1、跨滑轮绳连接物体系的牛顿第二定律跨滑轮绳连接物体系的牛顿第二定律 一、问题的缘起一、问题的缘起 【例 1】如图所示，物体 A 和 B 由跨过轻质滑轮的轻绳连接后竖直悬挂，然 后由静止释放，已知 A 的质量为 m、B 的质量为 M，且 Mm，不计一切摩擦， 求 A 上升的加速度。 本题常见两种解法，如下： 解法一解法一：设绳中张力为 FT，则由牛顿第二定律，对 A，有：FTmg=maA，对 B，有 MgFT=MaB，其中：aA=aB，联立解得： A Mgmg a Mm 。 解法二解法二： 选 A、 B、 轻绳系统为研究对象， 由系统的牛顿第二定律， 有： Mgmg=(M+m)a， 解得： Mgm
2、g a Mm 。 【质疑】按常规理解，第二种解法存在一些明显的问题：等式左边，两个重力方向均向 下，按矢量合成规则，怎么能够相减？等式右边，aA、aB两个加速度方向相反，MaB和 maA 怎么能够相加？而且，真的选 A、B、轻绳系统为研究对象，其受力还有滑轮对整体向上的 弹力 F，且系统的牛顿第二定律的方程应为：Mg+mgF=Ma-ma。 【解释】当然，我们可以认为，解法二的方程实际上是解法一两个方程联立得到的一个 数学结论式，没有物理意义。可是，列解法二方程时，我们的解释往往是：我们研究的是 A、 B 沿绳的运动A、B 沿绳运动的加速度相同，沿绳方向看，两个重力的方向相反，所以 有：Mgmg
3、=(M+m)a。明显，这种理解是有物理意义的，那么，前面的质疑又如何回应？ 或者说这种理解是不科学、不严谨的? 二、问题的解决二、问题的解决 1、曲线坐标系下物体运动的动力学、曲线坐标系下物体运动的动力学 在上述问题中，我们可以在绳上取某个点为原点，规定从物体 A 经滑轮到物 体 B 为该曲线的“正方向”，从而建立起一个描述物体运动位置的“曲线坐标系”。 如果物体沿绳运动，则其沿绳运动的加速度即为自然坐标系下的切向加速 度，由牛顿第二定律，有：Fma ；如果物体不沿绳运动，我们可以将物体 运动分解到垂直绳和沿绳方向，物体沿绳方向的加速度可根据极坐标系等求出， 沿绳方向仍然有动力学方程： ss
4、Fma。 2、跨滑轮绳连接物体系的牛顿第二定律跨滑轮绳连接物体系的牛顿第二定律 在前述例题中，若我们沿绳建立曲线坐标系，规定从 A 经滑轮到 B 为正方 向，则分别对两物体列动力学方程，有： 对 A： T () A Fmgma 对 B： TB MgFMa 其中：aA=aB=a， TT FF 前两式相加，得：Mgmg=(M+m)a A B O s O m Mg a s 此式即为 A、B、轻绳系统在曲线坐标系下的牛顿第二定律方程，其理解就是：B 均沿 绳的运动沿绳方向看，A、B 沿绳运动的加速度相同，两个重力的方向相反，所以有： Mgmg=(M+m)a 【例 2】如图所示，压力传感器能测量物体对其
5、正压力的大 小，现将质量分别为 M、m 的物块和小球通过轻绳固定，并跨过 两个水平固定的定滑轮 （滑轮光滑且较小） ， 当小球在竖直面内左 右摆动且高度相等时，物块始终没有离开水平放置的传感器已 知小球摆动偏离竖直方向的最大角度为，滑轮 O 到小球间细线 长度为 l，重力加速度为 g，求：小球摆到最低点时，压力传感器 示数为 0，则 M/m 的大小 【解析】设小球在最低点速度为 v，则由机械能守恒，有 2 1 (1 cos ) 2 mglmv 当小球运动到最低点时， 沿绳方向建立如图所示曲线坐标系； 此时， 物块 M 沿绳的加速度为零，但小球 m 绕 O 点做圆周运动，因此有沿绳 方向的加速度
