1、初三数学同步讲义（上） 目 录 第二十二章 二次函数. 3 22.1 二次函数的性质与解析式. 3 22.2 二次函数与方程. 21 22.3 二次函数的应用. 36 第二十三章 旋转. 51 23.1 旋转变换. 51 23.2 旋转模型. 64 第二十四章 圆. 78 24.1 圆的基本概念和性质. 78 24.2 与圆有关的位置关系. 93 24.3 与圆有关的计算.111 前情回顾：前情回顾： 1.若 m xm2 2 x ( 2) 3=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是 2. 3x2 x 2 3 0 3. x2 3x 28 0 4.某汽车销售公司 2005 年盈利 1500
2、 万元，到 2007 年盈利 2160 万元，且从 2005 年到 2007 年，每年盈利的年增长率相同 (1)该公司 2006 年盈利多少万元? (2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计 2008 年盈利多少万 元? 1 5.已知关于 x 的两个一元二次方程： 方程： 2 (2 1) 2 2 13 0 x k x k k 2 方程： 2 ( 2) 2 9 0 x k x k 4 (1)若方程、都有实数根，求 k 的最小整数值； (2)若方程和中只有一个方程有实数根；则方程，中没有实数根 的方程是_(填方程的序号)，并说明理由； (3)在(2)的条件下，若 k 为正整数，解出有实数根的方
3、程的根 2 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的性质与解析式 课程导入 当一个正方形的边长是 a，那么它的面积 y 如何用 a 来表示？ 如果一个长方形的长是 a，宽是 a+1，那么它的面积 y 如何用 a 来表示？ 以上的两个例子得到的关系式你能发现什么特点么？ 今天我们就来学习一个初中最重要的函数-二次函数 漫漫学 22.1.1 二次函数的定义及图像 二次函数的定义 一般地，形如的函数，叫做二次函数，其中， x 是自变量，分别是二次 项系数、一次项系数、常数项 3 2 m m 是关于 x 的二次函数，则满足条件的 m 值 【例 1】已知函数 y=（m+2）x 为_ 想一想：二次函数的
4、自变量最高次数是多少？系数是否可以为 0？ 【练习 1.1】若 y=（m3） x 是二次函数，求 m 的 值 m m 2 3 2 【例 2】若 y=（k3） x k2 2 +x2x+1 是二次函数，求常数 k 的值 想一想：在上一题中二次函数的定义以及可能出错的地方?观察题目中的二次 项有几项？ 【即时检测】【即时检测】 试卷编码：BJGXHSX090201SJ01 1.若 y=（k2） x k +4x2x+1 是二次函数，求常数 k 的值 2 2 4 二次函数的作图 “五点作图法”： 二次函数的图像为 【例 3】 在同一坐标系中，画出函数 y x2 y x 2 y x2 x 的图像. 1 2
5、 , 2 2( 2) , 3 1 想一想：画函数图像有哪些步骤？ 22.1.2 二次函数的性质 与 a 有关的性质一 函数形式： y ax2 (a 0) 开口： a 0 ，开口； a 0 ,开口. a 相同 抛物线的相同. a 越大开口越， a 越小开口越. 对称轴：y 轴（ x 0 ）顶点：原点（ 0, 0 ） 5 【例 4】二次函数 yax2 的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入 括号内 (1)y2x2 如图( )； 1 (2) y 2 如图( )； x 2 (3)yx2 如图( )； 1 (4) y 2 如图( )； x 3 1 (5) y x2 如图( )； 9 1 (6) y
