1、2023-7-101l南开大学经济学院金融学系南开大学经济学院金融学系l天津市天津市(300071)2023-7-102l第一节第一节 期权价格的上下限期权价格的上下限 l第二节第二节 二叉树期权定价法二叉树期权定价法 l第三节第三节 Black-Scholes模型模型 l第四节第四节 新型期权新型期权2023-7-103 SP：期期权权的的行行使使价价格格；T：期期权权的的到到期期时时间间；tT :期期权权距距到到期期日日在在一一年年时时间间中中的的比比率率；tS：股股票票在在时时刻刻t的的价价格格；tC：单单股股股股票票欧欧式式买买权权在在时时刻刻t的的价价格格；tc：单单股股股股票票美美
2、式式买买权权在在时时刻刻t的的价价格格；tP：单单股股股股票票欧欧式式卖卖权权在在时时刻刻t的的价价格格；tp：单单股股股股票票美美式式卖卖权权在在时时刻刻t的的价价格格；r：在在T时时刻刻到到期期的的投投资资的的无无风风险险利利率率。在在这这一一节节中中，我我们们将将推推导导单单股股股股票票期期权权价价格格的的上上下下限限，如如果果不不加加以以特特别别的的说说明明，在在以以后后的的讨讨论论中中。如如果果期期权权的的价价格格超超过过其其上上限限或或低低于于其其下下限限，则则套套利利就就有有利利可可图图。我我们们通通过过消消除除这这些些无无风风险险套套利利机机会会来来确确定定期期权权的的上上下下
3、限限。2023-7-104l一、买权与卖权的上限一、买权与卖权的上限l二、买权与卖权的下限二、买权与卖权的下限l三、美式买权的提前行使三、美式买权的提前行使l四、美式卖权的提前行使四、美式卖权的提前行使l五、卖权与买权之间的平价关系五、卖权与买权之间的平价关系2023-7-105l （一）买权的上限（一）买权的上限l （二）卖权的上限（二）卖权的上限2023-7-106（一）买权的上限（一）买权的上限 单股股票（以下讨论同）单股股票（以下讨论同）美式买权或欧式买权的最大价格美式买权或欧式买权的最大价格就就是是t时刻的股票价格时刻的股票价格tS，这是因为这是因为单股单股美式买权或欧式买权美式买权
4、或欧式买权的持有者的持有者都都有权以有权以事先事先确定的确定的行使行使价格价格SP来来购买一购买一股股股票，如股票，如果买权的价格大于股票价格，则套利者可以通过购买股果买权的价格大于股票价格，则套利者可以通过购买股票并卖票并卖出买权，轻易地获得无风险利润。出买权，轻易地获得无风险利润。可见在任何情况下，期权的可见在任何情况下，期权的价值都不会超过股票的价值。价值都不会超过股票的价值。因此，股票价格因此，股票价格tS就就是是买买权价格权价格的上限的上限，即对于美式买权的价格，即对于美式买权的价格tc及欧式买权的价格及欧式买权的价格tC来说，来说，应有不等式：应有不等式：tc?tS；tC?tS (
5、10.1.1)2023-7-107（二）卖权的上限（二）卖权的上限 当然，美式卖权的最大价格当然，美式卖权的最大价格应该是应该是其其行使行使价格价格SP，而欧式期权的最大而欧式期权的最大价格价格则应该是则应该是其其行使行使价格价格SP的贴现值。的贴现值。这是因为这是因为单股的单股的美式卖权或欧式卖美式卖权或欧式卖权的持有者权的持有者都都有权以有权以行使价格行使价格SP出售一股股票，如果美式卖权的价格大于出售一股股票，如果美式卖权的价格大于行行使使价格，或者欧式卖权的价格大于其行价格，或者欧式卖权的价格大于其行使使价格的贴现值，则套利者可以通价格的贴现值，则套利者可以通过出售卖权并将所得收入以无
6、风险利率进行投资，过出售卖权并将所得收入以无风险利率进行投资，便便获得无风险收益。获得无风险收益。只有只有在股票价格在股票价格tS=0时，卖权才会达到其最大价格。时，卖权才会达到其最大价格。因此，对于美式卖权因此，对于美式卖权的价的价格格tp来说来说，应有：，应有：tp?SP (10.1.2)而而对于欧式对于欧式卖卖权，我们知道在权，我们知道在T时刻期权的价值也不会超过时刻期权的价值也不会超过SP。因而因而卖卖权权的价格的价格tP在在t时刻的价值不会超过行时刻的价值不会超过行使使价格价格SP的贴现值：的贴现值：)(tTrtSPeP (10.1.3)2023-7-108l （一）买权的下限（一）
