1、统计学-参数估计统计学统计学-从典型案例到问题和思想从典型案例到问题和思想 经济管理类经济管理类“十三五十三五”规划教材规划教材引言引言第一节第一节 点估计点估计 第二节第二节 区间估计区间估计 第六章第六章 参数估计参数估计统计推断的过程统计推断的过程总体总体样样本本样本统计量样本统计量例如：样本均例如：样本均值、比例、方值、比例、方差差总体均值、比总体均值、比例、方差等例、方差等参数估计参数估计假设检验假设检验 统计方法统计方法描述统计描述统计推断统计推断统计 参数估计在统计方法中的地位参数估计在统计方法中的地位 【引言引言】先看一个参数估计应用的案先看一个参数估计应用的案例：二战中苏军是
2、如何破解了德军坦克产例：二战中苏军是如何破解了德军坦克产量？量？二战期间，希特勒单方撕毁苏德互不侵犯条约，向前苏联的整个西线发动了蓄谋已久的“闪电战”侵略，战场上德军坦克战斗力强，为了保家卫国和打败侵略者，苏军非常想知道：德军总共生产了多少辆坦克？第六章第六章 参数估计参数估计 为解决此问题，苏军了解到德国人在生产坦克方面是从1开始连续编号，即坦克编号服从均匀分布。在战争过程中，苏军缴获了一些德军坦克，并收集了它们的生产编号。苏联统计专家发现：德国坦克生产总数N用最大似然法无偏性后(费歇尔，1925)的点估计结果较好，即N=(1+1n)缴获坦克的最大编号，n是缴获的坦克数。第六章第六章 参数估
3、计参数估计 如缴获了50辆坦克，它们的最大生产编号是3000，那么坦克生产总数的点估计是N=(1+150)3000=3060。以此类推，苏军知道了德军飞机、大炮、枪支数量，并由此推知了德国军事力量的规模。于是，苏军积蓄了充足的军力，联合盟军一起打败了二战中疯狂的德军并占领了柏林。从战后发现的德军记录来看，苏军的这些估计值非常接近真实值。第六章第六章 参数估计参数估计 这就是统计学帮助了苏军并打败德军的典型案例，是军事问题、点估计相结合的成果！点估计迄今是统计学的重要方法，本章主要介绍参数估计的基本的内容。第六章第六章 参数估计参数估计 u 一、一、什么是点估计？什么是点估计？我们用样本均值作为
4、总体均值的估计，用样本比例作为总体比例的估计，用样本方差作为总体方差的估计等，这就是点估计。一般地，点估计点估计是用对应的用对应的估计量估计量 的某个取值直接作的某个取值直接作为相应总体参数为相应总体参数的的估计值估计值。第一节第一节 点估计点估计 估计量估计量：用于估计总体参数的随机变量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比例、样本方差等如样本均值，样本比例、样本方差等例如例如:样本均值就是总体均值样本均值就是总体均值 的一个估计量的一个估计量参数用参数用 表示，估计量表示，估计量用用 表示表示估计值估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样
5、本均值如果样本均值 x=80，则，则80就是就是 的估计值的估计值 估计量与估计值估计量与估计值 点估计举例：点估计举例：例如：对某大学一年级新生的平均月消费进行估计，随机抽取100名学生，测得其平均月消费 =1200元，用1200元作为该大学一年级新生的平均月消费的一个估计值，即是点估计。再比如：若要估计一批产品的合格率，根据再比如：若要估计一批产品的合格率，根据抽样结果合格率为抽样结果合格率为96%96%，将，将96%96%直接作为这批直接作为这批产品合格率的估计值，这也是一个点估计。产品合格率的估计值，这也是一个点估计。第一节第一节 点估计点估计 X 点估计的求解方法主要有：矩估计法 最
6、大似然估计法 第一节第一节 点估计点估计 一、矩估计法 矩估计法矩估计法是一种常用的估计方法，其基本思想是，用样本原点矩作为总体原点矩的用样本原点矩作为总体原点矩的估计。估计。第一节第一节 点估计点估计 设k个参数 ，求k个参数 矩估计 需要建立k个方程，方法是：设总体的一个样本观测值是 ，其l阶原点矩 ，总体观测量X的l阶原点矩 ，用样本原点矩Al作为总体原点矩ml的估计，得出k个方程Al=ml()(l=1,k)，解此方程组得出的 即为参数 的矩估计。第一节第一节 点估计点估计 ),(21k),(21k),(21nxxxnililxnA11)()(lllmXEm【例例6-16-1】设总体 的
