1、 1 山东省临沂市 2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文 （本试卷满分 150分，时间： 120分钟） 一 .选择题（每小题 5 分，共 60分） 1. 若 i 是虚数单位，则复数 2018 (2 3 )z i i? ? ? 的虚部等于（ ） A. 2 B. 3 C. 3i D. 3? 2. 已知变量 ,xy线性相关，且由观测数据算得样本平均数为 2, 5xy?，则由该观测数据得到的线性回归直线方程不可能是（ ） A. 2.1 0.8yx? B. 1.2 7.4yx? ? C. 2.25 0.5yx? D. 1.25 7.55yx? ? ? 3. 论语 子路篇中说： “ 名不正，则
2、言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足 ” ，所以，名不正，则民无所措手足 .上述推理过程用的是（ ） A. 类比推理 B. 归纳推理 C. 演绎推理 D. 合情推理 4. 在下列 结构图 中， “ 柱体、锥体、球体 ” 与 “ 空间几何体 ” 的关系是（ ） A. 逻辑的先后关系 B. 要素的从属关系 C. 并列关系 D. 平行关系 5. 若 i 是虚数单位，复数 z 的共轭复数是 z ，且 24i z i? ? ? ，则复数 z 的模等于（ ） A. 5 B. 25 C. 5 D. 17 6. 为了研究 “ 晚上喝绿茶与失眠 ” 有无关
3、系，调查了 100名人士，得到 下面的列联表： 失眠 不失眠 合计 晚上喝绿茶 16 40 56 晚上不喝绿茶 5 39 44 合计 21 79 100 由已知数据可以求得： 22 1 0 0 (1 6 3 9 4 0 5 ) 4 .3 9 82 1 7 9 5 6 4 4K ? ? ?，则根据下面临界值表： 2()PK k? 0.050 0.010 0.001 2 k 3.841 6.635 10.828 可以做出的结论是（ ） A 在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为 “ 晚上喝绿茶与失眠有关 ” B 在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为 “ 晚上喝绿茶与失眠无关 ” C 在犯
4、错误的概率不超过 0.05的前提下认为 “ 晚上喝绿茶与失眠有关 ” D 在犯错误的概率不超过 0.05的前提下认为 “ 晚上喝绿茶与失眠无关 ” 7. 在等差数列 ?na 中，如果 , , ,m n p r N? ，且 3m n p r? ? ? ，那么必有3m n p ra a a a? ? ? ，类比该结论，在等比数列 ?nb 中 , 如果 , , ,m n p r N? ，且3m n p r? ? ? ，那么必有（ ） A 3m n p rb b b b? ? ? B. 3m n p rb b b b? ? ? C. 3m n p rb bb b? D. 3m n p rb bb b?
5、 8. 若实数 ,abc 满足 1a b c? ? ? ，给出以下说法： ,abc 中至少有一个大于 13 ； ,abc中至少有一个小于 13 ； ,abc 中至少有一个不大于 1； ,abc 中至少有一个不小于 14 .其 中正确说 法的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 9. 如图所示，程序框图的输出值 S=（ ） A 15 B 22 C 24 D 28 10. 若纯虚数 z 满足 (1 2 )z i a i? ? ? ,其中 aR? ,i 是虚数单位， 则实数 a 的值等于（ ） A. 2 B. 12 C. 2? D. 12? 11已知变量 ,xy之间的线性回归方程为
6、0.4 7.6yx? ? ，且变量 ,xy之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的 是（ ） 3 x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A变量 ,xy之间呈现负相关关系 B m 的值等于 5 C变量 ,xy之间的相关系数 0.4r? D由表格数据知，该回归直线必过点（ 9， 4） 12. 某中学共有 5000 人，其中男生 3500 人，女生 1500人，为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情 况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关，现在用分层抽样的方法从中收集 300 位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时），其频率分布直方图如下： 已知在样本数据中，有 60
7、 位女生的每周平均体育锻炼时间超过 4 小时，根据独立性检验原理，我们（ ） A. 没有理由认为 “ 该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关 ” B. 有 95% 的把握认为 “ 该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关 ” C. 有 95% 的把握认为 “ 该校学生每周平均体 育锻炼时间与性别 无 关 ” D. 有 99.5% 的把握认为 “ 该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关 ” 附： 22 ()=( )( )( )( )n a d b cK a c b d a d b c? ? ? ?，其中 n a b c d? ? ? ?. 2 0()P K k? 0.10 0.05 0.01 0.