6、 2 如图( ) x 9 想一想：二次函数与 a 相关的性质是哪些?与此题的联系是哪个？ 与 a 有关的性质二 增减性： a ，在对称轴左侧， y 随 x 的增大而; 在对称轴右侧， y 随 x 的增 0 大而； a 0 ，在对称轴左侧， y 随 x 的增大而; 在对称轴右侧， y 随 x 的 增大而. 最值：(函数形式 y ax2 (a 0) a 0 ，当 x 0 时， y 有是； a 0 ，当 x 0 时， y 有是. 6 【例 5】已知 a1，点（a1，y1） ，（ a，y2） ，（ a+1，y3）都在函数 y=x2 的 图象上，则( ) Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1
7、Dy2y1y3 想一想：是否能通过图像画出三个点的大致位置？观察图像得出结论？ 【练习 5.1】在下列函数中y2x2；y2x1；yx；yx2，回 答： (1)_的图象是直线，_的图象是抛物线 (2)函数_y 随着 x 的增大而增大 函数_y 随着 x 的增大而减小 (3)函数_的图象关于 y 轴对称 函数_的图象关于原点对称 (4)函数_有最大值为_ 函数_有最小值为_ 与 a、b 有关的性质 对称轴在 y 轴左侧，同号； 对称轴在 y 轴右侧，.（左同右异） 对称轴在 y 轴上，b=0. 【例 6】判断下列二次函数的对称轴的位置 (1)yx26x10 (2)y3x22x (3)y1005x2
8、 (4)y(x2)(2x1) (5)yax26bx10（a0,b0；b0；c0；a+b+c=0，其中 正确的结论的序号是_ 第（2）问：给出四个结论：abc0；a+c=1；a1其中正 确的结论的序号是_（只答一问即可） 8 【即时检测】【即时检测】 试卷编码：BJGXHSX090201SJ01 2.如图是二次函数 yax2bxc 的图象的一部分；图象过点 A(3，0)，对 称轴为 x1，给出四个结论：b24ac；2ab0；abc0； 5ab其中正确的是_(填序号) 22.1.3 二次函数的解析式的求法 一般式 通常把已知的坐标代入一般式 y ax2 bx c 中，可得关于 a、b、的 方程组，
9、解此方程组求得 a、b、c 的值. 【例 8】已知二次函数的图像经过点 A(1, 6) 、B(2,5) 、C(3, 28) ，求这个二次 函数的解析式. 想一想：已知条件几个点？是否特殊？一般的点坐标用哪种解析式？ 9 【练习 8.1】如图，在直角坐标系中，A（-1，0） ，B（0，2），一动点 P 沿过 B 点且垂直于 AB 的射线 BM 运动，P 点的运动速度为每秒 1 个单位长度，射 线 BM 与 x 轴交与点 C (1)求点 C 的坐标 (2)求过点 A、B、C 三点的抛物线的解析式 顶点式 当已知顶点坐标、对称轴或极值时，可设其解析式为 【例 9】 (1) 已知二次函数图像的顶点为（
10、2，5），且与 y 轴的交点的纵坐标为 13，求 这个二次函数的解析式. (2) 已知二次函数的图像过点（-1，2），对称轴为 x 1且最小值为-2，求这个 函数的解析式. 10 想一想：题目给出的条件有特殊的坐标么？特殊的点是什么点？用哪种解析 式解决问题容易？ 【练习 9.1】已知抛物线的顶点坐标为（2，3），且经过点（3，1），求其解 析式. 【练习 9.2】如图，已知抛物线 y ax2 bxc(a 0)的对称轴为 x 1，且抛 物线经过 A（-1，0） 、B（0，-3）两点，求这条抛物线所对应的函数关系式； 双根式 (x , 0)和(x ， 0)，则可以 若直接或间接已知二次函数图像与
11、 x 轴的两交点坐标 1 2 用 11 【例 10】 (1)已知二次函数图像与 x 轴交于（-1，0） 、 （ 3，0）两点，且经过点（1，-5） ， 求其解析式. (2)如下图，二次函数 y ax2 bxc的图像与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交 于 C 点，若 AC=20，BC=15，ABC=90 ，求这个二次函数解析式. 想一想：（1）已知与 x 轴的两交点给出，那么用哪种解析式解题？ （2）把已知条件转换成两交点，这样的交点问题用哪种解析式？ 【练习 10.1】 (1) 在平面直角坐标系中，已知抛物线 y ax2 bxc交 x 轴于 A(2, 0),B(6, 0) 两点，交 y
