1、1第1讲选择题、填空题的解法2-3-高考选择、填空题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现利用基础知识深度考基础考能力的导向;使作为中低档题的选择、填空题成为具备较佳区分度的基本题型.因此能否在选择、填空题上获取高分,对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本策略是准确、迅速.(1)解题策略:小题巧解,不需“小题大做”,在准确、迅速、合理、简洁的原则下,充分利用题设和选择支这两方面提供的信息作出判断.先定性后定量,先特殊后一般,先间接后直接,多种思路选最简.对于选择题可先排除后求解,既熟悉通法又结合选项支中的暗示及知识能力,运用特例法、筛选法、图解法等技巧求解.(2)解决方法:主
2、要分直接法和间接法两大类,具体方法为:直接法,特值、特例法,筛选法,数形结合法,等价转化法,构造法,代入法等.-4-方法一直接法直接法,就是直接从题设的条件出发,运用有关的概念、性质、公理、定理、法则和公式等,通过严密的推理和准确的计算,对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择.多用于涉及概念、性质的辨析或运算较简单的定性题目.-5-例1(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当0 x1时,f(x)=x2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 019)=()A.2 019B.0C.1D.-1A.(-1,+)B.(-1,3)C.(0,+)D.(0,3)答案(1
3、)B(2)A 解析(1)由f(x+4)=-f(x+2)=f(x),得f(x)的周期为4.又f(x)为奇函数,f(1)=1,f(2)=-f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,f(4)=f(0)=0,即f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(2 019)=505f(1)+f(2)+f(3)+f(4)-f(4)=0,故选B.-6-7-8-答案 (1)C(2)D-9-方法二特值、特例法特值、特例法是在题设普遍条件都成立的情况下,用特殊值(取得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,从而“小题小做”
4、或“小题巧做”.当题目已知条件中含有某些不确定的量时,可将题目中变化的不定量选取一些符合条件的特殊值(或特殊函数,特殊角,特殊数列,特殊图形,图形特殊位置,特殊点,特殊方程,特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.-10-例2如图所示,在ABCD中,APBD,垂足为P,且AP=3,答案解析解析关闭 答案解析关闭-11-答案解析解析关闭 答案解析关闭-12-方法三等价转化法例3(1)已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则点A到抛物线的准线的距离为()A.6B.5C.4D.3-13-答案
5、(1)A(2)C解析(1)由题意得,抛物线y2=8x的准线方程为l:x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0).如图,过A,B分别作AMl于M,BNl于N,连接OB,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点,连接OB,则|OB|=|AF|,-14-15-对点训练3在四面体P-ABC中,ABC为等边三角形,边长为3,PA=3,PB=4,PC=5,则四面体P-ABC的体积为()答案 C解析 如图,延长CA至D,使得AD=3,连接DB,PD,因为AD=AB=3,故ADB为等腰三角形.又DAB=180-CAB=120,故ADB=(180-120)=30,所以ADB+D
6、CB=90,即DBC=90,故CBDB.因为PB=4,PC=5,BC=3,所以PC2=PB2+BC2,所以CBPB.因为DBPB=B,DB平面PBD,PB平面PBD,所以CB平面PBD.-16-17-方法四数形结合法 答案解析解析关闭 答案解析关闭-18-对点训练4(1)已知函数 若存在实数a,b,c,满足f(a)=f(b)=f(c),其中cba,则(a+b)f(c)的取值范围是()A.(24,36)B.(48,54)C.(24,27)D.(48,+)(2)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,l与x轴的交点为P,点A在抛物线C上,过点A作AAl,垂足为A.若四边形AAPF的
7、面积为14,且cosFAA=,则抛物线C的方程为()A.y2=8xB.y2=4xC.y2=2xD.y2=x答案(1)B(2)B-19-20-21-方法五构造法利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型,从而简化推理与计算过程,使较复杂的数学问题得到简捷的解决.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的,从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感,构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型,使问题得到快速解决.-22-例5(1)已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于点(1,0)成中心对称,其导函数为f(x),当x0,则不等式xf(x+1)f(2)的解集为.A.abcB.bacC.cbaD.bca-
