1、第第9 9章章 欧几里得空间欧几里得空间 线性空间的概念是通常几何空间从向线性空间的概念是通常几何空间从向量的加法、数乘运算上的推广和抽象量的加法、数乘运算上的推广和抽象,但作但作为线性空间具体模型的几何空间中有关向为线性空间具体模型的几何空间中有关向量的度量性质量的度量性质,如向量的长度、夹角在线性如向量的长度、夹角在线性空间中未得到体现空间中未得到体现.本章将在实数域上的本章将在实数域上的线线性空间中引入内积概念性空间中引入内积概念,并讨论这并讨论这 样的线性样的线性空间中向量的度量性质空间中向量的度量性质,以及在内积条件下以及在内积条件下线性空间的基和线性变换等问题线性空间的基和线性变换
2、等问题.第第9 9章章 欧几里得空间欧几里得空间n定义与简单性质定义与简单性质n标准正交基标准正交基n同构同构*n正交变换正交变换n子空间子空间n对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形n向量到子空间的距离向量到子空间的距离最小二乘法最小二乘法*9.1 定义与基本性质定义与基本性质n引言引言 几何空间几何空间R3中向量中向量 与与 的内积是指实数的内积是指实数 (,)=|cos=a1b1+a2b2+a3b3|,|分别为向量分别为向量 与与 的模的模(长度长度),为为 与与 的夹角的夹角.利用内积概念也可以表示向量的长度及两个非利用内积概念也可以表示向量的长度及两个非零向量的夹角：零向量的夹角：|),(
3、cos,),(|n显然显然,向量向量 与与 正交正交(垂直垂直)(,)=0,且具有以下且具有以下性质：性质：(,)=(,)(k ,)=k(,)(+,)=(,)+(,)(,)0,当且仅当当且仅当=0时时,(,)=0.由于几何空间中的内积是用向量的由于几何空间中的内积是用向量的长度及夹角长度及夹角表示的，因此不能将其进行形式上的推广，而是用表示的，因此不能将其进行形式上的推广，而是用公里化定义给出实数域公里化定义给出实数域R上线性空间内积的概念上线性空间内积的概念1.内积与内积与欧几里得空间欧几里得空间(1)定义定义 设设V是是实数域实数域R上线性空间上线性空间,称称V上满足下述上满足下述性质的二
4、元实函数性质的二元实函数(,)为为内积：内积：(i)(,)=(,)(ii)(k ,)=k(,)(iii)(+,)=(,)+(,)(iv)(,)0,当且仅当当且仅当=0时时,(,)=0.其中其中,是是V中任意向量，中任意向量，k R.而定义了内积的实而定义了内积的实数域数域R上线性空间上线性空间称为称为欧几里得空间，欧几里得空间，简称简称欧氏空间欧氏空间.按定义，几何空间按定义，几何空间R3构成构成欧氏空间欧氏空间.例例1 1 线性空间线性空间Rn中中,任取任取 =(a1,a2,an),=(b1,b2,bn)定义定义 (,)=a1b1+a2b2+anbn则则(,)是是内积内积,即即Rn关于该内积
5、构成一个关于该内积构成一个n n维维欧氏空间欧氏空间.若在线性空间若在线性空间Rn中中定义定义.,2,1,0),(22211121nidbadbadbaddddinnnTn 则则(,)也是也是内积内积.实数域实数域 R上的线性空上的线性空间间 V可以定义多个可以定义多个内内积积,从而从而V可以可以构成不构成不同的同的欧氏空间欧氏空间.标准内积标准内积例例2 2 在闭区间在闭区间 a,b 上所有实连续函数所成的上所有实连续函数所成的线性空间线性空间C(a,b)中，任取中，任取f(x),g(x),定义定义 badxxgxfgf)()(),(则由定积分的性质可知则由定积分的性质可知(f,g)是是内积
6、内积,从而从而C(a,b)关于该关于该内积构成一个内积构成一个欧氏空间欧氏空间.例例3 3 在实矩阵空间在实矩阵空间Rm n中，任取中，任取A、B,定义定义 (A,B)=tr(ABT)则易知则易知(A,B)是内积是内积,从而从而Rm n关于该内积构成一个关于该内积构成一个mn维的维的欧氏空间欧氏空间.例例4 设设V是是n维的欧氏空间维的欧氏空间,1,2,n为为V的一组基的一组基.若若 V,且且(,i)=0,i=1,2,n,则则=0.0),(),(),(11 niiiniiikk 证证 依题意，可设依题意，可设 =k1 1+k2 2+kn n,则则故故 =0.(2)性质性质 设设V是欧氏空间，则
