1、 - 1 - 福建省三明市 A片区 2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 理 全卷满分： 150 分 注意事项： 1试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题） 2所有答案请答在答题卡上，试卷不上交 3请用 2B 铅笔将选择题答案填涂在答题卡上，综合题答案请用 0.5mm 黑色水笔写在答题卡的相应位置上，不得超出答题扫描区作答 第 卷 选择题（共计 60 分） 一选择题：（本大题共有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1 PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗 粒物 ,也称为可入肺颗粒物如图是根据某中学学生社团某日
2、早 6 点至晚 9 点在一中、二中两个校区附近的 PM2.5 监测点统计的数据 (单位 :毫克 /立方米 )列出的茎叶图，一中、二中两个校区浓度的方差较小的是 ( ) A一中校区 B二中校区 C一中、二中两个校区相等 D无法确定 22若向量 (3 , 2 , ), (1 , 0 , 2 ), (1 , 1 , 4 )a x b c? ? ? ?满足条件 ()c a b?，则实数 x 的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 - 2 - 33某学校共有师生 2 400 人 ,现用分层抽样的方法 ,从所有师生中抽取一个容量为 150 的样本 ,已知从学生中抽取的人数为 135,那么该学校的教师
3、人数是 ( ) A 15 B 200 C 240 D 2160 44如图是一个求 2 2 2 2 21 2 3 9 9 1 0 0? ? ? ? ?的值的程序框图，则判断框中应填入的条件是（ ） A 100i? B 100i? C 100i? D 100i? 55计算 2 21(3 1 )xx e dx? ?（ ） A 2 16 e e? B 211e? C 212 1e? D 2 19 e e? 66如图是某工厂对一批新产品长度 (单位： mm)检测结果的频率分布直方图 .估计这批产品的平均数为 ( ) A 22.5 B 22.75 C 25 D 20 77已知 p ：函数 () xf x
4、e ax a? ? ?在 (0,2) 内有最小值； 1: ,1, 1 04q x ax? ? ? ?，则 p 是q? 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 - 3 - CC充要条件 D既不充分也不必要条件 88已知函数 ()fx在 R 上可导，其导函数为 ()fx? ，且函数 (1 ) ( )y x f x? 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A 1x? 为 ()fx的极大值点 B 1x? 为 ()fx的极小值点 C 1x? 为 ()fx的极大值点 D 1x? 为 ()fx的极小值点 99已知 F1， F2 分别是椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?
5、的左、右焦点，若以 2F 为 圆心，以 12FF 的长为半径的圆与椭圆 C 交于点 P，则椭圆 C 离心率的取值范围是 ( ) A 2 ,1)3 B 12 , 32 C 1 ,1)3 D 1(0, 3 10在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，二面角 11A BD B?的余弦值为（ ） A 63 B 73 C 64 D 74111已知抛物线 2 4yx? ，当过 x 轴上一点 ( ,0)Ma 的直线 l 与抛物线交于 ,AB两点时，AOB? 为锐角，则 a 的取值范围是（ ） A- 4 - ( ,4)? B (4, )? C (0,4) D ( ,0) (4,
6、)? ? 12给出下列命题： 13可以用二进制数表示为 (2)1101 ； 对于任意事件 ,AB，都有 ( ) ( ) ( )P A B P A P B?； “ 在 ABC? 中，若 AB? ，则 sin sinAB? ” 的逆命题是 真命题； 2 2x x ax?在 1,2x? 上恒成立 2 m in m ax( 2 ) ( )x x ax? ? ?在 1,2x? 上恒成立 其中正确命题 的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 第 卷 非选择题（共计 90 分） 二填空题：本大题共有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 在三棱锥 P ABC? 中，点 G 是 ABC? 的重
7、心，若 PA PB PC? ( 1)m PG? ，则实数 m的值为 14若命题 “ 存在实数 x ，使 2 10x ax? ? ? ” 的否定是假命题，则实数 a 的取值范围是 15 已知直线 2yx? 是曲线 2y x b? ? 的切线，则 b 16已知函数 ln() xfx x? ， ()gx ax? ，若在区间 21 , ee 上存在两个不相等的实数 12,xx，使得 11( ) ( )f x g x? ， 22( ) ( )f x g x? 成立，则 a 的取值范围是 三解答题：本大题共有 6 小题，共 70 分 17（本题满分 10 分） 某经济学院的研究生为了研究中国人口老龄化对储
