1、1第第3 3章章 刚体的转动刚体的转动3-1 3-1 刚体运动的描述刚体运动的描述3-2 3-2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 转动惯量转动惯量3-3 3-3 刚体定轴转动的功和能刚体定轴转动的功和能3-4 3-4 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律3-5 3-5 碰撞碰撞3-6 3-6 刚体的进动刚体的进动23.1.1 平动和转动平动和转动平动平动：用质心运动讨论：用质心运动讨论刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。AA A BB B 刚体刚体:在外力作用下形状和大小保持不变的物体在外力作用下形状和大小保持不变的物
2、体.各质点间的各质点间的相对位置永不发生变化相对位置永不发生变化的的质点系质点系。3转动转动：对：对点点、对、对轴轴既平动又转动既平动又转动：质心的：质心的平动加绕质心的转动平动加绕质心的转动定轴转动定轴转动：各质元均作圆周：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。不动的直线（转轴）上。O转轴转轴 AA4转动平面转动平面转轴转轴参考参考方向方向PX各质元的线速度、加速度一般不同，各质元的线速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同描述刚体整体的运动用角量最方便。描述刚体整体的运动用角量最方便
3、。3.1.2 定轴转动的角量描述定轴转动的角量描述5角速度方向规定为沿轴方向，角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。指向用右手螺旋法则确定。rv vr加速转动加速转动 方向一致方向一致减速转动减速转动 方向相反方向相反dtd 22dtddtd dtd 63.2.1 力矩力矩FrM 力矩为零时力矩为零时:sinFrM 对固定点的力矩对固定点的力矩MOFr 力矩大小等于此力和力臂的乘积力矩大小等于此力和力臂的乘积.力为零力为零或或力的作用线与矢径共线力的作用线与矢径共线(sin=0).7FrMz Z2frPO转动平面转动平面1fF(2)ZFrPdOzM转动平面转动平面(1)sinrFM
4、z 对转轴的力矩对转轴的力矩83.2.2 转动定律转动定律iiiiamfF iiiiiiamfF sinsin 2sinsiniiiiiiiirmrfrF iiiiiiiiiiirmrfrF)(sinsin2M合合外外力力矩矩0 i ifiFi im Zir 将切向分量式两边同乘以将切向分量式两边同乘以 ,变换得变换得irJ JM iiirmJ)(2 JM 9刚体绕定轴刚体绕定轴Z的的转动惯量转动惯量(moment of inertia)刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速
5、度的乘积。等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。m反映质点的反映质点的平动惯性平动惯性,J反映刚体的反映刚体的转动惯性转动惯性.iiirmJ)(2 JM 与与地位相当地位相当amF JM JM 10对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成其中其中r是质量元到转轴的距离。是质量元到转轴的距离。3.2.3 转动惯量转动惯量dmrJ2刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。11例例3-2 求长为求长为L、质量为、质量为m的均匀细棒
6、对图中不同轴的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标，解：取如图坐标，dm=dx dmrJC2 dmrJA23202/mLdxxL 122222/mLdxxLL 12例例3-3 求质量为求质量为m、半径为、半径为R的均匀的均匀细细圆环圆环和均匀圆和均匀圆盘盘的转动惯量。轴与圆面垂直并通过圆心。的转动惯量。轴与圆面垂直并通过圆心。解解(1)均匀圆环对均匀圆环对中心垂直轴的转动中心垂直轴的转动惯量惯量.223202RJdJR dlRmR dmdl22dJR dmR dl圆环对该轴的转动惯量为圆环对该轴的转动惯量为13(2)均匀圆盘对中心垂直轴的转动惯
7、量均匀圆盘对中心垂直轴的转动惯量.圆盘质量面密度为圆盘质量面密度为 22dSrdrdmdSrdr 232dJr dmr dr2mR由第由第(1)问的计算可知，它对中心垂直轴问的计算可知，它对中心垂直轴Z的元转动的元转动惯量为惯量为 342011222RJdJr drRm R整个圆盘的转动惯量为整个圆盘的转动惯量为 14与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素：刚体的质量刚体的质量质量的分布质量的分布转轴的位置转轴的位置 实质与转动惯量有关的只有实质与转动惯量有关的只有前前两个因素两个因素。形状即。形状即质量分布质量分布，与与转轴的位置转轴的位置结合决定转轴到结合决定转轴到每个质元的矢径。每个