8、23-答案 (1)(-,-1)(1,+)(2)B解析(1)设g(x)=(x-1)f(x),当x1时,x-10,g(x)=f(x)+(x-1)f(x)f(2)h(x)h(1),即|x|1,解得x1或x-1.-24-25-对点训练5(1)在ABC中,ABBC,BA=BC=2 ,BD是边AC上的高,沿BD将ABD折起,当三棱锥A-BCD的体积最大时,该三棱锥外接球的表面积为()A.12B.24C.36D.48(2)定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),若f(x)0时,x+2,当且仅当x=1时取“=”,当x=1时,2xcos x2,故方程无解,故B错误;对于C,问题等价于方程x=2cos x有3
9、个解,作出函数y=x,y=2cos x的图象,可知方程只有1个解,故C错误;对于D,f(x)=2x-2(cos x-xsin x)=2x(1+sin x)(2)因为在函数y=2|x|sin 2x中,y1=2|x|为偶函数,y2=sin 2x为奇函数,所以y=2|x|sin 2x为奇函数.所以排除选项A,B.当x=0,x=,x=时,sin 2x=0,故函数y=2|x|sin 2x在0,上有3个零点,排除选项C,故选D.-31-对点训练6已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是()答案解析解析关闭由图象知,f(0)=1且f(2)0,不合题意.故选C.答案解析关闭C-32-1.解选择
10、题、填空题的基本方法比较多,但大部分选择题、填空题的解法是直接法,在解题时要根据题意灵活运用上述一种或几种方法“巧解”,在“小题小做”“小题巧做”上做文章,切忌盲目地采用直接法.2.由于选择题供选选项多、信息量大、正误混杂、迷惑性强,稍不留心就会误入“陷阱”,应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证,既谨慎选择,又大胆跳跃.3.解填空题不要求求解过程,从而结论是判断正确的唯一标准,因此解填空题时要注意以下几个方面:(1)要认真审题,明确要求,思维严谨、周密,计算要准确;(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论;(3)要重视对所求结果的检验.4.作为平时训练,解完一道题后,还应考虑一下能不能
11、用其他方法进行“巧算”,并注意及时总结,这样才能有效地提高解选择题的能力.第2讲函数与方程思想33-34-函数与方程思想,渗透到中学数学的各个领域,是历年高考考查的重点和热点.一般通过函数与导数、三角函数、数列及解析几何等知识从知识运用的交汇处,从思想方法和相关能力的结合处进行考查.-35-1.函数的思想:是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.2.方程的思想:就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转
12、化问题,使问题获得解决.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.3.函数思想与方程思想的联系:函数思想与方程思想密切相关,对于函数y=f(x),当y=0时,转化为方程f(x)=0,也可以把函数y=f(x)看作二元方程y-f(x)=0.函数与方程的问题可相互转化.求方程f(x)=0的解就是求函数y=f(x)的零点.求方程f(x)=g(x)的解的问题,可以转化为求函数y=f(x)-g(x)与x轴的交点问题.-36-应用一函数思想与方程思想的转换例1设函数f(x)=,g(x)=ax2+bx(a,bR,a0),若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2
13、,y2),则下列判断正确的是()A.当a0时,x1+x20B.当a0,y1+y20时,x1+x20,y1+y20时,x1+x20,y1+y20 答案解析解析关闭 答案解析关闭-37-思维升华 求两个函数f(x),g(x)图象的交点问题通常转化为求函数F(x)=f(x)-g(x)的零点问题.而函数F(x)的零点问题也可以转化为两个函数的交点问题.-38-对点训练1(2019湖南怀化高三一模,文12)已知函数f(x)=|ln x|-ax(x0,0a1)的两个零点为x1,x2,则()A.0 x1x21B.x1x2=1C.1x1x2e 答案解析解析关闭 答案解析关闭-39-应用二函数与方程思想在解三角
14、形中的应用例2为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求ACB=60,BC的长度大于1 m,且AC比AB长 m,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为()答案解析解析关闭 答案解析关闭-40-思维升华 函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题(不一定只是函数问题),构造函数解题是函数思想的一种主要体现.方程思想的本质是根据已知得出方程(组),通过解方程(组)解决问题.-41-答案解析解析关闭 答案解析关闭-42-应用三函数与方程思想在不等式中的应用 答案解析解析关闭 答案解析关闭-43-思维升华 1.在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解
