1、第四章第四章 级数级数目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数1 复数项级数复数项级数1.复数列极限复数列极限2.复数项级数复数项级数3.小结小结目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数1.复数列的极限复数列的极限1).定义定义0,()N 如如任任意意给给定定相相应应地地都都能能找找到到一一个个正正整整数数 ,nnN使使在在时时:成:成立立 ,时的极限当n记作记作.limnn .收敛于此时也称复数列n ,),2,1(其中为一复数列设nn,nnniba ,为一确定的复数又设iba n称为复数列那末目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数2).复数列
2、收敛的条件复数列收敛的条件lim,lim.nnnnaabb,limnn如果那末对于任意给定的那末对于任意给定的0就能找到一个正数就能找到一个正数N,时当Nn,)()(ibaibann证：证：,)()(bbiaaaannn从而有从而有.limaann所以所以.limbbnn同理同理的充要条件是收敛于复数列),2,1(nn定理定理1：目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数.2,2bbaann反之反之,如果如果,lim,limbbaannnn ,时那末当Nn 从而有从而有)()(ibaibannn)()(bbiaann注注:的敛散性的敛散性.lim nn所以证毕证毕,bbaann可
3、将复数列的敛散性转化为判别两可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列个实数列目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数1).定义定义(1,2,),nnnaibn设设为为一一复复数数列列121 (4.1)nnn 表达式表达式称为称为无穷级数无穷级数.级数级数(4.1)最前面最前面 n 项的和项的和nns 21称为级数的称为级数的部分和部分和.部分和部分和2.复数项级数复数项级数目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数收敛与发散（敛散性）收敛与发散（敛散性）1nns 则称复数项无穷级数则称复数项无穷级数(4.1)收敛于收敛于s s,且称且称s s为为(4.1)的的和和,
4、否则若复数列否则若复数列sn(n=1,2,)无有限极限无有限极限,则称级数则称级数(4.1)若部分和数列若部分和数列sn(n=1,2,)以有限复数以有限复数s s为极限为极限,lim()nnss 即若即若写成写成为为发散发散.目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数:,0nnz级数例如1-21nnzzzs,1时由于当z,)1(11zzznzzsnnnn11limlim,11z .1时级数收敛所以当z目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数定理定理2 设设 n=an+ibn(n=1,2,),an及及bn为实数为实数,则则11,nnnnab分别收敛于分别收敛于a及及
5、b.2).复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件实数项级数实数项级数复级数复级数(4.1)收敛于收敛于 s=a+ib(a,b为为实数实数)的充要条件为的充要条件为:注：注：111),nnnnaabb1()nnsaib 112),nnnnab至至少少一一个个发发散散1nn 发发散散目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数11(1)ninn级数是否收敛？解解:例例1.11(1)ninn22111;nnnan 因因为为收收敛敛111.nnnbn3 收收敛敛所以原级数收敛所以原级数收敛.级数级数是否收敛？是否收敛？目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数定理定理3.收
6、敛级数的通项必趋于零收敛级数的通项必趋于零:lim0.nn lim0nn 不不存在，则级数发散存在，则级数发散.limnn 推论推论或或定理定理4.且且1nn 如果级数如果级数收敛，收敛，那么级数那么级数也收敛，也收敛，1nn 11.nnnn 条件收敛条件收敛.定义定义.若级数若级数1nn 收敛收敛,则称原级数则称原级数1nn 绝对收敛绝对收敛;若若1nn 发散发散,1nn 而而1nn 收敛收敛,则称则称目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数nienn)11()1(因为下列数列是否收敛下列数列是否收敛,如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极限.;)11()1(nienn.sin
7、)11(nnbn,cos)11(nnan所以而0lim,1limnnnnba解解:例例2.),sin)(cos11(ninn.cos)2(innn,)11(收敛所以数列nienn.1limnn且目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数innncos由于,时当n所以数列发散.,coshnn,n.cos)2(innn目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数例例3.1 112是否收敛？级数nnni解解:级数满足必要条件,01lim12ninn即1112)1(11nnnnnini,1 1发散级数因为nn.原级数仍发散,1)1(1收敛虽nnn11nn11)1(nnni目录
8、 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数 !)8(1是否绝对收敛？级数nnni例例4.,!81收敛nnn故原级数收敛故原级数收敛,且为绝对收敛且为绝对收敛.,!8!)8(nninn因为因为所以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判别法知:解解:目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数 ;)1(1收敛因为nnn,211收敛也nn故原级数收敛故原级数收敛.,)1(1收敛为条件但nnn所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛.21)1(1是否绝对收敛？级数nnnin例例5.解解:目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数2 幂级数幂级数1.函数项级数
