1、上海第二工业大学 孙卫平1第一章第一章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识第一节第一节 总体与样本总体与样本第二节第二节 抽样分布抽样分布第三节第三节 总体分布的估计总体分布的估计第一章第一章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识第一节第一节 总体与样本总体与样本2第一节第一节 总体与样本总体与样本 一一.总体与样本总体与样本 现从该批产品中有放回抽取 n 次，以 Xi：“0 第 i 次取到正品；1 第 i 次取到次品”(i=1,2,n)，得到 n 维随机变量(X1,X2,Xn)，其中 Xi X，且相互独立。由此 n 维随机变量(X1,X2,Xn)的概率分布为：上述 X 称为总体，(X1,X
2、2,Xn)称为样本，其中 Xi 称为个体。例如：一批产品的次品率为 p(未知)，设随机变量 X：“0 正品；1 次品”。显然 X b(1,p)，概率分布为：P(X=x)=(1 p)1 x p x (x=0,1)。)1,0()1()1(),(111111ixxxxnnxppppxXxXPnn定义定义1：研究的对象称为总体，总体往往以某一项数量指标为其特征。实际上总体就是一个随机变量 X。为推断总体分布及其各种特征，一般方法是按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察，称为抽样。第一章第一章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识第一节第一节 总体与样本总体与样本3 一一.总体与样本总体与样本 定义定义
3、1：研究的对象称为总体，总体往往以某一项数量指标为其特征。实际上总体就是一个随机变量 X。为推断总体分布及其各种特征，一般方法是按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察，称为抽样。定义定义2：从总体中抽取的 n 个个体(X1,X2,Xn)称为样本，实际上样本就是一个 n 维随机变量(或向量)。简单随机样本：(X1,X2,Xn)是相互独立的随机变量(独立性)；且 Xi X(同分布)。样本容量 n：样本中所含个体数目，为已知的一个自然数。样本观察值：(X1,X2,Xn)=(x1,x2,xn)上例中，若某次抽样得：(X1,X2,X3,X4,X5)=(0,0,1,0,1)样本样本观察值第一章第一章 数理
4、统计的基础知识数理统计的基础知识第一节第一节 总体与样本总体与样本4 一一.总体与样本总体与样本 2，若总体 X 为连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，则样本(X1,X2,Xn)的联合密度为：1，若总体 X 为离散型随机变量，其概率分布为 P(X=x)，则样本(X1,X2,Xn)的联合分布为：如上例：总体 X b(1,p)，概率分布为：P(X=x)=(1 p)1 x p x (x=0,1)则样本(X1,X2,Xn)的联合分布为：二二.样本分布样本分布 niinxfxxxf121)(),(niiinxXPxXxXxXP121)(,niiniinnxnxixxxxnnppxppppxXxXP1
5、111)1()1,0()1()1(),(1111第一章第一章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识第一节第一节 总体与样本总体与样本52，若总体 X 为连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，则样本(X1,X2,Xn)的联合密度为：二二.样本分布样本分布 niinxfxxxf121)(),(例例1：已知某型号显象管的使用寿命 总体 X U(a，b)，其中 a，b 未知。现从该批产品中有放回抽取 n 次，以 Xi：“第 i 次取到产品的使用寿命”。得到一样本(X1，X2，Xn)，求样本的联合密度 f(x1，x2，xn)。其他：的密度函数为解：总体bxaabxfX0)(1)(其他样本的联合密度为：
6、bxxxaabxfxxxfnnniin,0)(1)(),(21121 三三.统计量统计量 为对总体进行统计推断，需由样本构造一些合适的函数。样本的函数Y=g(X1,X2,Xn)一般是一个一元随机变量，利用其概率分布或密度函数，可以求出一些事件的概率。第一章第一章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识第一节第一节 总体与样本总体与样本6 三三.统计量统计量 为对总体进行统计推断，需由样本构造一些合适的函数。样本的函数Y=g(X1,X2,Xn)一般是一个一元随机变量，利用其概率分布或密度函数，可以求出一些事件的概率。例例2：已知某型号显象管的使用寿命 总体 X U(0，10)。现从该批产品中抽取容
