1、2021/2/42o 累积函数累积函数o 利息利息o 利率利率o 单利与复利单利与复利o 现值函数现值函数o 一年计息一年计息m次的实际利率与实际贴现率次的实际利率与实际贴现率 o 利息力利息力2021/2/43o 或：iiiiiaaannnnnnd1)1()1()1(11ddivid12021/2/44o 公式一公式一o 及：o 公式二公式二o 及：vd1dv1tttdvv)1(ttda)1(2021/2/45o 设年名义利率为i（m），年实际利率为i。每次计息的实际利率为 i（m）/m。o 则：o 所以：o 或：mmimi)1(1)(1)1()(mmimi 1)1(1)(mimim2021
2、/2/46o 设年名义贴现率为d(m),o 实际贴现率为d，o 则：每次的贴现率为o 所以：o 或：mdm)(mmdmd)1(1)(mmdmd)1(1)()1(1 1)(mdmdm2021/2/47o 1元钱在年末的累积值为：o 或：o 则：o 得：mmmi)1()(mmdm)1()(mmmi)1()(mmdm)1()(mdmimdmimmmm)()()()(2021/2/48o 瞬时利率。度量资本在某一时点上的获利能力。o 1）常数利息力o 定义：)(limmmi2021/2/49 1)1(lim1mimm)1ln(i2021/2/410年金2021/2/411o 年金的定义o 年金的类型o
3、 年金的现值与终值2021/2/412nnvvva2ivn1年金。元的，则每年末可得到年初存入1na2021/2/41312)1()1()1(1nniiisnsiin1)1(每年末存入1元，第n年末可得2021/2/414121nnvvva dvn1nnvad 1或：2021/2/415diiiisnnn1)1()1()1()1(2 2021/2/4162021/2/417o 现值11nmmmnmvvvamnmnmaaa或：nmav2021/2/418nnnnmsiiiiis1)1()1()1()1(112nmnmnmias)1(或：或：2021/2/419o 现值11nmmmnmvvva m
4、nmnmaaa 或：)1(12nmvvvvnmav 2021/2/420o 终值 nnnnmsdiiiis 1)1()1()1()1(2nmnmnmias)1(或：或：2021/2/421o 1）期末付 各年末支付如下：1，2，3，-，no 现值：nnnvvvvIa3232)(invaIannn)(2021/2/422nnnIaiIs)()1()(insn 2021/2/423o 2）期初付 各年初支付如下：1，2，3，-，no 现值：dnvaaInnn )(2021/2/424nnnaIis I)()1()(dnsn 2021/2/425o n年期年金o 1）期末付 各年末支付如下：n，n-
5、1，n-2，n-3，-，1o 现值：ianDann)(2021/2/426nnnDaiDs)()1()(isinnn)1(2021/2/427danaDnn)(nnnaDisD)()1()(dsinnn)1(终值：终值：现值：现值：2021/2/428o 现值11)1()1ln()1()1(1ln1ln0000aiiidtisvvvvvdtvannnttnnnnnttn永续年金终值2021/2/429o 1）期末付年金现值o 2）期初付年金现值iivaannnn11limlimddvaannnn11limlim 期初投资期初投资 元，则元，则每年可获得每年可获得1元元期初投资期初投资 元，元，
6、则则每年可获得每年可获得1元元d1i12021/2/430o主要内容：主要内容：o1、生命状态、生命状态o2、死亡函数、生存函数、死亡函数、生存函数o3、余命函数、余命函数o4、取整余命、取整余命o5、几种生存函数假设、几种生存函数假设2021/2/431o 1、死亡函数、死亡函数)Pr()(xXxF)0(xx0)0(F又称为0岁的人在岁之前死亡的概率。通常假定且F(x)是一个连续型随机变量。1)(F2021/2/432o s(x)用表示0岁的人在x岁还活着的概率，则：o )Pr()(xXxs0 x )(1)(xFxs显然：显然：2021/2/433o设x岁的人的剩余寿命为T(x),简写为T。