7、买权的下限l （二）卖权的下限（二）卖权的下限2023-7-109（一）买权的下限一）买权的下限 对于美式买权，由于随对于美式买权，由于随时时都可以都可以行使，因而它的最小价值一定是期权的内在价行使，因而它的最小价值一定是期权的内在价值。值。对于虚值期权和平价期权对于虚值期权和平价期权来说来说，期权价值的最小值为，期权价值的最小值为0；对于实值期权；对于实值期权来说来说，买权价值的最小值即为其内在价值买权价值的最小值即为其内在价值SPST。如果这一关系不成立的话，套利者就如果这一关系不成立的话，套利者就可以以低于期权内在价值的价格购入期权，然后马上行使期权来获得无风险利润。可以以低于期权内在价
8、值的价格购入期权，然后马上行使期权来获得无风险利润。因而因而，对于，对于美式买权的美式买权的价格价格tc来说，应该有如下的不等式来说，应该有如下的不等式：),0(SPSMaxcTt (10.1.4)对于欧式对于欧式期权期权来说来说，其，其价格的价格的下限的确定就没有如此明显了，我们将通过构造下限的确定就没有如此明显了，我们将通过构造一个资产组合来估计它的下限。一个资产组合来估计它的下限。事实上我们可以简单地证明：事实上我们可以简单地证明：欧式买权的下限是欧式买权的下限是)(tTrtSPeS。为了给出正为了给出正式的证明，我们考虑在时刻式的证明，我们考虑在时刻t时的如下组合：时的如下组合：1股股
9、票的空头及股股票的空头及1股相应的股相应的欧式买权欧式买权再再加上金额为加上金额为)(tTrSPe的的现金。现金。2023-7-1010在时刻在时刻t=0，这一组合的价值为：，这一组合的价值为：00SSPeCrT；在时刻；在时刻t=T，这一组合的价值为：，这一组合的价值为：TTSSPC。由美式买权下限的结论，由美式买权下限的结论，我们可以得出欧式买权在时刻我们可以得出欧式买权在时刻t=T的价值的价值为：为：),0(SPSMaxCTT。如果如果SPST，买权为实值期权，则在，买权为实值期权，则在T 时刻应行使买权，时刻应行使买权，组合的价值为组合的价值为0。这是因为买权的价值为。这是因为买权的价
10、值为SPST，现金价值为，现金价值为SP，股票空头的价值为股票空头的价值为TS，组合在时刻，组合在时刻T的价值就为：的价值就为：0TTSSPSPS。如果如果TSSP，买权为虚值期权，期权不会被行使，组合会买权为虚值期权，期权不会被行使，组合会有一个正的价值：有一个正的价值：TSSP。这是因为买权的价值为。这是因为买权的价值为0，现金价值，现金价值为为SP，股票空头的价值为，股票空头的价值为TS，组合在时刻，组合在时刻T的价值就为：的价值就为：TTSSPSSP0。2023-7-1011可可以以看看出出，无无论论期期权权在在到到期期时时是是实实值值的的、平平价价的的还还是是虚虚值值的的，我我们们所
11、所构构造造的的组组合合的的价价值值或或者者为为零零或或者者大大于于零零，不不会会得得到到一一个个负负的的价价值值。如如果果在在套套利利者者消消除除了了那那些些无无风风险险套套利利机机会会后后，我我们们就就可可以以发发现现：一一份份绝绝不不会会造造成成净净支支出出的的组组合合是是不不可可能能有有一一个个负负价价格格的的。因因而而，我我们们能能够够得得出出在在时时刻刻t，有有：0)(ttTrtSSPeC (10.1.5)或或者者写写成成：)(tTrttSPeSC (10.1.6)由由于于对对于于一一个个欧欧式式买买权权来来说说，可可能能发发生生的的最最坏坏情情况况是是期期权权到到期期时时其其价价值
12、值为为零零，这这意意味味着着期期权权的的价价值值必必须须为为正正值值，即即0tC。因因此此应应该该有有：),0()(tTrttSPeSMaxC (10.1.7)基基于于上上面面的的结结论论，对对于于美美式式买买权权的的价价格格tc来来说说，也也应应该该有有如如下下的的不不等等式式：),0()(tTrttSPeSMaxc (10.1.8)这这是是因因为为美美式式买买权权具具有有可可以以提提前前行行使使的的性性质质，这这使使得得美美式式期期权权至至少少具具有有与与欧欧式式期期权权相相同同的的价价值值，即即有有：ttCc。2023-7-1012对于美式卖权，由于随时对于美式卖权，由于随时可以可以行行
13、使使，因而它的最小价值一定是期权的内在，因而它的最小价值一定是期权的内在价值。价值。对于虚值期权和平价期权，期权价值的最小值为对于虚值期权和平价期权，期权价值的最小值为0；对于实值期权，卖；对于实值期权，卖权价值的最小值即为其内在价值权价值的最小值即为其内在价值SSP。如果这一关系不成立的话，套利者如果这一关系不成立的话，套利者就可以以低于期权内在价值的价格购入期权，然后马上行使期权来获得无风险就可以以低于期权内在价值的价格购入期权，然后马上行使期权来获得无风险利润。利润。因而因而，对于，对于美式卖权的美式卖权的价格价格tp来说，应该有如下的不等式成立来说，应该有如下的不等式成立：),0(Tt
