1、 内江市高中内江市高中 2020 届第三次模拟考试题届第三次模拟考试题 数学（理科）数学（理科） 第第卷（选择题）卷（选择题） 一、选择题一、选择题 1设集合 21 x Ay y，230Bxx，则AB（ ） A 3 1, 2 B 3 1, 2 C 3 1, 2 D 3 1, 2 2复数z满足4332i zi（i为虚数单位） ，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3若钝角三角形ABC的面积是 1 2 ，1AB ，2BC ，则AC （ ） A 2 2 B1 C2 D5 4已知正方形ABCD的边长为 2，点H是边AD的中点，在正方形ABCD内部随机取
2、一点P，则满足 2PH 的概率为（ ） A 2 4 B 2 8 C 1 8 D 1 4 5在 6 1 4 xx x 的展开式中， 5 2 x的系数为（ ） A 15 32 B 15 16 C 5 16 D 5 16 6一动圆与两圆 22 1xy和 22 8120 xyx都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A抛物线 B圆 C双曲线的一支 D椭圆 7设l，m是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ） A若l，l，则 B若l，ml，则m C若l，m，则lm D若l，m，则lm 8定义在R上的偶函数 fx满足：对任意的 1 x， 2 0,x ，有 21 21 0 f xf x xx ，若
3、* nN，则 （ ） A11fnf nf n B11f nfnf n C11f nfnf n D11f nf nfn 9设平画上向量cos ,sin0a， 13 , 22 b ，若33abab，则角的大 小为（ ） A 5 6 B 6 C 6 或 5 6 D 6 或 7 6 10如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径4BC ，ABAC，90BAC， D为半圆弧的中点，若异面直线BD和 1 AB所成角的余弦值为 2 3 ，则该几何体的体积为（ ） A168 B3216 C328 D16 16 11 已知平面内的一个动点P到直线 4 3 : 3 l x 的距离与到定点 3,0F的距
4、离之比为 2 3 3 ， 点 1 1, 2 A ， 设动点P的轨迹为曲线C，过原点O且斜率为0k k 的直线l与曲线C交于M、N两点，则MAN 面积的最大值为（ ） A2 B2 2 C 2 2 D1 12函数 2 122ln 2 ax f xa xx在区间 1 ,3 2 内有极小值，则a的取值范围是（ ） A 1 2, 3 B 1 2, 2 C 11 2, 33 D 11 2, 22 第卷（非选择题）第卷（非选择题） 二、填空题二、填空题 13若不等式组 50, , 02 xy ya x 表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围为_ 14已知 1 tan 5 2 ，tan1，则tan_ 15
5、函数 2ln14 x f xx的零点个数为_ 16椭圆 22 22 10 xy ab ab 的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P，满足 线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是_ 三、解答题三、解答题 （一）必考题：（一）必考题： 17为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老人，结 果如下： 男 女 需要 40 m 不需要 n 270 若该地区老年人中需要志愿者提供帮助的比例为 14% （1）求m，n的值； （2） 能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ 参
6、加公式： 2 2 abcdadbc K abcdacbd 2 0 P Kk 0.050 0.010 0.001 0 k 3.841 6.635 10.828 18已知数列 n a是等差数列，且满足 63 6aa， 6 1a 是 5 1a 与 8 1a 的等比中项 （1）求数列 n a的通项公式； （2）已知数列 n b满足2n nn ba，求数列 n b的前n项和 n S，并求 n S的最小值 19 如图， 在直棱柱 1111 ABCDABC D中，ADBC，90BAD，ACBD，1BC ， 1 4ADAA （1）证明：面 1 ACD 面 1 BB D； （2）求二面角 11 BACD的余弦值
7、 20已知函数 lnax f xbx x 在1x 处的切线方程为1yx （1）求函数 yf x的解析式； （2）若不等式 f xkx在区间0,上恒成立，求实数k的取值范围； （3）求证： 444 ln2ln3ln1 232 n ne 21已知椭圆 22 22 :10 yx Cab ab 的离心率为 2 2 ，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2 2 （1）求椭圆C的方程； （2）过点 1 ,0 3 S 的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得 无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由 （二）选考题：（二）选考题
8、： 22在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 22cos 2sin x y （为参数） 以原点O为极点，x轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为4sin （1）求曲线 1 C的极坐标方程； （2）已知曲线 3 C的极坐标方程为（0，R） ，点A是曲线 3 C与 1 C的交点，点B是曲 线 3 C与 2 C的交点，且A、B均异于原点O，4 2AB ，求实数的值 23已知函数 24f xxx，函数 g xf xm的定义域为R （1）求实数m的取值范围； （2）求解不等式 8f x 内江市高中内江市高中 2020 届第三次模拟考试题届第三次模拟考试题 数学（理科）参考答案