7、均值 及方差 都存在但均未知，设来自总体 的一个样本是 ，求 ，的矩估计 ，。第一节第一节 点估计点估计 2),(21nxxx22 解：是两个参数，故需要建立两个方程。因为 令 得 即 即总体均值的矩估计是样本均值，而总体方差（即总体的二阶中心矩）矩估计是样本二阶中心矩。上述结果表明，求总体均求总体均值与方差的矩估计无需知道总体服从什么值与方差的矩估计无需知道总体服从什么分布。分布。第一节第一节 点估计点估计 222221)()()()(XEXDXEmXEm2221AA21221AAAniiniixxnxxnx121222)(1)(1 二、最大似然估计法 最大似然方法的基本思想是，固定样本观测
8、值 ，在可能的取值中，挑选使似然函数 达到最大（从而概率p达到最大）的 作为参数的估计。这样得到的 称之为参数的最大似然估计。因此，求参数的最大似然估计问题就转化为求似然函数 的最大值问题了。第一节第一节 点估计点估计 ),(21nxxx)(L【例例6-26-2】设 ，未知，是来自总体的一个样本观测值，求 ，的极大似然估计。解：是两个参数，故需要建立两个方程。所以似然函数为：第一节第一节 点估计点估计 ),(2NX2),(21nxxx2nixniinixeeL1)(22122212222)()2(21),(RxexfXx222)(21),;(取对数后，分别对 ，求偏导数并令其为0，将 取为 ，
9、得两个方程，解此方程组得 的最大似然估计：上述结果表明，求总体均值与方差的最大似然估计需要知道总体分布。第一节第一节 点估计点估计 ),(2Lniixxn122)(1x2,2,2,2二、估计量的优良性标准二、估计量的优良性标准 对同一参数，用不同的估计方法，可以得到不同的估计量，如典型案例6中德国坦克生产总数N的矩估计量、最大似然估计量就不同。那么，那个估计方法更好呢？这里给出参数估计量的评价标准：无偏性、有效性无偏性、有效性和一致性一致性，我们称之为估计量的优良性标准估计量的优良性标准。第一节第一节 点估计点估计 1 1无偏性无偏性 设 为总体参数，为 的一个估计量，如果 ，则称 是 的无偏
10、估计量。即 是 重心，与 的距离最近。第一节第一节 点估计点估计)(EP()BA无偏无偏有偏有偏 2 2有效性有效性 设 为的两个无偏估计量，如果有：，则称 。即对于同一总体参数的两个无偏估计量来说，方差越小的估计量越有效。第一节第一节 点估计点估计21、)()(21DD有效比21AB 的抽样分布的抽样分布 的抽样分布的抽样分布12P()3 3一致性一致性 设 为 的一个估计量，若当 时，依 概率收敛于 ，则称 为 的一致估计量。此即随着样本容量n的增大，点估计量 越来越接近被估总体参数 。第一节第一节 点估计点估计nAB较小的样本容量较小的样本容量较大的样本容量较大的样本容量P()可以证明，
11、估计量样本平均可以证明，估计量样本平均 、样本比例样本比例p p、样本方差、样本方差 分别是总体平均分别是总体平均 、总体比例、总体比例、总体方差、总体方差 的无偏、有效的无偏、有效、一致估计量。即满足优良性标准。、一致估计量。即满足优良性标准。第一节第一节 点估计点估计 x2s2 点估计的优点是简洁明了，给出了具点估计的优点是简洁明了，给出了具体的估计值；缺点是体的估计值；缺点是无法提供估计的精度和无法提供估计的精度和估计的可靠程度，估计的可靠程度，因此，不能完全依赖于一因此，不能完全依赖于一个点估计值，而是个点估计值，而是围绕点估计值构造总体参围绕点估计值构造总体参数的一个区间数的一个区间
12、，这就是区间估计。，这就是区间估计。第二节第二节 区间估计区间估计 一一 、区间估计的概念、区间估计的概念 区间估计区间估计就是总体参数就是总体参数落在落在区间估计量区间估计量 内的概率为内的概率为1-1-，即，即 。称。称区间区间 为总体参数为总体参数的置信度的置信度为为 的置信区间。的置信区间。第二节第二节 区间估计区间估计 121P1),(21),(21 对于给定的抽样方法对于给定的抽样方法，不同的抽样，就有不同的，不同的抽样，就有不同的估计区间估计区间在用同样方法构造的总体参数的多个估计区间在用同样方法构造的总体参数的多个估计区间中，中，包含总体参数真值的区间所占的比例包含总体参数真值