7、量为 2 的样本，得到样本(X1，X2)，求样本的函数 Y=X1+X2 的密度函数，并求出事件 P(Y 15)的概率。其他的联合密度函数为：，样本利用例10,001001),(),(1 212121xxxxfXX解：解：111),()(dxxyxfyf其他0201010020100100yyyy15)()15(dyyfYP100151010020100dyydyy878321其他02010100110010011101010ydxydxyy第一章第一章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识第一节第一节 总体与样本总体与样本7例例2：已知某型号显象管的使用寿命 总体 X U(0，10)。现从该批
8、产品中抽取容量为 2 的样本，得到样本(X1，X2)，求样本的函数 Y=X1+X2 的密度函数，并求出事件 P(Y 15)的概率。其他的联合密度函数为：，样本利用例10,001001),(),(1 212121xxxxfXX解：解：111),()(dxxyxfyf其他0201010020100100yyyy15)()15(dyyfYP100151010020100dyydyy878321其他02010100110010011101010ydxydxyy例例3：设总体 X b(1，p)。现从中抽取容量为 2 的样本，得到样本(X1，X2)，求样本的函数 Y=X12+X22 的概率分布，并求出事件
9、 P(Y)=，则称 为随机变量 X 关于水平的上分位数。例例1：求标准正态分布分别关于水平=0.05 和=0.01 的上分位数。解：解：因(0.05)=1 0.05=0.95，查标准正态分布表得：0.05=1.645(0.01)=1 0.01=0.99，查标准正态分布表得：0.01=2.33综合得标准正态分布关于水平的上分位数 满足：()=1 例例2：设 X t(12)，分别求关于水平=0.05 和=0.01 的上分位数。解：解：t 分布的上分位数 习惯用 t(n)表示。1，P(X t0.05(12)=0.05，查 t 分布表得：t0.05(12)=1.7823 第一章第一章 数理统计的基础知
10、识数理统计的基础知识第二节第二节 抽样分布抽样分布18二二.分位数分位数 定义定义：对给定的概率，若实数 满足不等式：P(X)=，则称 为随机变量 X 关于水平的上分位数。例例2：设 X t(12)，分别求关于水平=0.05 和=0.01 的上分位数。解：解：t 分布的上分位数 习惯用 t(n)表示。1，P(X t0.05(12)=0.05，查 t 分布表得：t0.05(12)=1.7823 2，P(X t0.01(12)=0.01，查 t 分布表得：t0.01(12)=2.681 例例3：设 X 2(25)，分别求关于水平=0.05 和=0.95 的上分位数。解：解：2 分布的上分位数 习惯
11、表示成：)(2n；，05.0)25(1205.0XP611.14)25(295.0查表得：；，95.0)25(2295.0XP65.37)25(205.0查表得：第一章第一章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识第二节第二节 抽样分布抽样分布19二二.分位数分位数 三三.单正态总体的抽样分布单正态总体的抽样分布 定理定理1：设(X1,X2,Xn)是取自正态总体 X N(，2)的样本，则样本均值：证明证明：由概率论相关定理：也服从正态分布。例例4：设(X1,X2,X16)是取自正态总体 X N(1，0.04)的样本，求：),(2nNXniiXnX11niiEXnXE11 因为，；nDXnXDni
12、i2121),(2nNX所以05.0)(3 )05.195.0(2 1XPXPX，使得，确定；，的分布；，)05.0,1()1604.01(11 2NNX，：，由定理解：6826.01)1(2)05.0105.1()05.0195.0()05.195.0(2 XP，第一章第一章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识第二节第二节 抽样分布抽样分布20三三.单正态总体的抽样分布单正态总体的抽样分布定理定理1：设(X1,X2,Xn)是取自正态总体 X N(，2)的样本，则样本均值：例例4：设(X1,X2,X16)是取自正态总体 X N(1，0.04)的样本，求：),(2nNX05.0)(3 )05.