9、的概念函数项级数的概念 2.幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性 3.幂级数的运算幂级数的运算 目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数1.函数项级数的概念函数项级数的概念设121)()()()(nnnzfzfzfzf为一复变函数序列,),2,1()(nzfn在区域D上有定义.其中各项部分和部分和复变函数项级数：复变函数项级数：)()()()(21zfzfzfzsnn和和)(lim)(00zszsnn级数在点 z0 收敛.和函数和函数)(lim)(zszsnn目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数2.幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性形如0)(nnnazc2210)
10、()(azcazcc的函数项级数称为幂级数幂级数.nnazc)(特别地，0a时，有0nnnzcnnzczczcc2210定理 1.(Abel定理)若幂级数0nnnzc,)0(0收敛在 zz则对满足0zz 的z,反之,若在0zz 的z,级数必发散.级数发散,则对满足级数必绝对收敛.0zz 目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数证：证：00nnnzc,0lim0nnnzc收敛,则必有).,2,1(0nMzcnn于是存在常数 M 0,使设当 时,0zz 00nnzzM收敛,0nnnzc故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当0zz 时该幂级数发散,可以用反证法证明.nnnnnnzzz
11、czc00nnnzzzc00nzzM0目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径 00nnnzc幂级数收敛收敛的三种情况：.,0)0发散nnnzczi.,)0收敛nnnzcCzii),(,)iii,0收敛nnnc.0发散nnnc目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数,0R若存在实数,时Rz 发散，时0,nnnzcRz定义：,00nnnzc对于幂级数,0收敛nnnzc为则称Rz,0的收敛圆nnnzc.称为收敛半径R定理2.若若0nnnzc的系数满足,lim1nnncc则其收敛半径为,limnnnc或R0,1,00,目录 上页 下页
12、返回 结束 工程数学工程数学-复变函数例例1.求幂级数求幂级数nnnzzzz201的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.解解:级数的部分和为级数的部分和为)1(,11112zzzzzzsnnn1zzsnn11lim级数级数0nnz收敛收敛,1z0limnnz级数级数发散发散.0nnz目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数且有.1112nzzzz收敛范围为一单位圆域,1z由阿贝尔定理知:在此圆域内,级数绝对收敛,收敛半径为1,)1(z目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径:(1)(1)13nnnz(并讨论在收敛圆周上
13、的情形并讨论在收敛圆周上的情形)(2)(2)1)1(nnnz(并讨论并讨论2,0z时的情形时的情形)或或nnnnnnc31limlim解：解：(1)(1)nnncc1lim3)1(limnnn因为因为,1.11lim3nnn例例2.目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数所以收敛半径所以收敛半径,1 R即原级数在圆即原级数在圆1 z内收敛内收敛,在圆外发散在圆外发散,收敛的收敛的p级数级数 ).13(p所以原级数在收敛圆上是处处收敛的所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周在圆周1 z上上,级数级数 13131nnnnnz目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数
14、说明说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有也有 级数的发散点级数的发散点.,0时时当当 z原级数成为原级数成为,1)1(1 nnn交错级数交错级数,收敛收敛.,2时时当当 z发散发散.原级数成为原级数成为,11 nn调和级数，调和级数，(2)1limlim1 nnccnnnn,1.1 R即即目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数incncos 因为因为nnnnnnnneeeecc 111limlim 所以所以故收敛半径故收敛半径.1eR 0)(cosnnzin例例3.求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径:解：解：),(21nneench,e 目
15、录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数解：解：)4sin4(cos21 ii因为因为nnic)1(所以所以nnncc1lim .2221 R例例4.0)1(nnnzi求求 的收敛半径的收敛半径.,24ie ;)2(4inne nnn)2()2(lim1 .2 目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数3.幂级数的运算幂级数的运算定理定理3.设,)(10rRzazfnnn,)(20rRzbzgnnn.,min21rrR nnnnnnzbzazgzf00)()(,)(0nnnnzbaRz,0nnnzcRz 则有:nnnnnnzbzazgzf00)()(其中knnkkn
16、bac0目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数定理定理4.,)(00Rzzcnnn的收敛半径为设幂级数，即它的和函数)()1zf那么00)()(nnnzzczf.内的解析函数是收敛圆：Raz，即在收敛圆内可逐项求导)()2zf110)()(nnnzznczf目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数分，即在收敛圆内可逐项求积)()3zf.,)()(00RazCdzzzcdzzfnCnnC 或.)(1)(0100nnnzzzzncdf目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数例例5.把函数bz 1表成形如0)(nnnazc的幂级数,其中ba与是不相等