14、SSPMaxp (10.1.9)我们再来构造一个组合来估计欧式卖权的下限我们再来构造一个组合来估计欧式卖权的下限。在时刻在时刻t=0时时有以下资产有以下资产组合：组合：1股股票及股股票及1股相应的股相应的欧式卖权欧式卖权再加上金额再加上金额为为)(tTrSPe的现金的现金借贷。借贷。在时刻在时刻t=T，这一，这一组合的价值为：组合的价值为：SPSPTT。如果如果SPST，则期权，则期权不会不会被被行使，该组合的价值为：行使，该组合的价值为：SPSSPSPTTT0。如果如果SPST，卖权盈利正好抵消股票现货的损失，所以该卖权盈利正好抵消股票现货的损失，所以该组合的价值为组合的价值为0。所以，所以
15、，在时刻在时刻t=0时，应时，应有：有：000rTSPeSP (10.1.10)2023-7-1013 同理，我们又构造了一个价值或者为零或者大于零的组同理，我们又构造了一个价值或者为零或者大于零的组合，不会得到一个负的价值。由于一份绝不会造成净支出的组合，不会得到一个负的价值。由于一份绝不会造成净支出的组合是不可能有一个负价格的，我们可以得出合是不可能有一个负价格的，我们可以得出：0)(tTrttSPeSP (10.1.11)或者写成：或者写成：ttTrtSSPeP)(10.1.12)因而，我们得到欧式卖权在时刻因而，我们得到欧式卖权在时刻t=0的下限为：的下限为：),0(00SSPeMax
16、PrT (10.1.13)所以，一般所以，一般情况下应有：情况下应有：),0()(ttTrtSSPeMaxP (10.1.14)现在，我们可以总结一下在任意时刻现在，我们可以总结一下在任意时刻t(t?T)期权的上下限，期权的上下限，见表见表10.1.1。2023-7-1014期权种类期权种类 价格下限价格下限 价格上限价格上限 欧式买权),0()(tTrtSPeSMax tS 美式买权),0(SPSMaxT tS 欧式卖权),0()(ttTrSSPeMax)(tTrSPe 美式卖权美式卖权),0(TSSPMax SP 2023-7-1015l 美式买权的提前行使是否明智？通过下美式买权的提前行
17、使是否明智？通过下面的讨论，我们可以看出：提前行使期权不面的讨论，我们可以看出：提前行使期权不是最好的选择。是最好的选择。返回节返回节l 首先，如果投资者计划在期权的有效期首先，如果投资者计划在期权的有效期内持有股票，则提前行使期权不是最好的选内持有股票，则提前行使期权不是最好的选择。假设投资者拥有一份买权，并且期权处择。假设投资者拥有一份买权，并且期权处于实值状态（如果期权是虚值状态的话，投于实值状态（如果期权是虚值状态的话，投资者当然不会提前行使期权），比如期权的资者当然不会提前行使期权），比如期权的行使价格为行使价格为30元，距到期日还有一个月，无元，距到期日还有一个月，无风险利率为风险
18、利率为10%，股票价格为，股票价格为50元。元。2023-7-1016l 此时投资者有提前行使期权的动力，但此时投资者有提前行使期权的动力，但是如果投资者希望在行使期权后继续持有该是如果投资者希望在行使期权后继续持有该股票一个月（即在期权的有效期内持有股股票一个月（即在期权的有效期内持有股票），那么提前行使期权就是不明智的。选票），那么提前行使期权就是不明智的。选择持有期权并在到期日行使期权，这是更好择持有期权并在到期日行使期权，这是更好的策略。这是因为无论你是否提前行使期权，的策略。这是因为无论你是否提前行使期权，在到期日你所具有的财富都是一份股票，然在到期日你所具有的财富都是一份股票，然而
19、前者需要你在一个月前就支付而前者需要你在一个月前就支付30元钱，而元钱，而后者的支付则要晚一个月，选择后者为你节后者的支付则要晚一个月，选择后者为你节省了利息。不仅如此，如果股票的价格在一省了利息。不仅如此，如果股票的价格在一个月后跌到个月后跌到30元以下，没有提前行使期权的元以下，没有提前行使期权的投资者一定会庆幸自己做出了正确的选择。投资者一定会庆幸自己做出了正确的选择。2023-7-1017l 即便在投资者认为股票价格被高估的情况即便在投资者认为股票价格被高估的情况下，提前行使期权仍不是最好的选择。如果投下，提前行使期权仍不是最好的选择。如果投资者认为股票价格被高估，那么他的最优选择资者