12、 轴于点C(0, 2 3).求此抛物线的解析式. 12 (2) 已知二次函数的图像经过点(0,3),对称轴方程是 x 1,抛物线与 x 轴两交点 的距离为 4,求这个二次函数的解析式. 【即时检测】【即时检测】 3.抛物线过(1，1)点，它的对称轴是直线 x20，且在 x 轴上截得线段 的长度为 2 2, 求抛物线的解析式 22.1.4 二次函数图形变换 一般式与顶点式的互换 一般式化为顶点式的步骤 (1)提取二次项系数； (2)配方； (3)去括号，合并. b 4ac b2 顶点坐标公式 ( , ) 2a 4a 13 【例 11】将下列二次函数化为顶点式，并写出对称轴、顶点坐标、最值. (1
13、)y3x22x (2)y3x26x2 (3)y1005x2 (4)y(x2)(2x1) 想一想：是否是二次函数一般式？一般式化成顶点式有哪些步骤？ 平移 平移： 【例 12】将函数 y x2 3x 4 向左平移 3 个单位，向下平移 2 个单位后的解 析式为 想一想：上下平移在哪加减？左右平移在哪加减？ 【练习 12.1】 (1)抛物线 y x2 先向_平移_个单位就得到抛物 线 2y x2 先向_平移_个单位就得到 抛物线 y x 2 ， 再 2( 3) 向_平移_个单位就得到抛物线 y x 2( 3) 4 2 14 (2)某抛物线先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位后的解析式为
14、y x x，则原抛物线解析式为. 2 3 2 【即时检测】 4.将二次函数 y=-2x2+8x-5 的图象开口反向，并向上、下平移得一新抛物线， 新抛物线与直线 y=kx+1 有一个交点为（3，4） 求：(1)这条新抛物线的函数解析式； (2)这条新抛物线和直线 y=kx+1 的另一个交点 对称 y ax2 bxc关于 x 轴对称： y ax2 bxc关于 y 轴对称： y ax2 bxc关于原点对称： y m 二次函数顶点式关 于 对称的函数关系式是 二次函数顶点式关于 对称的函数关系式是 x m 【例 13】抛物线 y x2 3x4关于 x 轴对称的图像解析式为，关于 y 轴 对称 的图像
15、解析式为，关于原点对称的图像解析式为. 想一想：看到对称问题，那么关于对称的公式是什么？ 15 【练习 13.1】 某抛物线先沿 x 轴翻折，再沿 y 轴翻折得到新的解析式为 y x2 x，则 原 2 3 抛物线解析式为. 【例 14】 y x2 6x 3 x 2 (1)二次函数 关于 对称的函数关系式是. y x x y 2 (2)二次函数 2 6 3 关于 对称的函数关系式是. 想一想：看到关于非坐标轴直线对称问题，那么首先如何把一般式化为顶点 式？下一步的顶点式的对称公式是什么？ 【练习 14.1】 (1)二次函数 y x2 6x 3关于 x 2对称的函数关系式是. (2)二次函数 y
16、x2 6x 3关于 y 2 对称的函数关系式是. 【即时检测】【即时检测】 试卷编码：BJGXHSX090201SJ01 5.二次函数 y=2x +4x-3 关于 x=1对称以后的解析式是. 把上面得到的函数关于 y=-2 对称的函数的关系式是. 16 BJGXHSX0902 优能一对一部初三数学同步讲义（上） 旋转 抛物线 ya xh 2 k 绕顶点旋转 180 后的解析式 为. ( ) 绕某一定点旋转 180 ，c 变为相反数，结合顶点求坐标. 【例 15】填空 (1)将抛物线 y x2 x 绕它的顶点旋转 180 ，所得抛物线的解析式 是. 2 12 16y x2 x 绕它的顶点旋转 1
17、80 ，所得 抛物线的解析式是. (2)将抛物线 y x2 1绕原点 O 旋转 180 ，则旋转后抛物线的解析式 为. (3)将抛物线 y x2 2x3绕点（1,1）旋 转 180 ，则旋转后的抛物线解析 式为. 想一想：旋转过程中的变量和不变量是什么？ 【练习 15.1】 某抛物线绕点（2,0）旋转 180 得到 y x x ，求原抛物线解析式. 2 6 5 2 17 优能一对一部初三数学同步讲义（上） BJGXHSX0902 思维 升华 学而不思则罔，思而不学则殆。 18 BJGXHSX0902 优能一对一部初三数学同步讲义（上） 延时检测延时检测: 试题编码：BJGXHSX090201S
