1、282828.2.1 解直角三角形锐角三角函数锐角三角函数1学 习 目 标教学分析1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；2.渗透数形结合的数学思想，培养良好的学习习惯.导入新课在RtABC 中，共有六个元素（三条边，三个角），其中C=90，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？ACBcba(1)三边之间的关系：a 2+b 2=_;(2)锐角之间的关系：A+B=_;(3)边角之间的关系：sinA=，cosA=,tanA=.c 290acbcab合作探究探究点一解直角三角形的定义合作探究如图，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的
2、夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C.在RtABC中，C90，BC5.2m，AB54.5m.根据以上条件可以求出塔身中心线与垂直中心线的夹角你愿意试着计算一下吗？合作探究解：0.095454.55.2ABBCsinA利用计算器可得 .A5 28 将上述问题推广到一般情形，就是：已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数.合作探究ABC6230在RtABC 中,（2）根据AC=，BC=你能求出这个三角形的其他元素吗？（1）根据A=60,斜边AB=30,B AC BC你能求出这个三角形的其他元素吗?26（3）根据A=60,B=30,你能求出这个三角形的其他元素吗?一角一边两边不能
3、两角你发现了什么？合作探究在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素.合作探究定义：在直角三角形中,由已知元素求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.合作探究ABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：（1）三边之间的关系 a2+b2=c2（勾股定理）（2）两锐角之间的关系AB90（3）边角之间的关系合作探究ABabcC合作探究探究点二解直角三角形合作探究例 1如图，在RtABC 中，C90，解这个直角三角形.ABC26解：BC6tanA3,AC2.3090.60ABA.222ACAB合作探究例 2如图，在RtABC 中
4、，B35，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.ABCa b=c 2035解：A 90-B 90-3555.abBtan6.2835tan20tanBbacbBsin.9.3435sin20sinBbc你还有其他方法求出c 吗？合作探究针对训练如图，从点C 测得树的顶角为33，BC20米，则树高AB_米（用计算器计算，结果精确到0.1米）.解析：ABtanCBC由，得AB=BCAB=BCtantanC C=20=20tan33tan33=13.0.=13.0.答案：13.013.0课堂小结1.解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过
5、作辅助线构造直角三角形 （作某边上的高是常用的辅助线）2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用.巩固拓展1.在下列直角三角形中不能求解的是（）A.已知一直角边一锐角 B.已知一斜边一锐角 C.已知两边 D.已知两角D2.边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度 为_cm.解析：一边上的高=6sin60=(cm).33巩固拓展3.如图，小明为了测量其所在位置，A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得ACB，那么AB等于（)ABCmA.msin米 B.mtan米 C.m
6、cos米 D.米tanmB巩固拓展4.已知：如图，在RtABC 中，C90，AC 点D 为BC 边上一点，且BD2AD，ADC60，3求ABC 的周长（结果保留根号）.巩固拓展解析：要求ABC 的周长，只要求得BC 及AB 的长度即可 根据RtADC 中ADC 的正弦值 和AC 的长度，可以求得AD 的长度，也可求得CD 的长度；再根据已知条件求得BD 的长度，继而求得BC 的长度；运用勾股定理可以求得AB 的长度，最后求得ABC 的周长 巩固拓展解：282828.2.2 应用举例第1课时 仰角和俯角在解直角 三角形中的应用锐角三角函数锐角三角函数22学 习 目 标1.了解仰角、俯角的概念，根
7、据直角三角形的知识解决实际问题2.逐步培养分析问题、解决问题的能力导入新课1.直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？(1)三边之间的关系（2）两锐角之间的关系（3）边角之间的关系导入新课2.在RtABC 中，已知a=12,c=13，求B 应该用哪个关系？请计算出来.解：依题意可知1312cacosB合作探究探究点一构造直角三角形解题合作探究活动 1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在
8、什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，取3.142，结果取整数）？合作探究分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点合作探究分析：如图，O 表示地球，点F是组合体的位FQ是O 的切线，切点Q是从组合体观测地球时的最远点.的长就是地面上P、Q两点间的距离，为计算 的长需先求出POQ（即a）的度数.合作探究解：在图中，FQ 是O 的切线，FOQ 是直角三角形2051(km).64001803.14218.36640018018.36的长为 PQ.18.360.9491，34364006400OFOQcos0由此可知，当组合体在P 点正上方时，从中观
9、测地球表面时的最远点距离P 点约为2051km.答：合作探究小组讨论 1 从活动1中的例题解答中，你能体会到解直角三角形的应用前提条件是什么吗？如何进行？合作探究反思小结一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题合作探究针对训练 11.如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米?ABC合作探究解：依题意可知B=600.答：梯子的长至少3.5米.ABC合作探究探究点二测量物体的高度问题合作探究活动 2 热气球的探测器显
10、示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，仰角这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）?ABCD合作探究分析:我们知道，在视线与水平线所成角中,视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角.因此，在图中，a=30,=60.ABCDRtABC 中，a=30，AD120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC仰角俯角水平线合作探究ABCD解：如图，a=30,=60，AD120ADCDtan,ADBDtanatan30120tanaADBD34033120合作探究ABCD解：tan60120tanADCD31