20、认为股票价格被高估，那么他的最优选择应该是出售期权而并非行使它（另一种可以选应该是出售期权而并非行使它（另一种可以选择的做法是投资者持有期权并出售股票，这样择的做法是投资者持有期权并出售股票，这样就可以把利润锁定在就可以把利润锁定在20元以上）。由于：元以上）。由于：l (10.1.15)l 可以得出期权的市场价格要高于：可以得出期权的市场价格要高于：l 否则就会存在套利机会。美式买权不该提否则就会存在套利机会。美式买权不该提前行使也可以通过下面的式子来说明。前行使也可以通过下面的式子来说明。),0()(tTrttSPeSMaxC25.20305008333.01.0e2023-7-1018l
21、 由于由于 ，如果提前，如果提前行使是明智的，那么该期权会获得行使是明智的，那么该期权会获得S-SP的收入，的收入，即即C应等于应等于S-SP，小于美式期权的最小价值。因，小于美式期权的最小价值。因而我们可得到结论：提前行使期权是不明智的。而我们可得到结论：提前行使期权是不明智的。l 对于买权不应提前行使的原因，我们可以从对于买权不应提前行使的原因，我们可以从理论上作以解释。第一个理由在于期权能够提供理论上作以解释。第一个理由在于期权能够提供保险。当投资者持有买权而不是持有股票本身时，保险。当投资者持有买权而不是持有股票本身时，买权保证持有者在股票价格下降到行使价格之下买权保证持有者在股票价格
22、下降到行使价格之下时不受损失。一旦该期权被行使，投资者选择了时不受损失。一旦该期权被行使，投资者选择了持有股票，这种保险就消失了。另一个原因是由持有股票，这种保险就消失了。另一个原因是由于货币的时间价值，越晚支付等于行使价格的货于货币的时间价值，越晚支付等于行使价格的货币越好。币越好。SPSSPeSCtTr)(2023-7-1019l 卖权与买权不同，提前行使可能是更卖权与买权不同，提前行使可能是更有利的，我们可以考虑一个极端的例子，有利的，我们可以考虑一个极端的例子，假设期权的行使价格为假设期权的行使价格为10元，此时股票价元，此时股票价格为格为0，由于股票价格不会为负，因而此时，由于股票价
23、格不会为负，因而此时行使卖权可以获取最大收益。即便股票价行使卖权可以获取最大收益。即便股票价格一直为格一直为0，提前获得，提前获得10元的收益也要比等元的收益也要比等到期权到期时才拿到这到期权到期时才拿到这10元有利一些。元有利一些。l 一般说来，随着股票价格一般说来，随着股票价格S的减少，无的减少，无风险利率风险利率r的增加和股票价格的波动率的增加和股票价格的波动率的的减少，提前行使卖权就更有利。这是因为减少，提前行使卖权就更有利。这是因为无风险利率无风险利率r的增加提高了现在不转换为现的增加提高了现在不转换为现金的成本，波动率金的成本，波动率的减少降低了在以后的的减少降低了在以后的时间里期
24、权能更加获利的可能性。时间里期权能更加获利的可能性。2023-7-1020l 在时刻在时刻t=0，考虑下面两个组合：，考虑下面两个组合：返回电子版主页返回电子版主页l 组合组合A：一份行使价格为：一份行使价格为SP的欧式买权和价值为的欧式买权和价值为l 的现金。的现金。l 组合组合B：1份行使价格为份行使价格为SP的欧式卖权和的欧式卖权和1手股票。手股票。l 在时刻在时刻t=T，如买权为实值，组合，如买权为实值，组合A的价值为：的价值为：SP+(ST-SP)=ST；如买权为虚值，组合；如买权为虚值，组合A的价值为的价值为SP。l 在时刻在时刻t=T，如卖权为虚值，组合，如卖权为虚值，组合B的价
25、值也为：的价值也为：ST；如卖权为实值，则组合；如卖权为实值，则组合B的价值为：的价值为：SP。l 于是，当股价上涨时，买权为实值，卖权为虚值，于是，当股价上涨时，买权为实值，卖权为虚值，此时组合此时组合A、B的价值都为：的价值都为：ST；当股价下跌时，买权；当股价下跌时，买权为虚值，卖权为实值，此时组合为虚值，卖权为实值，此时组合A、B的价值都为的价值都为SP。l 由于组合由于组合A、B的收益相同，因而一定有相同价格，的收益相同，因而一定有相同价格，否则套利就会存在。于是，我们可以得到表达式：否则套利就会存在。于是，我们可以得到表达式：l Ct+SPe-r(T-t)=St+Pt (10.1.