8、蓄率的影响，收集了 2007- 2016 年这 10 年- 5 - 的有关数据如下表： 第 n 年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 老年抚养比（ x %） 9.7 10.1 10.5 10.7 11.1 11 11.3 11.5 12.1 12.3 储蓄率（ y %） 53 52 55 61 62 64 64 65 66 65 中老年抚养比是指人口中非劳动年龄人口数中老年部分对劳动年龄人口数之比，用以表明每100 名劳动年龄人口要负担多少名老年人；储蓄率指 个人可支配收入总额中储蓄额所占的百分比。 （1） 画出散点图； （2）求出回归直线方程； （3）如果我国老年抚养比达到 15%，
9、估计储蓄率是多少？ （所有计算数据都精确到 0.1） 参考数据： 1 0 1 0 1 0 21 1 11 1 0 , 6 0 7 , 1 2 2 2i i ii i ix y x? ? ? ? ? ? ?， 101 6730iii xy? ? 参考公式： 1221niiiniix y nxybx nx?， y bx a? - 6 - 18（本题满分 12 分） 已知双曲线 C 与双曲线 2222yx?有公共渐近线，且过点 (2, 2)M （1）求双曲线 C 的方程； （2）若 12,FF是双曲线 C 的左右焦点，过 2F 且倾斜角为 30 的直线交双曲线 C 于 ,AB两点，求1AFB? 的面
10、积 19（本题满分 12 分） 如图，在斜三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 1BC? 平面 ABC ， AB BC? ， E 是 11AC 的中点，且112 AC BC BC?. （1）证明 ： 1BC 平面 1ABE ； （2）设平面 1AEB 和平面 11BBC 所成的锐二面角为 ? ，求 cos? - 7 - 20（本题满分 12 分） 已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为 0 的小球 1 个，标号为 1 的小球 1个，标号为 2 的小球 n 个若从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号为 2 的小球的概率是 12 （ 1）求 n 的值； （ 2）从袋子中不放回地随机
11、抽取 2 个小球，记第一次取出的小球标号为 a ，第二次取出的小球标号为 b 记 “ 2ab?” 为事件 A ，求事件 A 发生的概率； 在 在 区间 0,2 上任取 2个实数 ,xy，记 “ 不等式 22( 1) ( 1) | |x y a b? ? ? ? ?有解 ” 为事件 B ，求事件 B 的概率 21（本题满分 12 分） 已知椭圆 E： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的半焦距为 c ，原点 O 到经过两点 (,0)c ， (0, )b 的直线的距离为 12c （1）求椭圆 E 的离心率； - 8 - （2） 如图，直线 AB 与椭圆 E 相交于 AB 两点， ( 2,
12、1)M? 是 AB 的中点，且 | | 10AB? ，求椭圆 E 的方程 22（本题满分 12 分） 已知函数 ( ) ln ( 1) ln af x x x x? ? ? ?， Ra? （ ）若 0a? ，试讨论 ()fx的单调性； （ ）当 1x? 时， 1 ln()11xf xx?恒成立，求实数 a 的取值范围 - 9 - 参考答案 一选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C B A B A D C A D B 二 填空题： 13 2 14 ( , 2) (2, )? ? ? 15 74 16421 , )2ee 三解答题： 17解析：（ 1
13、）散点图如图 ? 3 分 （2） 1 0 1 0 1 0 21 1 11 1 0 , 6 0 7 , 1 2 2 2i i ii i ix y x? ? ? ? ? ? ?， 101 6730iii xy? ? 11, 60.7xy?， 1 22216 7 3 0 1 0 1 1 6 0 .7 4 .41 2 2 2 1 0 1 1niiiniix y n x ybx n x? ? ? ? ? ?， 6 0 .7 4 .4 1 1 1 2 .3a y b x? ? ? ? ? ?， - 10 - 所求的回归直线方程为 4.4 12.3yx? ? 7 分 （3）若我国老年抚养比达到 15%， 由
14、回归方程可得 4 .4 1 5 1 2 .3 7 8 .3y ? ? ? ?， 即当老年抚养比达到 15%时，估计储蓄率大约是 78.3 ? 10 分 18解析：（ 1）设与双曲线 2222yx?有公共渐近线的双曲线 C 的方程为 222yx?，将点 (2, 2)M 代入得 6? ，所求双曲线 C 的方程为 22136xy? ? 4 分 （2）由（ 1）知，双曲线两焦点分别为 12( 3,0), (3,0)FF? 直线 AB 的倾斜角为 30? ，且直线经过右焦点 2F ， 直线 AB 的方程为 3 ( 3)3yx? ? 6 分 由223 ( 3),31,36yxxy? ? ?消去 y ，得 25 6 27 0xx? ? ? ? 8 分 设1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则 1 2 1 26 2 7,55x x x x? ? ? ? ?