15、决问题.2.函数f(x)0或f(x)0或f(x)max0),从而g(x)=f(x0)(x-x0)+f(x0)(x00).记p(x)=f(x)-g(x),则p(x)=f(x)-f(x0)-f(x0)(x-x0)在(0,+)上为单调增函数,所以p(x)=f(x)-f(x0)0在(0,+)上恒成立,-50-(2)假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点T1(x1,y1),T2(x2,y2),不妨设0 x1p(1)=0.从而式不可能成立,所以假设不成立,从而不存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点.-52-思维升华 本题第二步是通过假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的
16、切点T1(x1,y1),T2(x2,y2),分别写出T1,T2处的切线方程l1,l2,消去一个变量x2,根据方程构造函数,利用导数研究函数的最小值大于零,否定假设,得出结论.根据导数的几何意义求解参数,一般都是解方程,构造新函数,然后利用导数研究函数的最值、极值等.-53-对点训练5(2019湖北高三调研,文12)已知函数的图象上存在两个点关于y轴对称,则实数m的取值范围为()A.(1,+)B.(2,+)C.(1,2)D.(0,1)答案解析解析关闭 答案解析关闭-54-函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:(1)借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范
17、围等问题;(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数,把研究的问题化为讨论函数的有关性质,达到化难为易、化繁为简的目的.第3讲分类讨论思想55-56-从近五年高考试题来看,分类讨论思想在高考试题中频繁出现,现已成为高考数学的一个热点,也是高考的难点.高考中经常会有几道题,解题思路直接依赖于分类讨论,特别在解答题中(尤其导数与函数)常有一道分类讨论求解的把关题,选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论题.-57-1.分类讨论的思想含义分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的结果.
18、实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略.2.分类讨论的原则(1)不重不漏;(2)标准要统一,层次要分明;(3)能不分类的要尽量避免,决不无原则地讨论.3.分类讨论的常见类型(1)由数学概念而引起的分类讨论;(2)由数学运算要求而引起的分类讨论;(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论;(5)由参数的变化而引起的分类讨论;(6)由实际意义引起的讨论.-58-应用一由数的概念引起的分类讨论 答案解析解析关闭 答案解析关闭-59-答案解析解析关闭 答案解析关闭-60-应用二由数学运算、性质、定理、公式引起的分类讨论例2设等比数列a
19、n的前n项和为Sn.若S3+S6=2S9,则数列的公比q是()答案解析解析关闭 答案解析关闭-61-思维升华 1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除以一个数时,这个数能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数,这个数是零、是正数还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.-62-对点训练2(2019湖南高三高考
20、冲刺预测卷,理9)已知抛物线x2=2y上一点P到焦点F的距离为1,M,N是直线y=2上的两点,且|MN|=2,MNP的周长是6,则sinMPN=()答案解析解析关闭 答案解析关闭-63-应用三根据字母的取值情况分类例3(2019安徽皖西南名校高三联考,理21)已知函数f(x)=ex,g(x)=2asin x-be-x(a,bR).(1)当a=0时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的极小值点;(2)当b=-1时,若f(x)g(x)对一切x(0,)恒成立,求实数a的取值范围.-64-65-(2)当b=-1时,f(x)g(x)可化为ex2asin x+e-x,即ex-e-x-2asin x0.令p
21、(x)=ex-e-x-2asin x.当a0时,对于一切x(0,),有ex-e-x0,-2asin x0,所以p(x)0恒成立.下面考虑a0时的情况.p(x)=ex+e-x-2acos x.当019时,y=3 800+500(x-19)=500 x-5 700.所以y与x的函数解析式为(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.-96-97-审题指导 把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大.(1)当n=19时,探求y与x的函数解析式,由于机器使用前额外购买这种零件的价格与机器使用期间再购买这种零件的价格不同,需对1台机器
22、在三年使用期内需更换的易损零件数x与购机的同时购买的易损零件数n=19加以比较,自然应用分类讨论思想对x19与x19,分别探求y与x的函数解析式;(2)本题的统计图表不是高频考查的频率分布直方图,而是统计图表中的柱状图;(3)许多考生没有读懂题意,本问是判断购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件,而判断的决策依据是:这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,为此需计算两种方案时的平均数.每一种方案,如何求解其平均数呢?自然借助于柱状图!-98-六、审结论善转换结论是解题的最终目标,解决问题的思维在很多情形下都是在目标意识下启动和定向的.审视结论是要探索已知条件和结论间的联系与转