17、的复常数.解：解：把函数bz 1写成如下的形式:bz1)()(1abazabazab111代数变形,使其分母中出现)(az 凑出)(11zg目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数时，时，当当1 abaz,)()()(1112 nabazabazabazabaz bz1故故232)()(1)()(11azabazabab nnazab)()(11,Rab设,时那末当Raz级数收敛级数收敛,且其和为且其和为.1bz 目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数例例6.求级数求级数 0)1(nnzn的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解:12limlim 1 nnc
18、cnnnn因为因为.1 R所以所以利用逐项积分利用逐项积分,得得:0000d)1(d)1(nznznnzznzzn 01nnz所以所以)1()1(0 zzznnn,1.1zz .)1(12z 1 z目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数例例7.求级数求级数 01)12(nnnz的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解:1212limlim 11 nnnnnncc因为因为.21 R所所以以,21时时当当 zzzznnn 11212)12(11故故,2,12 z,1111zznn 11111222nnnnnnzzz212 .)1)(21(1zz 目录 上页 下页 返回 结束 工
19、程数学工程数学-复变函数例例8.计算计算.21,d)(1 zczzcnn为为其中其中解解:,21内内在在 z 1)(nnzzS和函数和函数 czzzId)111(所以所以02 i,1收敛收敛 nnz 01nnzz,111zz cczzzzd11d1.2 i 目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数3 泰勒级数泰勒级数目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数1.泰勒展开定理泰勒展开定理内解析，在区域设Dzf)(内的一点，为Dz00zd为，的边界各点的最短距离到D时，那么当dzz000)()(nnnzzczf,2,1,0),(!10)(nzfncnn成立，其中目录
20、上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数证证:01,11nnuuu总有一个圆周:0:|(0),zR使点 z 含在由柯西积分公式得p的内部.zK 证明的关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式:(2)1()pziff zdrz0zK目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数为此改写：00000()()()()11zzzfzfzzzfz 我们设法将被积式表示为一个含有zz0的正幂次级数.由p时,000|1,|zzzzz目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数我们有00000)1,1(nnzzzzzz00010()()(nnnfzfzzz于是()1()2pf z
21、dfiz1000(),1()2nnnpzizfzd.21乘是所得结果积分，并以将上式沿ip逐项积分得目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数而(00)1()1(),2()!nnpffdznzi最后得出00()().nnnzf zcz故定理的前半部分得证.下面证明展式是唯一的.).|:|()()(00RzzKzzzczfnn在z0逐项求导即知,!)(0)(nnncnzfc故展式是唯一的.,2,1n设另有展式目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数称为 f(z)在点z0的泰勒展式；称为泰勒系数；00)()(nnnzzczf)(!10)(zfncnn称为其泰勒级数.0
22、0)(nnnzzc注：注：目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数()zf ze例例1.()fz()fz()fzL()()nfz()zf ze()(0)1nf1,2,n L解：解：231(|)2!3!nzzzzezzn 所以求在 的泰勒展式.0z L目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数()sinf zz例例2.1sin()2izizzeei解：解：所以求在 的泰勒展式.0z 而而0()!niznizen0()!niznizen001()()sin2!nnnnizizzinn011(1)2!nnnni zin 210(1)(21)!nnnzn(|)z 目录 上
23、页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数1()1f zz例例3.解：解：所以求在 的泰勒展式.0z 因为01,11nnzzz1111()zz 00()(1),nnnnnzz1z 目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数21()(1)f zz例例4.解：解：求在 的泰勒展式.0z 0(1)nnnz 1z 211(1)1zz 0(1)()nnnz 111(1),nnnnz目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数()ln(1)f zz例例5.解：解：求在 的泰勒展式.0z 00(1)znnnz dz1z 1ln(1)1zz01ln(1)1zzdzz00(1)z
24、nnnz dz01(1),1nnnzn目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数231(|)2!3!nzzzzezzn );|(|,)!2()1(cos02znzznnn).|(|,)!12()1(sin012znzznnn)1(,)1(32)1ln(132 znzzzzznn一些初等函数的泰勒展式一些初等函数的泰勒展式目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数4 洛朗级数洛朗级数3.将函数展称洛朗级数将函数展称洛朗级数目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数1.双边幂级数双边幂级数定义定义1000()()nnnnnccczzzzzz),2,1,0(