8、质元的矢径。注注意意只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量15平行轴定理平行轴定理例例3-3中中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量表示相对通过质心的轴的转动惯量,JA表示表示相对通过棒端的轴的转动惯量相对通过棒端的轴的转动惯量.两轴平行两轴平行,相距相距L/2.可见可见:222231411212mLmLmLLmJJCA 推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行,相距为相距为d,刚体对其转动惯量为刚体对其转动惯量为J,则有：则有：JJCmd
9、2.这个结论这个结论称为称为平行轴定理平行轴定理.16 右图所示刚体对经过棒端右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？如何计算？(棒长为棒长为L、球半、球半径为径为R）2131LmJLL 252RmJoo 2002002)(RLmJdmJJL 2225231)(RLmRmLmJooL LmOm17例例3-5 一根长为一根长为l、质量为、质量为m的均匀细直棒，其一端的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时角时
10、的角加速度和角速度。的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对力矩为重力对O的力矩。的力矩。棒棒上取质元上取质元dm,当棒处在下摆当棒处在下摆 角时角时，该质量元的重力对轴该质量元的重力对轴的元力矩为的元力矩为 Ogdmdmldl dlglgdmldM coscos 3.2.4 转动定律应用举例转动定律应用举例18重力对整个棒的合力矩为重力对整个棒的合力矩为 coscosmgLgL2122 LgmLmgLJM2331212 coscos LdlgldMM0 cos Ogdmdmldl dlglgdmldM coscos 代入转动定律，可得代入转动定律，可得
11、19 ddJdtdddJdtdJJM 21 cosmglM代入 dJdmgL cos21 0021dJdmgL cos22121 JmgL sinLgJmgL sinsin3 dJMd 231mLJ 203.3.1 力矩的功力矩的功dWF drFdsFrdMd式中式中 cosFF rFM WMd力矩做功是力做功的角量表达式力矩做功是力做功的角量表达式.FrPOdrd Z21比较比较：221 mvEk 3.3.2 转动动能转动动能2222121 iiiirmvm 221 JEk 刚体绕定轴转动时刚体绕定轴转动时转动动能转动动能等于刚体的等于刚体的转动惯量转动惯量与与角速度角速度平方乘积的一半。平
12、方乘积的一半。2222221)(21)21(JrmrmEiiiiik 223.3.3 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 ddJdtdddJJdtdJM 2121 dJdM21222121 JJ 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。转动动能的增量。刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理W21222121 JJ 233.3.4 刚体的重力势能刚体的重力势能 iiiipymggymE 刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积.刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力刚体的重力势能是组成它的各个
13、质元的重力势能之和势能之和.CCyim POiyyxmymmgEiip CpCpmghEmgyE 或或 Cymymii 24若在刚体转动过程中若在刚体转动过程中,只有重力做功只有重力做功,其他非保守内其他非保守内力不做功力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒则刚体在重力场中机械能守恒.常常量量 CmghJE221 25例例3-7如图所示，一根质量为如图所示，一根质量为m，长为，长为l的匀质长棒可在的匀质长棒可在竖直平面内绕其支撑点竖直平面内绕其支撑点O转动，开始棒处在水平位置由转动，开始棒处在水平位置由静止释放，求静止释放，求(1)细棒释放时的角加速度；细棒释放时的角加速度；(2)棒落到竖直棒落
14、到竖直位置时的角速度位置时的角速度.6lMm g2221124()()33933919AOBOJJJmlmlm l解解(1)据题设，棒的重心据题设，棒的重心C离支点距离离支点距离OCl/6.故重力故重力对对O轴的力矩为轴的力矩为棒对棒对O轴的转动惯量为轴的转动惯量为 26因此因此210()26lJmg3gl(2)棒下落过程中，只有重力做功，故棒与地球系棒下落过程中，只有重力做功，故棒与地球系统的机械能守恒，选择水平位置为势能零点，则统的机械能守恒，选择水平位置为势能零点，则 将J代入，化简后，可得棒到达竖直位置时的角速度为2136129mglMgJlml273.4.1 质点的角动量质点的角动量
15、OLmrp 角动量角动量又称又称动量矩动量矩.vmrprL sinrmvL JmrrmvL 2 JL 若质点绕某固定轴若质点绕某固定轴O作圆周运动作圆周运动,则则:283.4.2 刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量刚体绕定轴转动时刚体绕定轴转动时,各质元某一瞬时均以相同的各质元某一瞬时均以相同的角速度绕该定轴作圆周运动角速度绕该定轴作圆周运动.2iiirmL 刚体对某定轴的角动量等于刚体对此轴的转动惯量刚体对某定轴的角动量等于刚体对此轴的转动惯量与角速度的乘积与角速度的乘积.ziiiiizJrmLL 2 zzJL 293.4.3 刚体的角动量定理刚体的角动量定理dtdJJM dtLdJdtd