23、化规律,可以从结论中捕捉解题信息,确定解题方向.有些问题的结论看似不明确或不利于解决,我们可以转换角度,达到解决问题的目的.-99-例6(2019黑龙江高三模拟,文17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AC,BB1的中点.(1)证明:BD平面AEC1;(2)若这个三棱柱的底面是边长为2的等边三角形,侧面都是正方形,求五面体AEB1C1A1的体积.-100-(1)证明 设AC1的中点为F,连接DF,EF.D,F分别为AC,AC1的中点,DFBE且DF=BE,BEFD为平行四边形.BDEF.EF平面AEC1,BD平面AEC1,BD平面AEC1.-101-(2)解法一 取A1B1的
24、中点O,连接C1O,A1B1C1为等边三角形,C1OA1B1.侧面是正方形,BB1A1B1,BB1B1C1.又A1B1,B1C1平面A1B1C1,且A1B1B1C1=B1,BB1平面A1B1C1.C1O平面A1B1C1,C1OBB1.-102-解法二 取BC的中点H,连接AH,ABC为等边三角形,AHBC.侧面都是正方形,BB1AB,BB1BC.AB,BC平面ABC,且ABBC=B,BB1平面ABC.AH平面ABC,AHBB1.BCBB1=B,AH平面BB1C1C.-103-审题指导(1)条件出现D,E分别是AC,BB1的中点,联想构造中位线,转化为证明线线平行,取AC1的中点F,要证明BDE
25、F,只需证明BEFD为平行四边形,从而证明DFBE且DF=BE,然后再由线面平行的判定定理可得结论成立.(2)方法一:要求五面体AEB1C1A1的体积,需辨别出该五面体是以C1为顶点以AEB1A1为底面的四棱锥,进而问题转化为求四棱锥的高.此时需寻求底面AEB1A1的高,通过A1B1C1为等边三角形,侧面是正方形,和线面垂直判定定理,证明C1O为四棱锥C1-AEB1A1的高.进而求得四棱锥C1-AEB1A1的体积.方法二:看不出五面体的规则的几何体时,则考虑利用分割、补形的方法转化为规则的几何体的体积和或差求解.本题将几何体C1-AEB1A1分割为三棱柱ABC-A1B1C和四棱锥A-BEC1C
26、,转化为分别求三棱柱ABC-A1B1C1和四棱锥A-BEC1C的体积,然后利用面面垂直求得四棱锥A-BEC1C的高,进而求几何体C1-AEB1A1的体积.-104-七、审已知与结论建联系高考试题的条件和结论是两个信息源,其条件和结论很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.弄清问题不仅要弄清条件,弄清结论,还要弄清条件与所求结论的相互联系,以求手段与目标的统一.-105-例7在ABC中,若bc=3,a=2,则ABC的外接圆的面积的最小值为.答案解析解析关闭 答案解析关闭-106-审题指导求ABC的外接圆的面积的最小值,即求外接圆半径的最小值,需要用某一变量表示半径R.联系条件给出的bc=3,a
27、=2,显然由正弦定理得2R=,这就需要求变量sin A的范围.bc=3与余弦定理有关,且还需要与A有联系,4=b2+c2-2bccos A2bc-2bccos A=6(1-cos A).-107-1.试题的条件和结论是解题的两个信息源,题目的条件对于得出结论是充分的,解题的钥匙就放在题目的条件里,其中的许多信息常常是通过语言文字、公式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们,所以,审题要逐字逐句看清楚,力求从语法结构、逻辑关系、数字含义、条件特征、答题形式、数据联系等各方面真正弄懂题意.只有细致审题才能挖掘出来,避免发生会而不对、对而不全的现象.欲速则不达,审题不要怕慢!当然这有待于平时的审题训练
28、.2.审题决定成败.审题是解题的一个重要步骤,通过审题收集信息、加工信息,熟悉题目并深入到题目内部去思考、去分析,我们就会找到问题解决的突破口.第5讲转化化归思想108-109-转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.-110-1.转化与化归思想的含义转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种思想方法.2.转化与化归的原则(1)熟悉
29、化原则;(2)简单化原则;(3)直观化原则;(4)正难则反原则;(5)等价性原则.3.常见的转化与化归的方法(1)直接转化法;(2)换元法;(3)数形结合法;(4)构造法;(5)坐标法;(6)类比法;(7)特殊化方法;(8)等价问题法;(9)补集法;(10)参数法.-111-应用一特殊与一般化 答案解析解析关闭 答案解析关闭-112-思维升华 1.当问题难以入手时,应先对特殊情形进行观察、分析,发现问题中特殊的数量或关系,再推广到一般情形,以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡,这就是特殊化的化归策略.2.数学题目有的具有一般性,有的具有特殊性,解题时,有时需要把一般问题化归为特殊问题,
30、有时需要把特殊问题化归为一般问题.-113-对点训练1在定圆C:x2+y2=4内过点P(-1,1)作两条互相垂直的直线与C分别交于A,B和M,N,则 的取值范围是.答案解析解析关闭 答案解析关闭-114-应用二命题等价化例2设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,求a的取值范围.而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.显然,当a0时,满足不等式g(x)x恒成立,则实数m的取值范围是()答案解析解析关闭 答案解析关闭-120-应用三特殊与