9、及评分意见数学（理科）参考答案及评分意见 一、选择题一、选择题 1B 2D 3D 4B 5B 6C 7A 8C 9B 10A 11A 12D 二、填空题二、填空题 135,7 143 152 16 1 ,1 2 三、解答题三、解答题 17解： （1）调查的 500 位老年人中有40m位需要志愿者提供帮助 40270500 4014 500100 mn m 解之得30m ，160n （2） 2 K的观测值 2 5004027030 160 20030070430 k 22 5004030253000 9.967 20030070430743 9.9676.635 在犯错误的概率不超过 0.01
10、的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关 18解： （1）设等差数列 n a的公差为d， 63 36aad，即2d 6 1a 是 5 1a 与 8 1a 的等比中项， 2 658 111aaa， 即 2 111 9713aaa，解得 1 5a 数列 n a的通项公式为27 n an （2）由（1）问可知2272 nn nn ban 234 5232121 2272n n Sn 23451 25232121 2272n n Sn 两式相减并化简得 1 18292n n Sn 当3n 时，0 n b ，当3n 时，0 n b 3 min 30 n SS 19解： （1）证明： 1 BB 平
11、面ABCD，AC 平面ABCD， 1 ACBB 又ACBD，且 1 BBBDB，AC 平面 1 BB D 又AC 平面 1 ACD，面 1 ACD 面 1 BB D （2）易知AB、AD、 1 AA两两垂直，以A为坐标原点，AB、AD、 1 AA所在直线分别为x轴、y轴、 z轴建立如图的空间直角坐标系，设ABt，则相关各点的坐标为0,0,0A，,0,0B t， 1 ,0,4B t， ,1,0C t， 1 ,1,4C t，0,4,0D， 1 0,4,4D 从而,1,0ACt，,4,0BDt ACBD， 2 400AC BDt 解之得2t 或2t （舍去） 1 0,4,4AD ，2,1,0AC 设
12、 1 , ,nx y z是平面 1 ACD的一个法向量， 则 1 11 0 0 nAC nAD ，即 20 440 xy yz 令1x ，则 1 1, 2,2n 同理可求面 1 ACB的法向量为 2 2,4,1n 12 12 2828 21 cos 63321 n n nn 又二面角 11 BACD是锐二面角， 二面角 11 BACD的余弦多 8 21 63 20解： （1） lnax f xbx x ， 2 lnaax fxb x 又已知函数 fx在1x 处的切线为1yx，即切点为1,0 11 0 kfab b ，解之得1a ，0b 函数 yf x的解析式为 ln x f x x （2）0
13、x ，“不等式 f xkx在区间0,上恒成立”等价于“不等式 2 ln x k x 在区间0,上 恒成立” 令 2 lnx h x x ， 3 12lnx h x x ， 令 0h x，解得0 xe；令 0h x，解得xe 则 h x在 0, e上单调递增，在 , e 上单调递减，故 1 2 h xhe e 实数k的取值范围为 1 , 2e （3）由（2）知 2 ln1 2 x xe ， 42 ln11 2 2 x x xe x 42 ln2111111 1 22221 222eee 42 ln31111111 323223223eee 42 ln41111111 42423 4234eee
14、42 ln1111111 22121 n ne nenne nn 4444 ln2ln3ln4ln111 1 23422 n nene 21解： （1）依题意可得 222 2 2 22 2 c e a a abc ，解得2a ，1c 从而 2 2a ， 222 1bac所求椭圆方程为 2 2 1 2 y x （2）过点 1 ,0 3 S 的动直线l交椭圆C于A、B两点，设 11 ,A x y， 12 ,B x y，动直线l斜率不存 在时，令 1 3 x ，得 4 3 y ，此时 1 4 , 3 3 A ， 14 , 33 B 即 4 3 STSASB 这说明以弦AB为直径的圆过点1,0T 动直
15、线l斜率存在时，设其方程为 1 : 3 AB yk x 代入椭圆方程 2 2 1 2 y x，整理得： 22 22 218 20 39 kk kxx 点S在椭圆内， 此方程必有二实根 1 x， 2 x，且 2 12 2 2 32 k xx k ， 2 12 2 18 92 k xx k 于是， 11221212 11 1,1,11 33 TA TBxyxyxxk xk x 222 1212 11 139 39 kx xkxxk 222222 2 1 11823920 92 kkkkkk k 可知TATB，即以AB为直径的圆过点T 综上所述，存在定点1,0T，无论直线l如何转动，以AB为直径的圆
16、恒过点T 22解： （1）由 22cos 2sin x y ，消去参数可得 1 C普通方程为 2 2 24xy 22 40 xxy，故曲线 1 C的极坐标方程为4cos （2）由题意设 1, A ， 2, B ，则 12 4 sincos4 2 sin4 2 4 AB sin1 4 ， 42 k 0， 3 4 23解： （1）函数 g xf xm的定义域为R 24xxm恒成立 24246f xxxxx， m的取值范围为,6 （2）不等式 8f x 即为248xx 4 228 x x 或 24 248 x xx 或 2 228 x x 即45x或24x 或32x 35x ，即原不等式的解集为3,5
