1、 - 1 - 2016-2017 学年度第二学期半期考试试题 高二数学（理科） (本卷满分 150分 ,时间 120 分钟 ) 一、选择题（共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1若 a 为正实数， i 为虚数单位， 2? ia ，则 a =（ ） A.2 B. 3 C. D.1 2 函数 xxf 2sin)( ? 的导数是（ ） . xsin2 . x2sin2 xcos2 x2sin 3 复数 iiz ? 1 在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4. 已知三角形的三边分别为 cba,，内切圆的半径为 r，则三角形的面积为as (21?
2、rcb )?；四面体的四个面的面积分别为 4321 , ssss ，内切球的半径为 R.类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ） A. RssssV )(21 4321 ? B. RssssV )(31 4321 ? C. RssssV )(41 4321 ? D. RssssV )( 4321 ? 5. 若曲线 2y x ax b? ? ?在点 (0, )b处的切线方程是 10xy? ? ?，则 ( ) A. 1, 1ab? B. 1, 1ab? ? C. 1, 1ab? ? D. 1, 1ab? ? 6. 已知 1?c ， cca ? 1 ， 1? ccb ，则正确的结论是 ( ) A a
3、 b B a b C a b D a、 b大小不定 7.点 M的直角坐标是 )1,3( ? ，则点 M的极坐标为（ ） A )65,2( ? B )67,2( ? C )611,2( ? D )6,2( ? 8. 已知复数23(1 3 )iz i? ? ， z 是 z的共轭复数，则 zz? =（ ） - 2 - A. 14 B.12 C.1 D.2 9. 某纺织厂的一个车间有技术工人 m 名（ mN?），编号分别为 1、 2、 3、 m ，有 n 台（ nN?）织布机，编号分别为 1、 2、 3、 n ，定义记号 ija：若第i名工人操作了第j号织布机，规定 1ija?，否则 0ija ?，则
4、等式 41 42 43 4 3na a a a? ? ? ? ?的实际意义是（ ） A第 4 名工人操作了 3台织布机 B.第 4名工人操作了 n台织布机 C第 3 名工人操作了 4台织布机 D.第 3名工人操作了 台织布机 10. 函数 331 xxy ? 有（ ） A.极小值 1，极大值 1 B.极小值 2，极大值 3 C.极小值 2，极大值 2 D.极小值 1，极大值 3 11. 设 ()fx? 是函数 ()fx的导函数，将 ()y f x? 和 ()y f x? 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 12. 若21( ) ln ( 2 )2f x x b x? ? ? ?
5、 ?在 ( - 1 , + )上是减函数，则 的取值范围是（ ） A. 1, )? ? B. ( 1, )? ? C. ( , 1? D. ( , 1)? 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13把 1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图所示，则第七个三角形点数是 _ 14. 在极坐标系中 ,圆4sin?的圆心到直线()6 R?的距离是 _ 15. 由曲线 22 ? xy ， xy 3? 所围成图形的面积是 _ - 3 - 16. 已知函数 )(xf是定义在 R 上的奇函数， 0)1( ?f ， 0)()(2 ? x x
6、fxfx )0( ?x，则不等式 0)(2 ?xfx 的解集是 _. 三、解答题（共 6小题，满分 70） 17. （本题满分 10分） 设复数 i iiz ? ? 2 )1(3)1(2，若 inmzz ? 12 ，求实数 m， 的值 . 18.（本题满分 12分） 若 cba , 均为实数， .62,32,22 222 ? ? xzczybyxa 求证：cba , 中至少有一个大于 0.http:/ 19.（本题满分 12分） 若 ),3,2,1(0 nixi ? ， 观 察 下 列 不 等 式 ： 4)11)(2121 ? xxxx，9)111)( 321321 ? xxxxxx ， ，请
7、你猜测 )111)( 2121 nn xxxxxx ? ? 将满足的不等式，并用数学归纳法加以证明 . 20.（本题满分 12分） 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 x (吨 )与每吨产品的价格 p (元 /吨 )之间的关系式为： 2124200 5px?,且生产 x 吨的成本为 50000 200Rx?（元） .问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润 =收入成本） 21.（本题满分 12分） 设函数 0),(,)1(31)( 223 ? mRxxmxxxf 其中（ 1）当 时，1?m求曲线 ）（，在点（ 11)( fxfy ? 处的切线斜率； （ 2）求函
8、数的单调区间与极值； - 4 - （ 3）已知函数 )(xf有三个互不相同的零点 21,0 xx ，且 21 xx ? ,若对任意的 ,21 xxx?， )1()( ff ?恒成立，求 m的取值范围 . 22.（本题满分 12分） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为232252xtyt? ? ?（ t 为参数） . 在以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆 C 的方程为 2 5sin? . （ 1）写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； （ 2）若点 P 的坐标为 (3, 5) ，圆 C 与直线 l 交于 ,AB两点，求 | | | |PA PB?