25、ncn称级数称级数为复常数，为复常数，称称为双边幂级数的系数为双边幂级数的系数.为双边幂级数，其中为双边幂级数，其中01()()nncc zacza01()nnnczz00()nnnczz目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数01()nnnczz1100()()nnczzczz负幂项部分负幂项部分00()nnnczz0100()()nncc zzczz正幂项部分正幂项部分收敛范围为收敛范围为02zzR收敛范围为收敛范围为01zzR双边幂级数双边幂级数收敛范围为收敛范围为102RzzR目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数2.洛朗展开定理洛朗展开定理内处处解析
26、，在圆环域设201)(RzzRzf那么nnnzzczf)()(0,2,1,0,)()(2110ndzficCnn其中.0曲线的任何一条正向简单闭为在圆环域内绕这里zC目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数Ha,|:|101Rz,|:|202Rz 21|az证：使得z含在圆环12z内，因为f(z)在圆环21|az上解析,由柯西积分公式有,)(21)(21)(12dzfidzfizf对zH,总可以找到含于H内的两个圆周目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数对于第一个积分,只要照抄泰勒定理证明中的相应或写成.)(21)(21)(12dzfidzfizf我们将上式中
27、的两个积分表为含有z-a的(正或负),)()(2102nnnazcdzfi),2,1,0()()(2121 ndzficnn幂次的级数.部分,就得目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数,)(211dzfi类似地,对第二个积分我们有.11)()()()()(azaazfaazfzf时，当1,1|1azaza于是上式可以展成一致收敛的级数11.)()()(nnazzazfzf目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数i21沿1逐项求积分,两端同乘以,)()(2111nnnazcdzfinnnnnnnnnazcazcazczf.)()()()(10),2,1()()(
28、2111 ndaficnn由(5.6),(5.7),(5.9)即得回过头来考察系数(5.8)及(5.10),由复围线的柯西),(|:|Rraz有积分定理,对任意圆周目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数daficnn21)()(21),2,1,0()()(211 ndafindaficnn11)()(21),2,1()()(211 ndafin目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数 因为系数c cn n与我们所取的z z无关,故在圆环H内(5.4)成立.)(|:|Rraz上一致收敛.乘以上的有界函数:nnnazczf,)()(1)(1manmnnmdacda
29、f,)()()(11 最后证明展式的唯一性.设f f(z z)在圆环H内又可展成下式:由定理5.1知,它在圆周故可逐项积分，得：仍然一致收敛目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数nnnazczf)()(利用重要积分公式，得：),1,0(,)()(211 mdaficmm).,1,0(nccnn 定义5.1(5.4)称为f(z)在点a的罗朗展式,(5.5)称为其系数,而(5.4)右边的级数则称为罗朗级数.),(,)()(10211ndaficnn目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数3.将函数展称洛朗级数将函数展称洛朗级数常用方法常用方法 :1).直接法直接法
30、 2).间接法间接法 1).直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数nc),2,1,0(d)()(2110nzficCnn然后写出然后写出.)()(0nnnzzczf缺点缺点:计算往往很麻烦计算往往很麻烦.目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可可用代数用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开运算、代换、求导和积分等方法去展开.优点优点 :简捷简捷 ,快速快速 .2).间接展开法间接展开法目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数例例1.,0 内在 z.)(2展开成洛朗级数
31、将zezfz解：解：,)(nnnzczf由定理知由定理知:d)()(2110Cnnzficd213Cnei其中其中)2,1,0(,)0(:nzC目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数,3 时当n0nc,3在圆环域内解析nzze故由故由柯西定理柯西定理知知:,2 时当n由高阶导数公式知由高阶导数公式知:022)(dd)!2(1zznnezn)!2(1n2)!2()(nnnzzf故!4!3!211122zzzz z0d213Cnneic目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数另解另解!4!3!21143222zzzzzzez!4!3!211122zzzz本例中圆环
32、域的中心 z=0 既是各负幂项的奇点,.2的奇点也是函数zez目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数例例2.:)2)(1(1)(在圆环域函数zzzf;10)1 z;21)2 z.2)3 z内是处处解析的,试把 f(z)在这些区域内展开成解解:,)2(1)1(1)(zzzf洛朗级数.目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数,1z由于nzzzz2111则2112121zz)(zf所以)1(2zz421212zz2874321zz12z从而nnzzz22212122 ,10 )1内在 z目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数 ,21 )2内在 zz
33、zz11111121111zzz1z,11z2z12z2112121zznnzzz22212122)(zf于是21111zzz2222121zz842111121zzzzznn目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数,2 )3内在 z2zzzz21112124211zzz,121 zzzzz11111121111zzz)(zf故24211zzz21111zzz.731432zzz目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数练习练习.:)2)(1(1)(在圆环域将函数zzzf;110)4 z120)5 z展开成洛朗级数.解解:)4zzzf2111)()1(1111zz
