1、 【课标要求】 1.理解 n 次独立重复试验的模型. 2.理解二项分布. 3.能利用独立重复试验模型及二项分布解决一些简单的实际问 题. 自主学习自主学习 基础认识基础认识 1独立重复试验 一般地，在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试 验 2二项分布 前提 在 n 次独立重复试验中 X 事件 A 发生的次数 字母的 含义 p 每次试验中事件 A 发生的概率 分布列 P(Xk)Ck np k(1p)nk，k0,1,2，n 结论 随机变量 X 服从二项分布 记法 记作 XB(n，p)，并称 p 为成功概率 |自我尝试自我尝试| 1 判断下列命题是否正确 (正确的打“”， 错误的打
2、“”) (1)独立重复试验每次试验之间是相互独立的( ) (2)独立重复试验每次试验只有发生与不发生两种结果( ) (3)独立重复试验每次试验发生的机会是均等的( ) (4)独立重复试验各次试验发生的事件是互斥的( ) 2某学生通过英语听力测试的概率为1 3，他连续测试 3 次，那 么其中恰有 1 次获得通过的概率是( ) A.4 9 B. 2 9 C. 4 27 D. 2 27 解析：记“恰有 1 次获得通过”为事件 A， 则 P(A)C1 3 1 3 11 3 24 9. 答案：A 3已知随机变量 B 6，1 3 ，则 P(2)( ) A. 3 16 B. 4 243 C. 13 243
3、D. 80 243 解析：P(2)C2 6 1 3 2 11 3 4 80 243. 答案：D 4某射手每次射击击中目标的概率是2 3，且各次射击的结果互 不影响假设这名射手射击 5 次，则恰有 2 次击中目标的概率为 _ 解析：设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数， 则 X 5，2 3 ， 在 5 次射击中，恰有 2 次击中目标的概率为： P(X2)C2 5 2 3 2 12 3 3 40 243. 答案： 40 243 课堂探究 互动讲练 类型一 n 次独立重复试验 例 1 某气象站天气预报的准确率为 80%，计算：(结果保留 到小数点后第 2 位) (1)“5 次预报中恰有 2
4、次准确”的概率； (2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的概率 【解析】 (1)记“预报一次准确”为事件 A，则 P(A)0.8. 5 次预报相当于 5 次独立重复试验 “恰有 2 次准确”的概率为 PC2 50.8 20.230.051 20.05， 因此 5 次预报中恰有 2 次准确的概率约为 0.05. (2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的对立事件为“5 次预报全 部不准确或只有 1 次准确”，其概率为 PC0 50.2 5C1 50.80.2 40.006 72. 所以所求概率为 1P10.006 720.99. 所以“5 次预报中至少有 2 次准确”的概率约为 0.99. 方
5、法归纳 (1)运用 n 次独立重复试验的概率公式求概率， 首先要分析问题 中涉及的试验是否为 n 次独立重复试验，若不符合条件，则不能应 用公式求解 (2)在解题时，还要注意“正难则反”思想的运用，即利用对立 事件来求其概率. 跟踪训练 1 若本题的条件不变， 求 5 次预报中恰有 2 次准确， 且其中第 3 次预报准确的概率 解析：依题意得第 1,2,4,5 次中恰有 1 次准确 所以概率为 C1 40.80.2 30.80.020 480.02. 所以 5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率 约为 0.02. 类型二 二项分布 例 2 现在一淘宝店卖高级口香糖，10
6、元钱三瓶，有 8 种口 味供你选择(其中有一种为草莓口味)小王点击进入网页一看，只 见有很多包装完全相同的瓶装高级口香糖排在一起，看不见具体口 味，由购买者随机点击进行选择(各种口味的高级口香糖均超过 3 瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相 应的口香糖) (1)小王花 10 元钱买三瓶，请问小王共有多少种选择方式？ (2)小王花 10 元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小 王喜欢的草莓口味的高级口香糖瓶数 的分布列 【解析】 (1)若三瓶口味均不一样，有 C3 856(种)；若其中两 瓶口味一样，有 C1 8C 1 756(种)；若三瓶口味一样，有 8 种所以小
7、王共有 56568120(种)选择方式 (2) 的取值为 0,1,2,3.由于各种口味的高级口香糖均超过 3 瓶， 且各种口味的瓶数相同，有 8 种口味，所以小王随机点击一次获得 草莓口味的高级口香糖的概率均为1 8. 故随机变量 服从二项分布即 B 3，1 8 . P(0)C0 3 1 8 0 11 8 3343 512， P(1)C1 3 1 8 1 11 8 2147 512， P(2)C2 3 1 8 2 11 8 1 21 512， P(3)C3 3 1 8 3 11 8 0 1 512. 所以 的分布列为 0 1 2 3 P 343 512 147 512 21 512 1 512
8、 方法归纳 利用二项分布来解决实际问题的关键是建立二项分布模型，解 决这类问题时要看它是否为 n 次独立重复试验，随机变量是否为在 这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量 才服从二项分布. 跟踪训练 2 如果袋中有 6 个红球，4 个白球，从中任取 1 个 球，记住颜色后放回，连续抽取 4 次，设 X 为取得红球的次数求 X 的概率分布列 解析：采用有放回的取球，每次取得红球的概率都相等，均为 3 5，取得红球次数 X 可能取的值为 0,1,2,3,4. 由以上分析，知随机变量 X 服从二项分布， P(Xk)Ck 4 3 5 k 13 5 4k(k0,1,2,3,4)
