1、1.2.2 组组 合合 考考 纲纲 定定 位位 重重 难难 突突 破破 1.理解组合的概念理解组合的概念 2.能根据两个计数原理推导组合数公式能根据两个计数原理推导组合数公式 3.能用组合知识解决简单的实际问题能用组合知识解决简单的实际问题 4.根据实际问题的特征，正确区分根据实际问题的特征，正确区分“排排 列列”或或“组合组合”. 重点：重点：组合的概念；组合数公式组合的概念；组合数公式 的推导；应用组合知识解决简单的推导；应用组合知识解决简单 的实际问题的实际问题 难点：难点：组合数公式的推导，根据组合数公式的推导，根据 实际问题的特征，正确区分实际问题的特征，正确区分“排排 列列”或或“
2、组合组合”. 01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升 课时作业 自主梳理自主梳理 1组合及组合数的概念组合及组合数的概念 (1)组合：一般地，从组合：一般地，从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m(mn)个元素个元素 ，叫作从，叫作从 n 个不个不 同元素中取出同元素中取出 m 个元素的一个组合个元素的一个组合 (2)组合数：从组合数：从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同个元素的所有不同 ，叫作从，叫作从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号个元素的组合数，用符号 表示表示 组合的个数组合的个数 合成一
3、组合成一组 Cm n 2组合数公式及其性质组合数公式及其性质 展开式展开式 Cm n A m n Am m _ 公式公式 阶乘式阶乘式 Cm n _ 性质性质 1 Cm n _ 性质性质 2 Cm n 1_ 性质性质 规定规定 C0 n 1 n n1 n2 nm1 m！ n！ m！ nm ！ Cn m n Cm n Cm 1 n 双基自测双基自测 1下列四个问题属于组合问题的是下列四个问题属于组合问题的是( ) A从从 4 名志愿者中选出名志愿者中选出 2 人分别参加导游和翻译的工作人分别参加导游和翻译的工作 B从从 0,1,2,3,4，这，这 5 个数字中选取个数字中选取 3 个不同的数字，
4、组成一个三位数个不同的数字，组成一个三位数 C从全班同学中选出从全班同学中选出 3 名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式 D从全班同学中选出从全班同学中选出 3 名同学分别担任班长、副班长和学习委员名同学分别担任班长、副班长和学习委员 解析：解析：A、B、D 项均为排列问题，只有项均为排列问题，只有 C 项是组合问题项是组合问题 答案：答案：C 2C5 8 C6 8的值为 的值为( ) A36 B84 C88 D504 解析：解析：C5 8 C6 8 C6 9 9！ 6！3！ 9 87 321 84. 答案：答案：B 探究一探究一 组合问题的判断组合问题的判
5、断 典例典例 1 判断下列问题是排列问题，还是组合问题判断下列问题是排列问题，还是组合问题 (1)从从 1,2,3，9 九个数字中任取九个数字中任取 3 个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ (2)从从 1,2,3，9 九个数字中任取九个数字中任取 3 个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和 共有多少个？共有多少个？ (3)从从 a，b，c，d 四名学生中选四名学生中选 2 名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？ (4)5 个人规定相互通话一次，共通了
6、多少次电话？个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？ (5)5 个人相互写一封信，共写了多少封信？个人相互写一封信，共写了多少封信？ 解析解析 (1)当取出当取出 3 个数字后，如果改变个数字后，如果改变 3 个数字的顺序，会得到不同的三位数，此个数字的顺序，会得到不同的三位数，此 问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题 (2)取出取出 3 个数字之后，无论怎样改变这个数字之后，无论怎样改变这 3 个数字的顺序，其和均不变，此问题只与个数字的顺序，其和均不变，此问题只与 取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组
7、合问题取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题 (3)2 名学生完成的是同一份工作，没有顺序，名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题是组合问题 (4)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题 (5)发信人与收信人是有区别的，是排列问题发信人与收信人是有区别的，是排列问题 区分排列与组合的关键：区分排列与组合的关键： 区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换 两个元素的位置对结果产生影响
