证。学 2. 给出以下情形之一： ACAB/ ；存在实数,ABAC使；若存在实数 ,1,OCOAOB 且使,等于已知 CBA,三点共线； 【新题展示】【新题展示】 1 【2019 北京首都师范大学附属中学预测】在平面直角坐标系中，点在椭圆 上，过点 的直线 的方程为 （）求椭圆 的离心率； （）若直线 与 轴、 轴分别相交于两点，试求面积的最小值； （）设椭圆 的左、右焦点分别为，点 与点关于直线 对称，求证：点三点共线 【思路引导】 （
4、）求得椭圆 C 的 a，b，c，运用离心率公式计算即可得到所求值； （）在直线 l 中，分别令 x0，y 0，求得 A，B 的坐标，求得三角形 OAB 的面积，由 P 代入椭圆方程，运用基本不等式即可得到所求最 小值； （）讨论当 x00 时，P（0， 1） ，当 x00 时，设点 Q（m，n） ，运用对称，分别求得 Q 的坐 标，运用三点共线的条件：斜率相等，即可得证 【解析】 （）依题意可知，所以椭圆 离心率为 （）因为直线 与 轴， 轴分别相交于两点，所以 来源:163文库 令，由得，则 令，由得，则 所以的面积 因为点在椭圆 上，所以 所以即，则 所以 当且仅当，即时，面积的最小值为
5、（）当时，当直线时，易得，此时， 因为，所以三点共线同理，当直线时，三点共线 当时，设点，因为点 与点关于直线 对称， 所以整理得 解得所以点 又因为，且 所以 所以点三点共线 综上所述，点三点共线 2 【2019 广东深圳 2 月调研】在平面直角坐标系中， 椭圆 的中心在坐标原点 ，其右焦点为， 且点 在椭圆 上 来源:163文库 （1）求椭圆 的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为 、 、是椭圆上异于 ， 的任意一点，直线交椭圆 于另一点 ，直 线交直线于 点， 求证： ， ， 三点在同一条直线上 【思路引导】 （1） （法一）由题意，求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，求得，进而求得
6、的值，即可得到椭圆 的标准方程； （法二）设椭圆 的方程为（） ，列出方程组，求得的值，得到椭圆的标准方程。 （2）设，直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系和向量的运算， 即可证得三点共线。 【解析】 （1） （法一）设椭圆 的方程为， 一个焦点坐标为，另一个焦点坐标为， 由椭圆定义可知， ，椭圆 的方程为 （法二）不妨设椭圆 的方程为（） ， 来源:Z+xx+k.Com 一个焦点坐标为， 又点在椭圆 上， 联立方程，解得， 椭圆 的方程为 （2）设，直线的方程为， 由方程组消去 ，并整理得：， ， 直线的方程可表示为， 将此方程与直线联立，可求得点 的坐标为， ， ，所以， 又向量和
7、有公共点 ，故 ， ， 三点在同一条直线上 3 【2019 安徽合肥一模】设椭圆 ()的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于 ， 两点，若椭圆 的离心率为，的周长为 (1)求椭圆 的方程； (2)设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆 于点 ， ，设弦，的中点分别为，证明： 三点共线 【思路引导】 ()由的周长为 求得 ，由离心率求得 ，从而可得 的值，进而可得结果；()易知，当直线 的斜率不存在时，三点共线；当直线的斜率存在时，由点差法可得 ， ，即，同理可得，从而可得结论 【解析】 ()由题意知， 又， 椭圆 的方程为 ()易知，当直线的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点 在 轴上，三点
8、共线； 当直线的斜率存在时，设其斜率为 ，且设 联立方程得相减得， ， ，即， 同理可得，所以三点共线 【同步训练】【同步训练】 1已知椭圆 E：+=1（a）的离心率 e=，右焦点 F（c，0） ，过点 A（ ，0）的直线交椭 圆 E 于 P，Q 两点 （1）求椭圆 E 的方程； （2）若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：M，F，Q 三点共线； （3）当FPQ 面积最大时，求直线 PQ 的方程 【思路点拨】 （1）由椭圆的离心率公式，计算可得 a 与 c 的值，由椭圆的几何性质可得 b 的值，将 a、b 的 值代入椭圆的方程计算可得答案； （2）根据题意，设直线 PQ 的方程为 y=k
