1、基础知识一、两平面的位置关系空 间 两 个 平 面 的 位 置 关 系 有 且 只 有 两 种 两个平面垂直是相交的一种特殊位置平行和相交二、两个平面平行的判定和性质1两平面平行的判定如果两个平面没有 ，那么这两个平面互相平行；如果一个平面内的两条 直线都 另一个平面，那么这两个平面平行即：a，b，a、b，.垂直于同一条直线的两个平面平行即l，.平行于同一平面的两个平面互相平行即，.公共点相交平行于abAl2两平面平行的性质如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 平行于另一个平面即，a如果两个平行平面同时和第三个平面 ，那么它们的交线平行即，a，b.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，
2、那么它也 于另一个平面即，l.aabl相交直线垂直三、两个平面垂直的判定和性质1两平面垂直的判定两个平面相交，如果它们所成的二面角是 二面角，那么这两个平面互相垂直；如果一个平面 另一个平面的一条 ，那么这两个平面互相垂直，即a，.直经过垂线a2两平面垂直的性质如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的直线垂直于另一个平面，即，l，al，a.如果两个平面垂直，那么经过垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内即，P，aa.交线a第一平面内的一点Pa易错知识一、几何定理应用失误1如下图所示，已知E、F分别是正方体ABCDA1B1C1D1棱AA1、CC1上的点，且AEC1F，则四边形EBFD1的形
3、状为平行四边形2在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，则平面MNP与平面A1BD的位置关系为 平行二、逻辑推理失误3如下图四棱锥PABCD的底面是一直角梯形，ABCD，BAAD，CD2AB，PA底面ABCD，E为PC中点，则BE与平面PAD的位置关系为 平行回归教材1下列命题中，正确的是()A如果一个平面内的两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行B如果一个平面内的无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行C如果一个平面内的两条直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行D如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行
4、，则这两个平面平行解析：由判定定理知，D正确答案：D2已知m、n是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题，其中真命题的个数是()若m，n，则mn；若m，m，则；若n，mn，则m且m；若m，m，则A0B1C2D3解析：对于，m与n可平行或异面，故不正确；对于，与可平行，也可相交；对于，m与、可平行，也可在其内，对于，由面面平行的判定可知正确答案：B3(2009福建，10)设m，n是平面内的两条不同直线；l1，l2是平面内的两条相交直线则的一个充分而不必要条件是()Am且l1Bml1且nl2Cm且nDm且nl2解析：ml1，且nl2，又l1与l2是平面内的两条相交直线，而当时不一定推出ml1且
5、nl2，也可能异面故选B.答案：B4(教材改编题)在边长为a的正ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面角BADC后，BCa，这时二面角BADC的大小为_解析：由定义知，BDC为所求二面角的平面角，又BCBDDCa，BDC为等边三角形，BDC60.答案：605在空间四边形ABCD中，若ADBC，BDAD，则平面ADC和平面DBC的关系为_解析：ADBC，ADBD，且BDBCB，AD平面DBC，又AD平面ADC，平面ADC平面DBC.答案：垂直【例1】如下图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求证：平面A1BD平面CB1D1；(2)求平面A1BD和平面CB1D1的距离命题意图主要
6、考查面面平行的判定和两平行平面间距离的求法分析由正方体的对称性，注意AC1平面A1BD，AC1平面CB1D1，设AC1分别交平面A1BD、CB1D1于M、N，则MN的长即为所求再在对角面A1ACC1中求MN的长解答(1)证明：A1BCD1为矩形A1BD1C.又D1C平面CB1D1，A1B 平面CB1D1，A1B平面CB1D1.同理A1D平面CB1D1.又A1BA1DA1，平面A1BD平面CB1D1.(2)解：连结AC1分别交平面A1BD、平面CB1D1于M、N，连AC、A1C1.BDAC，由三垂线定理知BDAC1.AC1平面A1BD.又平面A1BD平面CB1D1.AC1平面CB1D1.MN的长
7、就是平面A1BD与平面CB1D1的距离如下图所示，在矩形A1ACC1中平面A1BD平面CB1D1，平面A1BD平面A1ACC1A1O.平面CB1D1平面A1ACC1CO1，总结评述求平面A1BD和平面CB1D1的距离可以转化为求C到平面A1BD的距离，再利用体积变换(VA1BCDVCA1BD)求点面距离十分方便在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点求证：(1)APMN；(2)平面MNP平面A1BD.分析：(1)欲证APMN，只需证APB1C即可证线线垂直利用三垂线定理解决，于是找AP在平面BC1内的射影利用平面APC1B平面BB1C1可找到AP在平