34、0)1(11nnzz)5)2(1121)(zzzf0)2()1(21nnnzz目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数注注:奇点但却不是函数奇点但却不是函数)2)(1(1)(zzzf的奇点的奇点 .0z本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心是各负幂项的是各负幂项的说明说明:1.函数函数)(zf在以在以0z为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级数数)(zf的奇点的奇点.中尽管含有中尽管含有0zz 的负幂项的负幂项,而且而且又是这些又是这些项的项的0z奇点奇点,但是但是可能是函数可能是函数)(zf的奇点的奇点,也可能也可能不是不是0z目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工
35、程数学-复变函数2.给定了函数给定了函数)(zf与复平面内的一点与复平面内的一点0z以后以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式 (包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).).回答：不矛盾回答：不矛盾 .朗展开式是唯一的朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性唯一性 :指函数在某一个给定的圆环域内的洛指函数在某一个给定的圆环域内的洛目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数解解:z0zzzfsin)(.)!12()1(02nnnnz例例3.0 sin
36、0朗级数的去心邻域内展开成洛在将函数zzz)!12()1(!51!3111253nzzzzznn目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数例例4.朗的去心邻域内展开成洛在将函数 2 )2(1 0zzz解解:,220 内在 z)2(1)(zzzf22112121zz011)2(2)1(nnnnz.2221)2(2132zz)2(2121zz.级数目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数例例5.:)1)(2(52)(22在以下圆环域求zzzzzf内的洛朗展开式.;21)1(z520)2(z解解:1221)(2zzzf目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变
37、函数,21 )1时当 z221121221)(zzzzf22111221121zzznnnnnzzz20201)1(2221.2)1(201121nnnnnnzz目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数,520 )2内在 z1221)(2zzzfiziziz1121)2()2(1)2()2(121iziziziziiziiz221)2(1221)2(121目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数iziiziiz221)2(1221)2(1210022)1(2122)1(2121nnnnnniziiziiz.5)2()2()2()1(211110nnnnnnzii
38、iz110)2(1)2(1)2()1(21nnnnniiziz目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数例例6.计算积分解解:3)4)(1(1)1zdzzzz211)2zzdzzze内解析，在41)4)(1(1)()1zzzzzf内，在圆环域且413zz所以目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数),2,1,0(d)()(2110nzzzzficCnn则若,1nCzzficd)(21112d)(cizzfC所以目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数)4(121)1(3141)(zzzzf)41(481)11(3141zzzz)161411(481
39、)3131(4122zzzzz12131411cicidzzzzz62)4)(1(113目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数内解析，在zzzezfz11)()21在此圆环域内，且2zzezzezfzz1111)(11)111()!2111(22zzzz,21cidzzzezz4121目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数 ch4 级数级数一、知识要点一、知识要点收敛复数列nnniba 1).同时收敛，实数列nnba收敛复数项级数n2).同时收敛，实数项级数nnba目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数2.幂级数幂级数0nnnzc1).收敛
40、半径收敛半径,0lim1nnncc,0limnnnc比值法比值法若若则则.1R若若则则根值法根值法.1R目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数nnnnnnzbza00nnknnkkzba 0000)()(nnnzzczf.,)()(000RzzCdzzzcdzzfnCnnC 110)(nnnzzncnnnnnnzbza00,)(0nnnnzba2).运算性质运算性质目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数3.泰勒展开式泰勒展开式内解析，在区域设Dzf)(内的一点，为Dz00zd为，的边界各点的最短距离到D时，那么当dzz000)()(nnnzzczf,2,1,
41、0),(!10)(nzfncnn成立，其中目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数4.洛朗展开定理洛朗展开定理内处处解析，在圆环域设201)(RzzRzf那么nnnzzczf)()(0,2,1,0,)()(2110ndzficCnn其中.0曲线的任何一条正向简单闭为在圆环域内绕这里zC目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数 二、典型例题二、典型例题解解:例例1.11)1(1的敛散性判别级数nnni如收敛，指出.敛是绝对收敛还是条件收因为1)1(1)1(11122ninnni所以1)1()1(11)1(11)1(211111nininniininin目录 上页