26、16)(tTrSPe2023-7-10212023-7-1022l 在前面我们分析了期权价格的界定范围，说明期权在前面我们分析了期权价格的界定范围，说明期权的价格必须满足某些限制条件，否则会引起套购活动的的价格必须满足某些限制条件，否则会引起套购活动的发生。但期权价格的确切数值是如何确定的？这是个根发生。但期权价格的确切数值是如何确定的？这是个根本性的问题。接下来我们将简单介绍期权定价的两个最本性的问题。接下来我们将简单介绍期权定价的两个最著名的模型：二叉树期权定价模型和布莱克著名的模型：二叉树期权定价模型和布莱克斯科尔斯斯科尔斯期权定价模型。其中二叉树期权定价模型。其中二叉树(Binomia
27、l Tree)期权定价模期权定价模型最早是由考克斯型最早是由考克斯(Cox)、罗斯、罗斯(Ross)和鲁宾斯坦和鲁宾斯坦(Rubinstein)(1979年年)提出的，他们所依据的原则也是无提出的，他们所依据的原则也是无套利原则以及风险中性原则。套利原则以及风险中性原则。返回章返回章l 一、二叉树期权定价模型的假设条件一、二叉树期权定价模型的假设条件l 二、单期欧式期权的定价模型二、单期欧式期权的定价模型l 三、两期的欧式期权定价模型三、两期的欧式期权定价模型l 四、二叉树期权定价模型的其他应用四、二叉树期权定价模型的其他应用2023-7-1023l 1、股票市场是有效的；股票市场是有效的；l
28、 2、存在着股票的卖空机制，但不存在套利存在着股票的卖空机制，但不存在套利机会；机会；l 3、股票和期权合约的买卖不涉及交易成本、股票和期权合约的买卖不涉及交易成本、也不考虑税收；也不考虑税收；1 l 4、市场参与者可按已知的无风险利率无限市场参与者可按已知的无风险利率无限制地借入借出资金；制地借入借出资金；l 5、无风险利率为常数；无风险利率为常数；2 l 6、金融市场上的投资者都是风险中立者；金融市场上的投资者都是风险中立者；3l 7、假设基础资产的价格在离散的或不连续假设基础资产的价格在离散的或不连续的时间内服从一个倍增的二项式过程。的时间内服从一个倍增的二项式过程。2023-7-102
29、4l 11显然这一假设不符合实际，因为即使是交显然这一假设不符合实际，因为即使是交易大厅的交易商也要支付费用。这一假设条件可易大厅的交易商也要支付费用。这一假设条件可能会极大影响期权的真正成本，也是造成不同期能会极大影响期权的真正成本，也是造成不同期权市场实际期权费差异的主要因素。但这一假设权市场实际期权费差异的主要因素。但这一假设的确能充分地简化我们的理论推导。的确能充分地简化我们的理论推导。l 22无风险利率是金融业常用的一个术语，无风险利率是金融业常用的一个术语，实际上并不存在真正无风险的利率。在西方金融实际上并不存在真正无风险的利率。在西方金融市场上，一般会采用离到期还有市场上，一般会
30、采用离到期还有3030天的美国短期天的美国短期国库券国库券(T-Bill)(T-Bill)利率作为无风险利率的近似替代利率作为无风险利率的近似替代品，但即使是这种利率，也是在每天发生变化。品，但即使是这种利率，也是在每天发生变化。l 33既没有人要求更高的回报率来补偿其进既没有人要求更高的回报率来补偿其进行的证券投资，这使得所有投资于有价证券的回行的证券投资，这使得所有投资于有价证券的回报都是相等的，都等于无风险利率。报都是相等的，都等于无风险利率。2023-7-1025（一）欧式买权的定价模型（一）欧式买权的定价模型 假设现期假设现期时时股票价格为股票价格为0S，在无风险利率，在无风险利率f
31、r之下，在任何一个单位时之下，在任何一个单位时间段内，股票价格的预期变动只取两个可能值，即间段内，股票价格的预期变动只取两个可能值，即：股票价格可由股票价格可由0S上涨上涨到到1S或者下跌到或者下跌到2S，其其概率服从二次分布，分别为概率服从二次分布，分别为p和和pq 1。当当股票价格上涨到股票价格上涨到1S时，其行使价格为时，其行使价格为0S的买权，其理论价值的买权，其理论价值1f就是就是01SS，而如果股票价格下跌到，而如果股票价格下跌到2S时，则该期权的理论价值时，则该期权的理论价值2f就为就为0(见见图图10.2.1)另一方面，如果购买了另一方面，如果购买了0S美元的无风险资产，那么在