8、005 0k 2.7063.841 6.635 7.879 二 .填空题（每小题 5 分，共 20分） 13. 若 i 是虚数单位，复数 z 满足 121z ii ? ，则复数 z 在复平面内对应点的坐标为 _. 14. 观察下列各式： 11? ， 141 1 2 3? ， 1 1 31 1 2 1 2 3 2? ? ? ? ?，1 1 1 81 1 2 1 2 3 1 2 3 4 5? ? ? ? ? ? ? ? ?，由此可猜想，若4 1 1 11+1 2 1 2 3 1 2 3 + 1 0 m? ? ? ? ? ? ? ? ?，则 m? _. 15. 某珠宝店的一件珠宝被盗， 找到了甲、乙
9、、丙、丁 4 个嫌疑人进行调查 .甲说： “ 我没有偷 ” ；乙说： “ 丙是小偷 ” ；丙说： “ 丁是小偷 ” ；丁说： “ 我没有偷 ” ，若以上 4人中只有一人说了真话，只有一人偷了珠宝，那么偷珠宝的人是 . 16. 洛萨 科拉茨是德国数学家，他在 1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数 n ，如果 n 是偶数，就将它减半（即 2n ）；如果 n 是奇数，则将它乘 3加 1（即 13?n ），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到 1，如初始正整数为 6，按照上述变换规则，我们得到一个数列： 6,3,10,5,16,8,4,2,1.对科拉茨猜想，目前谁也不能证明，更不能
10、否定，如果对正整数 n 按照上述规则实施变换（注： 1 可以多次出现）后的第九项为 1，则 n 的所有可能取值的集合为 _. 三 .解答题（共 6小题，满分 70分） 17. （本小题满分 12分 ）已知复数 z 的共轭复数是 z ， i 是虚数单位，且满足 52 1 izz i? . （ I）求复数 z ； （ II）若复数 (2 )z mi? 在复平面内对应的点在第一象限，求实数 m 的取值范围 . 18. （本小题满分 12 分）已知 01ab? ? ? . （ I）试猜想 lnab? 与 lnba? 的大小关系； （ II）证明（ I）中你的结论 . 19. （本小题满分 13 分）随
11、着人们生活水平的不断提高，家庭理财越来越引起人们的重视 .某一调查机构随机调查了 5个家庭的月收入与月理财支出（单位：元）的情况，如下表所示： 月收入 x （千元） 8 10 9 7 11 月理财支出 y （千元） 2.5 3.2 3.0 2.4 3.9 （ I）在下面的坐标系中画出这 5组数据的散点图； 5 119753（ II）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a?； （ III）根据（ II）的结果，预测当一个家庭的月收入为 12000元时，月 理财支出大约是多少元？ 【附：回归直线方程 y bx a?中， 1221niiiniix y nx
12、ybx nx?， a y bx? .】 20. （本小题满分 13 分）已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且满足3 ( , , 0 )2nnS a b n N b R b? ? ? ? ?. （ I）求证： ?na 是等比数列； （ II）求证： ? ?1na? 不是等比数列 . 21. （本小题满分 10 分） 以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位 .若直线 l 的参数方程为 1 (3xuuyu? ?为参数） ,曲线 C 的极坐标方程为 3 2 sin( )4?. （ I）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角
13、坐标方程； （ II）设直线 l 与曲线 C 相交于 ,MN两点，若 P 点的直角坐标为 (1,3) ，求 | | | |PM PN?的值 . 22. （本小题满分 10 分）已知函数 ( ) | | | |f x x m x n? ? ? ?. （ I）若 2mn? ? ，解不等式 ( ) 6fx? ； （ II）若 ,mn均为正实数，且 1114mn?，求证： 9()4fx? . 6 高二数学试题（文科）参考答案及评分标准 一 .选择题 1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.D 8.B 9.C 10.A 11.C 12.B 二 .填空题 13.(3,1)? 14. 2011
14、15.甲 16. ? ?4,5,6,32, 40, 42, 256 三 .解答题 17. 解析：（ I）设复数 ( , )z x yi x y R? ? ?，则 z x yi? ， -1分 于是 (5 ) (1 )2 ( )(1 ) (1 )iix y i x y i ? ? ? ?，即 3 3 2x yi i? ? ? ， -3分 所以 332xy? ?，解得 12xy? ?，故 12zi? . -6分 （ II）由（ I）得 ( 2 ) (1 2 ) ( 2 ) ( 2 2 ) ( 4 )z m i i m i m m i? ? ? ? ? ? ? ?， -9分 由于复数 (2 )z mi
15、? 在复平面内对应的点在第一象限， 所以 2 2 040mm? ?，解得 14m? ? ? . -12分 18. 解 ：（ I ）取211,abee?，则21ln 1abe? ? ?， 1ln 2bae? ? ? ，则有ln lna b b a? ? ?； 再取3211,abee?，则31ln 2abe? ? ?，21ln 3bae? ? ?，则有 ln lna b b a? ? ? . 故猜想 ln lna b b a? ? ? . -4分 （ II）令 ( ) lnf x x x? ，则 1( ) 1fx x? ，当 01x?时， 1( ) 1 0fx x? ? ?， 即函数 ()fx在
16、(0,1) 上单调递减， -7分 又因为 01ab? ? ? ，所以 ( ) ( )f a f b? ， 即 ln lna a b b? ? ? ， -10 分 7 故 ln lna b b a? ? ? . -12分 19. 解析：（ I）散点图如下： 119753-3分 （ II）由表中数据可得： 9, 3xy?， 51 138.7iii xy? ?， 5 21 415ii x? ?， -4分 因此515 22215 1 3 8 .7 5 9 30 .3 74 1 5 5 95iiiiix y x ybxx? ? ? ? ? ?， -6分 3 0 .3 7 9 0 .3 3a y b x? ? ? ? ? ? ?， -7分 故 y 关于 x 的 线 性 回 归 方 程 为 0.37 0.33yx?. -8分 （ III ）由于 12000 元 12? 千元， -9分 令 12x? ， 代入回归方程 0.37 0.33yx?，