7、是欧氏空间，则内积有如下性质内积有如下性质(i)(,0)=(0,)=0(ii)(k ,)=(,k )(iii)(,+)=(+,)(iv)(,)0.其中其中,是是V中任意向量，中任意向量，k R.对称性对称性非负性非负性(1)向量的长度向量的长度定义定义 设设 是是欧氏空间中的任意向量，非负实数欧氏空间中的任意向量，非负实数 记记),(称之为向量称之为向量 的长度的长度(范数范数).性质性质(i)|0,当且仅当当且仅当=0时时,|=0 (ii)|k|=|k|(iii)|+|+|(后证后证)证证 (ii)2.向量的长度与夹角向量的长度与夹角.),(),(2 kkkkk .1单单位位化化称称为为把把
8、而而的的向向量量称称为为单单位位向向量量，长长度度为为 (2)向量的夹角向量的夹角 为合理引进两个向量夹角的概念为合理引进两个向量夹角的概念,首先证明首先证明欧氏空欧氏空间中的间中的柯西柯西布涅科夫斯基布涅科夫斯基(Cauchy-Buniakowski)不等式不等式.定理定理 设设V是欧氏空间，是欧氏空间，,V,有有|(,)|当且仅当当且仅当 ,线性相关时等号成立线性相关时等号成立.证证 (i)若若 ,线性无关线性无关,则则0,t ,t R.考虑向量考虑向量 =-t (0),由于由于 (,)=(-t ,-t )=(,)-2t(,)+t2(,)0知知|(,)|.0),)(,(4),(22 0),
9、)(,(),(2 即即(ii)若若 ,线性相关线性相关,则当则当 ,至少有一为零向量时至少有一为零向量时,等号显然成立，否则可设等号显然成立，否则可设 =k.由由|(,)|=|(k ,)|=|k(,)|=|k|2=|k|=|即等号成立；即等号成立；反之若等号成立，反之若等号成立，则则 为零向量时为零向量时,线性相关，线性相关，若若0,则取则取故故 -k =0即即 ,线性相关线性相关.有有,),(),(k0),(),(),)(,(),(),(),(),(22由由条条件件 kk结合具体的欧氏空间，可得如下不等式结合具体的欧氏空间，可得如下不等式.推论推论1 空间空间Rn中中,任取任取 =(a1,a
10、2,an),=(b1,b2,bn)，有有推论推论3 设设V是欧氏空间是欧氏空间,V,有下列三角不等式有下列三角不等式|-|+|+|.推论推论2 空间空间C(a,b)中，任取中，任取f(x),g(x),有有 niiniinnbabababa12122211212212)()()()(bababadxxgdxxfdxxgxf柯西不等式柯西不等式许瓦尔兹不等式许瓦尔兹不等式证证 由由|+|2=(+,+)=(,)+2(,)+(,)|2+2|+|2=(|+|)2故故|+|+|；又；又|=|(+)-|+|+|-|=|+|+|从而从而|-|+|.|依据依据柯西柯西布涅科夫斯基布涅科夫斯基不等式不等式|(,)
11、|可得可得),0,0(,1),(从而有如下向量从而有如下向量与与的夹角的夹角的定义的定义.定义定义 设设V是欧氏空间，是欧氏空间，对任意非零向量对任意非零向量 ,V,称称 与与 的夹角的夹角.,0,),(arccos,(3)正交向量正交向量定义定义 设设V是欧氏空间，是欧氏空间，如果对如果对 ,V，有，有 (,)=0称称向量向量 与与 正交正交或或垂直，垂直，记为记为 .当当向量向量 与与 正交时，有勾股定理正交时，有勾股定理|+|2=|2+|2.两两正交：两两正交：设设 i(i=1,2,m)V,若若(i,j)=0(i j)称向称向量组量组 i(i=1,2,m)为为两两正交两两正交的向量组的向
12、量组.因因此此我我们们有有显显然然，,0),(2,定义定义 设设V是是n维维欧氏空间欧氏空间,1,2,n为为V的一组基的一组基.称称 ),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nnnnnnA 为基为基 1,2,n的的度量矩阵度量矩阵.性质性质(i)AT=A (ii)对对V中任意向量中任意向量 =x1 1+x2 2+xn n,=y1 1+y2 2+yn n,有有 (,)=XTAY.3.度量矩阵度量矩阵.,2121 nnyyyYxxxX其其中中基的度量矩阵完基的度量矩阵完全确定了内积！全确定了内积！(iv)度量矩阵度量矩阵是正定的是正定的.事实上事实上,对对V中