11、2031203120340CDBD BC277.1（m）.3160答:这栋楼高约为277.1m.合作探究小组讨论 2 从活动2中例题的解答中，你体会到什么思想方法？如何添加辅助线构造可解的直角三角形？合作探究反思小结利用直角三角形中的边角关系求线段的长度，如果涉及两个或两个以上的三角形时，可以通过设未知数，利用线段之间的等量关系列出方程，从而求解合作探究针对训练 21.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D 处观察旗杆顶部A的仰角54，观察底部B 的仰角为45，求旗杆的高度（精确到0.1m）.合作探究解：在等腰三角形BCD 中ACD=90,BC=DC=40m.在RtACD 中,DCAC
12、ADCtanADCDCtanAC=tan54401.3840=55.2所以AB=ACBC=55.240=15.2.答：旗杆的高度为15.2m.课堂小结1在解决本节课的问题时，我们综合运用了_和_的知识.2当我们进行测量时，在视线与_线所成的角中，视线在_线上方的角叫做仰角，在_线下方的角叫做俯角圆解直角三角形水平水平水平巩固拓展1.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45，则船与观测者之间的水平距离BC=_米.100巩固拓展2.如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30，测得C点的俯角为60，则建筑物CD的高为_米.巩固拓
13、展3.为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角ACD=52，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米）.依题意可知，在RtADC 中解：20.49151.36615tan52CDACDtanAD所以树高为：20.49+1.72=22.21（米）.答：282828.2.2 应用举例第2课时 方位角和坡角在解直角三角形中的应用锐角三角函数锐角三角函数48学 习 目 标1.了解“方位角”航海术语，并能根据题意画出示意图2.利用解直角三角形的方法解决航海问题中的应用.导入新课画出方向图（表示东南西北四个方向的）并依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方
14、向的射线.北南西东西北北偏东65度东南南偏东34度合作探究探究点一方位角问题合作探究例 5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65度方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34 度方向上的B处.这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？合作探究解：如图，在RtAPC 中，PCPAcos（9065）80cos25=800.9172.505.在RtBPC 中，B34,合作探究PBPCsinB 130(海里）sin3472.505sinBPCPB0当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34方向时，它距离灯塔P 大约130海里合作探究小组讨论 1 通过对上面例题的学习，你对
15、方位角问题的解答有何感想？进而请你归纳利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程合作探究反思小结方位角是一种表示方向的角，在航海、测绘等位置确定中非常重要解决方位角问题，首先明确概念，通过添加辅助线，把具体问题抽象成直角三角形模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解题合作探究反思小结2.利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程：（1）将实际问题抽象为数学问题 （画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案合作探究针对训练1.如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔 海里的A处，它
16、沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东 方向上的B处，40 230则海轮行驶的路程 AB为多少海里（结果保留根号）？合作探究探究点二化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略合作探究解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h 时，只要测出仰角a 和大坝的坡面长度l，就能算出h=l lsina，合作探究但是，当我们要测量如图所示的山高h 时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a 和山坡长度l.合作探究坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？与测坝高相比，测山高的困难在于：合作探
17、究我们设法“化曲为直，以直代曲”我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l l1sina1.合作探究在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,hn相加，于是得到山高h.以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容（1）将实际问题抽象为
18、数学问题（画出平面图形，转化为_）;（2）根据条件特点，适当选用_等去解直角三角形;（3）得到数学问题的答案;（4）得到_的答案.课堂小结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：几何图形三角函数实际问题巩固拓展1.如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点O 的距离为4米，钢缆与地面的夹角BOA为60，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB 是多少米（结果保留根号）巩固拓展3.如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30，如果渔船不改变航向继续向东航行有没有触礁的
19、危险？解：如图，过A作ADBC于点C，则AD的长是A到BC的最短距离.巩固拓展解：由勾股定理得10.392836612AC22即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险 CAC=30，DAB=60，BAC=60-30=30，ABC=90-60=30，ABC=BAC，BC=AC=12（海里），CAC=30，ACC=90，CD=AC=6（海里），21巩固拓展请根据题中所提供的信息计算、分析一下，工程继续进行下去，是否会穿过学校？4.如图，在一次暖气管道的铺设工作中，工程是由A点出发沿正西方向进行的，在A点的南偏西60的方向上有一所学校，学校占地是以B点为中心方圆100米的圆形，当工程进行了200米时到达C处，此时B在C的南偏西30的方向上，巩固拓展解：过点B作BDAD于点D，EACA于点A，FCCA于点C，由题意得BAE=60，BCF=30 CAB=30，DCB=60，DBC=30，CBA=CBD-CAB=30，CAB=CBA，AC=CB=200m，