42、下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数121111)1(1)1(11)1(ininnnni1)1()1(21niin.1)1(1)1(121是交错级数，条件收敛innn.1)1()1(21绝对收敛niin.11)1(11收敛，条件收敛故inni目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数例例2.解解:.圆内的和函数试求给定幂级数在收敛;)1()1(11nnnnz.)1()2(1nnnzn11111)1()1()1(nnnnnnnzznz.1,)1()(11Rzzfnnn易知其收敛半径令1,)1()(111znzzfnnn因为目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变
43、函数所以)()1(11zf znznnn)1(11nnnzz1zzz1,)1(2zzz目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数.1,)1()()2(1RznzSnnn则收敛半径设1,11)1()(11zzzzSnnn)(1ln(11)(0主值故zdzzzSz目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数例例3.解解:的幂级数，并确定展开成将下列函数zzf)(;1)3(zez);(tan)2(7项为止展开到含zz.收敛范围;)4(11ze;cos)1(zez数收敛平面上解析，故其幂级在因为zzezcos)1(;R半径ziizzzeezize)1()sin(coszeie
44、)2(4目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数04!)2()sin(cosnnninznzezize所以04!)2()sin(cosnnninznzezize同样所以注意到,4cos244neeniniznznzennnz,!4cos)2(cos0目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数.tan)2(z.2R故的奇点，最接近是0tan2zzz的泰勒级数相除：与将zzcossinzzzcossintan2315171523753zzzzz.长除法50400120060753zzzz7200240201642zzzz720024020753zzzz08400300
45、3753zzz33z7200603753zzz315015275zz75315170152zz目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数;1)3(zez待定系数法01)(nnnzzcezzf的展式为设zzfez)()1(则!212nzzzenz而zzczccnzzznnn)(!2(102故1)(!21(101nnnzczccnzz或目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数1)(!21(101nnnzczccnzz的同次幂的系数，得比较两边z10c0!2110cc0!21!31210ccc0!21!1)!1(1110nnccncnc目录 上页 下页 返回 结束 工程
46、数学工程数学-复变函数,121,21,1210ccc所以则若记,!nBcnn0!1nnnzznBez.称为贝努利数nB的奇点，可去奇点最接近是有又)(0)(2zzfi22iR故收敛半径目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数;)4(11ze微分方程法;1,1)(11Rzezfz故收敛半径有一个奇点因为211)1(1)(zezfz由0)()()1(2zfzfz得逐项求导，得0)()32()()1(2 zfzzfz0)(2)()54()()1(2 zfzfzzfz目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数故由于,)0(ef,13)0(,3)0(,)0(efefef 从
47、而),!313!231(3211zzzeez1z目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数例例4.解解:.)(式在指定区域上的洛朗展求下列函数zf10.2;1.1,1)()1(zzzezfz2.2;21.1,)1)(2(1)()2(2zzzzzf1.1)1(zzez11)1(2nzzz)!21(2nzzzn2)!21!111()!111(1zznzn)!1!21!111(目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数10.2z111111111zzzezeezez)!)1(!2)1()1(1 2nzzznze11)!)1(!211111nzzzen目录 上页 下页 返回
48、 结束 工程数学工程数学-复变函数)1)(2(1)()2(2zzzf21.1 z)1221(512zzz0102)1(2)1(2121nnnnnnnzzz222111212zzzzz022)1(2nnnzzz)(zf所以121012101)1(2)1(2)1(51nnnnnnnnnnzzz目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数,2.2z02)1(1211121nnnzzzzz122zz12z22221111112zzzzz012022)1(2)1(nnnnnnzz)(zf所以12112012122)1(2)1(251nnnnnnnnzz目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工
49、程数学-复变函数3211!311!2111zzzzzzezz23232)(!21)(1zzzzzz332)(!31zzz)32(!21)(133232zzzzzz)63(!31543zzz32!31!211zzz习题选做习题选做目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数)11sin(11sinzzzzzzz1sin1cos1cos1sin421!411!2111sinzzzz531!511!3111coszzzzzz目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-复变函数432232)(!41)(!2111sinzzzzzz33232)(!31)(1coszzzzzz33)1sin1cos65(sin)211(cos1cos1sinzzz1sin1z洛朗展式01z sin1zz洛朗展式01z 思考：思考：