6、 2 v a l ，则由系统的牛顿第二定律，有 0MgmgMma 解得：/32cosMm 三、对物体系的牛顿第二定律的一个说明三、对物体系的牛顿第二定律的一个说明 物体系的牛顿第二定律的方程的得来， 是先用隔离法分别对系统内各个物体列牛顿第二 定律的方程，然后几个方程相加而得来，在相加过程中，我们做了一个“数学处理”作用 力和反作用力等大反向，“相加为零”。 这个数学处理， 从物理角度来说是不合适的， 作用力和反作用力分别作用在系统内不同 物体上，其效果是不能叠加的，因此“相加为零”是不合适的。从这个意义上讲，物体系的牛 顿第二定律的方程是一个数学方程， 不具有严谨的物理意义。 很多学生很难理
7、解物体系的牛 顿第二定律，他们常常问的问题是：作用在 A 上的外力，如何能够在 B 上产生加速度？ 但是，这个数学方程用起来是方便的，因为该方程中没有内力，所以列出的方程简单。 在用曲线坐标系处理跨滑轮绳连接物体系的运动时，绳中张力即是内力，且等大、反向，因 此也没有出现在方程中。 此时用物体系的牛顿第二定律还避免了滑轮弹力 （其方向是垂直绳 的）的引入，大大简化了方程和计算。 四、应用示例四、应用示例 【例 3】如图所示，固定的粗糙斜面顶端有一个轻质 滑轮，物体 A 和 B 由跨过滑轮的轻绳连接，然后由静止释 放，已知斜面倾角为，A 物体与斜面的动摩擦因数，A 的质量为 m、B 的质量为 M
8、，且 Mm，轻绳足够长，求 B 下降的加速度。 【解析】如图，沿绳建立曲线坐标系，规定从 A 经滑轮到 B 为正 方向，则对 A、B、轻绳系统，由系统的牛顿第二定律，有 Mgmgsinmgcos=(M+m)a 解得： sincosMgmgmg a Mm A B O Mg mg s O m Mg a Ff s FN 【例 4】如图所示，质量为 m 的物体 A 静止放在光滑水平地面上，跨过等高的两个轻 质小滑轮的轻绳将其与质量为 M=2m 的物体 B 连接。 已知两小滑轮到地面高度 h， 开始时绳 与水平方向夹角为 o 30，现由静止释放 A、B，此后运动过程中，A 一直未离开地面。试 求： （1
9、）刚释放瞬间 B 的加速度； （2）B 下降 3 h 时，B 的加速度。 【解析】整个运动过程中，A 的加速度均沿水平方向向右。当 A 向右的速度为 v、绳与 水平方向夹角为时， 如图， 以左边滑轮 O 为参考点建立极坐标系， 将 A 的运动分解到垂直、 沿绳方向，则 A 沿绳方向的加速度表达式为： dd () dd n n v avr tt dd () dd n v av tt 标量化，得 2 d d n n vv a tl ， d d n vv av tl 而且有：tan n aa ， d d n B v a t （1）刚释放瞬间，A 速度为零，则有 11nB aa。建立如图所示曲线坐标系
10、，则由牛顿 第二定律，有 N11 sinsin() n MgFmgMm a N11 coscosmgFma 其中： 11tann aa 联立解得： 1 2 0.6 (1tan) B M agg Mm （2）当 B 下降 3 h 时，设 A、B 的速度分别为 vA、vB，则有： cos BnA vvv，sin A vv ，其中： 3sinsin hhh ， sin h l 此时，对 A，有： 2 2 d d n n vv a tl ，且 22tann aa ， 2 d d n B v a t A B h aB A B h O v vn v l a an aA O mg Mg s FN1 建立如图所示曲线坐标系，则由牛顿第二定律，有 N222 sinsin Bn MgFmgMama N22 coscosmgFma 由机械能守恒，有 22 11 322 AB h MgmvMv 联立解得： 3 2 2 2 2sin 3(cos) 0.597 (1tan) B Mg Mg mM ag Mm Mg s O mg FN2