7、xXxT)(T2021/2/434o 定义：(x)的人在t年内死亡的概率。)0()Pr()(ttTtFx)(1)()(xFxFtxF)()()(xstxsxs2021/2/435。)(1)Pr()(tFtTtSxx)()(xstxs表示(x)岁的人活过t年的概率。（或活过x+t岁的概率）2021/2/436o 取K(x)=T(x)=K k=0,1,2,3-o 表示(x)未来活过的整数年。o 取整余命函数o PrK(x)=k=PrkTk+1o =Fx(k+1)-Fx(k)xkxkqq 1xkq2021/2/437o 1、1729年 De Movire假设o 2、1825年 Gomperz假设xx
8、s 1)(x0)1(lnexp)(xccBxs0,1,0 xcB2021/2/438o 3、1860年 Markham解析式o 4、1939年 Weibull解析式：)1(lnexp)(xccBAxxs0,1,0 xcBAB1exp)(1nkxxsn0,0,0 xnk2021/2/439o 主要内容主要内容o 一、概率密度一、概率密度o 二、平均寿命二、平均寿命o 三、平均余命三、平均余命o 四、取整平均余命四、取整平均余命o 五、死亡力五、死亡力2021/2/440o 1、X的概率密度的概率密度o 用用f(x)表示随机变量的密度函数，则：表示随机变量的密度函数，则：o 2、T的概率密度的概率
9、密度)()()(xsxFxf)()(tFtfxx)()(xstxs2021/2/441o X的期望值0)()(dxxxfxE2021/2/442o T的期望值0)(xtptd)(0 xTEex00dtpptxtxtdtpxt0dtttfx)(02021/2/443o K的期望值)(kxKEex0kxkqk1kxkp2021/2/444o，)()(txstxstx2021/2/445o。)()(txstxstx)(1tfpxxttxxtxptf)(2021/2/446xydyexs0)(xexs)(为常数时当：y2021/2/447o 同理：为常数时当：sxtsxdsxtep0txtep2021
10、/2/448o 一、基本概念一、基本概念o 生命表是用表格的形式来反映生命的变化的生命表是用表格的形式来反映生命的变化的规律。规律。o 生命表又称死亡表，它是一定时期、一定数生命表又称死亡表，它是一定时期、一定数量的人口从生存到死亡的统计记录。它反映量的人口从生存到死亡的统计记录。它反映了整数年龄的人在整数年龄内生存或死亡的了整数年龄的人在整数年龄内生存或死亡的概率分布情况，是保费计算的基础之一。概率分布情况，是保费计算的基础之一。2021/2/449o。1xxxlldxxxllp1xxxxxxlllldq11xxxddl0kkxd1、2、3、4、2021/2/450o 5、kxxxklld2
11、021/2/451o 1、o 2、o 3、xkpxkxllxkqxxkldxkxxlllxutxtxxutlllq2021/2/452o 1、o 2、mxnxmxnmppp121nxxxxxnppppp2021/2/453o 一、年龄内死亡均匀分布假设（一、年龄内死亡均匀分布假设（UDD假设）假设）10t)()()(xstxsxsqxtxqt 1、2021/2/454o。xtxxqtFtf)()(xqxxxtxtxtqqptf1)(xxtqtp1密度函数：生存函数：死亡力：2021/2/455人寿保险的（趸缴纯保费）精算现值2021/2/456o 1、定期寿险o 2、终身寿险o 3、两全保险o
12、 4、生存保险（以生存为给付条件）o 5、递增型寿险o 6、递减型寿险2021/2/457o 一、n年定期寿险趸缴纯保费o 设：1tbnt 0TTvbZ TvTv保险金给付现值保险金给付现值2021/2/458o。1:nxA)(ZEdttfvxnt)(0dtpetxxtnt02021/2/459o 1、保费0)(dttfvxtdtpetxxtt02222)()()()(xxAAzEzEzVardtpeAtxxttx022xA2021/2/460o 1、延期m年的终身寿险趸缴纯保费xmAdtpvtxxtmtdttfvxmt)(2021/2/461o。o。1:mxxAA dspvAsmxxsmsm