13、的区间所占的比例称为称为置信水平，表示为置信水平，表示为(1-。2.2.为是为是未包含总体参数的区间所占的比例。未包含总体参数的区间所占的比例。常用的置信水平值有常用的置信水平值有 99%,95%,90%n相应的相应的 为为0.01，0.05，0.10置信度（置信水平）置信度（置信水平）),(21置信区间置信区间 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为为置信区间。置信区间。其中区间的最小值称为其中区间的最小值称为置信下限置信下限，最大值称为最大值称为置信上限。置信上限。统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正
14、的总体参数，所以给它取名为正的总体参数，所以给它取名为置信区间置信区间 。用一个具体的样本所构造的区间是用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的一个特定的区间区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值。否包含总体参数的真值。u构造参数的区间估计时，要权衡以下两个方面构造参数的区间估计时，要权衡以下两个方面，一是估计量的精度要求，二是估计量的可靠一是估计量的精度要求，二是估计量的可靠性程度。性程度。u所谓精度要求就是要把估计误差控制在一定的所谓精度要求就是要把估计误差控制在一定的范围内，我们用范围内，我们用极限误差极限误差 来来反映。越小，表
15、示估计的精度越高；越大反映。越小，表示估计的精度越高；越大，表示估计的精度越低。，表示估计的精度越低。u所谓可靠性是指所谓可靠性是指区间估计结果正确的概率保证区间估计结果正确的概率保证。用。用置信度置信度来反映。来反映。第二节第二节 区间估计区间估计 212u在其它条件不变的情况下，置信度与精度二在其它条件不变的情况下，置信度与精度二者者呈反方向变化呈反方向变化，要想提高置信度，置信区，要想提高置信度，置信区间就会增大，精度就会下降；要想提高精度间就会增大，精度就会下降；要想提高精度，置信度就会下降。，置信度就会下降。u在实际中，通常根据实际问题和研究的需要在实际中，通常根据实际问题和研究的需
16、要，选择合适的，选择合适的置信度置信度和和精度精度。第二节第二节 区间估计区间估计 总体参数总体参数符号表示符号表示样本统计量样本统计量均值均值比例比例方差方差2XP2S一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计二二 、总体均值的区间估计、总体均值的区间估计 总体均值的区间估计是本章的重点，总体均值的区间估计是本章的重点，我们分以下四种情况来讨论。我们分以下四种情况来讨论。第二节第二节 区间估计区间估计 1 1总体服从正态分布，总体方差总体服从正态分布，总体方差 已知已知 根据正态分布再生定理，样本均值 ，将 标准化，记 。对于概率可靠程度 ，有：第二节第二节 区间估计区间估计 2),(2n
17、Nxxnxz)1,0(N112zzP 将 代入上式，经过不等式的等价变形，得：总体均值 在置信度 下的置信区间为：(6.3)其中：为抽样极限误差。第二节第二节 区间估计区间估计 nxz122nzxnzxP1nzx22zn 影响极限误差的因素影响极限误差的因素1.1.总体数据的离散程度，总体数据的离散程度，用用 来测度来测度样本容量，样本容量，2.2.置信水平置信水平 (1-(1-)，影响，影响 z 的大小的大小nX 常用置信水平的常用置信水平的 值值22z置信水平置信水平90%95%95.45%99%0.100.050.04550.010.050.0250.022750.0051.6451.9
18、622.582z 亦可查标准正态分布表得到。【例例6-46-4】假定某地区企业总经理的年收入服从正态分布，随机抽取n=25个企业，得到25个企业总经理的年平均收入=135000元。已知总体的标准差为=55000元，试求该地区企业总经理的年平均收入 在置信度 =95%的置信区间。第二节第二节 区间估计区间估计 1 解：总体服从正态分布，且方差 已知，因此，总体均值 在置信度95%下的置信区间为：=。即在95%的概率可靠程度下，此次抽样得该地区企业总经理的年平均收入的置信区间为（113440，156560）元。第二节第二节 区间估计区间估计2255500096.11350002nzx156560,