32、无套利假定之下，美元的无风险资产，那么在无套利假定之下，m个月个月(m3、6、9)后无风险资产的价值应为股票的期望价值：后无风险资产的价值应为股票的期望价值：210)1(121SppSmrSf (10.2.1)于是于是，可以解得概率可以解得概率：2120121SSSmrSpf (10.2.2)2023-7-1026现在考虑以价格现在考虑以价格0f卖出一份买权，以及按照套头率卖出一份买权，以及按照套头率，以价格，以价格0S购购买买数量的股票，于是可以生成无风险资产组合数量的股票，于是可以生成无风险资产组合L：00fSL (10.2.3)图图10.2.1 单期欧式单期欧式买买权权的的二叉树定价图二
33、叉树定价图 当 股 票 价 格 上 升 到当 股 票 价 格 上 升 到1P时，该 组 合 的 价 值 为：时，该 组 合 的 价 值 为：)(01111SSSfS。当股票价格下降到当股票价格下降到2S时，该组合的价值时，该组合的价值为：为：222SfS美元。当股票价格上涨时，现货多头获利，但是美元。当股票价格上涨时，现货多头获利，但是所卖出的买权价格上升会造成期权空头的亏损。反之，当股票价格下跌时、所卖出的买权价格上升会造成期权空头的亏损。反之，当股票价格下跌时、现货多头亏损，但是所卖出的买权价格下降会造成期权空头的获利。现货多头亏损，但是所卖出的买权价格下降会造成期权空头的获利。2023-
34、7-1027因此，适当的因此，适当的可以使上面这个证券组合成为无风险资产，因此，可以使上面这个证券组合成为无风险资产，因此，m个月后股票个月后股票价格上升与股票价格下降时的无风险资产价值相同，从期权的理论价格方面来说，即价格上升与股票价格下降时的无风险资产价值相同，从期权的理论价格方面来说，即有：有：2211fSfS (10.2.4)于是，可以解得：于是，可以解得：21012121SSSSPPff (10.2.5)期权的价格也可由期权的价格也可由(10.2.8)式可以解得。先根据式可以解得。先根据(10.2.2)式得到：式得到：56.0354512306.0140p 由由(10.2.2)式可得
35、期权真实价格：式可得期权真实价格：123006.01)4045(56.0f2.76美元美元 上面的讨论都是在单利的条件下进行的讨论，如果在连续复利的条件上面的讨论都是在单利的条件下进行的讨论，如果在连续复利的条件下，买权的定价公式形式就有所更改。下，买权的定价公式形式就有所更改。2023-7-1028下面推导连续复利下单期的欧式买权的定价公式。下面推导连续复利下单期的欧式买权的定价公式。同样假设现期股票价格为同样假设现期股票价格为0S，在无风险利率，在无风险利率fr之下，股之下，股票价格可由票价格可由0S上涨到上涨到1S或者下跌到或者下跌到2S，概率分别为，概率分别为p和和pq 1。当股票价格
36、上涨到。当股票价格上涨到1S时，其行使价格为时，其行使价格为0S的的买权，其理论价值买权，其理论价值1f就是就是01SS，而如果股票价格下跌到，而如果股票价格下跌到2P时，则该期权的理论价值时，则该期权的理论价值2f就为就为0。如果购买了如果购买了0S美元的无风险资产，那么在无套利假定之美元的无风险资产，那么在无套利假定之下，下，m个月个月(m3、6、9)后无风险资产的价值应为股票的期望后无风险资产的价值应为股票的期望价值：价值：210)1(SppSeSTrf (10.2.9)2023-7-1029整理得：整理得：2120SSSeSpTrf (10.2.10)在连续复利的条件下，对式在连续复利
37、的条件下，对式(10.2.4)，(10.2.5)中中D的讨论保持不变。的讨论保持不变。21012121SSSSSSff (10.2.11)资产组合现值与初始投资值应该相等：资产组合现值与初始投资值应该相等：002fSeSTrf (10.2.12)整理上式得整理上式得：TrfeSSf200 (10.2.13)(10.2.12)式即为连续复利下买权的定价公式。式即为连续复利下买权的定价公式。同样，我们也可以把同样，我们也可以把(10.2.12)式整理为用式整理为用P表示的表达式，整理的结果为表示的表达式，整理的结果为：TrTrffeSSpefppff)()1(01000 (10.2.14)2023