8、， 则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果两个元素的位置对结果产生影响， 则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果 没有影响，则是组合问题没有影响，则是组合问题 1有下列问题：有下列问题： (1)a，b，c，d 四支足球队之间进行单四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？循环比赛，共需赛多少场？ (2)a，b，c，d 四支足球队任两队之间分主场与客场各赛一场，共需赛多少场？四支足球队任两队之间分主场与客场各赛一场，共需赛多少场？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？ 解析：解析：(1)单循环比赛要求每两支球队之间只赛一场，没
9、有顺序，是组合问题单循环比赛要求每两支球队之间只赛一场，没有顺序，是组合问题 (2)分主、客场是有顺序的，是排列问题分主、客场是有顺序的，是排列问题 探究二探究二 组合数公式的应用组合数公式的应用 典例典例 2 计算下列各式的值：计算下列各式的值： (1)C3 8 2C2 6； ；(2)C3 100 C97 100； ；(3)C3 7 C4 7 C5 8 C6 9. 解析解析 (1)C3 8 2C2 6 8 76 321 26 5 21 26. (2)C3 100 C97 100 C3 100 C3 100 0. (3)原式原式C4 8 C5 8 C6 9 C5 9 C6 9 C6 10 C4
10、 10 210. 组合数的计算或证明：组合数的计算或证明： 对于简单的组合数计算，可用组合数的性质对于简单的组合数计算，可用组合数的性质(1)计算，对于组合数较大，或者求和问计算，对于组合数较大，或者求和问 题，可用性质化简，对于等式证明可用组合数的性质题，可用性质化简，对于等式证明可用组合数的性质(2) 2(1)计算计算 C99 102； ； (2)解方程解方程 Cx 15 C2x 15. 解析：解析：(1)C99 102 C3 102 102 101100 321 171 700. (2)由由 Cx 15 C2x 15，得 ，得 2xx 或或 x152x， x0 或或 x5. 探究三探究三
11、 有限制条件的组合问题有限制条件的组合问题 典例典例 3 高二高二(1)班共有班共有 35 名同学，其中男生名同学，其中男生 20 名，女生名，女生 15 名，今从中选出名，今从中选出 3 名同名同 学参加活动学参加活动 (1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有恰有 2 名女生在内，不同的取法有多少种？名女生在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有至少有 2 名女生在内，不同的取法有多少种？名女生在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有至多有
12、 2 名女生在内，不同的取法有多少种？名女生在内，不同的取法有多少种？ 解析解析 (1)从余下的从余下的 34 名学生中选取名学生中选取 2 名，名， 有有 C2 34 561(种种) 不同的取法有不同的取法有 561 种种 (2)从从 34 名可选学生中选取名可选学生中选取 3 名名，有有 C3 34种 种 或者或者 C3 35 C2 34 C3 34 5 984 种种 不同的取法有不同的取法有 5 984 种种 (3)从从 20 名男生中选取名男生中选取 1 名名，从从 15 名女生中选取名女生中选取 2 名名，有有 C1 20C 2 15 2 100 种种 不同的取法有不同的取法有 2
13、100 种种 (4)选取选取 2 名女生有名女生有 C1 20C 2 15种 种，选取选取 3 名女生有名女生有 C3 15种 种，共有选取方式共有选取方式 NC1 20C 2 15 C3 15 2 1004552 555 种种 不同的取法有不同的取法有 2 555 种种 (5)选取选取 3 名的总数有名的总数有 C3 35，因此选取方式共有 ，因此选取方式共有 NC3 35 C3 15 6 5454556 090 种种 不同的取法有不同的取法有 6 090 种种 求解有限制条件的组合问题：求解有限制条件的组合问题： (1)对于涉及对于涉及“含含”“”“不含不含”“”“恰有恰有”“”“至少至少
14、”“”“至多至多”等关键词的问题，应合理使等关键词的问题，应合理使 用两个计数原理用两个计数原理 (2)解解答有限制条件的组合问题的基本方法：答有限制条件的组合问题的基本方法： 直接法：优先安排特殊元素的选取，再安排其他元素的选取直接法：优先安排特殊元素的选取，再安排其他元素的选取 间接法：正面情况分类较多时，从反面入手，间接法：正面情况分类较多时，从反面入手，“正难则反正难则反” 3某医院从某医院从 10 名医疗专家中抽调名医疗专家中抽调 6 名奔赴赈灾前线，其中这名奔赴赈灾前线，其中这 10 名专家中有名专家中有 4 名是名是 骨科专家骨科专家 (1)抽调的抽调的 6 名专家中恰有名专家中
15、恰有 2 名是骨科专家的抽调方法有多少种？名是骨科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有至少有 2 名骨科专家的抽调方法有多少种？名骨科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有至多有 2 名骨科专家的抽调方法有多少种？名骨科专家的抽调方法有多少种？ 解析：解析：(1)分两步：第一步，从分两步：第一步，从 4 名骨科专家中任选名骨科专家中任选 2 名，有名，有 C2 4种选法；第二步，从 种选法；第二步，从 除去骨科专家的除去骨科专家的 6 人中任取人中任取 4 人，有人，有 C4 6种选法，所以共有 种选法，所以共有 C2 4C 4 6 90 种抽调方法种抽调方法 (2)有两种解答方法：有两种解
