1、 - 1 - 衢州四校 2017 学年第二学期高二年级期中联考 数 学 试 题 第 卷（选择题，共 40 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 若全集 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】分析：解集合 中的不等式，由元素 ，可知元素应为整数。求集合 中元素。由补 集的定义可求。 详解：因为 ， 又因为全集 ， 由补集定义可得 。 所以选 A。 点睛：本题主要考查补集运算、一元二次不等式的解法 、整数集的符号表示等知识。意在考查学生的计算求解能力。 2. 已知复数满足 （是虚
2、数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 C 【解析】分析：根据复数的运算由 ， 变形得 ，根据复数除法法则计算， 可得 ，进而得复数对应的点为（ -1,-2），判断点所在象限。 详解：因为满足 ，所以 。 所以复数在复平面内对应的点为 （ -1， -2）， 故复数在复平面内对应的点在第三象限 。 故选 C。 - 2 - 点睛：本题主要考查复 数乘法、除法运算、复平面内的点与复数的对应关系等知识点。意 在考查学生的转化与计算求解能力。 3. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】分析：复合函
3、数的函数值 ，先求里面的函数值 ，根据分段函数自变量 的范围，先求 ，再求根据分段函数求 。 详解：因为 ，所以 ， 因为 -10，所以 。 故选 B。 点睛：（ 1）分段函数求函数值，应按照自变量的范围分段代入。 （ 2）复合函数 求函数值，应遵循从内到外的原则 ，先求 的函数值。 4. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是 （ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】 D 【解析】分析：平行一个平面的两条直线有三种位置关系：相交、异面、平行，排除 A；两面垂 直，平行其中一个平面的直线与该平面有三种位置关系：平行、相交、在面内，
4、故 排除 B；平行与一条直线的两个平面有两种位置关系：平行、相交，故排除 C；由 直线与平面垂直和平面与平面垂直的判定可知选项 D 正确。 详解：对于选项 A， 若 ，则 两直线可能平行 、 相交 、 异面 ， 故 A 错 ； 对于选项 B， 若 ，则直线 与平面 可能平行、线在面内、相交，故 B 错； 对于选项 C， 若 ，则两平面 可能平行、相交，故 C 错； 对于选项 D， 若 ， 由平面与平面垂直的判定定理可知 D 正确 。 故选 D。 点睛：判断直线与平面的位置关系，应熟练掌握直线与直线、平面与平面、直线与平面的 - 3 - 位置关系，以及判定定理、性质定理。 5. 等比数列 中，
5、，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要 条件 【答案】 B 【解析】分析：用等比数列的基本量 可将 “ ” 转化为 ，求公比 的取值范围， 进而可得 不一定成立；同理将 转化为基本量 ，可证由 能推出 。 详解：如果 “ ” ，那么 或 。 因为 ，当 时， ， 因为 ， 所以 ， 所以 “ ” 不是 “ ” 的充分条件 。 由 可得 ，因为 ， 所以 ，解得 。 所以 ，所以 。 故 “ ” 是 “ ” 的必要条件 。 故选 B。 点睛：解决有关数列的问题可将条件转化为基本量，来求基本量的取值或范围，进 而可解决
6、问题。本题考查学生的转化能力。 6. 若 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】分析：三视图中一个为直角三角形，另两个为矩形，可知该几何体为平放的三棱柱。- 4 - 由三视图观察其所有棱长。三个侧面都是矩形，可求其侧面积，底面为直角三角形，可求底面积，进而求该几何体的表面积。 详解：由三视图可知该几何体为平放的三棱柱，其中以左视图为底，三棱柱的高为 2 ，直角三角形的两个直角边长度分别为 1 和 1 ， 斜边长为 。 所以三棱柱的底面积为 ， 侧面积为 。故表 面积为 。故选 C。 点睛 ：（ 1）还原几何体的基本要素是 “ 长
7、对齐，高平直，宽相等 ” . （ 2）对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置 根据几何体的三视图确定直观图的方法： 三视图为三个三角形，对应三棱锥； 三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥； 三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥； 三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱锥； 三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱。 7. 已知 分别是 双曲线 的左、右焦点，若双曲线右支上存在点 ，使，且线段 的中点在 轴上，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解