18、J02 1.抛物线 y= 1 2 x26x+21 的图象大致是（） 2.若二次函数 y ax2 c ， 当 x 取 x，x x x 时，函数值相等，则当 x 取 1 2 ( 1 2 ) x x 1 2 时，函数值为_ 3.如图，在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的负半轴相交于点 A，与 x 轴的正半轴相交于点 B，与 y 轴相交于点 C， 点 C 的坐标为（0，3），且 BO=CO (1)求这个二次函数的解析式； (2)设这个二次函数图象的顶点为 M，求 AM 的长 19 优能一对一部初三数学同步讲义（上） BJGXHSX0902 前情回顾：前情回
19、顾： 试题编码：BJGXHSX090201SJ02 4已知抛物线经过(2, 5), (2,3), (1, 0) 三点，求抛物线的解析式 5已知抛物线 y ax2 bxc(a 0)与 y 轴交于点 A(0, 3)，与 x 轴分别交于 B(1, 0 )、C （5,0）两点 (1)求此抛物线的解析式； (2)若点 D 为线段OA 的一个三等分点，求直线 DC 的解析式 20 BJGXHSX0902 优能一对一部初三数学同步讲义（上） 22.2 二次函数与方程 二次函数与坐标轴交点 二次函数与方程 二次函数与一次函数交点 二次函数与不等式 课程导入 如图，回忆上节课的内容，你能得到什么结论？你猜猜图中
20、还能得到什 么结论？你所学的知识能得到你想知道的那些结论吗？如果能，有什么依据 吗？如果不能，学习了今天的内容后看看能不能解决你的猜想？就开始今天 内容的写学习吧！ 21 优能一对一部初三数学同步讲义（上） BJGXHSX0902 漫漫学 22.2.1 二次函数与坐标轴交点 二次函数与坐标轴交点求法 1.对于二次函数 y ax2 bx c a0 ，当 x=时 y=，所以二次函数 y ax2 bx c a 0 与 y 轴交点坐标为； 2.对于二次函数 y ax2 b x c a 0 ，当 y=时解一元二次方程 ax bx c a ，如果可以解得两个 根 2 0 0 x x 当 1, 2 x x
21、时， 二 1 2 次函数 y ax2 bx ca 0 与 x 轴有个交点，坐标 为；当 x x m 1 2 时，二次函数 y ax2 bx ca 0 与 x 轴有一个交点，坐标为；如果 一 元 二 次 方 程 ax2 bx c 0a 0 无 解 ， 则 二 次 函 数 y ax2 bx ca 0 与 x 轴交点 【例 1】已知抛物线 yax2bxc 与 x 轴的两个交点的横坐标是方程 x2x 20 的两个根，且抛物线过点(2，8)，求二次函数的解析式 想一想：这道题的常规解法是什么？有没有简便解法？ 【练习 1.1】已知二次函数 y 2x2 4x 1的图象与 x 轴交与 A 、B 两点，与 y
22、 轴 交于点C ，求 ABC 的面积 22 BJGXHSX0902 优能一对一部初三数学同步讲义（上） 2 2 1 1 n y x x 【练习 1.2】对于每个自然数 n，抛物线 n n1 n n1 与 x 轴交 于 An、 Bn 两点，以|AnBn|表示该两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+|A2015B2015| 的值为（ ） A 2014 2015 B 2016 2015 C 2015 2014 D 2015 2016 【练习 1.3】对于每个自然数 n，抛物线 y=（n2+n）x2-（2n+1）x+1 与 x 轴交 于 An， Bn 两点，以|AnBn|表示该两点间的距离，则|
