1、专题层级快练专题层级快练(十八十八) 1(2019 山东陵县一中月考)已知函数 f(x)x2ex，当 x1，1时，不等式 f(x)m 恒成立， 则实数 m 的取值范围为( ) A1 e，) B(1 e，) Ce，) D(e，) 答案 D 解析 由 f(x)ex(2xx2)x(x2)ex，得当1x0 时，f(x)0，函数 f(x)单调递减， 当 0x0，函数 f(x)单调递增，且 f(1)f(1)，故 f(x)maxf(1)e，则 me.故 选 D. 2已知函数 f(x)x4 x，g(x)2 xa，若x 1 1 2，1 ，x22，3，使得 f(x1)g(x2)， 则实数 a 的取值范围是( )
2、Aa1 Ba1 Ca2 Da2 答案 A 解析 由题意知 f(x)min x 1 2，1 g(x)min(x2，3)，因为 f(x)min5，g(x)min4a，所 以 54a，即 a1，故选 A. 3(2020 衡水中学调研)设函数 f(x)ax2xlnx(2a1)xa1(aR)若对任意的 x1， )，f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围 答案 1 2， 解析 f(x)2ax1lnx(2a1)2a(x1)lnx(x0)， 易知当 x(0，)时，lnxx1， 则 f(x)2a(x1)(x1)(2a1)(x1) 当 2a10，即 a1 2时，由 x1，)得 f(x)0 恒成立， f(x)在
3、1，)上单调递增，f(x)f(1)0，符合题意 当 a0 时，由 x1，)得 f(x)0 恒成立，f(x)在1，)上单调递减， f(x)f(1)0，显然不合题意，a0 舍去 当 0a1 2时，由 lnxx1，得 ln 1 x 1 x1，即 lnx1 1 x， 则 f(x)2a(x1) 11 x x1 x (2ax1) 0a1. 当 x 1， 1 2a 时，f(x)0 恒成立，f(x)在 1， 1 2a 上单调递减， 当 x 1， 1 2a 时，f(x)f(1)0，显然不合题意，0a0 时，f(x)的单调递增区间为(，lna)， 单调递减区间为(lna，) (2)(， 1 2e 解析 (1)因为
4、 f(x)aex，xR. 当 a0 时，f(x)0，f(x)在 R 上单调递减； 当 a0 时，令 f(x)0 得 xlna. 由 f(x)0 得 f(x)的单调递增区间为(，lna)； 由 f(x)0 得 f(x)的单调递减区间为(lna，) (2)因为x0(0，)，使不等式 f(x)g(x)ex，则 axlnx x ，即 alnx x2 . 设 h(x)lnx x2 ，则问题转化为 a lnx x2 max，由 h(x) 12lnx x3 ， 令 h(x)0，则 x e. 当 x 在区间(0，)内变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表： x (0， e) e ( e，) h(x) 0
5、h(x) 单调递增 极大值 1 2e 单调递减 由上表可知，当 x e时，函数 h(x)有极大值，即最大值为 1 2e.所以 a 1 2e. 5(2017 课标全国)设函数 f(x)(1x2)ex. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 x0 时，f(x)ax1，求 a 的取值范围 答案 (1)f(x)在(，1 2)，(1 2，)上单调递减，在(1 2，1 2)上 单调递增 (2)1，) 解析 (1)f(x)(12xx2)ex. 令 f(x)0 得 x1 2或 x1 2. 当 x(，1 2)时，f(x)0；当 x(1 2，)时，f(x)0. 所以 f(x)在(，1 2)，(1 2，)上单调
6、递减，在(1 2，1 2)上单调 递增 (2)f(x)(1x)(1x)ex. 方法一：当 a1 时，设函数 h(x)(1x)ex，h(x)xex0)，因此 h(x)在0，) 上单调递减，而 h(0)1， 故 h(x)1，所以 f(x)(x1)h(x)x1ax1. 当 0a0(x0)，所以 g(x)在0，)上单 调递增，而 g(0)0，故 exx1. 当 0x(1x)(1x)2， (1x)(1x)2ax1x(1axx2)， 取 x0 54a1 2 ， 则 x0(0，1)，(1x0)(1x0)2ax010，故 f(x0)ax01. 当 a0 时，取 x0 51 2 ，则 x0(0，1)，f(x0)
7、(1x0)(1x0)21ax01. 综上，a 的取值范围是1，) 方法二：令 g(x)f(x)ax1(1x2)ex(ax1) g(0)0.即当 x0 时，g(x)0g(0) g(x)(1x22x)exa.g(x)(x24x1)ex. 当 x0 时，g(x)0. g(x)在0，)单调递减 g(x)g(0)1a，要使 g(x)g(0)在0，)恒成立 1a0，a1. 6已知函数 f(x)x(a1)lnxa x(aR)，g(x) 1 2x 2exxex. (1)当 x1，e时，求 f(x)的最小值； (2)当 a1 时，若存在 x1e，e2，使得对任意的 x22，0，f(x1)g(x2)成立，求 a
8、的取 值范围 答案 (1)当 a1 时， f(x)min1a； 当 1ae 时， f(x)mina(a1)lna1； 当 ae 时， f(x)min e(a1)a e (2) e22e e1 ，1 解析 (1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)（x1）（xa） x2 . 当 a1 时，x1，e，f(x)0，f(x)为增函数，f(x)minf(1)1a. 当 1ae 时，x1，a时，f(x)0，f(x)为减函数；xa，e时，f(x)0，f(x)为增 函数；所以 f(x)minf(a)a(a1)lna1. 当 ae 时，x1，e时，f(x)0，f(x)在1，e上为减函数 f(x)minf(e)e
9、(a1)a e. 综上，当 a1 时，f(x)min1a； 当 1ae 时，f(x)mina(a1)lna1； 当 ae 时，f(x)mine(a1)a e. (2)由题意知 f(x)(xe，e2)的最小值小于 g(x)(x2，0)的最小值 由(1)知当 a1 时 f(x)在e，e2上单调递增，f(x)minf(e)e(a1)a e. g(x)(1ex)x. 当 x2，0时，g(x)0，g(x)为减函数，g(x)ming(0)1，所以 e(a1)a ee 22e e1 ，所以 a 的取值范围为 e22e e1 ，1 . 7(2020 石家庄市高三一检)已知函数 f(x)axex(a1)(2x1
10、) (1)若 a1，求函数 f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程； (2)当 x0 时，函数 f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围 答案 (1)y3x2 (2) 1 e1， 解析 (1)若 a1，则 f(x)xex2(2x1)， f(x)xexex4，则 f(0)3，f(0)2， 所以所求切线方程为 y3x2. (2)由已知可得，f(1)0，得 a 1 e10， f(x)0 对任意的 x0 恒成立可转化为 a a1 2x1 xex 对任意的 x0 恒成立 设函数 F(x)2x1 xex (x0)，则 F(x)（2x1）（x1） x2ex . 则函数 F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以 F(x)maxF(1)1 e. 于是 a a1 1 e，解得 a 1 e1. 故实数 a 的取值范围是 1 e1， .