19、113440?2.2.对于总体分布未知，大样本（对于总体分布未知，大样本（），），根据中心极限定理，样本均值近似服从 ，因而同样可以用式(6.3)得出估计区间。第二节第二节 区间估计区间估计 30n),(2nNnzx2 3 3总体分布未知，方差总体分布未知，方差 未知，大样本未知，大样本 此时，我们用总体方差 的无偏估计量 代替，运用中心极限定理，与式(6.3)的证法同理有：总体均值 在置信度 下的置信区间为：第二节第二节 区间估计区间估计222s1nszx2【例例6-56-5】在一项对大学生资助贷款的研究中，从全国各地随机抽取n=100名贷款的大学生作为样本，得到毕业前的平均欠款余额 =20
20、000元，标准差s=3000元。试求贷款学生总体中平均欠款额的 95%的置信区间。第二节第二节 区间估计区间估计x 解：该题为总体分布未知，方差 未知，大样本情形，因此，总体均值 在置信度 95%下的置信区间为：=即在置信度95%下，此次抽样得全国贷款学生平均欠款额的置信区间为（19412，20588）元。第二节第二节 区间估计区间估计100300096.1200002nszx20588,19412?24 4总体服从正态分布，总体方差总体服从正态分布，总体方差 未未知，小样本情况下知，小样本情况下，总体均值 在置信度 下的置信区间见式（6.2）。第二节第二节 区间估计区间估计21nsntx)1
21、(2【例例6-36-3】已知某企业生产的灯管寿命服从正态分布，现从一大批灯管中随机抽取n=16只，分别测得寿命（单位：小时）如下：3510 3450 3480 3460 3520 3496 3490 3460 3464 3526 3530 3470 3516 3520 3494 3470 在概率可靠程度1-=95%下，求这批灯管平均寿命的区间估计。第二节第二节 区间估计区间估计 解：可算得总体均值点估计：且 查t分布表得：总体均值 在概率 =95%下的区间估计：=（3476.8,3503.2）即在概率可靠程度95%下，此次抽样得该批灯管平均寿命的区间估计为（3476.8,3503.2）小时之间
22、。第二节第二节 区间估计区间估计 34901nxxnii8.241)(12nxxsnii1314.2)116()1(025.02tnt%95-11168.241314.23490)1(2nsntx 三、总体比例的区间估计三、总体比例的区间估计 总体比例总体比例，是指总体中，具有某种特征的单位个数与全部单位数之比，记为 。现实中，这种问题很多。比如，产品的合格率问题、考试及格率、市场占有率问题等。样本比例，是指样本中，具有某种特征的单位个数与样本容量之比，记为 。总体比例是一种特殊的总体均值总体比例是一种特殊的总体均值 第二节第二节 区间估计区间估计p 当样本量 充分大（）时，近似服从正态分布
23、，将 标准化后有：与式(6.3)的证法同理有：总体比例 在置信度 下的置信区间为：(6.4)第二节第二节 区间估计区间估计5)1(5pnnp和)1,(nNpnpz11nzp)1(2)1,0(N 总体比例 是未知的，通常用样本比例 来代替总体比例 第二节第二节 区间估计区间估计pnppzp)1(2 【例例6-66-6】估计某市居民家庭电脑的普及率，随机抽取900户居民调查，其中675户居民拥有个人电脑。以概率95.45%的保证程度，估计该市居民电脑的普及率的置信区间。第二节第二节 区间估计区间估计 解：样本比例：，所以 =（72.2%，77.8%）即以概率95.45%的保证程度，此次抽样得该市居
24、民电脑的普及率的区间估计为72.278.8%之间。第二节第二节 区间估计区间估计 75.09006751nnp5)1(5pnnp和028.075.0900)75.01(75.0275.0)1(2nppzp 四、总体方差的区间估计四、总体方差的区间估计 总体方差总体方差是总体的另一个重要参数，反映总体的离散程度的大小。下面只介绍正态总体方差的估计问题。第二节第二节 区间估计区间估计 根据样本方差的抽样分布可知，当总体服从正 态分布 时，因此，可用 分布来构造总体方差 的置信区间 由置信区间的定义，对给定的置信度 ，有 代入 ，将括号里的不等式等价变形，有：第二节第二节 区间估计区间估计2,N)1()1(2222nsn2211)1()1(222212nnP2221sn1)1(1)1(121222222nsnnsnP 所以，在给定置信度 下，总体方差 的置信区间为：第二节第二节 区间估计区间估计 12)1(1,)1(12122222nsnnsn【例例6-76-7】某公司生产一种罐装食品，设每罐食品的重量服从正态分布。为了解罐装食品重量的总体方差，现从生产线上抽查了n=10罐食品，求得其样本方差=9.2，试对总体方差进行置信度为0.95的区间估计。第二节第二节 区间估计区间估计
