1、第第 1 1页页总总 1515页页1 勾股定理典型例题分析勾股定理典型例题分析 一、知识要点：一、知识要点： 1 1、勾股定理、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形 的两直角边为 a、b，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2= c2。公式的变形：a2 = c 2- b2， b2= c2-a2 。 2 2、勾股定理的逆定理、勾股定理的逆定理 如果三角形 ABC 的三边长分别是 a，b，c，且满足 a 2 + b 2= c2，那么三角形 ABC 是直角三 角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： 1已
2、知的条件：某三角形的三条边的长度. 满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. 得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. 如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 3 3、勾股数、勾股数 满足 a 2 + b 2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：勾股数必须是正整数，不能是分数 或小数。一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有： （3 3，4 4，5 5）(5(5，1212，1313) ) ( (6 6，8 8，1010) ) ( (7 7，2424，2525) )( (8 8，1515，1717)(9)(9，1212，1515) )
3、 4 4、最短距离问题：最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。两点之间线段最短。 二、考点剖析二、考点剖析 考点一：利用勾股定理求面积考点一：利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积： （1）阴影部分是正方形； （2）阴影部分是长方形； （3）阴影部分是半圆 第第 2 2页页总总 1515页页2 2. 如图， 以 RtABC 的三边为直径分别向外作三个半圆， 试探索三个半圆的面积之间的关系 3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是 S1、S2、S3，则 它们之间的关系是（） A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S31） ，那么它的
4、斜边长是（） A、2nB、n+1C、n 21 D、1n 2 7、在 RtABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（） A. 222 abcB. 222 acbC. 222 cbaD.以上都有可能 8、已知 RtABC 中，C=90，若a+b=14cm，c=10cm，则 RtABC 的面积是（） A、24 2 cmB、36 2 cmC、48 2 cmD、60 2 cm 9、已知 x、y 为正数，且x 2-4+（y2-3）2=0，如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三 角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（） A、5B、25C、7D、15 考点三：应用勾股定理在等
5、腰三角形中求底边上的高考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例、如图 1 所示，等腰中，是底边上的高，若， 求 AD 的长；ABC 的面积 第第 4 4页页总总 1515页页4 考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题 1 1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（） A.A. 4 4，5 5，6 6B.B. 2 2，3 3，4 4C.C. 1111，1212，1313D.D. 8 8，1515，1717 2 2、若线段 a，b，c 组成直角三角形，则它们
6、的比为（） A A、2 23 34 4B B、3 34 46 6C C、5 512121313D D、4 46 67 7 3 3、下面的三角形中： ABC 中，C=AB； ABC 中，A：B：C=1：2：3； ABC 中，a：b：c=3：4：5； ABC 中，三边长分别为 8，15，17 其中是直角三角形的个数有（） A1 个B2 个C3 个D4 个 4 4、若三角形的三边之比为 21 :1 22 ，则这个三角形一定是（） A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.不等边三角形 5 5、已知 a，b，c 为ABC 三边，且满足(a(a 2 2 b b 2 2)(a )(a 2 2+b
7、 +b 2 2 c c 2 2) ) 0 0，则它的形状为（） A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 6 6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是() A 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形 7 7、若ABC 的三边长 a,b,c 满足 222 abc20012a16b20c，试判断ABC 的形状。 8 8、 ABC 的两边分别为 5,125,12， 另一边为奇数， 且a+b+ca+b+c是 3 的倍数， 则 c 应为， 此三角形为。 例例 3 3：求：求 （1 1）若三角形三条边的长分别是 7,24,257,2
8、4,25，则这个三角形的最大内角是度。 （2 2）已知三角形三边的比为 1 1：3：2 2，则其最小角为。 第第 5 5页页总总 1515页页5 考点五考点五: :应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 某楼梯的侧面视图如图 3 所示，其中 AB=5,BC=3 米，因某种活动要求铺设红色地 毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）考点六、利用列方程求线段的长（方程思想） 、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下 端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？ 2、 一架长 2.52.5
9、m的梯子， 斜立在一竖起的墙上， 梯子底端距离墙底 0.70.7m （如图） ，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.40.4m，那么梯子底端将向左滑动 米 3、如图，一个长为 10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的 垂直距离为 8 米，如果梯子的顶端下滑 2 米，那么，梯子底端的滑动距 离米. A BC 第第 6 6页页总总 1515页页6 4、在一棵树 1010 m m 高的 B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树 20m20m 处的池塘 A 处；另外一只爬到树顶 D 处后直接跃到 A 外，距 离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有 多高？ 5、如图，是一个外轮廓为矩形的
10、机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算 两圆孔中心 A 和 B 的距离为. 6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的 树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米 60 120 140 B 60 A C 第 5 题图 7 ? 1 ? 5 ? 3 ? 2 ? 8 ? B ? A ? C ? A ? D ? B 第第 7 7页页总总 1515页页7 7、如图 18-15 所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走 8km8km，又往北走 2km2km， 遇到障碍后又往西走 3km3km，再折向北方走到 5km5km 处往东一拐，仅 1km1km