13、任意非零向量中任意非零向量 =x1 1+x2 2+xn n,即即(iii)设设 1,2,n及及 1 1,2,n为为n维维欧氏空间欧氏空间V的两的两组基组基,对应的度量矩阵分别为对应的度量矩阵分别为A与与B.若若 (1 1,2,n)=(1,2,n)C则则B=CTAC.0),(,021 AXXxxxXTn 有有即即度量矩阵度量矩阵A是正定的是正定的.不同基的度量矩不同基的度量矩阵是合同的！阵是合同的！9.2 标准正交基标准正交基1.正交向量组正交向量组 定义定义 欧氏空间欧氏空间V中中一组两两正交的非零向量称为一组两两正交的非零向量称为V的的一个一个正交向量组正交向量组.为方便，单个的非零向量也看
14、成正交向量组为方便，单个的非零向量也看成正交向量组.定理定理 正交向量组是线性无关的向量组正交向量组是线性无关的向量组.证证考考虑虑表表达达式式给给定定正正交交向向量量组组,21m 两边同时与两边同时与 i作内积作内积,得得),2,1(00,0),(mikkiiiii ，但但 .,21线性无关线性无关即即m ,02211mmkkk n维欧氏空间的两两正交的非维欧氏空间的两两正交的非零向量的个数不能超过零向量的个数不能超过n个个！解解依题意依题意 3=（x1,x2,x3)T应满足应满足 112110201110111得得基基础础解解系系由由 A.1123，即即为为所所求求取取 .,110,111
15、3213213为正交向量组为正交向量组，使使一非零向量一非零向量试求试求中向量中向量已知欧氏空间已知欧氏空间 R例例1 000),(0),(323212313xxxxx即即 2.标准正交基的概念标准正交基的概念定义定义 n维欧氏空间维欧氏空间V中，由中，由n个个正交向量组成的正交向正交向量组成的正交向量组称为量组称为V的一个的一个正交基正交基(orthogonal);由单位向量组成由单位向量组成的正交基称为的正交基称为V的一个的一个标准正交基标准正交基.依定义，若依定义，若 1,2,n是是n维欧氏空间维欧氏空间V中中一个标一个标准正交基，则准正交基，则反之亦然，因此有如下结论反之亦然，因此有如
16、下结论.定理定理 n维欧氏空间维欧氏空间V的一组基的一组基 1,2,n是标准正是标准正交基交基为该基的度量矩阵为该基的度量矩阵A=(i,j)n n为单位矩阵为单位矩阵.).,2,1,(,0,1),(njijijiji 说明说明 在标准正交基下在标准正交基下,向量的坐标可以通过向量的坐标可以通过内积简单内积简单地表示出来：即地表示出来：即若若 1,2,n是欧氏空间是欧氏空间V的一个标的一个标准正交基，则准正交基，则 V 有有 =(,1)1+(,2)2+(,n)n 在标准正交基下在标准正交基下,内积有特别简单的表达式内积有特别简单的表达式.设设 =x1 1+x2 2+xn n,=y1 1+y2 2
17、+yn n,则则 (,)=x1y1+x2y2+xnyn=XTY.,2121 nnyyyYxxxX其其中中正是几何空间中向量的正是几何空间中向量的内积在直角坐标系坐标内积在直角坐标系坐标表达式的推广表达式的推广！3.标准正交基的存在性及其求法标准正交基的存在性及其求法定理定理1 n维欧氏空间维欧氏空间V中任意一个中任意一个正交向量组都能扩充正交向量组都能扩充成成V的一组正交基的一组正交基.证证 设设 1,2,m是是一一正交向量组正交向量组,对对n-m作数学归纳法作数学归纳法.当当n-m=0时时,1,2,m就是就是一组一组正交基正交基.假设假设n-m=k时定理成立，即可找到向量时定理成立，即可找到