8、面BC1内的射影为BC1，问题得以解决(2)证明面面平行利用面面平行的判定定理，在平面MNP内找两条与平面A1BD平行的相交直线即可解决问题证明：(1)连结BC1、B1C，则B1CBC1.AB平面BC1，AB平面APC1B，平面APC1B平面BC1.BC1是AP在平面BB1C1内的射影APB1C.又B1CMN，APMN.(2)连结B1D1.P、N分别是D1C1、B1C1的中点，PNB1D1.又B1D1BD，PNBD.又PN 平面A1BD，PN平面A1BD.同理，MN平面A1BD.又PNMNN，平面PMN平面A1BD.总结评述：两平面的位置关系有相交、平行解题中注意“垂直相交”这种特殊位置当两平
9、面垂直相交时可得到线面垂直及平面内任意的直线在另一平面的射影在两平面的交线上等一些重要结论在立体几何中，往往通过线线、线面、面面之间的位置关系的转化证明新的位置关系成立，熟练掌握这种思维方法，就能抓住这章的特点，许多平行或垂直问题就能寻找到解题思路.【例2】(2009湖南)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DEAE.(1)证明：平面ADE平面ACC1A1；(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值证明(1)由正三棱柱ABCA1B1C1的性质知AA1平面A1B1C1.又DE平面A1B1C1，所以DEAA1.而DEAE，AA1AEA，
10、所以DE平面ACC1A1.又DE平面ADE，故平面ADE平面ACC1A1.(2)解法一：如图所示，设F是AB的中点，连结DF、DC1、C1F.由正三棱柱ABCA1B1C1的性质及D是A1B1的中点知，A1B1C1D，A1B1DF.又C1DDFD，所以A1B1平面C1DF.而ABA1B1，所以AB平面C1DF.又AB平面ABC1，故平面ABC1平面C1DF.过点D作DH垂直C1F于点H，则DH平面ABC1.连结AH，则HAD是直线AD和平面ABC1所成的角在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC4，BAC90，D为侧面ABB1A1的中心，E为BC的中点(1)求证：平面DB1E平面BCC1B
11、1；(2)求异面直线A1B与B1E所成的角解：(1)证明：连结AE，BAC90，ABAC，E为BC中点，AEBC.又平面B1BCC1平面ABC，且交线为BC.AE平面B1BCC1.又AE平面DB1E，平面DB1E平面BCC1B1.(2)取AE中点F，连DF，在AB1E中，DF BDF为A1B与B1E所成的角【例3】(2009重庆，18)如图所示，在五面体ABCDEF中，ABDC，BAD，CDAD2.四边形ABFE为平行四边形，FA平面ABCD，FC3，ED.求：(1)直线AB到平面EFCD的距离；(2)二面角FADE的平面角的正切值解析(1)因为ABDC，DC平面EFCD，所以直线AB到平面E
12、FCD的距离等于点A到平面EFCD的距离如图1，过点A作AGFD于G.因BAD，ABDC，故CDAD.又FA平面ABCD，由三垂线定理知CDFD，故CD平面FAD，知CDAG.故AG为所求的直线AB到平面EFCD的距离在RtFDC中，(2)由已知FA平面ABCD，得FAAD，又由BAD 知ADAB，故AD平面ABFE，从而ADFE.所以，FAE为二面角FADE的平面角，记为.由四边形ABEF为平行四边形，得FEBA，从而EFA 在RtEFA中，(2008全国，19)如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，点E在CC1上且C1E3EC.(1)证明：A1C平面BED；(2)求二面
13、角A1DEB的大小命题意图：本题主要考查线面关系的论证、二面角的求法以及空间想象能力和推理论证能力解析：依题设知AB2，CE1.(1)如图(1)，连结AC交BD于点F，则BDAC.由三垂线定理知，BDA1C.在平面A1CA内，连结EF交A1C于点G，RtA1ACRtFCE.AA1CCFE，CFEACA1，又AA1C与ACA1互余，CFE与FCA1互余于是A1CEF.A1C与平面BED内两条相交直线BD、EF都垂直，A1C平面BED.(2)如图(1)，作GHDE，垂足为H，连结A1H.由三垂线定理知A1HDE，故A1HG是二面角A1DEB的平面角1证明面面平行常用的方法有：(1)定义；(2)判定
14、定理；(3)l，l.2应用面面平行的性质定理时，关键是找(或作)铺助平面，对此需要强调的是：(1)辅助线、辅助平面要作得有理有据，不能随意添加；(2)辅助面、辅助线具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断3注意线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化应用判定定理时，注意由“低维”到“高维”：“线线平行”“线面平行”“面面平行”；应用性质定理时，注意由“高维”到“低维”：“面面平行”“线面平行”“线线平行”4两个平面垂直的判定方法有(1)判定定理：a，a；(2)定义法：证明二面角的平面角为90.5出现两个平面垂直时，往往考虑用性质定理：找交线，在一个平面内找(或作)交线的垂线，从
15、而得到线面垂直，添加辅助线时，一定要有目的性，避免盲目性面面垂直的性质定理是证明线面垂直，求点面距离的常用方法6注意线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化(1)利用判定定理时，由“低维”到“高维”；利用性质定理或定义时，由“高维”到“低维”；(2)线面垂直是核心，联系线线垂直，面面垂直，线线垂直是基础7求二面角的平面角常用的方法(1)定义法；(2)垂面法；(3)三垂线定理法；(4)面积射影法；(5)向量法48写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