23、A1B1|+|A2B2|+|A2011B2011| 的值是（ ） A 2010 2011 B 2011 2012 C 2011 2010 D 2012 2011 二次函数与 x 轴交点个数的确定 当 ax bx c a 中的时，二次函数 2 0 0 y ax2 bx c a 0 的图象与 x 轴 有两个交点； 当 ax bx c a 中的时，二次函数 y ax bx ca 的图象与 x 轴 2 0 0 2 0 有一个交点； 当 ax bx c a 中的时，二次函数 2 0 0 y ax2 bx c a 0 的图象与 x 轴 没有交点； 总结如下： 图象与 x 轴的交点 ax2 bx c 0 根
24、的 情况 根的判别式 b2 -4ac 无交点 0 一个交点 =0 两个交点 0 23 优能一对一部初三数学同步讲义（上） BJGXHSX0902 【例 2】若二次函数 ymx2(2m2)x1m 的图象与 x 轴有两个交点，求 m 的取值范围 想一想：二次项系数中有没有参数？有参数要注意什么？二次函数与 x 轴有 两个交点的条件是什么？ 【练习 2.1】若函数 ymx23x1 的图象与 x 轴只有一个交点，则 m_ 【练习 2.2】函数 yax2bxc 的图象如图所示，那么此抛物线图象向下平 移 3 个单位后与 x 轴有个交点，方程 ax2bxc-3=0 的根的情况为 【即时检测】【即时检测】
25、试卷编码：BJGXHSX090202SJ01 1二次函数 y kx2 6x3的图象与 x 轴有交点，则k 的取值范围是 （） A k 3B k 3且 k 0 C k 3 D k 3且 k 0 24 BJGXHSX0902 优能一对一部初三数学同步讲义（上） 【即时检测】【即时检测】 试卷编码：BJGXHSX090202SJ01 2已知抛物线 y 2 k 1 x2 4kx 2k 3， 求：k 为何值时，抛物线与 x 轴的两个交点分别在原点的两侧？ 二次函数与 x 轴交于整数点 二次函数 y ax2 bx ca 0 的图象与 x 轴的交点为整数点即一元二次方程 ax bx c a 的为整数根 2
26、0 0 即为，一元二次方程 ax2 bx c 0a 0 的两个根就可以用或（整式或分 式）表达出来，然后根据代数式的特点就可以求出当方程的根为整数时字母 的取值 【例 3】已知：关于 的二次函数 y kx2 2x 2 k 与 x 轴的两个交点的横坐 x 标分别为 x ， x 请问：当k 取哪些整数时， x ， x 均为整数？并求出相应 1 2 1 2 的交点坐标 想一想：求根公式是什么？ 25 优能一对一部初三数学同步讲义（上） BJGXHSX0902 【练习 3.1】关 于 x 的二次函数 y x m x m m 与 x 轴的两个交 2 2 2 3 4 2 14 9 点的横坐标分别为 x1,
27、x2，已 知 m 为整数，且12 m 40，请 问 ：当 m 取何值时 x1,x2 均为整数？并求出相应的交点坐标 【练习 3.2】已知关于 x 的二次函数 y x2 4x 2(k 1) 与 x 轴的两个交点的 横坐标分别为 x ， x 请问：当k取哪些正整数时， x ， x 均为正整数？并 1 2 1 2 求出相应的交点坐标 【即时检测】【即时检测】 试卷编码：BJGXHSX090202SJ01 3已知关于 x 的二次函数 y=x2+2x+（k-1）有两个整数根，且 k 为正整数， 求 k 的值 26 BJGXHSX0902 优能一对一部初三数学同步讲义（上） 22.2.2 二次函数与一次函
28、数交点 二次函数与一次函数交点 1.求二次函数 y ax bx ca 与一次函数 y kx bk 0交点的步 2 0 骤： 2 y ax bx c y kx b ax bx c kx b 2 整理成一元二次方程 ax b k x c b 2 0， 解方程得 x , x ,代入任何一个解析式，求得对应的 y , y 1 2 1 2 则交点坐标为x y 、 1, 1 x2 , y2 2.求二次函数与其它函数的步骤与上述步骤类似 【例 4】直线 y4x1 与抛物线 yx22xk 的一个交点在 x 轴上，求 k 的 值及另一个交点坐标 想一想：在 x 轴上的点横、纵坐标有什么特征？ 【练习 4.1】已