16、M )(000 JJLddtMLLtt 冲量矩冲量矩,又叫又叫角动量角动量.外力矩对系统的角冲量外力矩对系统的角冲量(冲量矩冲量矩)等于角动量的增量等于角动量的增量.若若J可以改变可以改变,则则0000 JJLddtMLLtt 303.4.4 角动量守恒定律及其应用角动量守恒定律及其应用0 M00 JJJ 或或常常矢矢量量角动量守恒定律的两种情况：角动量守恒定律的两种情况：1、转动惯量保持不变的单个刚体。、转动惯量保持不变的单个刚体。00,0 则则时时，当当JJM当物体所受的合外力矩为零时当物体所受的合外力矩为零时,物体的角动量保物体的角动量保持不变持不变.这一结论称为这一结论称为角动量守恒定
17、律角动量守恒定律.312、转动惯量可变的物体。、转动惯量可变的物体。.保保持持不不变变就就增增大大，从从而而减减小小时时，当当就就减减小小；增增大大时时，当当 JJJFF32实际中的一些现象实际中的一些现象艺术美、人体美、物理美相互结合艺术美、人体美、物理美相互结合、芭蕾舞演员的高难动作芭蕾舞演员的高难动作33当滑冰、跳水、体操运当滑冰、跳水、体操运 动员在空中为了迅速翻转动员在空中为了迅速翻转 也总是曲体、减小转动惯也总是曲体、减小转动惯 量、增加角速度。当落地量、增加角速度。当落地 时则总是伸直身体、增大时则总是伸直身体、增大 转动惯量、使身体平稳地。转动惯量、使身体平稳地。34例例3-9
18、一匀质转台质量为一匀质转台质量为M，半径为，半径为R，可绕竖直的中，可绕竖直的中心轴转动，初角速度为心轴转动，初角速度为0，一人立在台中心，质量为，一人立在台中心，质量为m.若他以恒定的速度若他以恒定的速度u相对转台沿半径方向走向边缘，如图相对转台沿半径方向走向边缘，如图所示所示.试计算人到达转台边缘时，试计算人到达转台边缘时，(1)转台的角速度；转台的角速度；(2)转转台转过的圈数台转过的圈数.22220()22tMMRRmu t解解(1)在人走动过程中，人和转在人走动过程中，人和转台系统沿竖直轴方向的外力矩为零，台系统沿竖直轴方向的外力矩为零，故对该轴的角动量守恒故对该轴的角动量守恒.取人
19、立于取人立于台心为初状态，台心为初状态，t时刻人到达距台时刻人到达距台心心ut处，依系统角动量守恒，有处，依系统角动量守恒，有 35式中式中t是是t时刻转台的角速度时刻转台的角速度.由上式可得由上式可得Rtu到达转台边缘时刻为到达转台边缘时刻为 ，故相应的角速度，故相应的角速度为为022221tm u tM R012mM36故转台转过的圈数为故转台转过的圈数为02200221Rtudtdtm u tM R1/21/2022()arctan()22RmmNuMM(2)时间内转台转过的角度可由时间内转台转过的角度可由 通通过积分求得过积分求得Rtuddt1/201/22arctan()2()Rmm
20、MuM37物体在短时间内发生相互作用的过程。物体在短时间内发生相互作用的过程。碰撞过程的特点碰撞过程的特点：1、各个物体的动量明显改变。、各个物体的动量明显改变。2、系统的总动量、系统的总动量(总角动量总角动量)守恒。守恒。弹性碰撞弹性碰撞：Ek=0碰撞过程中两球的机械能（动能）完全没有损失。碰撞过程中两球的机械能（动能）完全没有损失。非弹性碰撞非弹性碰撞：Ek0碰撞过程中两球的机械能（动能）要损失一部分。碰撞过程中两球的机械能（动能）要损失一部分。完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞：Ek0且绝对值最大且绝对值最大两球碰后合为一体，以共同的速度运动。两球碰后合为一体，以共同的速度运动。38二维弹性碰
21、撞二维弹性碰撞 两个质量相同的粒子，发生弹性碰撞两个质量相同的粒子，发生弹性碰撞碰前一个粒子静止，碰后两个粒子的速度相互垂直碰前一个粒子静止，碰后两个粒子的速度相互垂直 0v1v2v210vvv 222120212121mvmvmv )(221222120vvvvv 212100vvvvvv 021 vv39ol 30aM例例3-11 如图，已知：如图，已知：almM,子弹射入并嵌在棒内，求子弹的初速。子弹射入并嵌在棒内，求子弹的初速。解解：过程分两步：过程分两步1、子弹与棒发生完全非弹性碰撞、子弹与棒发生完全非弹性碰撞 角动量守恒角动量守恒2、子弹与棒摆动，机械能守恒。、子弹与棒摆动，机械能
22、守恒。)31(22maMlmva )30cos1(2)30cos1()31(2100222 lMgmgamaMl)3)(2)(32(6122maMlMlgmav 40三、陀螺的陀螺的旋进（进动旋进（进动）一）何谓旋进一）何谓旋进陀螺的运动陀螺的运动OZ41XYZOmg当陀螺绕其对称轴旋转时具有角动量当陀螺绕其对称轴旋转时具有角动量受重力的力矩受重力的力矩二）旋进的解释二）旋进的解释也即刚体绕新的轴运动，也即刚体绕新的轴运动，产生了进动。进动角速度产生了进动。进动角速度a pddt产生一个新的角动量产生一个新的角动量LLdLdLMdtcMrmgLJpdLdLcrMLdLLdp42由图：由图：pddt(sin)dLLdsinpLdtsinpJdtdLMdtsinpMJcMrmg又sincMr mgccpmgrmgrJLXYZOmga dLdLcrMLdLLdp