13、xm0mxxmmApv.2021/2/462o 2、延期m年的n年定期寿险的趸缴纯保费1:nxmAnmmtxxttdtpvnmxxmmApv:11:1:mxmnxAA2021/2/463o 两全保险又称生死合险。是由死亡保险和生存保险两种保险综合而成，被保险人在n年期内死亡或活过n年期，保险人都要给付保险金，这是一种即有保障功能，又有储蓄功能的保险。2021/2/4641:nxA1:nxAnxA:1、2021/2/465o。nxmA:xnmnmnmmtxxttpvdtpvnmxxmmApv:1:mxmnxAA2021/2/466o 以被保险人死亡为给付条件，保险金在死亡年末给付的一种保险。o
14、一、n年期定期寿险趸缴纯保费2021/2/467o。)(1:ZEAnx101nkxkkqvkxxknkkqpv101101nkxkxkldv2021/2/468o 当n=1时，有：o 随着被保险人的年龄增加，死亡率也在增大，保费逐年增大，如果采用自然保费法，有可能导致年老的人缴纳不起保费而失去保障。o 当利率上升时，保费下降，此时有利于投保人；而当利率下降时，保费增加，此时不利于投保人。xxqvA011:xvqxqi112021/2/469o 1、纯保费o Z的方差o 其中：xAxkkkqv01)1(x22)()()(ZEZEZVar22)(xxAA xkkkxqeA0)1(222021/2/
15、470o。四、延期寿险趸缴纯保费o 1）延期m年的n年定期寿险趸缴纯保费1:nxAnxA:xnnxknkkpvqv101xknmmkknxmqvA111:1:1:mxnmxAAnmxxmmApv:11:nxA2021/2/471o 3）延期m年的n年定期寿险趸缴纯保费xkmkkxmqvA11:mxxAA mxxmmApv.xnmnmxknmmkknxmpvqvA11:1:mxnmxAAnmxxmmApv:2021/2/472o（以终身寿险为例）在UDD假设下。o 令：A0)(dttfvAxtxdtpvtxxtkkkt0110,ssktdspvAskxkxskskx0102021/2/473o
16、在UDD假设下：dspvpvskxkxssxkkk10101kxkxskxkxsqsfp)(dsqvpvAkxsxkkkx10101dsvqpvskxxkkk10101.xkkkqvi01xAi2021/2/4741:1:nxnxAiA1:1:nxnxnxAAiA2021/2/475o 一、递增型寿险o（一）立即给付的递增型寿险趸缴纯保费o 1、保额逐年增加o 保险金给付条件是：若被保险人在第一年内死亡，给付保险金为1，若在第二年内死亡，给付保险金为2，若在第三年内死亡，给付保险金为3，依此类推，保险金在被保险人死亡立即给付。则：1 tbt0t2021/2/476o。o 1）终身寿险纯保费 o
17、 2）定期寿险纯保费1:)(nxAIxAI)(dttfvtxt)(10dttfvtxnt)(102021/2/477o 1）终身寿险o 2）定期寿险tbtxAI)（dttftvxt)(01:)nxAI（dtpv ttxxttn02021/2/478o 保险金的给付条件是：若被保险人在第一年内死亡，给付保金为1；若在第二年内死亡，给付保险金为2，若在第三年内死亡，给付保险金为3，依此类推，且保险金在死亡年末给付，则有：o (K=0,1,2，)11kbk2021/2/479o 1、终身寿险o 2、定期寿险xIA)(xkkkqvk01)1(1:)(nxIAxknkkqvk101)1(2021/2/4
18、80o 1、立即给付型o 保险金给付额：n,n-1,n-2,-1tnbtnt1:)(nxADdttfvtnxnt)()(02021/2/4812、死亡年末付型knbk1(K=0,1,2,，n-1)1:)(nxDAxknkkqvkn101)(。2021/2/482o 一、换算函数2021/2/483o 1、o 2、xkkkxqvA01xkxkkldv01xxDMxknkknxqvA1011:xnxxDMM2021/2/484o 4、o 5、xnxDD1:nxAnxA:xnxnxxDDMMxmAxmxDM2021/2/485o 8、xnmxmxnxmDMMA1:xnmxnmxmxDDMMnxmA:
19、2021/2/486xIA)(xkkkqvk01)1(xxDR9、2021/2/487o。1:)(nxIAxknkkqvk101)1(xnxnxxDnMRR2021/2/488o。1:)(nxDAxknkkqvkn101)(xnxxxDRRnM112021/2/489生存年金的趸缴纯保费2021/2/490o 一、趸缴纯保费的计算o 二、寿险与年金的关系o 三、y的方差o 四、生存年金的精算积累值2021/2/491o。o。是一系列连续生存给付现值的和。)(YEaxdtpvxtt02021/2/492o 1）、延期m年的终身生存年金xmadtpvxtmtmxxaa:mxxmmapv2021/2
20、/493o.nxma:dtpvxtnmmtmxnmxaa:nmxxmmapv:2021/2/494o 1、以终身寿险为例：dttfvAxtx0)(xa12021/2/495o 同理：nxnxAa:1mxxxmaaa:mxxAA:11xmxAA:mxnmxnxmaaa:nmxmxAA:2021/2/496o 一、期初付生存年金2021/2/497o,xa 0kxkkpv2021/2/498o。0kxkkxpva xxDN2021/2/499o。)(:YEanx 10nkxkkpv2021/2/4100o。10:nkxxkxkxnxlvlva xnxxDNN2021/2/41012021/2/41
21、02o。mkxkkxmpva mxxaa:mxxmmapv 2021/2/4103o。xmxDNmxxxmaaa:2021/2/4104o。1:nmmkxkknxmpva mxnmxaa:nmxxmmapv:2021/2/4105o。nxma:xnmxmxDNN2021/2/4106o。a dAaxx1 2021/2/4107o 且：dAanxnx:1 mxxxmaaa:dAAxmx:dAAanmxmxnxm:2021/2/4108o。xa 1xa 0kxkkxpva 11kxkkpv11xxavp 2021/2/4109o。1kxkkxpvaxxDN12021/2/4110o。nkxkknx
22、pva1:xnxxDNN112021/2/4111o.1mkxkkxmpvamxxaa:xmxDN12021/2/4112o.nmmkxkknxmpva1:mxnmxaa:nmxxmmapv:xnmxmxDNN112021/2/4113o。o。同理有：a a0kxkkxpva xa11:1nxnxaa xnnxEa:12021/2/4114o 一、递增型生存年金o 二、递减型生存年金o 三、连续型生存年金2021/2/4115o 1、期初付生存年金0)1()(kxkkxpvkaI xxDS2021/2/4116o。10:)1()(nkxkknxpvkaI xnxnxxDnNSS2021/2/4
23、117o。1)(kxkkxpvkIaxxDS12021/2/4118o。nkxkknxpvkIa1:)(xnxnxxDnNSS1112021/2/41192021/2/4120年缴均衡保费2021/2/4121o 连续型均衡保费2021/2/4122o 1、终身寿险xxxaAP 1）2021/2/4123o。xxxxaaaP11xxxxxAAAAP112021/2/4124o。nxnxnxaAP:1:1:nxnxnxaAP:mxxmxmaaaP:)(2021/2/4125o。nxnxnxnxaaaP:11nxnxnxnxnxAAAAP:112021/2/4126为常数，,)(LVarPx求：d
24、tpeAtxxttx0dteett01xxxAAP12021/2/4127o。hxxxhaAP:hxnxnxhaAP:1:1:2021/2/4128o。hxnxnxhaAP:hxxmxmhaaaP:)(2021/2/41292021/2/4130o 1、终身寿险xxxaAP 1）xxNM2021/2/4131o。daaadPxxxx 11xxxxxAAddAAP112021/2/4132o。nxnxnxaAP:1:1:nxnxnxaAP:mxxxmaaaP:)(2021/2/4133o。hxxxhaAP:hxnxnxhaAP:1:1:2021/2/4134o 用于保险金给付的纯保费与用于各项经
25、营费用开支的附加保费之和，称为毛保费。o 毛保费=纯保费+附加保费o =保险金的精算现值+费用支出的精算现值 2021/2/4135CAaG 2021/2/4136o 1）第一年费为100元加上毛保费的25%；o 2）续年费用为25元加上毛保费的10%；o 3）发生死亡给付时的理赔费用为100元。o 已知：o 求：G%60811675.0)114592.0401:2540:25iAA2021/2/4137准备金2021/2/41382021/2/4139o 1、o 2、o 3、kxxkxxkaPAV 0:1:11:knkxnxknkxnxkaPAV nknk1:knkxnxknkxnxkaPA