9、 的值 . 2016-2017学年度第二学期半期考试试题 高二数学（理科） 参考答案 一选择题（本 大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A B A B B A A D D C 二填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13. 28 14 3 15. 61 16 ),1()0,1( ? ? 三、解答题（共 6小题，满分 70 分 ） 17. （本题满分 10分） 解 :iii iiiii iii iiz ? ? ? ? 1)2)(2( )2)(3(232 3322 )1(3)1(2 ，将 iz ?1
10、代入- 5 - inmzz ? 12 ，得 inimi ? 1)1()1( 2 ，所以 iimnm ? 1)2()( 于是 ? ? ? .1)2( ,1mnm得 4,3 ? nm . 18.（本题满分 12分） 解：假设 cba , 都不大于 0，即 0,0,0 ? cba ，则有0? cba ， http:/ ? cba )62()32()22( 222 ? ? xzxyyx 3)632()1()1()1( 222 ? ?zyx 3)1()1()1( 222 ? ?zyx 因为 222 )1(,)1(,)1( ? zyx 均大于或等于 0， 03 ? ，所以 0? cba ，这与假设 0?
11、cba 矛盾，故 cba , 中至少有一个大于 0. 19.（本题满分 12分） 解：满足的不等式为 )2()111)(22121 ? nnxxxxxx nn ?，证明如下： 1、 当 2?n时，结论成立； 2、 假设 kn?时，结论成立，即 22121 )111)( kxxxxxxkk ? ?那么，当 1?kn 时， ? )1111)(121121 kkkk xxxxxxxx ?)111)( 2121 kk xxxxxx ? ? ? ?121 1)( kxxx ? ? 21111( xxxk2221212 )1(121)111)(21)1 ? kkkxxxxxxkxkkk?显然，当 1?kn
12、 时，结论成立。 由 1、 2 知对于大于 2的整数 n， 22121 )111)( nxxxxxxnn ? ?成立 . 20（本题满分 12分） - 6 - 解：每月生产 x吨时的利润为 )20050000()5124200()( 2 xxxxf ? ).(200,20002400053)()0(5000024000512123舍去解得由 ?xxxxfxxx0)(200),0)( ? xfxxf 使内只有一个点在因 ，故它就是最大值点， 且最大值为： )(31500005000020024000)200(51)200( 3 元?f 答：每月生产 200吨产品时利润达到最大，最大利润为 315
13、万元 . 21.（本题满分 12分） 解：（ 1） 当 1?m 时， 2331)( xxxf ? ， xxxf 2)( 2 ? ，故 1)1( ?f 所以曲线 ）（，在点（ 11)( fxfy ? 处的切线斜率为 1. （ 2） 12)( 22 ? mxxxf ，令 0)( ?xf ，得到 mxm ? 1,1 因为 mmm ? 11,0 所以 当 x变化时， )(),( xfxf 的变化情况如下表： )1,( m? 1 )1,1( mm ? ),1( ?m )( xf负 0 正 0 负 )(xf极小值 极大值 )(xf在 )1,( m?和 ),1( ?内减函数，在 )1,1( mm ?内增函数
14、 . 函数 )(xf在 m?1处取得极大值 )1( mf ?，且 )1( mf ?= 3132 23 ?m函数 )(xf在 m?1处取得极小值 )1( mf ?，且 )1( mf ?= 3132 23 ? mm（ 3） 由题设， )(31)131()( 2122 xxxxxmxxxxf ?- 7 - 所 以 方 程 131 22 ? mxx =0 有 两 个 相 异 的 实 根 2,xx，故 321 ?xx ，且0)1(341 2 ? m，解得 21)(21 ? mm ，舍 因为 123,32,221221 ? xxxxxx 故所以若 0)1)(1(31)1(,12121 ? xxfxx 则，
15、而 0)( 1 ?xf ，不合题意 若 ,1 21 xx ?则对任意的 , 21 xx?有 ,0,0 21 ? xxx 则 0)(31)( 21 ? xxxxxxf 又 0)1 ?f ，所以函数 )(f在 , 21 xx?的最小值为0，于是对任意的 , 21 xxx?， )1()( ff ?恒成立的充要条件是 031)1( 2 ? mf ,解得3333 ? m 综上， m的取值范围是)33,21(22.（本题满分 12分） 解：（ 1） 由232252xtyt? ? ?得直线 l 的普通方程为 3 5 0xy? ? ? ? 又由 2 5sin? 得圆 C 的 直角坐标方程为 22 2 5 0x y y? ? ? 即 22( 5) 5xy? ? ?. （ 2）把直线 l 的参数方程代入圆 C 的 直角坐标方程，得 2222(3 ) ( ) 5tt? ? ?，即 2 3 2 4 0tt? ? ? 由于 ? ?23 2 4 4 2 0? ? ? ? ? ?，故可设 12,tt是上述方程的两实数根， 所以 1232tt? ， 124tt? 又直线 l 过点 (3, 5)P ， A 、 B 两点对应的参数分别为 1t 、 2t 所以 1 2 1 2 32P A P B t t t t? ? ? ? ? ?.