8、析】分析：因为线段 的中点在 轴上，在 中， 由三角形中位线性质可得到 轴，进而得到 轴。在直角 中， ， ，用边角关系推出 ， ，再由双曲线定 ，得到 关系，进而可求离心率。 详解：因为线段 的中点在 轴上，又因为点 O 为线段 的中点，由三角形中位线- 5 - 性质可知 轴，所以 轴，所以 。 因为 ， 所以 ， 。 因为点 在双曲线右支上， 由双曲线定义可得 ， 所以 ， 所以 。 故选 A。 点睛：离心率两大考点：求值、求取值范围。解题过程注意 的关系。 （ 1）直接根据题意建立 的等式或不等式求解； （ 2）借助平面几何关系建立 的等式或不等式求解； （ 3） 利用圆锥曲线的相关细则
9、建立 的等式或不等式求解； （ 3） 运用数形结合建立 的等式或不等式求解； 8. 把函数 的图像向右平移 个单位长度后与原图像重合，则当 取最小值时， 的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】分析：写出平移后的图 像对应的解析式，并整理可得，由平移后的图像与原图像重合可得 求出，求其最小值为 3，得到函数解析式 ，进而根据余弦函数的单调减区间可求函数的减区间。 详解 ： 把函数 的图像向右平移 个单位长度后得到的函数图像的解析式为 ， 因为平移后的图像与原图像重合 ， 所以 ， - 6 - 因为 ， 所以当 时 ， 取最小值 3。 所以 。 由 ， 可得 。 故
10、选 C。 点睛 ：（ 1）函数图像左右平移左加右减，应是相对于 本身加减； （ 2）求三角函数的单调区间应将自变量 的系数变为正数，利用整体思想根据正弦、余弦函数的单调区间 求解。 9. 在 中，角 所对的边分别为 ，若函数 有极值点，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】分析：由函数有极值点，可得方程 有解。所以先求导函数，由方程 的 判别式大于等于 0，化简整理得 ，由余弦定理求得角 B 的取值范 围，进而求出角 的范围 ， 由正弦函数的图像可求 的最小值 。 详解：因为函数 ， 所以 。 由函数 有极值点，可得方程有解。 所以 即 ，亦即 。 所以 。 因为
11、 ，所以 ，所以 。 由正弦函数的图像可知当 时， 取最 小值 -1. - 7 - 故选 B。 点睛 ：（ 1）求三角函数的最值，应先求出角的范围，根据正弦、余弦函数的图像与性质求 函数的最值。 （ 2）函数有极值点，其导函数对应的方程有解，一元二次方程有解，其判别式应大于等于 0。 10. 设函数 的定义域为 ，若存在闭区间 ，使得函数 满足： 在 上是单调函数； 在 上的值域是 ，则称区间 是函数 的 “ 和谐区间 ” 下列结论错误 的是（ ） A. 函数 存在 “ 和谐区间 ” B. 函数 不存在 “ 和谐区间 ” C. 函数 存在 “ 和谐区间 ” D. 函数 （ 且 ）不存在 “ 和
12、谐区间 ” 【答案 】 D 【解析】分析：利用函数单调性的判别方法，逐个选项检验函数是否存在单调区间。若函数在 上的值域是 ， 则方程 应该有两个根 。 详解 ： 对于选项 A，存在区间 0,2， 在 上是单调增函数； 在 上的值域是 ， 故 A 正确； 对于选项 B， 假设存在区间 ， 函数 在区间 上为增函数， 由 在 上的值域是 ， 可得 ， 解得 ， 这与 矛盾，故假设错误，所以选项 B 正确 ； 对于选项 C，由函数 ， 可得 。 取区间 ， 在此区间上 ， 所以函数 在区间 上为增函数。 - 8 - 因为 成立 ， 所以函数 在区间 上的值域为 . 所 以选项 C 正确 。 对于选
13、项 D， 不妨设 ,则函数在定义域内为单调增函数。 若存在 “ 和谐区间 ” ， 则由 得 ， 所以 是方程 的两个根， 即 是方程 的两个根 。 因为该方程有两个正根，所以存在 “ 和谐区间 ” 。所以选项 D 错。 所以选 D。 点睛 ：（ 1）判断函数的单调性的方法，单调性的定义、导函数、符合函数的同增异减； （ 2）函数 在其单调区间 上的值域是 ， 则方程 应该有两个根 。 第 卷（非选择题部分，共 110 分） 二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分） 11. 椭圆 的长轴长是 _，离心率是 _ 【答案】 (1). (2). 【解析】分
14、析 ： 由椭圆方程 确定椭圆的 ，进而求出 ， 再求长轴长、短轴长、离 心率。 详解 ： 由椭圆 可知，椭圆焦点在 轴上， 。 所以， 。 所以椭圆的长轴长为 ， 短轴长为 ， - 9 - 离心率为 。 点睛 ： 求椭圆的长轴长、短轴长、离心率 ， 应先根据椭圆的标准方程求 ，注意 ，再求 。 12. 设数列 是公差为 的等差数列， 则 _；数列的前 项和 取得最大值时， _ 【答案】 (1). (2). 【解析】分析：将条件转化为等差数列的基本量 ， 解关于 的方程组可求出 ， 由等差数列的通项公式即可写出 。 因为公差小于 0， 所以所有非负项的和最大，令 ， 可求得前多少项取正值 。 进而可得数列 的前 项和 取得最大值时， 的取值。 详解 ： 将 转化为用 表示得 ， 即 。 解得 ， 由等差数列通项公式得， 。 令 ， 解得 ， 因为 ， 数列的前 20 项取正值 ， 故前 20 项的和最大， 此时 。 点睛 ：（ 1）