9、（x3） ，联立直线与椭圆的方程可得（3k2+1）x218k2x+27k2 6=0，设出 P、Q 的坐标，由根与系数的关系的思路引导求出、的坐标，由向量平行的坐标表示方法， 思路引导可得证明； （3）设直线 PQ 的方程为 x=my+3，联立直线与椭圆的方程，思路引导有（m2+3）y2+6my+3=0，设 P（x1， y1） ，Q（x2，y2） ，结合根与系数的关系思路引导用 y1y2表示出FPQ 的面积，思路引导可得答案 （3）设直线 PQ 的方程为 x=my+3 由方程组，得（m2+3）y2+6my+3=0，学& 2.已知椭圆 C：+y2=1 的左顶点为 A，右焦点为 F，O 为原点，M，
10、N 是 y 轴上的两个动点，且 MFNF， 直线 AM 和 AN 分别与椭圆 C 交于 E，D 两点 （）求MFN 的面积的最小值； （）证明；E，O，D 三点共线 【思路点拨】 （I）F（1，0） ，设 M（0，t1） ，N（0，t2） 不妨设 t1t2由 MFNF，可得=0，化为： t1t2=1SMFN=，利用基本不等式的性质即可得出 （II）A（，0） 设 M（0，t） ，由（1）可得：N（0，） ， （t1） 直线 AM，AN 的方程分别为： y=x+t，y=x分别与椭圆方程联立，利用一元二次方程的根与系数的关系可得 kOE，kOD只 要证明 kOE=kOD即可得出 E，O，D 三点共
11、线 【详细解析】 （I）F（1，0） ，设 M（0，t1） ，N（0，t2） 不妨设 t1t2学& MFNF，=1+t1t2=0，化为：t1t2=1 SMFN= =1当且仅当 t1=t2=1 时取等号 3.已知焦距为 2 的椭圆 W：+=1（ab0）的左、右焦点分别为 A1，A2，上、下顶点分别为 B1， B2，点 M（x0，y0）为椭圆 W 上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线 MA1，MA2，MB1，MB2的斜率之 积为 （1）求椭圆 W 的标准方程； （2）如图所示，点 A，D 是椭圆 W 上两点，点 A 与点 B 关于原点对称，ADAB，点 C 在 x 轴上，且 AC 与 x 轴垂直，
12、求证：B，C，D 三点共线 【思路点拨】 （1）由 c=1，a2b2=1，求得四条直线的斜率，由斜率乘积为，代入求得 a 和 b 的关系，即 可求得 a 和 b 的值，求得椭圆 W 的标准方程； （2）设 A，D 的坐标，代入椭圆方程，作差法，求得直线 AD 的斜率，由 kADkAB=1，代入求得 =，由 kBDkBC=0，即可求证 kBD=kBC，即可求证 B，C，D 三点共线 （2）证明：不妨设点 A（x1，y1） ，D（x2，y2） ，B 的坐标（x1，y1） ，C（x1，0） ， A，D 在椭圆上，=0，即（x1x2） （x1+x2）+2（y1y2） （y1+y2）=0， =，学& 由
13、 ADAB， kADkAB =1，=1， （， ）=1， =， kBDkBC= =0， kBD=kBC， B，C，D 三点共线学& 4.给定椭圆 C：+=1（ab0） ，称圆 C1：x2+y 2=a2+b2 为椭圆的“伴随圆”已知 A（2，1）是椭圆 G： x2+4y2=m（m0）上的点 （）若过点 P（0，）的直线 l 与椭圆 G 有且只有一个公共点，求直线 l 被椭圆 G 的“伴随圆”G1所截 得的弦长； （）若椭圆 G 上的 M，N 两点满足 4k1k2=1（k1，k2是直线 AM，AN 的斜率） ，求证：M，N，O 三点 共线 【思路点拨】 （）将 A 代入椭圆方程，可得 m，进而得到