31、一般化例3已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,其中f(x)是f(x)的导函数.对满足-1a1的一切a的值,都有g(x)0,则实数x的取值范围为.答案解析解析关闭 答案解析关闭-121-思维升华 在处理多变量的数学问题中,在常量(或参数)在某一范围取值的前提下求变量x的范围时,经常进行常量与变量之间的转化,即可以选取其中的参数,将其看做是变量,而把变量看做是常量,从而达到简化运算的目的.-122-对点训练3设f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-ax-x2)f(2-a)对任意a-1,1恒成立,则x的取值范围为.答案解析解析关闭 答案解析关闭-123-应用四函数、方
32、程、不等式之间的转化答案 t1,都有f(x+t)3ex,求m的最大值.-128-解 因为当t-1,+),且x1,m时,x+t0,所以f(x+t)3exex+text1+ln x-x.所以原命题等价转化为:存在实数t-1,+),使得不等式t1+ln x-x对任意x1,m恒成立.令h(x)=1+ln x-x(x1).因为h(x)=-10,所以函数h(x)在1,+)内为减函数.又x1,m,所以h(x)min=h(m)=1+ln m-m.所以要使得对任意x1,m,t值恒存在,只需1+ln m-m-1.且函数h(x)在1,+)内为减函数,所以满足条件的最大整数m的值为3.-129-1.在应用化归与转化的
33、思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式,它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换.2.转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数和解三角形中,主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用),角度的转化,函数的转化,通过正弦、余弦定理实现边角关系的相互转化.(2)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化.(3)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.(4)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题,转化为由其导函数f(x)构成的方程、不等式问题求解.-130-
34、应用五正难则反的转化例5(2019河北井陉二中高三模拟,文5)若对于任意t1,2,函数 在区间(t,3)上总不为单调函数,则实数m的取值范围是.答案解析解析关闭 答案解析关闭-131-思维升华 否定性命题,常要利用正反的相互转化,先从正面求解,再取正面答案的补集即可.一般地,题目若出现多种成立的情形,则不成立的情形相对很少,从反面考虑较简单.因此,间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.-132-对点训练5(2019河北枣强中学六模,理14)安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目,每人只参加一个项目,每个项目都有人参加.若甲、乙2人不能参加同一个项目,则不同的安排方案的种数为
35、.(用数字作答)答案解析解析关闭 答案解析关闭第6讲数形结合思想133-134-数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,在高考试题中,数形结合思想主要用于解选择题和填空题,有直观、简单、快捷等特点;而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,图形只是辅助手段,最终要用“数”写出完整的解答过程.-135-136-应用一利用数形结合求与方程有关的问题例1(2019山西太原高三二模,文12)已知函数A.3B.4C.5D.6 答案解析解析关闭 答案解析关闭-137-思维升华 讨论方程的解(或函数的零点)的个数一般可构造两个函数,转化为讨论两曲线(或曲线与直线等)的交点个数,其基本步骤是先把方程两
36、边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),再在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数.-138-对点训练1(2019湖南衡阳八中高三,文9)已知函数f(x)为R上的偶函数,且当x0时,f(x)=|x2-2x|,函数g(x)=f(x)3-(b+1)f(x)2+bf(x),b(0,1),则函数g(x)的零点的个数是()A.10 B.11C.12 D.13 答案解析解析关闭 答案解析关闭-139-应用二利用数形结合思想求参数的范围或解不等式例2已知函数 若不等式f(x)5-mx恒成立,则实数m的取值范围是.答案
37、解析解析关闭 答案解析关闭-140-思维升华 在解含有参数的不等式时,由于涉及参数,往往需要讨论,导致演算过程烦琐冗长.如果题设与几何图形有联系,那么利用数形结合的方法,问题将会简练地得到解决.-141-答案解析解析关闭 答案解析关闭-142-应用三数形结合思想在解析几何中的应用 答案解析解析关闭 答案解析关闭-143-思维升华 1.如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,那么就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即用几何法求解,比较常见的有:2.解析几何中的一些范围及最值问题,常结合几何图形的性质,使问题得到简便快捷地解决.-144-对点训练3(2019四川绵阳高三三诊,理11)已知抛物线
