1、高 考 总高 考 总 复 习 优 化 设 计复 习 优 化 设 计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JIGAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI第第2 2课时求空间角课时求空间角第八章第八章解解答答题题专专项项四四2024考点一考点二考点三考点一考点一异面直线所成的角异面直线所成的角例题在三棱锥P-ABC中,ABC和PBC均为等边三角形,且二面角P-BC-A的大小为120,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为()考点一考点二考点三答案 A解析(方法1)如图,取BC的中点O,连接OP,OA.因为ABC和PBC均为等边三角形,所以AOBC,PO
2、BC,所以BC平面PAO,即平面PAO平面ABC.所以POA就是二面角P-BC-A的平面角,即POA=120,建立空间直角坐标系如图所示.考点一考点二考点三(方法2)如图所示,取BC的中点O,连接OP,OA.因为ABC和PBC是全等的等边三角形,所以AOBC,POBC,所以POA就是二面角的平面角.考点一考点二考点三规律方法规律方法 用向量法求异面直线所成角的步骤 考点一考点二考点三对点训练 考点一考点二考点三考点一考点二考点三考点二考点二直线与平面所成的角直线与平面所成的角例题(2022全国乙,理18)如图,四面体ABCD中,ADCD,AD=CD,ADB=BDC,E为AC的中点.(1)证明:
3、平面BED平面ACD;(2)设AB=BD=2,ACB=60,点F在BD上,当AFC的面积最小时,求CF与平面ABD所成的角的正弦值.考点一考点二考点三(1)证明 AD=CD,ADB=BDC,BD=BD,ABD CBD,AB=CB.又E为AC的中点,AD=CD,DEAC,BEAC.又BEDE=E,AC平面BED.又AC平面ACD,平面BED平面ACD.考点一考点二考点三(2)解 如图,连接EF,由(1)知AC平面BED.EFAC,当AFC的面积最小时,EF最小.在BDE中,若EF最小,则EFBD.AB=CB=2,ACB=60,ABC为等边三角形,AC=2,BE=.ADCD,AD=CD,ACD为等
4、腰直角三角形,DE=1.又BD=2,DE2+BE2=BD2,BEDE.考点一考点二考点三由(1)知DEAC,BEAC,则以E为原点,EA,EB,ED所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,考点一考点二考点三考点一考点二考点三规律方法规律方法 求直线与平面所成角的两种方法 考点一考点二考点三对点训练(2023江苏镇江模拟)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC,点A1在平面ABC上的射影为线段AC的中点D,侧面AA1C1C是边长为2的菱形.(1)若ABC是正三角形,求异面直线DB1与BC所成角的余弦值;(2)当直线CB1与平面ABB1A1所成角的正弦值为 时,求线段BD的
5、长.考点一考点二考点三解(1)依题意,点A1在平面ABC上的射影为线段AC的中点D,所以A1D平面ABC,A1DCD,A1DBD,由于AB=BC,所以BDCD,以D为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,A1(0,0,),C(0,1,0),考点一考点二考点三考点一考点二考点三考点三考点三平面与平面的夹角平面与平面的夹角例题(12分)(2022新高考,19)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,A1BC的面积为2 .(1)求A到平面A1BC的距离;(2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.考点一考点二考点三【规范解答】考点一考点
6、二考点三(2)连接AB1交A1B于点E,如图.考点一考点二考点三考点一考点二考点三考点一考点二考点三考点一考点二考点三【教师讲评】(1)利用等体积变换法求点到平面的距离.(2)结合图形和条件,利用面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定和性质得多组线线垂直关系,从而建立空间直角坐标系.分别求出两个平面的法向量,利用公式代入计算即可.要注意本题要求的是二面角的正弦值,由公式得出的是两个法向量的余弦值.考点一考点二考点三规律方法规律方法 利用空间向量求二面角的两种常用方法 考点一考点二考点三对点训练(12分)(2022新高考,20)如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,ABAC,E为PB的中点.(1)证明:OE平面PAC;(2)若ABO=CBO=30,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.考点一考点二考点三(1)证明 连接OA,OB,如图所示.PO是三棱锥P-ABC的高,PO平面ABC,POOA,POOB,POA=POB=90.又PA=PB,PO=PO,POA POB,考点一考点二考点三考点一考点二考点三(2)解 过点D作DFOP,分别以DB,DO,DF所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.PO=3,PA=5,OA=4.由(1)知OB=OA=4,又ABO=CBO=30,考点一考点二考点三考点一考点二考点三本本 课课 结结 束束