14、椭圆方程和伴椭圆方程，讨论直线 l 的斜率不存 在和存在，设出 l 的方程，代入椭圆方程运用判别式为 0，求得 k，再由直线和圆相交的弦长公式，计算即 可得到所求弦长； （）设直线 AM，AN 的方程分别为 y1=k1（x2） ，y1=k2（x2） ，设点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 联立椭圆方程求得交点 M，M 的坐标，运用直线的斜率公式，计算直线 OM，ON 的斜率相等，即可得证 5.已知椭圆 ,四点 中恰有三点在椭圆 C 上 （1）求椭圆 的方程. （2）经过原点作直线 （不与坐标轴重合）交椭圆于 ， 两点， 轴于点 ，点 在椭圆 C 上，且 求证： ， 三点共线. 【思路
15、点拨】根据椭圆上的点坐标求出椭圆方程；设出， ，则， ，再向 量坐标化，得到，得到，最终得到； 6.已知抛物线 ：（）的焦点为 ，点为直线 与抛物线 准线的交点，直线 与抛物线 相 交于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 . （1）求抛物线 的方程； （2）证明：点 在直线上. 【思路点拨】 （1）由交点坐标可得，求得可得抛物线方程； （2）设直线 的方程为 （） ，代入抛物线方程消去 x 整理得，再设，进而得，可 得直线的方程为， 又， 故BD方程化为， 令，得，即结论成立。 【详细解析】 （1）依题意知，解得，学& 所以抛物线 的方程. （2）设直线 的方程为（） ， 7.已知椭圆C ：
16、22 22 1(0) xy ab ab 的离心率与双曲线C： 22 1 22 xy 的离心率互为倒数，且经过 点 4 1 , 3 3 M （1）求椭圆C的标准方程； （2）如图，已知,R S是椭圆上的两个点，线段RS的中垂线的斜率为 1 2 且与RS交于点P， O为坐标原 点，求证： ,P O M三点共线 【思路点拨】(1)由二者离心率互为倒数以及椭圆经过点 4 1 , 3 3 M ，建立关于 a，b，c 的方程组从而得到椭 圆的标准方程； （2）因为线段线段RS的中垂线的斜率为 1 2 ，所以线段RS所在直线的斜率为2，线段RS所在直线的方 程为2yxm ，联立方程可得 22 98220 x
17、mxm ，利用韦达定理得到弦的中点的坐标，所以 00 1 4 yx，所以点P在定直线 1 4 yx上，而,O M两点也在定直线 1 4 yx上，所以,P O M三点共线 【详细解析】 （1）因为双曲线C： 22 1 22 xy 的离心率 2 2 2 c e a ，学& 而椭圆C的离心率与双曲线C的离心率互为倒数，所以椭圆C的离心率为 2 2 ， 设椭圆C的半焦距为c，则 2 2 c e a . 又椭圆C经过点 4 1 , 3 3 M ，所以 22 22 41 33 1 ab . 222 abc ， 联立，解得2,1,1abc. 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 2 x y. 来源: 8.设椭
18、圆 C：+=1（ab0）的右焦点为 F1，离心率为 ，过点 F1且与 x 轴垂直的直线被椭圆截 得的线段长为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若 y2=4x 上存在两点 M，N，椭圆 C 上存在两个点 P，Q，满足：P，Q，F1三点共线，M，N，F1三 点共线且 PQMN，求四边形 PMQN 的面积的最小值 【思路点拨】 （1）由题意可知：a=b2，a=c 及 a2=b2c2，即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆的标准方程； （2）讨论直线 MN 的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线 MN 斜率存在时，设直线方程 为：y=k（x1） （k0）联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理
19、和弦长公式，以及四边形的面积公式， 计算即可得到最小值 由弦长公式|PQ|= ， 四边形 PMQN 的面积 S=|MN|PQ|=， 令 1+k2=t， （t1） ， 则 S= =4 （1+）4， S4， 综上可知：四边形 PMQN 的面积的最小值 4学& 9.已知椭圆的 右焦点为 F，设直线 l：x=5与 x 轴的交点为 E，过点 F 且斜率为 k 的直线 l1 与椭圆交于 A，B 两点，M 为线段 EF 的中点 （I）若直线 l1的倾斜角为，求ABM 的面积 S 的值； （）过点 B 作直线 BNl 于点 N，证明：A，M，N 三点共线 【思路点拨】 （I）由题意，直线 l1的 x=y+1，