29、知直线 y5xk 与抛物线 yx23x5 交点的横坐标为 1， 则 k_，交点坐标为_ 【练习 4.2】yx2kx1 与 yx2xk 的图象相交，若有一个交点在 x 轴 上，则 k 值为 27 优能一对一部初三数学同步讲义（上） BJGXHSX0902 二次函数与一次函数交点个数的确定 确定二次函数 y ax bx c a 与一次函数 y kx b k 0 交点的 2 0 个数的步骤： 2 y ax bx c ax bx c kx b 2 整理成一元二次方程 y kx b ax2 b kx c b 0， 根据 ax2 b kx c b 0 的根的情况确定交点个数 ax 2 k x c b 0
30、b 交点 根的判别式 根的情况 无交点 _ 0 一个交点 _ =0 两个交点 _ 0 【例 5】已知函数 y mx2 3x 2 m是常数 ，若一次函数 y x 1的图象与该 函数的图象恰好只有一个交点，求 m 的值及交点坐标 想一想：二次项系数有没有参数？这类问题应注意什么？ 28 BJGXHSX0902 优能一对一部初三数学同步讲义（上） 【练习 5.1】已知函数 y mx2 2x 3 m是常数 ，若一次函数 y 2x 2 的图 象与该函数的图象恰好只有一个交点，求 m 的值及交点坐标 【即时检测】【即时检测】 试卷编码：BJGXHSX090202SJ01 4已知函数 y mx2 3x 2
31、m是常数 ，若一次函数 y 2x 1的图象与该函 数的图象恰好只有一个交点，求 m 的值及交点坐标 22.2.3 二次函数与不等式 二次函数值的正负 1.判断二次函数值的正、负条件： 求解不等式 ax2 bx c 0 即二次函 数 y ax2 bx c ( a0)的图象在 x 轴 _的点的_所组成的集合. 求解不等式 ax2 bx c0 即二次函 数 y ax2 bx c ( a0)的图象在 x 轴 _的点的_所组成的集合. 2.判断二次函数值的恒正、恒负条件： 29 优能一对一部初三数学同步讲义（上） BJGXHSX0902 当 ax2 bx c 0 a 0 中 的 _ 时 ， 二 次 函
32、数 y ax2 bx ca 0 的函数值恒为正； 当 ax2 bx c 0 a 0 中 的 _ 时 ， 二 次 函 数 y ax bx ca 的函数值恒为负 2 0 总结如下：结合图象比较大小 a 0 判别式 不等式 不等式 抛物线 情况 y ax bx c 2 ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 与 x 轴的交点 的解集 的解集 0 有两个交点 x x 或 1 x x 2 x x x 1 2 0 有一个交点 x x 或 1 x x 无 解 2 0 无交点 全体实数 无解 a 0 判别式 不等式 不等式 抛物线 情况 y ax2 bx c ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 与
33、 x 轴的交点 的解集 的解集 0 有两个交点 x x x 1 2 x x 或 1 x x 2 0 有一个交点 无解 x x 或 1 x x 2 0 无交点 无解 全体实数 【例 6】若 x 为任意实数时，二次函数 yx2-6x+c 的值都不小于 0，则常数 c 满足的条件是 想一想：不小于 0 包括几种情况？ 30 BJGXHSX0902 优能一对一部初三数学同步讲义（上） 【练习 6.1】二次函数 y 2x2 3x 5，当 x 满足什么条件时，函数值 y 大于 0？小于 0？ 【练习 6.2】不论 a 为任何实数，二次函数 y=x2-ax+a-2 的图象（ ） A在 x 轴上方 B在 x
34、轴下方 C与 x 轴有一个交点 D与 x 轴有两个交点 【练习 6.3】m 为何值时，抛物线 y(m1)x22mxm1 的值恒为负数 二次函数值与一次函数值比较大小 二次函数 y ax bx ca 与一次函数 y kx bk 0函数值比较大小 2 0 的步骤： 联立函数解析式，求函数_，利用图象比较大小 31 优能一对一部初三数学同步讲义（上） BJGXHSX0902 【例 7】比较二次函数 y x2 x 与一次函 数 1 2 3 y x 的函数值的大 小 2 1 想一想：如何利用图象比较大小？ 【练习 7.1】当 x 满足什么条件时二次函数 y x2 5x 6 的函数值大于一次 函数 y x