38、C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点,若在以线段AB为直径的圆上存在两点M、N,在直线l:x+y+a=0上存在一点Q,使得MQN=90,则实数a的取值范围为()A.-13,3B.-3,1C.-3,13D.-13,13答案 A-145-解析 过点F(1,0)且斜率为1的直线方程为y=x-1.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,y1+y2=x1+x2-2=4.AB的中点坐标为(3,2),|AB|=x1+x2+p=8,所以以线段AB为直径的圆D:(x-3)2+(y-2)2=16,圆心D为(3,2),半径r=4,因为在圆C上存在两点M,N,在直线
39、l上存在一点Q,使得MQN=90,所以在直线l上存在一点Q,使得Q到D(3,2)的距离等于-146-方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面:(1)解方程或解不等式;(2)含参数的方程或不等式的讨论,常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用;(3)需要转化为方程的讨论,如曲线的位置关系等;(4)构造方程或不等式求解问题.第7讲 考前指导147-148-一二一、高考数学中最容易丢分的32个知识点1.遗忘空集致误由于空集是任何非空集合的真子集,因此当B=时也满足BA.解含有参数的集合问题时,要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况.2.忽视
40、集合元素的“三性”致误集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,集合元素的“三性”中互异性对解题的影响最大,特别是含有字母参数的集合,实际上就隐含着对字母参数的一些要求.3.混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念,命题p的否定是否定命题所作的判断,而“否命题”是对“若p,则q”形式的命题而言,既要否定条件也要否定结论.-149-一二4.充分条件、必要条件颠倒致误对于两个条件A,B,若AB成立,则A是B的充分条件,B是A的必要条件;若BA成立,则A是B的必要条件,B是A的充分条件;若AB,则A,B互为充分必要条件.解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性,所以在解
41、决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断.5.“或”“且”“非”理解不准确致误命题pq真p真或q真,命题pq假p假且q假(概括为一真即真);命题pq真p真且q真,命题pq假p假或q假(概括为一假即假);非p真p假,非p假p真(概括为一真一假).求参数取值范围的题目,也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解,通过集合的运算求解.-150-一二6.函数的单调区间理解不准致误在研究函数问题时,要时时刻刻想到“函数的图象”,学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法.对于函数的几个不同的递增(减)区间,切忌使用并集,只要指明这几个区间是该函数的递增(
42、减)区间即可.7.判断函数奇偶性忽略定义域致误判断函数的奇偶性,首先要考虑函数的定义域,一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称,如果不具备这个条件,那么函数一定是非奇非偶函数.-151-一二8.函数零点存在性定理使用不当致误如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续的曲线,并且有f(a)f(b)0时,不能否定函数y=f(x)在(a,b)内有零点.函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”,对于“不变号零点”函数的零点存在性定理是“无能为力”的,在解决函数的零点问题时要注意这个问题.9.复数的概念不清致误对于复数a+bi(a,bR),a叫做实部,b叫做虚部.当且仅当b=
43、0时,复数a+bi(a,bR)是实数a;当b0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0,且b0时,z=bi叫做纯虚数.解决复数概念类试题,要仔细区分以上概念差别,防止出错.另外,i2=-1是实现实数与虚数互化的桥梁,要适时进行转化,解题时极易丢掉“-”而出错.-152-一二10.忽视零向量致误零向量是向量中最特殊的向量,规定零向量的长度为0,其方向是任意的,零向量与任意向量都共线.它在向量中的位置正如实数中0的位置一样,但有了它容易引起一些混淆,稍微考虑不到就会出错,考生应给予足够的重视.11.向量夹角范围不清致误解题时要全面考虑问题.数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素,能不能在解题