13、195.0(2 1XPXPX，使得，确定；，的分布；，)05.0,1()1604.01(11 2NNX，：，由定理解：6826.01)1(2)05.0105.1()05.0195.0()05.195.0(2 XP，082.195.0)05.01();05.01(1)(05.0 3；，XP定理定理2：设(X1,X2,Xn)是取自正态总体 X N(，2)的样本，则：；，)1()(11 1212222nXXSnnii相互独立与，2 2SX第一章第一章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识第二节第二节 抽样分布抽样分布21三三.单正态总体的抽样分布单正态总体的抽样分布定理定理2：设(X1,X2,Xn)
14、是取自正态总体 X N(，2)的样本，则：；，)1()(11 1212222nXXSnnii相互独立与，2 2SX例例5：设(X1,X2,X10)是取自正态总体 X N(0，0.09)的样本，求：1，P(S 2)=0.025)9(1003.091 2 222222SSSn由定理解：)17.4100(1)17.4100()0417.0(1222SPSPSP，1.09.01)17.4)9(12P)100)9()100100()(025.0 2222PSPSP，19023.0023.19100 查表得：第一章第一章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识第二节第二节 抽样分布抽样分布22三三.单正态总
15、体的抽样分布单正态总体的抽样分布例例5：设(X1,X2,X10)是取自正态总体 X N(0，0.09)的样本，求：1，P(S 2)=0.025)9(1003.091 2 222222SSSn由定理解：)17.4100(1)17.4100()0417.0(1222SPSPSP，1.09.01)17.4)9(12P)100)9()100100()(025.0 2222PSPSP，19023.0023.19100 查表得：定理定理3：设(X1,X2,Xn)是取自正态总体 X N(，2)的样本，则：).1(/ntnSX第一章第一章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识第二节第二节 抽样分布抽样分布23
16、三三.单正态总体的抽样分布单正态总体的抽样分布定理定理3：设(X1,X2,Xn)是取自正态总体 X N(，2)的样本，则：).1(/ntnSX例例6：设(X1,X2,X9)是取自正态总体 X N(2，0.01)的样本，求：)4656.02(1SXP，05.0)2(2SXP，使得，确定)8(9/23tSXT：解：由定理1.0)3968.1)8()94656.092()4656.02(1tPSXPSXP，)3)8()392()2(05.0 2tPSXPSXP，62.08595.13 查表得：第一章第一章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识第二节第二节 抽样分布抽样分布24三三.单正态总体的抽样分
17、布单正态总体的抽样分布四四.双正态总体的抽样分布双正态总体的抽样分布。，则：，；，且的样本，与为取自相互独立总体，；，若)10()()()()()(22212122221111NnmYXNYNXYXYYXXnm定理4：定理4：。，求：，；，且样本，和中分别抽取容量为与现从两个独立总体)32.4()38()212(150 100 YXPNYNXnmYX例例7 7：)1 0(2.04 15030102)812(4，由定理NYXYX解解：)32.04()32.4(YXPYXP)2.032.02.04(YXP9452.0)6.1()6.12.04(YXP第一章第一章 数理统计的基础知识数理统计的基础知
18、识第二节第二节 抽样分布抽样分布25四四.双正态总体的抽样分布双正态总体的抽样分布。，求：，；，且样本，和中分别抽取容量为与现从两个独立总体)32.4()38()212(150 100 YXPNYNXnmYX例例7 7：)1 0(2.04 15030102)812(4，由定理NYXYX解解：)32.04()32.4(YXPYXP)2.032.02.04(YXP9452.0)6.1()6.12.04(YXP。，则，；，且的样本，与为取自相互独立总体，；，若)11()()()()(21222222221111nmFSSNYNXYXYYXXYXnm定定理理5 5：第一章第一章 数理统计的基础知识数理
19、统计的基础知识第二节第二节 抽样分布抽样分布26四四.双正态总体的抽样分布双正态总体的抽样分布。，求：，；，且样本，和中分别抽取容量为与现从两个独立总体)194.0()36()28(52 61 2222YXSSPNYNXnmYX例8：例8：)42 15(4923 5222222，由定理FSSSSYXYX解：解：)194.01()194.0(2222XYYXSSPSSP。，则，；，且的样本，与为取自相互独立总体，；，若)11()()()()(21222222221111nmFSSNYNXYXYYXXYXnm定定理理5 5：)51 24(9422，由性质FSSXY)29.2)15,24()194.