35、 1的函数值 【即时检测】【即时检测】 试卷编码：BJGXHSX090202SJ01 5当 x 满足什么条件时二次函数 y x2 3x 4 的函数值小于一次函数 y 2x 2 的函数值 32 BJGXHSX0902 优能一对一部初三数学同步讲义（上） 思维 升华 学而不思则罔，思而不学则殆。 33 优能一对一部初三数学同步讲义（上） BJGXHSX0902 延时检测：延时检测： 试题编码：BJGXHSX090202SJ02 1已知抛物线 y x2 (2k 1)x k2 1，若抛物线与 x 轴有两个交点，求 k 的取 值范围为 2已知二次函数 y ax2 bx c ( a 0)与一次 函数 1
36、y kx m (k 0)的图象相 交 2 于点 A(2，4 )、 B(8， 2) (如图所示)，则能 使 y y 成立的 x 的取值范围 是 1 2 _ y B A O x 3已知二次函数 y=（k2-1）x2-（3k-1）x+2 (1)二次函数的顶点在 x 轴上，求 k 的值； (2)若二次函数与 x 轴的两个交点 A、B 均为整数点（坐标为整数的点），当 k 为整数时，求 A、B 两点的坐标 34 BJGXHSX0902 优能一对一部初三数学同步讲义（上） 前情回顾：前情回顾： 试题编码：BJGXHSX090202SJ02 4已知二次函数 y 2x2 4mx m2 求证：当 m 为非零实数
37、时，这个二次函数 的图象与 x 轴总有两个不同交点 5如图，已知二次函数 y ax2 bx c 的图象经过三点 A1,0， B3, 0， C0,3， 它的顶点为 M，又正比例函数 y kx 的图象于二次函数相交于两点 D、E，且 P 是线段 DE 的中点 (1)该二次函数的解析式，并求函数顶点 M 的坐标； (2)知点 E2,3，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图象求 出符合条件的自变量 x 的取值范围 35 优能一对一部初三数学同步讲义（上） BJGXHSX0902 22.3 二次函数的应用 课程导入 问题 1、现有一根 12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使 举行
38、的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大， 他说的有道理吗？ 问题 2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线 是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决 漫漫学 22.3.1 利润问题 36 BJGXHSX0902 优能一对一部初三数学同步讲义（上） 利润问题 解决实际问题步骤： (1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式； (2)研究自变量的取值范围； (3)研究所得的函数； (4)检验 x 的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值： (5)解决提出的实际问题 【例 1】某商场将进货价为 30 元的
39、书包以 40 元售出，平均每月能售出 600 个，调查表明：这种书包的售价每上涨 1 元，其销售量就减少 10 个 (1)请写出每月售出书包的利润 y (元)与每个书包涨价 x(元)间的函数关系式； (2)设某月的利润为 10 000 元. 10 000 元的利润是否为该月最大利润？如果 是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定 为多少元.？ (3)请分析并回答售价在什么范围内商家就可获得利润 想一想：每个书包涨价 x 元时，书包的售价用含 x 的式子表示？销售量用含 x 的式子表示？二次函数怎样就最值？你能画出二次函数的图像吗？ 37 优能一对一部初三数学同步讲义（