11、就找到了宝藏，问：登 陆点（A处）到宝藏埋藏点（B处）的直线距离是多少？ 考点七：折叠问题 1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6AC=6，BC=8BC=8，将ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合， 折痕为 DE，则 CD 等于（） A. 4 25 B. 3 22 C. 4 7 D. 3 5 2、如图所示，已知ABC 中，C=90C=90，ABAB 的垂直平分线交 BCBC 于 M，交 AB 于 N，若 AC=4AC=4， MB=2MCMB=2MC，求 AB 的长 3、折叠矩形 ABCD 的一边 AD,点 D 落在 BC 边上的点 F 处,已知 AB=8CM,BC=10CMAB=
12、8CM,BC=10CM,求 CFCF 和 ECEC。 4、如图，在长方形 ABCD 中，DC=5DC=5，在 DC 边上存在一点 E，沿直线 AE 把ADE 折叠，使点 D 恰好在 BC 边上，设此点为 F，若ABFABF 的面积为 3030，求折叠的AED 的面积 ? D ? C ? B ? A ? F ? E 5、如图，矩形纸片 ABCD 的长 AD=9AD=9 ，宽 AB=3AB=3 ，将 其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后 DE 的长是多 少？ A BC E F D 第第 8 8页页总总 1515页页8 6、如图，在长方形 ABCD 中，将ABC 沿 AC 对折至AEC 位置
13、， CE 与 AD 交于点 F。 （1）试说明：AF=FCAF=FC； （2）如果 AB=3AB=3，BC=4BC=4，求 AF 的长 7、 如图 2 所示， 将长方形 ABCD 沿直线 AE 折叠， 顶点 D 正好落在 BC 边上 F 点处， 已知 CE=3cmCE=3cm， AB=8cmAB=8cm，则图中阴影部分面积为_ 8、 如图 2-3， 把矩形 ABCD 沿直线 BD 向上折叠， 使点 C 落在 C的位置上， 已知 AB=AB= 3 3， BC=7BC=7， 重合部分EBD 的面积为_ 9、如图 5，将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD
14、于 E，交 BC 于 F，边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G。如果 M 为 CD 边的中点，求证：DEDE：DMDM：EM=3EM=3：4 4：5 5。 第第 9 9页页总总 1515页页9 10、如图，长方形 ABCDABCD 中中，AB=3AB=3，BC=4BC=4，若将该矩形折叠，使 C 点与 A 点重合，则折叠后痕 迹 EFEF 的长为（） A A3.743.74B B3.753.75C C3.763.76D D3.773.77 11、如图 1-3-11，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm10cm，宽为 4cm4cm，将你手中足够大的直角 三角板 PHF 的直角顶点 P
15、落在 AD 边上（不与 A、D 重合） ，在 AD 上适当移动三角板顶点 P： 能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长；若 不能，请说明理由. 再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B，另一 直角边 PF 与 DC 的延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE=2cmCE=2cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由. 第第 1010页页总总 1515页页10 12、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=ACAB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 边上的
16、点，且 DEDEDFDF，若 BE=12BE=12，CF=5CF=5求线段 EF 的长。 13、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPNQPN3030，点 A 处有一所中学，APAP160m160m。 假设拖拉机行驶时，周围 100m100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行 驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h18km/h， 那么学校受影响的时间为多少秒？ 第第 1111页页总总 1515页页11 考点八：应用勾股定理解决勾股树问题考点八：应用勾股定理解决勾股树问题 1、如图所示，所有的四边形
17、都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形 的边长为5，则正方形 A A，B B，C C，D D 的面积的和为 2、已知ABC是边长为 1 的等腰直角三角形，以 RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等 腰 RtACD，再以 RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰 RtADE，依此类推，第 n个等腰直角三角形的斜边长是 A B C D EF G 考点九、图形问考点九、图形问题题 1 1、如图 1，求该四边形的面积 ? 4 ? 3 ? 12 ? 13 ? B ? C ? D ? A 第第 1212页页总总 1515页页12 2、如图 2，已知，在ABC中，A= 45，AC=2，
18、AB =3+1，则边 BC 的长为 3、某公司的大门如图所示,其中四边形是长方形,上部是以 为直径的半圆,其中=2.3， =2,现有一辆装满货物的卡车, 高为 2.5,宽为 1.6,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的 理由 . 4、将一根长 24 的筷子置于地面直径为 5 ，高为 12 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子 外面的长为 h ，则 h 的取值范围。 5、如图，铁路上 A、B 两点相距 25km，C、D 为两村庄，DA 垂直 AB 于 A，CB 垂直 AB 于 B， 已知 AD=15km，BC=10km，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E，使得 C、D 两村到 E 第第
19、 1313页页总总 1515页页13 站的距离相等，则 E 站建在距 A 站多少千米处？ 考点十、航海问题 1、一轮船以 16 海里/时的速度从 A 港向东北方向航行， 另一艘船同时以 12 海里/时的速度从 A 港向西北方向航 行，经过 1.5 小时后，它们相距_海里 2、如图，某货船以 24 海里时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M 处，在点 A 处测得某岛 C 在北偏东 60的方向上。该货船航行 30 分钟到达 B 处，此时又测得该岛在北偏东 30的方向上，已 知在 C 岛周围 9 海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说 明理由。 3、如图，某沿
20、海开放城市 A 接到台风警报，在该市正南方向 260km 的B处有一台风中心， 沿BC方向以15km/h的速度向D移动， 已知城市A到BC的距离AD=100km， 那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受 到台风的破坏的危险，正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危 险？ ? D ? B ? C ? A 第第 1414页页总总 1515页页14 考点十一、网格问题考点十一、网格问题 1 1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1 1，则网格上的三角形 ABC 中，边长为无理 数的边数是（） A A0 0B B1 1C C2
21、 2D D3 3 2 2、如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为 1 1，则ABC 是 （） A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对 3 3、如图，小方格都是边长为 1 的正方形,则四边形 ABCD 的面积是 () A A 2525B.B. 12.512.5C.C. 9 9D.D. 8.58.5 ? B ? C ? A A B C D C B A （图 1）（图 2）（图 3） 4、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点 分别按下列要求画三角形： 使三角形的三边长分别为 3、8、5（在图甲中画一个即可） ； 使三角形为钝角三角形且面积为 4（在图乙中画一个即可） 第第 1515页页总总 1515页页15 ? 甲 ? 乙
