1、 - 1 - 陕西省延安市黄陵县 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 理（高新部） 一、选择题 (每题 5 分，共 60 分 ) 1在 ABC 中， a 3， b 5， sin A 13，则 sin B ( ) A 15 B 59 C 53 D 1 2 ABC 中， b 30， c 15， C 26 ，则此三角形解的情况是 ( ) A一解 B两解 C无解 D无法确定 3如果等腰三角形的周长是底边边长的 5 倍，那么它 的顶角的余弦值为 ( ) A 518 B 34 C 32 D 78 4在 ABC 中，若 abc，则 ab B若 a2b2，则 ab C若 1a1b，则 ab0， c
2、bd B acbc D adbc 12已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差是 ( ) A 5 B 4 C 3 D 2 二、填空题 (每题 5 分，共 20 分 ) 13已知数列 an的通项公式 an 5n 2，则其前 n 项和 Sn . 14在 ABC 中，已知 a 2 3， b 2， A 60 ，则 B _ 15在 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，若 a 2， b 2， sinB cosB2，则角 A 的大小为 . 16甲船在 A 处发现乙船在北偏东 60 的 B 处，乙船正以 a n mile/h 的速度向北行驶已
3、知甲船的速度是 3a n mile/h，问甲船应沿着 方向前 进，才能最快与乙船相遇？ - 3 - 三、解答题 （ 70 分， 19 题 10 分，其余 12 分） 17在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足 (2a b)cosC ccosB 0. (1)求角 C 的值； (2)若三边 a， b， c 满足 a b 13， c 7，求 ABC 的面积 18.若等差数列 an的公差 d0，且 a2 a4 12， a2 a4 8.求： (1)数列 an的首项 a1和公差 d； (2)数列 an的前 10 项和 S10的值 19设数列 an是等差数列， bn (12
4、)an又 b1 b2 b3 218 ， b1b2b3 18，求通项 an. 20 在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 A 4 ， b2 a2 12c2. (1)求 tan C 的值； (2)若 ABC 的面积为 3，求 b 的值 21在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 2cos2A2 (cosB 3sinB)cosC 1. (1)求角 C 的值； (2)若 c 2，且 ABC 的面积为 3，求 a， b. 22如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60 方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12n mile，渔船乙以 1
5、0n mile/h 的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2h 追上 . 导学号 54742159 (1)求渔船甲的速度； - 4 - (2)求 sin 的值 参考答案 1-6BBDBC 7-12 DABDDC 13. 5n2 n2 14.30 15. 6 16.北偏东 30 17 (1)已知 (2a b)cosC ccosB 0 可化为 (2sinA sinB)cosC sinCcosB 0， 整理得 2sinAcosC sinBcosC sinCcosB sin(B C) sinA， 0A ， sinA0 ， cosC 12，
6、又 0C ， C 3. (2)由 (1)知 cosC 12，又 a b 13， c 7， 由余弦定 理得 c2 a2 b2 2abcosC (a b)2 3ab 169 3ab， 即 49 169 3ab， ab 40， S ABC 12absinC 1240sin 3 10 3. 18 (1)根据题意，得 ? a2 a4 a1 d a1 3d 8，a2 a4 a1 d a1 3d 12， 解得 ? a1 8，d 2. (2)S10 10a1 2 d 108 1092 ( 2) 10. 19 b1b2b3 18，又 bn (12)an， (12)a1( 12)a2( 12)a3 18. (12
7、)a1 a2 a3 18， a1 a2 a3 3， 又 an成等差数列 a2 1， a1 a3 2， b1b3 14， b1 b3 178 ， - 5 - ? b1 2b3 18 或 ? b1 18b3 2，即? a1 1a3 3 或 ? a1 3a3 1 ， an 2n 3 或 an 2n 5. 20 (1)由 b2 a2 12c2及正弦定理得 sin2B 12 12sin2C， cos 2B sin2C，又由 A 4 ， 即 B C 34 ，得 cos 2B sin 2C 2sin Ccos C，解得 tan C 2. (2)由 tan C 2， C (0， ) 得 sin C 2 55
8、， cos C 55 ， 又 sin B sin(A C) sin( 4 C)， sin B 3 1010 ，由正弦定理得 c 2 23 b， 又 A 4 ， 12bc sin A 3， bc 6 2，故 b 3. 21 (1) 2cos2A2 (cosB 3sinB)cosC 1， cosA cosBcosC 3sinBcosC 0， cos(B C) cosBcosC 3sinBcosC 0， cosBcosC sinBsinC cosBcosC 3sinBcosC 0， sinBsinC 3sinBcosC 0. 又 B 是 ABC 的内角， tanC 3(或 2sin(C 3) 0)，
9、 又 C 是 ABC 的内角， C 3. (2) S ABC 3， 12absin 3 3， ab 4. 又 c2 a2 b2 2abcosC， 4 (a b)2 2ab ab， a b 4， 又 ab 4， a b 2. 22 (1)依题意可得，在 ABC 中， BAC 180 60 120 ， AB 12， AC 102 20， BCA . 由余弦定理，得 BC2 AB2 AC2 2AB ACcos BAC - 6 - 122 202 21220cos120 784. 解得 BC 28. 所以渔船甲的速度为 BC2 14n mile/h. (2)在 ABC 中，因为 AB 12， BAC 120 ， BC 28， BCA ， 由正弦定理，得 ABsin BCsin120 . 即 sin ABsin120BC 12 3228 3 314 .