16、答方法： 解法一解法一 直接法直接法 第一类：有第一类：有 2 名骨科专家，共有名骨科专家，共有 C2 4 C 4 6种选法；第二类：有 种选法；第二类：有 3 名骨科专家，共有名骨科专家，共有 C3 4 C 3 6 种选法；第三类：有种选法；第三类：有 4 名骨科专家，共有名骨科专家，共有 C4 4 C 2 6种选法根据分类加法计数原理，共 种选法根据分类加法计数原理，共 有有 C2 4 C 4 6 C3 4 C 3 6 C4 4 C 2 6 185 种抽调方法种抽调方法 解法二解法二 间接法间接法 不考虑是否有骨科专家，共有不考虑是否有骨科专家，共有 C6 10种选法考虑选取 种选法考虑选
17、取 1 名骨科专家，有名骨科专家，有 C1 4 C 5 6种选法； 种选法； 没有骨科专家，有没有骨科专家，有 C6 6种选法，所以共有： 种选法，所以共有： C6 10 C1 4 C 5 6 C6 6 185 种抽调方法种抽调方法 (3)“至多至多”两名包括两名包括“没有没有”“”“有有 1 名名”“”“有有 2 名名”三种情况：第一类：没有骨科三种情况：第一类：没有骨科 专家，共有专家，共有 C6 6种选法；第二类：有 种选法；第二类：有 1 名骨科专家，共有名骨科专家，共有 C1 4 C 5 6种选法；第三类：有 种选法；第三类：有 2 名骨科专家，共有名骨科专家，共有 C2 4 C 4
18、 6种选法根据分类加法计算原理，共有 种选法根据分类加法计算原理，共有 C6 6 C1 4 C 5 6 C2 4 C 4 6 115 种抽调方法种抽调方法 因忽视组合数公式成立的条件而致误因忽视组合数公式成立的条件而致误 典例典例 解方程：解方程：Cx 2 x 2Cx 3 x 2 1 10A 3 x 3. 解析解析 原方程可化为原方程可化为 Cx 2 x 3 1 10A 3 x 3，即即 C5 x 3 1 10A 3 x 3， x3 ！ 5！ x2 ！ x 3 ！ 10 x！ ， 1 120 x2 ！ 1 10 x x1 x2 ！， ， x2x120，解得解得 x4 或或 x3(舍去舍去)，经
19、检验经检验 x4 是原方程的解是原方程的解 错因与防范错因与防范 运用组合数公式转化为关于运用组合数公式转化为关于 x 的一元二次方程后，易忽视的一元二次方程后，易忽视 x 的取值范的取值范 围，导致错误围，导致错误 运用组合数的性质运用组合数的性质 Cm n 1Cm n Cm 1 n 时，明确公式的特点，学会公式的顺用、逆用、时，明确公式的特点，学会公式的顺用、逆用、 变形用变形用 计算计算 Cm n时，若 时，若 mn 2，通常不直接计算 ，通常不直接计算 Cm n而改为计算 而改为计算 Cn m n . 随堂训练随堂训练 1给出下列问题：给出下列问题： 从甲、乙、丙从甲、乙、丙 3 名同
20、学中选出名同学中选出 2 名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同 的选法？的选法？ 有有 4 张电影票，要在张电影票，要在 7 人中确定人中确定 4 人去观看，有多少种不同的选法？人去观看，有多少种不同的选法？ 某人射击某人射击 8 枪，击中枪，击中 4 枪，且命中的枪，且命中的 4 枪均为枪均为 2 枪连中，则不同的结果有多少种？枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中组合问题其中组合问题的个数是的个数是( ) A0 B1 C2 D3 解析：解析：须考虑须考虑 2 人顺序是排列问题，人顺序是排列问题，与顺序无关，故选与顺序无关，故选 C. 答案：
21、答案：C 2甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等且无通票，车票票价甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等且无通票，车票票价 的种数是的种数是( ) A1 B2 C3 D6 解析：解析：从甲、乙、丙三地之间任取两个地点，则对应一个票价，应为从甲、乙、丙三地之间任取两个地点，则对应一个票价，应为 C2 3 3 种种 答案：答案：C 3楼道里有楼道里有 12 盏灯，为了节约用电，需关掉盏灯，为了节约用电，需关掉 3 盏不相邻的灯，则关灯方案有盏不相邻的灯，则关灯方案有 ( ) A72 种种 B84 种种 C120 种种 D168 种种 解析：解析：需关掉需关掉 3 盏不
22、相邻的灯，即将这盏不相邻的灯，即将这 3 盏灯插入盏灯插入 9 盏亮着的灯的空中，所以关灯方盏亮着的灯的空中，所以关灯方 案共有案共有 C3 10 120(种种)，故选，故选 C. 答案：答案：C 4 直角坐标平面 直角坐标平面 xOy上， 平行直线上， 平行直线 xn(n0,1,2， ， 5)与平行直线与平行直线 yn(n0,1,2， ， 5)组成的图形中，矩形共有组成的图形中，矩形共有( ) A25 个个 B36 个个 C100 个个 D225 个个 解析：解析：在垂直于在垂直于 x 轴的轴的 6 条直线中任取条直线中任取 2 条，在垂直于条，在垂直于 y 轴的轴的 6 条直线中任取条直线中任取 2 条，条， 四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为 C2 6 C2 6 1515225 个个 答案：答案：D 课时作业