38、-7-1030 例例10.2.2，继续使用例，继续使用例10.2.1中的数据：中的数据：0S$40美元，美元，1S$45美元，美元，2S=$35美元，美元，fr6，m3。由由(10.2.11)式式，可可解得解得：45400.54535-D=-，代入代入(10.2.13)式式，有有：25.006.00)5.035(5.040ef=2.76美元美元 也也可以由可以由(10.2.10)式和式和(10.2.14)式求得式求得，由由(10.2.10)式可得式可得：56.03545354025.006.0ep 代入代入(10.2.14)式式，可可得得：25.006.00)4045(56.0ef=2.76美
39、元美元 即买权的价格为即买权的价格为2.76美元。美元。2023-7-1031假假设设现现期期股股票票价价格格 为为0P，在在无无风风险险利利率率fr之之下下，在在任任何何 一一个个单单位位时时间间段段 内内，股股票票 价价格格的的预预 期期变变动动只只 取取两两个个可可 能能值值，即即 股股票票价价格格 可可由由0S上上涨涨到到1S或或者者下下跌跌到到2S，概概率率服服从从二二次次 分分布布，分分别别为为p和和pq 1。当当股股票票价价格格上上涨涨到到1S时时，则则该该期期权权的的理理论论价价值值1f就就为为 0，而而如如果果股股票票价价格格下下跌跌到到2S时时，其其 行行 使使 价价 格格
40、 为为0S的的 卖卖 权权，其其 理理 论论 价价 值值2f就就 为为01SS。现现在在考考虑虑以以价价格格0f买买 入入一一份份卖卖权权，以以及及按按照照套套头头率率，以以价价格格0S购购买买 数数 量量 的的 股股 票票，于于 是是 可可 以以 生生 成成 无无 风风 险险 资资 产产 组组 合合 L：00fSL (10.2.15)当当股股票票价价格格上上升升到到1S时时，该该组组合合的的价价值值为为：111SfS。当当股股票票价价格格下下降降到到2S时时，该该组组合合的的价价值值为为：)(20222SSSfS美美 元元。因因 此此，适适 当当的的可可 以以使使上上 面面这这个个证证券券组
41、组合合 成成为为无无风风险险资资产产，即即 股股票票价价格格上上升升与与股股票票 价价格格下下降降时时的的该该资资产产组组合合 的的 价价 值值 相相 同同，于于 是是 有有：2211fSfS (10.2.16)2023-7-1032 图图10.2.3 单单期期的的欧欧式式卖卖权权二二叉叉树树定定价价图图 于于是是，可可以以解解得得：21201212SSSSSSff (10.2.17)资资产产组组合合现现值值与与初初始始投投资资值值应应该该相相等等：001fSeSTrf (10.2.18)整整理理得得出出买买权权的的最最终终定定价价公公式式：010SeSfTrf (10.2.19)式式(10.
42、2.10)在在这这里里仍仍然然成成立立，即即有有：2120SSSeSpTrf 2023-7-1033 事实上，我们同样也可以把事实上，我们同样也可以把(10.2.12)式整理为用式整理为用P表示的表达式，整理的结果表示的表达式，整理的结果为为：TrTrtteSSpefppff)(1()1(20000(10.2.20)例例10.2.3，假设无风险利率为假设无风险利率为6，某种股票的当前价格为每股，某种股票的当前价格为每股$40美元，我们美元，我们预期预期3个月后其价格可能是每股个月后其价格可能是每股$45美元或者每股美元或者每股$35美元，其概率分别为美元，其概率分别为p和和pq 1。试求执行价
43、格为。试求执行价格为$40美元的卖权的合理价格。美元的卖权的合理价格。根据题意，有图根据题意，有图10.2.4。由式。由式(10.2.17)解得解得40350.54535-D=-，代入，代入(10.2.19)可得可得卖卖权的合理定价：权的合理定价：05.0405.04525.006.00ef2.165美元美元 图图10.2.4 例例10.2.3中的二叉树定价图中的二叉树定价图 2023-7-1034 同 样，我 们 可 以 利 用同 样，我 们 可 以 利 用(10.2.20)式 求 解式 求 解，将，将56.03545354025.006.0ep代入代入(10.2.20)式式就就有：有：16
44、5.2)3540)(56.01(25.006.00ef 与例与例10.2.2相比，同样的数据算得的买权和卖权的价格不相比，同样的数据算得的买权和卖权的价格不同，原因在于股票价格上涨的概率大于下跌的概率。同，原因在于股票价格上涨的概率大于下跌的概率。2023-7-1035 单期的期权定价方法很容易扩展到期限更长的期权合约。从单期的期权定价公式可以单期的期权定价方法很容易扩展到期限更长的期权合约。从单期的期权定价公式可以看出，无论是买权还是卖权，他们具有相同形式的定价公式（见式看出，无论是买权还是卖权，他们具有相同形式的定价公式（见式(10.2.14)和式和式(10.2.20)），），因此，对于两