20、019494(22FPSSPXY05.0第一章第一章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识第二节第二节 抽样分布抽样分布27四四.双正态总体的抽样分布双正态总体的抽样分布。，则：方差相等，；，且的样本，与为取自相互独立总体，；，若)2()2()1()1()()()()()()(2221222111nmtnmnmmnSnSmYXNYNXYXYYXXYXnm定定理理6 6：。，求：，；，且样本，和中分别抽取容量为与现从两个独立总体)194.0()36()28(52 61 2222YXSSPNYNXnmYX例8：例8：)42 15(4923 5222222，由定理FSSSSYXYX解：解：)51 2
21、4(9422，由性质FSSXY)29.2)15,24()194.019494(22FPSSPXY05.0)194.01()194.0(2222XYYXSSPSSP第一章第一章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识第第三节三节 总体分布的估计总体分布的估计28第三节第三节 总体分布的估计总体分布的估计 一一.频率统计表频率统计表 制作分组数据统计表时，首先进行分组，可参考下列经验公式分成 k 组：k=1+4lnn (n 为样本容量)例例1：下表为某教学班“线性代数”总评成绩，制作分组数据统计表。742559344575056207528697731677861975702065587557538
22、468756757646595095587270413941976467557562975729461735884067698374627628474789527669561267218262621950343268639524937346565614473284114592952454454468866726873463581解：解：按经验公式分成 k=1+4ln110=19.8 20 组。按最大 97，最小 0 分成 20 个区间：0，5，(5，10，(95，100。统计如下：第一章第一章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识第第三节三节 总体分布的估计总体分布的估计29 一一.频率统计表
23、频率统计表 制作分组数据统计表时，首先进行分组，可参考下列经验公式分成 k 组：k=1+4lnn (n 为样本容量)例例1：下表为某教学班“线性代数”总评成绩，制作分组数据统计表。8135467368726688465444287520565057449355427解：解：按经验公式分成 k=1+4ln110=19.8 20 组。按最大 97，最小 0 分成 20 个区间：0，5，(5，10，(95，100。统计如下：范围频数 频率(%)范围频数 频率(%)范围频数 频率(%)范围频数 频率(%)0-510.9 26-3054.5 51-5576.4 76-8043.6 6-1032.7 31
24、-3565.5 56-601110.0 81-8543.6 11-1521.8 26-4032.7 61-651210.9 86-9032.7 16-2043.6 41-4587.3 66-701311.8 91-9521.8 21-2510.9 46-5098.2 71-7598.2 96-10032.7 第一章第一章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识第第三节三节 总体分布的估计总体分布的估计30 一一.频率统计表频率统计表 利用频率统计表可以了解总体的大致分布，而利用直方图可以更形象、直观表示总体的概率分布。二二.频率直方图频率直方图 例例2：制作例1 的频率直方图。解：解：制作频率统
25、计表、频率直方图均可利用 Excel 中的“数据分析”中的“直方图”选项进行，其中“接受”表示分组上界。第一章第一章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识第第三节三节 总体分布的估计总体分布的估计31 一一.频率统计表频率统计表 二二.频率直方图频率直方图 三三.顺序统计量与经验分布函数顺序统计量与经验分布函数 称为极差。值，大分别称为样本极小，；，中为一组顺序统计量，其，称，按大小进行排列成：，将样本)()()()(1*1*21*21*1*2*1*2*121XXXXXmaxXXXXminXXXXXXXXXXnnnnnnn，为经验分布函数。，称函数：)11(10)(2*1*1*nkxxxxxxxnkxFnkkn。收敛于总体的分布函数以概率时，经验分布函数当)(1 )(*xFxFnn定定理理：32写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits谢谢聆听 学习就是为了达到一定目的而努力去干,是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard,Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