20、代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式即可求得ABM 的面 积 S 的值； （）直线 y=k（x1） ，代入椭圆方程，由韦达定理，利用直线的斜率公式，即可求得 kAM=kMN，A，M， N 三点共线 10.已知椭圆 C：=1（ab0）的长轴长为 2，且椭圆 C 与圆 M： （x1） 2+y2= 的公共弦长为 （1）求椭圆 C 的方程 （2）经过原点作直线 l（不与坐标轴重合）交椭圆于 A，B 两点，ADx 轴于点 D，点 E 在椭圆 C 上，且 ，求证：B，D，E 三点共线. 【思路点拨】 （1）由题意得，由椭圆 C 与圆 M：的公共弦长为，其长度等于 圆 M 的直径，得椭圆 C 经过点，由此能求
21、出椭圆 C 的方程 （2）设 A（x1，y1） ，E（x2，y2） ，则 B（x1，y1） ，D（x1，0） 利用点差法求出 ， 从而求出 kABkAE=1，进而求出 kBE=kBD，由此能证明 B，D，E 三点共线 【详细解析】 （1）由题意得，则 由椭圆 C 与圆 M：的公共弦长为， 其长度等于圆 M 的直径， 即 又=， 所以 kABkAE=1， 即， 所以 所以 又=， 所以 kBE=kBD， 所以 B，D，E 三点共线 11.已知椭圆 C：+=1（ab0）的离心率为，且过点（1， ） ，椭圆 C 的右焦点为 A，点 B 的 坐标为（，0） （）求椭圆 C 的方程； （）已知纵坐标不同
22、的两点 P，Q 为椭圆 C 上的两个点，且 B、P、Q 三点共线，线段 PQ 的中点为 R， 求直线 AR 的斜率的取值范围 【思路点拨】 （）由椭圆的离心率为，且过点（1，） ，列出方程组，求出 a，b，由此能求出椭圆 C 的方程 （） 依题意直线 PQ 过点 （， 0） ， 且斜率不为 0， 设其方程为 x=my+， 联立， 得 4 （3m2+4） y2+12my45=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线 AR 的斜率的取值范围 （）依题意直线 PQ 过点（，0） ，且斜率不为 0， 故可设其方程为 x=my+， 联立，消去 x，得 4（3m2+4）y2+12my45
23、=0， 设点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，R（x0，y0） ，直线 AR 的斜率为 k， 故， ，k=， 当 m=0 时，k=0， 当 m0 时，k=，故|4m+|=4|m|+ ， 0， 0|k|， ，且 k0， 综上所述，直线 AR 的斜率的取值范围是 12.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：+=1（ab0）的离心率为，抛物线 E：x2=4y 的焦点是 椭圆 C 的一个顶点 （）求椭圆 C 的方程； （）若 A，B 分别是椭圆 C 的左、右顶点，直线 y=k（x4） （k0）与椭圆 C 交于不同的两点 M，N， 直线 x=1 与直线 BM 交于点 P 来源:ZXXK （i）
24、证明：A，P，N 三点共线； （ii）求OMN 面积的最大值 【思路点拨】 （）由题意知a=2，b=1，c=，即可； （） （i）将直线 y=k（x4） （k0）代入椭圆 C 得： （1+4k2）x232k2x+64k24=0则 M（x1，k（x14） ） ， N （x2， k （x24） ） 要证 A， P， N 三点共线， 只证明共线即可， 即证明 成立 （ii）将直线 y=k（x4） （k0）变形为 x=my+4， （m=） 联立得（m24）y2+8my12=0 |MN|=，点 O 到直线 MN 的距离 d=OMN 面积 S= |MN| d 即可 则 M（x1，k（x14） ） ，N（x2，k（x24） ） BM 的方程为：，P（1，） ） 要证 A，P，N 三点共线，只证明共线即可， 即证明成立 即证明 2x1x25（x1+x2）8=0，将代入上式显然成立 A，P，N 三点共线