9、随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 16 625 96 625 216 625 216 625 81 625 类型三 二项分布的实际应用 例 3 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品 后即可抽奖每次抽奖都是从装有 4 个红球，6 个白球的甲箱和装 有 5 个红球，5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖； 若没有红球，则不获奖 (1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； (2)若某顾客有 3 次抽奖机会， 记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖 的次数为 X，求 X 的分布列 【解析】 (1)记事件
10、 A1从甲箱中摸出的 1 个球是红球， A2从乙箱中摸出的 1 个球是红球， B1顾客抽奖 1 次获一等奖， B2顾客抽奖 1 次获二等奖， C顾客抽奖 1 次能获奖 由题意，A1与 A2相互独立，A1A 2 与A 1A2 互斥，B1与 B2互斥， 且 B1A1A2，B2(A1A 2)(A1A2)，CB1B2. 因为 P(A1) 4 10 2 5，P(A2) 5 10 1 2， 所以 P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)2 5 1 2 1 5， P(B2)P(A1A 2)(A1A2)P(A1 A 2)P(A1A2) P(A1)P(A 2)P(A1)P(A2) P(A1)1P(A2)1P
11、(A1)P(A2) 2 5 11 2 12 5 1 2 1 2. 故所求概率为 P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2)1 5 1 2 7 10. (2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验， 由(1)知， 顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为1 5，所以 XB 3，1 5 . 于是 P(X0)C0 3 1 5 0 4 5 3 64 125，P(X1)C 1 3 1 5 1 4 5 2 48 125， P(X2)C2 3 1 5 2 4 5 1 12 125，P(X3)C 3 3 1 5 3 4 5 0 1 125. 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 64 125 48 125
12、12 125 1 125 方法归纳 恰当应用常见的分布列模型可以简化概率计算，此种方法在求 解较复杂的实际问题时可以帮助快速解题而识别二项分布时，一 定要根据题意明确 n，p，k 的值. 跟踪训练 3 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简 称系统)A 和 B， 系统 A 和 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 1 10和 p. (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49 50，求 p 的值； (2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机 变量 ，求 的概率分布列 解析：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C， 那么 1P(C )1 1 10p 49 50
13、，解得 p 1 5. (2)由题意， 的可能取值为 0,1,2,3. P(0)C0 3 1 10 3 1 1 000，P(1)C 1 3 1 1 10 1 1 10 2 27 1 000， P(2)C2 3 1 1 10 2 1 10 1 243 1 000， P(3)C3 3 1 1 10 3 1 10 0 729 1 000， 所以随机变量 的概率分布列为 0 1 2 3 P 1 1 000 27 1 000 243 1 000 729 1 000 |素养提升素养提升| 1n 次独立重复试验的概率公式中各字母的含义 2独立重复试验的基本特征 (1)每次试验是在同样条件下进行 (2)每次试验
14、都只有两种结果：发生与不发生 (3)各次试验之间相互独立 (4)每次试验，某事件发生的概率都是一样的 3两点分布与二项分布的联系 (1)两点分布与二项分布的随机变量都只有两个可能结果 (2)两点分布是 n1 时的二项分布 特别提醒：二项分布是在独立重复试验中产生的，离开独立重 复试验不存在二项分布 |巩固提升巩固提升| 1投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已 知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独 立，则该同学通过测试的概率为( ) A0.648 B0.432 C0.36 D0.312 解析：该同学通过测试的概率 PC2 30.6 20.40.63
15、0.432 0.2160.648，故选 A. 答案：A 2将一枚硬币连掷 5 次，如果出现 k 次正面的概率等于出现(k 1)次正面的概率，那么 k 的值为( ) A0 B1 C2 D3 解析：根据题意，本题为独立重复试验，由概率公式得 Ck 5 1 2 k 1 2 5kCk1 5 1 2 k1 1 2 4k，解得 k2. 答案：C 3设 XB(2，p)，若 P(X1)5 9，则 p_. 解析：XB(2，p)，P(Xk)Ck 2p k(1p)2k，k0,1,2. P(X1)1P(X1)1P(X0)1C0 2p 0(1p)21(1 p)2. 1(1p)25 9， 结合 0p1，解得 p1 3. 答案：1 3