40、上） BJGXHSX0902 【练习 1.1】重庆市某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品 1 只能在本地销售，区政府对该花木产品每投资 x 万元，所获利润为 P= 50 (x 30)210 万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济 发展的 10 年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专 项资金每年最多 50 万元，若开发该产品，在前 5 年中，必须每年从专项资金 中拿出 25 万元投资修通一条公路，且 5 年修通，公路修通后，花木产品除在 本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资 x 万元 49 2194 可获利润 Q=50(
41、50 x) 5 (50 x)308 万元 (1)若不进行开发，求 10 年所获利润最大值是多少? (2)若按此规划开发，求 10 年所获利润的最大值是多少? 【练习 1.2】有一种活鱼，在室内暂养最多只能存活两天，如果放养在塘内， 可以延长存活时间，但每天也有一定的数量死去假设放养期内鱼的个体 重量保持不变小王，按市场价 50 元/千克收购了这种活鱼 1 吨放养租用 30 天塘内据市场变化，此后每天每千克活鱼价格可上升 2 元，但是，放 养一天需各种费用支出 600 元，且平均每天还有 10 千克的鱼死去，假定死 鱼均于当天全部售出，售价都是每千克 30 元 38 BJGXHSX0902 优能
42、一对一部初三数学同步讲义（上） (1)如果放养 x 天后将活蟹一次性出售，并记 1 吨鱼的销售总额为 W 元 ，写 出 W 与 x 的函数关系式； (2)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额- 收购成本-费用）？最大利润是多少？ 【即时检测】【即时检测】 试卷编码：BJGXHSX090203SJ01 1.某商品的进价为每件 40 元当售价为每件 60 元时，每星期可卖出 300 件， 现需降价处理，且经市场调查：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件在确保 盈利的前提下，解答下列问题： (1)若设每件降价 x元、每星期售出商品的利润为 y 元，请写出 y 与 x的函
43、数 关系式，并求出自变量 x的取值范围； (2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ (3)请画出上述函数的大致图象 39 优能一对一部初三数学同步讲义（上） BJGXHSX0902 22.3.2 面积问题 【例 2】如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 P、Q 两点同时出发，分别到达 B、C 两点后就停止 移动 (1)设运动开始后第 t s 时，五边形 APQCD 的面积是 Scm2，写 出 S 与 t 的函数 关系式，并指出自变量 t 的取值范围； (2) t 为何值时，S 最小？最小值是多少？ 想一想：用含有 t 的式子表示 AP、BQ 的长，怎样求不规则图形的面积？ 40 BJGXHSX0902 优能一对一部初三数学同步讲义（上） 【练习 2.1】某广告公司设计一幅周长为 12 米的矩形广告牌，广告设计费为 每平方米 1000 元，设矩形的边长为 x，面积为 S 平方米 (1)求出 S 与 x 之间的函数关系式； (2)为了使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算 出可获得的设计费是多少?(精确到元) (参与资料：当矩形的长是