26、V nknk2021/2/4140o 5、o 6、kxkhkxxhkxxhkAaPAV:kxkmkxxmmxkxkmxmkaaaPaEaV :)()(mkmk0hkhk01:knkxkhkxnxhknkxnxhkAaPAV nknkhhk2021/2/4141o 1、o 2、xkkxkxxxkEAsPV1:xkkxnxnxkksPV:1:1:nk 2021/2/4142o。xkxxkaaV 1xxkxAAA1dPPPVkxxkxxk2021/2/4143o 一般情形下的责任准备金0011jkxjjjkjkxjjjkkpvqvbV2021/2/4144保单现金价值与红利2021/2/4145o
27、保单现金价值o 保单选择权o 资产份额2021/2/4146o 一、现金价值的概念o 现金价值是投保人退保时应获得的退保金额，又称退保金或解约金，是投保人的一项重要的权益，各国的保险法都有明确的规定，称为“不丧失价值条款”。o 现金价值来源于所缴的纯保费，在理论准备金的递推公式中我们介绍了保费的用途，一是用于死亡给付，二是以准备金的形式储蓄起来，储蓄的准备金可以理解为投保人的一种权益，当发生退保时，保险人应该将储蓄的准备金扣除一定的退保费用后的余额退还给投保人，该余额就是现金价值。2021/2/4147o 直接法 o 调整保费法2021/2/4148o 表示k年末退保时的现金价值o 表示k年末
28、的退保费用 o 上式表明，现金价值的基础是准备金，实务中，保单生效初期，由于责任准备金较少，保险人为了限制初期退保给保险公司带来的不利影响，一般规定初期的退保费较高，所以，保单生效的初期，现金价值较小，后期现金价值较高。SCVCVkkkSCkCVk2021/2/4149o 解：SCVCVkkk元00176.410)1(100010)1(100010)(100030333033333033NNaaaPA 10100010003030VCVkk2021/2/4150o。)()(kaPkACVk )()(kaPPVk 这种责任准备金是理论准备金的一种特殊修正。P的确定是计算最低现金价值的关键。202
29、1/2/4151PE1EE 根据各年费用发生的实际情况，我们假定各年的均衡费用为，第一年的额外费用为E1，即第一年的总费用为，又假定年均衡毛保费由年均衡调整保费与均衡费用组成。2021/2/4152o。aEPaEAP 112021/2/4153o（1）、1941年法则：o 该法则是美国保险监察官协会在1941年确定的，该法则明确规定每单位保险的第一年费用补偿为 1E02.0)04.0,min(25.0)04.0,min(4.01xPPPE2021/2/4154o。xxxaEAP 1又：046.0 02.065.01xPE04.004.0 xxPP04.0P 046.004.0P 65.002.
30、0 xxxxxxxaAaAP E10.046 2021/2/4155o 1980年，美国保险监察官协会对1941年法则进行了简化，规定：o P为各寿险均衡纯保费。01.0)04.0,min(25.11PE04.0P .06004.0P 0.011.25PE12021/2/4156o。04.0P 06.0A04.0P 01.025.1P aaPA 2021/2/4157o 一、缴清保险o 二、展期保险o 三、自动垫缴保费2021/2/4158o 投保人以现金价值作为趸缴纯保费去购买保险期限不变，保额变小的原保险的一种保险称缴清保险。2021/2/4159o 设保单第K年末的现金价值为kCV，购买缴清保险的保额为kW，则：o 1、一般情况下的保额)(1)()()(kPPkAkaPkAWk)()(kACVWkWACVkkkk2021/2/4160o 当 时：VCVkkPP)(1kPPWk2021/2/4161o。kxxkxkxxkxkxxkxkPPAaPAAVW1 h)(k 1kxkhxhxhkPPW2021/2/4162o。1:knkxnxnxkPPW 1:knkxkhnxhnxhkPPW2020/11/5163谢谢观赏！
