1、 - 1 - 北大附中新疆分校 2017-2018 第二学期期末考试 高二数学试卷（理科） 考试时间 120分钟 总分 150分 一、单选题（共 12题；共 60分） 1在极坐标系中已知点 (2, )3P ? ，则其直角坐标是 ( ) A ( 3， 1)， B(- 3， 1) C (1， 3)， D(-1， 3) 2. 两根相距 6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于 2 m的概率为 ( ) A.12 B. 14 C .13 D.16 3 若 i是虚数单位，则复数 11ii? =（ ） A. 1 B. 1 C. i D. i 4 用反证法证明：若整系数一元二次方程
2、ax2 bx c 0(a0) 有有理数根，那么 a、 b、 c中至少有一个是偶数用反证法证明时，下列假设正确的是 ( ) A. 假设 a、 b、 c都是偶数 B. 假设a、 b、 c都不是偶数 C. 假设 a、 b、 c至多有一个偶数 D. 假设 a、 b、 c至多有两个偶数 5.已知 m， n R， mi 1 n i，则复数 m ni在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6.某车间加工零件的数量 x与加工时间 y的统计数据如下表： 零件数 x（个） 11 20 29 加工时间 y（分钟） 20 31 39 现已求得上表数据的回归方程 =
3、bx+a中的 b的值为 0.9，则据此回归模型可以预测，加工 90个零件所需要的加工时间约为（ ） - 2 - A. 93 分钟 B. 94 分钟 C. 95分钟 D. 96分 钟 7.6(2 )x? 的二项展开式中，2x 项的系数是（ ） A. 45 B. 60 C. 135 D. 240 8.从 中任取 2个不同的数，事件 为 “ 取到的 2个数之和为偶数 ” ，事件 为 “ 取到的2 个数均为偶数 ” ，则 等于 ( ) 1,8A 1,4B 2,5C 1,2D 9曲线 3( ) 2f x x x= + -在 0p 处的切线平行于直线 41yx=-，则 0p 点的坐标为（ ） A (1,0
4、) B (2,8) C (1,0) 和 ( 1, 4)? D (2,8) 和 ( 1, 4)? 10.如图，长方形的四个顶点为 O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2)，曲线经过点 B现将一质点随机投入长方形 OABC 中， 则质点落在图中阴影区域的概率是（ ） 5,12A 1,2B 3,4C 2,3D 11.设随机变量 服从正态分布 N(0,1)， P( 1) p ， 则 P( 1 0)等于（ ） 1,2Ap 1,2Bp? ,1 2Cp? ,1Dp? 12.如图，用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，
5、则不同的涂色方法用（ ） A. 288种 B. 264种 C. 240种 D. 168 种 二、填空题（共 4题；共 20分） 13.函数 y=x2sinx的导函数为 _ 14.（ x3 1x ） 4展开式中常数项为 _ 15在极坐标系中，圆 =4sin 的圆心到直线 6? （ R）的距离是 _ - 3 - 三解答题 （ 17 题 10分， 18-22 每题 12分） 17.解答题 （ 1）复数5 32z i?求 z的共轭复数； （ 2） 实数 m取什么数值时，复数 221 ( 2 )z m m m i? ? ? ? ?分别 是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？（ 4）表示复数 z
6、的点在复平面的第四象限？ 18.已知曲线 314() 33f x x? （ 1）求 f （ 5）的值； （ 2）求曲线在点 P（ 2， 4）处的切线方程 19已知 设 P(x， y)是曲线 C： ? 2 cossinxy ? ? ( 为参数， 0,2) 上任意一点，求 （ 1）曲线 C的普通方程 （ 2） yx的取值范围 20.证明题： - 4 - 1） 求证： 3625 ?求证： 2） .已知 x 为实数， 221 , 2 , 12a x b x c x x? ? ? ? ? ? ?， 求证： ,abc中至少有一个不 小于 1 21.为了解某校学生假期日平均数学学习时间情况，现随机抽取 50
7、0名学生进行调查，由调查结果得如下频率分布直方图 （ ）求这 500名学生假期日平均数学学习时间的样本平均数 和样本方差 s2（同一组中的数据用该组的中点值做代表） （ ）由直方图认为该校学生假期日平均数学学习时间 X服从正态分布 N（ ， ? 2），其中 近似为样本平均数 ， ? 2近似为样本的方差 s2 ， （ i）利用该正态分布，求 P（ 100 X122.8 ）； （ ii）若随机从该校学生中抽取 200名学生，记 表示这 200名学生 假期日平均数学学习时间位于（ 77.2， 122.8）的人数，利用（ i）的结果，求 E（ ） 附： 11.4 ， 若 X N（ ， ? 2），则 p
8、（ ? X+? ） =0.6826， p（ 2? X+2? ） =0.9544 22已知曲线 C 的极坐标方程是 2，以极点为原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l的参数方程为122312xtyt?(t为参数 ) - 5 - (1)写出直线 l与曲线 C在直角坐标系下的方程； (2)设曲线 C经过伸缩变换 ? 2xxyy? 得到曲线 C ，设曲线 C 上任一点为 M(x0， y0)，求3x0 12y0的取值范围 - 6 - 答案解析部分 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C C D B D A D B C D B B 12.【答案】 B 【解析】
9、 【解答】 B,D,E,F 用四种颜色，则有 种涂色方法； B,D,E,F用三种颜色，则有 种涂色方法； B,D,E,F用两种颜色，则有 种涂色方法 根据分类计数原理知共有 24+192+48=264种不同的涂色方法 ,故选 B. 二填空题 13.【答案】 y=2xsinx+x 2cosx 14.【答案】 -4 15.【答案】 1642n? 解答题 17.【答案】 （ 1）解： （ z 3）（ 2 i） =5， z 3= =2+i， z=5+i， =5 i； （ 2）略 18.【答案】 解：（ 1） y=f（ x） =的导数为 f （ x） =x2 ， 即有 f （ 5） =25； （ 2）由
10、导数的几何意义可得 切线的斜率 k=f （ 2） =4， 点 P（ 2， 4）在切线上， 所以切线方程为 y 4=4（ x 2）， 即 4x y 4=0 19（略） 20略 - 7 - 21.【答案】 解：（ ） ； s2=（ 40） 20.1+ （ 20） 20.24+0+20 20.22+40 20.11=520 ； （ ）（ i）由（ ）知 X服从正态分布 N（ 100， 520），且 ?= 22.8 ， P（ 100 X122.8 ） = = ； （ ii）由（ i）知学生假期日平均数学学习时间位于（ 77.2， 122.8）的概率为 0.6826， 依题意 服从二项分布，即 B（ 200， 0.6826）， E（ ） =2000.6826=136.52 22 (1)直线 l的普通方程为 3x y 2 3 1 0， 曲线 C的直角坐标方程为 x2 y2 4. (2)曲线 C经过伸缩变换? x xy 2y 得到曲线 C的方程为 x2 y24 4，则点 M的参数方程为? x0 2cosy0 4sin ( 为参数 )， 代入 3x0 12y0得， 3x0 12y0 3 2cos 12 4sin 2sin 2 3cos 4sin? ? 3 ， 3x0 12y0的取值范围是 4,4