44、时把这些因素考虑到,是解题成功的关键,如当ab0时,a与b的夹角不一定为钝角,要注意=的情况.-153-一二12.an与Sn关系不清致误在数列问题中,数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系:当n=1时,a1=S1;当n2时,an=Sn-Sn-1.这个关系对任意数列都是成立的,但要注意的是这个关系式是分段的,在n=1和n2时这个关系式具有完全不同的表现形式,这也是解题中经常出错的一个地方,在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点.13.对数列的定义、性质理解错误等差数列的前n项和在公差不为零时是关于n的常数项为零的二次函数.一般地,有结论“若数列an的前n项和Sn=an2+bn+c(
45、a,b,cR),则数列an为等差数列的充要条件是c=0”;在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(mN*)是等差数列.-154-一二14.数列中的最值错误在数列问题中,其通项公式、前n项和公式都是关于正整数n的函数,要善于从函数的观点认识和理解数列问题.数列的通项an与其前n项和Sn的关系是高考的命题重点,解题时要注意先把n=1和n2分开讨论,再看能不能统一.在关于正整数n的二次函数中,其取最值的点要根据正整数距离二次函数图象的对称轴的远近而定.15.错位相减求和处理不当致误错位相减求和法的适用条件:数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的,求其前n项和,基本方法是设这
46、个和式为Sn,在这个和式两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式,这两个和式错一位相减,就把问题转化为以求一个等比数列的前n项和或前n-1项和为主的求和问题.这里最容易出现问题的就是错位相减后对剩余项的处理.-155-一二16.不等式性质应用不当致误在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要准确,特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数(式)、两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时,一定要注意使其能够成立的条件,如果忽视了不等式性质成立的前提条件就会出现错误.17.忽视基本不等式应用条件致误-156-一二18.不等式恒成立问题致误解决不等式恒成立问题的常规求法是:借助相应函数的单调性求解,
47、其中的主要方法有数形结合法、变量分离法、主元法.通过最值产生结论.应注意恒成立与存在性问题的区别,如对任意xa,b都有f(x)g(x)成立,即f(x)-g(x)0的恒成立问题,但对存在xa,b,使f(x)g(x)成立,则为存在性问题,即f(x)ming(x)max,应特别注意两函数的最大值与最小值的关系.19.忽视三视图中的实、虚线致误三视图是根据正投影原理进行绘制,严格按照“长对正,高平齐,宽相等”的规则去画,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的原分界线,且分界线和可视轮廓线都用实线画出,不可见的轮廓线用虚线画出,这一点很容易疏忽.-157-一二20.面积体积计算转化不灵活致误面积、体
48、积的计算既需要学生有扎实的基础知识,又要用到一些重要的思想方法,是高考考查的重要题型.因此要熟练掌握以下几种常用的思想方法:(1)还台为锥的思想:这是处理台体时常用的思想方法.(2)割补法:求不规则图形面积或几何体体积时常用.(3)等积变换法:充分利用三棱锥的任意一个面都可作为底面的特点,灵活求解三棱锥的体积.(4)截面法:尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合问题,常画出轴截面进行分析求解.21.随意推广平面几何中结论致误平面几何中有些概念和性质,推广到空间中不一定成立.例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立.-158-一二22
49、.对折叠与展开问题认识不清致误折叠与展开是立体几何中的常用思想方法,此类问题注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量,不仅要注意哪些变了,哪些没变,还要注意位置关系的变化.23.点、线、面位置关系不清致误关于空间点、线、面位置关系的组合判断类试题是高考全面考查考生对空间位置关系的判定和性质掌握程度的理想题型,历来受到命题者的青睐,解决这类问题的基本思路有两个:一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断;二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断,但要注意定理应用准确,考虑问题全面细致.-159-一二24.忽视斜率不存在致误在解决两直线平行的相关问
50、题时,若利用l1l2k1=k2来求解,则要注意其前提条件是两直线不重合且斜率存在.如果忽略k1,k2不存在的情况,就会导致错解.这类问题也可以利用如下的结论求解,即直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0平行的必要条件是A1B2-A2B1=0,在求出具体数值后代入检验,看看两条直线是不是重合,从而确定问题的答案.对于解决两直线垂直的相关问题时也有类似的情况.利用l1l2k1k2=-1时,要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在.利用直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0,就可以避免讨论.-160-一二2