45、期的欧式期权定价公式，我们可以将买权和卖权放在一起讨论。因此，对于两期的欧式期权定价公式，我们可以将买权和卖权放在一起讨论。图图10.2.5 两期欧式期权两期欧式期权的的二叉树定价图二叉树定价图 假设现期股票价格为假设现期股票价格为0S，在无风险利率，在无风险利率fr之下，预期在第之下，预期在第期里股票价格可期里股票价格可0S由由上涨到上涨到1S或者下跌到或者下跌到2S，概率分别为，概率分别为p和和pq 1。而在第二期里，预期股票价格。而在第二期里，预期股票价格以同样的概率分别由以同样的概率分别由1S上涨到上涨到11S或下跌到或下跌到12S，由，由2S上涨到上涨到21S21S或者下跌到或者下跌
46、到22S，涨跌幅度与第涨跌幅度与第期里相同。期里相同。2023-7-10362023-7-1037 例例10.2.4，仍仍然然假假设设无无风风险险利利率率为为6，某某种种股股票票的的当当前前价价格格为为每每股股$40美美元元，与与例例10.2.1不不同同的的是是我我们们不不是是预预期期3个个月月后后的的股股票票价价格格与与期期权权价价格格，而而是是预预期期3个个月月和和6个个月月后后的的价价格格变变化化。假假设设股股票票上上升升与与下下跌跌的的幅幅度度都都为为10时时，试试求求执执行行价价格格为为$40美美元元的的买买权权和和卖卖权权的的合合理理价价格格。图图10.2.6 例例10.2.4中中
47、买买权权的的二二叉叉树树定定价价图图 2023-7-10381、求买权的价格、求买权的价格 具 体 的 数 据 如 图具 体 的 数 据 如 图 10.2.6 所 示所 示，由 式由 式(10.2.10)得得：58.03644364025.006.0ep，代入代入(10.2.21)可得可得：799.40)58.01(4.858.025.006.01ef美元美元 再再将将p代入代入(10.2.22)式，式，可得可得：00)58.01(058.025.006.02ef 将上面得出的将上面得出的1f、2f代入代入(10.2.23)式，式，可可以以得得到：到：74.20)58.01(799.458.0
48、25.006.00ef美元美元 也可由式也可由式(10.2.24)直接求出买权的合理价格直接求出买权的合理价格：25.006.022200)58.01(0)58.01(58.024.858.0ef2.74美元美元 2023-7-10392023-7-1040l将上面得出的将上面得出的f1、f2代入代入(10.2.23)式，可得：式，可得：l 美元美元l也可由式也可由式(10.2.24)直接求出卖权的合理价格：直接求出卖权的合理价格：l=$1.49美元美元l同样由于股票价格上涨的概率大于下跌的概率，同样由于股票价格上涨的概率大于下跌的概率，因此，买权的价格高于卖权的价格。因此，买权的价格高于卖权
49、的价格。l 从表面上看，二叉树期权定价模型似乎有一个不从表面上看，二叉树期权定价模型似乎有一个不足，即假设每一期股票价格变动的结果只有两种可足，即假设每一期股票价格变动的结果只有两种可能性，而在现实中，股票的价格可谓千变万化。但能性，而在现实中，股票的价格可谓千变万化。但实际上这其实并不能构成问题，我们完全可以通过实际上这其实并不能构成问题，我们完全可以通过增加期数（或缩短单位时间长度）来扩大股票价格增加期数（或缩短单位时间长度）来扩大股票价格变动的范围，从而使二叉树期权定价模型更加准确变动的范围，从而使二叉树期权定价模型更加准确地反映金融市场的运行情况。地反映金融市场的运行情况。返回电子版主
50、页返回电子版主页49.1373.3)58.01(165.058.025.006.00ef25.006.022206.7)58.01(4.0)58.01(58.02058.0ef2023-7-10412023-7-10422023-7-10432023-7-1044例例10.2.5，仍仍然然假假设设无无风风险险利利率率为为6%，某某种种股股票票的的当当前前价价格格为为每每股股$40美美元元，与与例例10.2.1不不同同的的是是我我们们预预期期6个个月月后后的的股股票票价价格格与与期期权权价价格格。假假设设股股票票上上升升与与下下跌跌的的幅幅度度都都为为10%时时,除除息息日日在在第第一一期期期期
