1、 1 山东省垦利第一中学等四校 2017-2018 学年高二数学上学期期末考试试题 理 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 命题“ xR? ， 3 0x? ”的否定是（ ） A xR? ， 3 0x? B xR? ， 3 0x? C xR? ， 3 0x? D xR? ， 3 0x? 2. 抛物线 2 4yx? 的准线方程是（ ） A 1x? B 1x? C 1y? D 1y? 3. 设 mR? ，则“ 3 ， m ， 27 ”为等比数列是“ 9m? ”的（ ） A充分不必要条件
2、B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4. 若 ab? ，则下列不等式中正确的是（ ） A 22ab? B 11ab? C 222a b ab? D 22ac bc? 5. 在等差数列 na 中， 23412a a a? ? ? ， 7 8a? ，则 1a? （ ） A 1? B 2? C 1 D 2 6.已知 ( ,2, 1)Ax? ， (2, ,1)By， (0,4, 3)C ? 三点共线，则 xy?（ ） A 1 B 1? C 0 D 2 7. ABC? 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 cos cos sina B b A c C?
3、，则ABC? 的形状为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 8.如图，在四面体 OABC 中， M 、 N 分别在棱 OA 、 BC 上，且满足 2OM MA? ，BN NC? ，点 G 是线段 MN 的中点，用向量 OA ， OB ， OC 表示向量 OG 应为（ ） 2 A 1 1 13 4 4O G O A O B O C? ? ? B 1 1 13 4 4O G O A O B O C? ? ? C 1 1 13 4 4O G O A O B O C? ? ? D 1 1 13 4 4O G O A O B O C? ? ? 9. 不 等式 2 0ax bx
4、c? ? ? 的解集为 (2,3)? ，则不等式 2 0cx bx a? ? ? 的解集是（ ） A 11( , ) ( , )23? ? ? B 11( , )32? C 11( , )23? D 11( , ) ( , )32? ? ? 10. 在明朝程大位算术统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯” .这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，共有 381盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从下往上数第四层有（ ）盏灯 . A 8 B 12 C 16 D 24 11. 已知 1F ， 2
5、F 是椭圆 E ： 22195xy?与双曲线 2E 的公共焦点， P 是 1E ， 2E 在第一象限内的交点，若 1 1 2PF FF? ，则 2E 的离心率是（ ） A 3 B 2 C 3 D 2 12.已知 na 为等差数列，且它的前 n 项和 nS 有最大值，若 1716 1aa ? ，则满足 0nS? 的最大正整数 n 的值为（ ） A 16 B 17 C 31 D 32 第 卷（ 共 90 分） 3 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 13. 双曲线 22149xy?的渐近线方程是 14. 若 x ， y 满足约束条件 3 320xxyxy?，则 2z x y
6、?的最大值为 15. 一轮船向正北方向航行，某时刻在 A 处测得灯塔 M 在正西方向且相距 203 海里，另一灯塔 N 在北偏东 30 方向，继续航行 20 海里至 B 处时，测得灯塔 N 在南偏东 60 方向，则两灯塔 MN 之间的距离是 海里 16. 抛物线 2 2 ( 0)y px p?的焦点为 F ，准线为 l ，过抛物线上一点 M 作 l 的垂线，垂足为 N .设 7( ,0)2Ap， AN 与 MF 相交于点 B ，若 2AF MF? ， ABM? 的面积为 922 ，则 p 的值为 三、解答题：共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. ABC? 的内角 A
7、 ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 sin 2 sin 0b C c B?. （ 1）求 C ； （ 2）若 27c? ， ABC? 的面积为 23，求 ab? . 18.已知 p ：函数 2 1( ) (2 )4f x m x m x? ? ? ?的定义域是 R ， q ：方程 22123xymm?表示焦点在 x 轴上的双曲线 . （ 1）若 p 是真命题，求实数 m 的取值范围； （ 2）若“ ()pq?”是真命题，求实数 m 的取值范围 . 19.已知数列 na 的前 n 项和 nS 满足 22nnSa?，等差数列 nb 中， 2 3 3b b a?，4 5 4b
8、 b a?. 4 （ 1）求 na ， nb 的通项公式； （ 2）若11nnnbc a? ，求数列 nc 的前 n 项和 nT . 20.如图在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形， CDEF 为等腰梯形，且 /CD EF ， 12EF CD? ， 60CDE?， AD DE? . （ 1）证明：平面 ABCD? 平面 CDEF ； （ 2）求二面角 A CF B?的余弦值 . 21.十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽 /柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划 .2018 年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，
9、全年需投入固定成本 2500 万元，每生产 x （百辆），需另投入成本 ()Cx万元，且 21 0 1 0 0 , 0 4 0() 100005 0 1 4 5 0 0 , 4 0x x xCx xxx? ? ? ? ? ? ? ?.由市场调研知，每辆车售价 5 万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完 . （ 1）求出 2018 年的利润 ()Lx （万元）关于年产量 x （百辆）的 函数关系式；（利润 =销售额 -成本） （ 2） 2018 年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润 . 22.已知 O 为坐标原点，椭圆 C ： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的左焦
10、点是 1F ，离心率为 32 ，且 C 上任意一点 P 到 1F 的最短距离为 23? . （ 1）求 C 的方程； （ 2）过点 (0,2)A 的直线 l （不过原点）与 C 交于两点 E 、 F ， M 为线段 EF 的中点 . （ i）证明：直线 OM 与 l 的斜率乘积为定值； （ ii）求 OEF? 面积的最大值及此时 l 的斜率 . 5 高二理科数学参考答案及评分标准 一、选择题 1-5: CBBCD 6-10: ABACD 11、 12： BC 二 、填空题 13. 3 2 0xy? 14. 12 15. 1021 16. 3 三、解答题 17.解：（ 1）由 sin 2 sin
11、 0b C c B?， 得 2 sin cos sinb C C c B? ? ?， 由正弦定理得 2 s in s in c o s s in s inB C C C B? ? ? ? ?， sin 0B? ， sinC 0? ， 1cos 2C? ， 角 C 为 ABC? 的内角， 23C ? . （ 2） 23C ? ， ABC? 的面积为 23， 12sin 2 323ab ? ? ，即 8ab? ， 27c? ，由余弦定理得 22 22 co s 2 83a b ab ? ? ?， 即 2( ) 28a b ab? ? ?， 将代入得 2( ) 36ab?， 6ab? . 18.解：
12、（ 1）函数 2 1( ) (2 ) 4f x m x m x? ? ? ?的定义域是 R ， 2 1(2 ) 04m x m x? ? ? ?对 xR? 恒成立 . 当 0m? 时， 1204x? ? ? ，不合题意； 6 当 0m? 时，则201 (2 ) 4 04mmm? ? ? ? ? ?， 解得 14m?， p 是真命题时，实数 m 的取值范围是 1,4 . （ 2）由（ 1）知 p 为真时 14m?， p? ： 1m? 或 4m? ， 方程 22123xymm?表示焦点在 x 轴上的双曲线， 2030mm? ?， 解得 23m? ? ? ， q ： 23m? ? ? . “ ()p
13、q?”是真命题， 1423mmm? ? ? 或， 解得 21m? ? ? ， ()pq?是真命题时，实数 m 的取值范围是 (2,1)? . 19.解：（ 1）由数列 na 满足 22nnSa?， 当 2n? 时， 1122nnSa?， 两式相减得 122n n na a a ?， 12 ( 2)nna a n?， na 是等比数列 . 当 1n? 时， 1 1 122a S a? ? ?， 1 2a? ， 数列 na 的通项公式为 12 2 2nnna ? ? ? . 2 3 3 8b b a? ? ? ， 4 5 4 16b b a? ? ? ， 7 设公差为 d ，则 112 3 82
14、7 16bdbd? ?， 1 1b? ， 2d? ，数列 nb 的通项公式为 1 2( 1) 2 1nb n n? ? ? ? ?. （ 2）由（ 1）得11nnnbc a? 121()22nnn n? ? ? ， 12nnT c c c? ? ? 1 2 31 1 11 ( ) 2 ( ) 3 ( )2 2 2? ? ? ? ? ?1()2 nn? ? ， 12nT? 23111 ( ) 2 ( )22? ? ? ? 111( 1) ( ) ( )22nnnn ? ? ? ? ?， -得 12nT? 2341 1 1 1 ( ) ( ) ( )2 2 2 2? ? ? ? 111( ) (
15、)22nnn ? ? ?1111 ( )122 ()1 212nnn ? ? ?， 22 2n nnT ?. 20.证明：（ 1）四边形 ABCD 是正方形， AD DC? ， AD DE? ， DC DE D? ， AD? 平面 CDEF ， AD? 平面 ABCD ，平面 ABCD? 平面 CDEF . （ 2）过点 E 作 EO DC? 于 O ，由（ 1）知 EO? 平面 ABCD ， 四边形 CDEF 是等腰梯形， 60CDE?， 12EF CD? ， 4CD? ， 1DO? ， 3EO? . 作 /OM DA ，以 O 为坐标原点，分别以射线 OM 、 OC 、 OE 为 x 、
16、y 、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz? ， (0,0,0)O ， ( 4, 1,0)A? ， (4,3,0)B ， (0,3,0)C ， (0,2, 3)F . (4,0,0)CB? ， (0, 1, 3)CF ? . 设平面 CBF 的一个法向量 ( , , )m x y z? ， 8 则 00m CBm CF? ?，即 4030xyz? ? ?，令 1z? ， (0, 3,1)m? ， 又 ( 4,4,0)AC ? ， ( 4,3, 3)AF ? ， 同理得平面 ACF 的一个法向量 3(1,1, )3n? ， cos , mnmnmn? ?432737743?， 故二面
17、角 A CF B?的余弦值为 277 . 21.解：（ 1）当 0 40x? 时， 2( ) 5 1 0 0 1 0 1 0 0 2 5 0 0L x x x x? ? ? ? ?20 400 2500xx? ? ? ?； 当 40x? 时， 10000( ) 5 1 0 0 5 0 1L x x x x? ? ? ? 100004 5 0 0 2 5 0 0 2 0 0 0 ( )x x? ? ? ? ?； 21 0 4 0 0 2 5 0 0 , 0 4 0() 100002 0 0 0 ( ) , 4 0x x xLx xxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. （ 2）当 0 40x? 时， 2( ) 1 0 ( 2 0 ) 1 5 0 0L x x? ? ? ?， 当 20x? 时， m ax( ) (20) 1500L x L?； 当 40x? 时， 10000( ) 2 0 0 0 ( )L x x x? ? ? 100002000 2 x x? ? ? 2000 200 1800? ? ?， 9 当且仅当 10000x x? ，即 100x? 时， m a x( ) (1 0 0 ) 1 8 0 0 1 5 0