18、向量 1,2,k使使 1,2,m,1,2,k成为一组正交基成为一组正交基.以下考虑以下考虑n-m=k+1的情形的情形.因因mn,故故必有向量必有向量 不能被不能被 1,2,m线性表示，作向量线性表示，作向量 m+1=-k1 1-k2 2-km m则适当选取则适当选取ki(i=1,2,m)可使可使 1,2,m,m+1为正交为正交向量组向量组.事实上，用事实上，用 i 与与 m+1作内积，得作内积，得 (i,m+1)=(,i)-ki(i,i)(i=1,2,m)即即 1,2,m,m+1为正交向量组为正交向量组,由归纳法假设由归纳法假设,1,2,m,m+1可扩充成可扩充成V的一组正交基的一组正交基.|
19、定理定理2 对于对于n维欧氏空间维欧氏空间V 中任意一中任意一组基组基 1,2,n都都可找到一组标准正交基可找到一组标准正交基 1 1,2,n，使，使 L(1,2,i)=L(1 1,2,i)(i=1,2,n)证证 (1)正交化正交化 令令 1=1,若若(1,2)=0,取取 2=2，否则，否则令令 2=2-k 1(k待定待定).为使为使(2,1)=0,有有).,2,1(0),(),2,1(,),(),(1mimikmiiiii 有有取取21212211111(,)(,),(,)(,)k 即即取取则则(2,1)=0,即向量组即向量组 1,2为正交向量组且与向量为正交向量组且与向量组组 1,2等价等
20、价.假设已求出正交向量组假设已求出正交向量组 1,2,i-1,再令再令 i=i-k1 1-k2 2+-ki-1 i-1 (kj待定待定)为使为使(i,j)=0(j=1,2,i-1),即即 (i-k1 1-k2 2-ki-1 i-1,j)=(i,j)-kj(j,j)=0得得)1,2,1(,),(),(ijkjjjij 于是于是111122221111),(),(),(),(),(),(iiiiiiiii 向量组向量组 1,2,i为正交向量组且与向量组为正交向量组且与向量组 1,2,i等价等价.综上所述综上所述,1,2,n为为n维欧氏空间维欧氏空间V 的的一一组正交组正交基且基且 L(1,2,i)
21、=L(1,2,i)(i=1,2,n)(2)单位化单位化 令令则则 1 1,2,n为为n维欧氏空间维欧氏空间V 的一组标准正交基，的一组标准正交基，且且 L(1,2,i)=L(1 1,2,i)(i=1,2,n)|),2,1(niiii 上述由基获得标准正交基的方法通常称为上述由基获得标准正交基的方法通常称为施密特施密特(Schimidt)正交化方法正交化方法例例2.101,011,1103321将其化为标准正交基将其化为标准正交基的一组基，的一组基，为为已知向量已知向量R 解解 (i)正交化正交化 令令,11 11132112213111021101),(),(),(),(22223111133
22、3 1122111021011),(),(1111222 即即(ii)单位化单位化令令31212312321063111,263111263 .,321即即为为所所求求则则 11132,11221,110321 4.正交矩阵正交矩阵定义定义 若若n级实方阵级实方阵A满足满足 ATA=E(或或AAT=E)称称A为为正交矩阵正交矩阵.性质性质(i)A为正交矩阵为正交矩阵,则则|A|=1;(ii)A为正交矩阵为正交矩阵,则则A1=AT;(iii)A、B为正交矩阵，则为正交矩阵，则AB 为正交矩阵；为正交矩阵；(iv)A为正交矩阵为正交矩阵 A的的n个行个行(列列)向量都是向量都是Rn的标准的标准正交
23、基正交基.EAAaaaAATn 则则由由按按列列分分块块将将,21.),2,1,(0,1；反反之之亦亦然然，即即有有njijijiaajTi 证证 (iv)nTnTnTnnTTTnTTTnTnTTaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2122212121112121,得得,100010001 定理定理 设设 1,2,n 为为n维欧氏空间维欧氏空间V的一组标准的一组标准正交正交基基,且且 (1 1,2,n)=(1,2,n)C，则，则 1 1,2,n为为V的的标准标准正交基正交基过渡过渡矩阵矩阵C为正交矩阵为正交矩阵.证证()1,2,n 及及 1 1,2,n为为n维欧氏空间维欧氏空间V的
24、标的标准准正交基正交基,故它们的度量矩阵故它们的度量矩阵A=E、B=E,又又V的不同的不同基的度量矩阵合同：基的度量矩阵合同：B=CTAC 知知 CTC=E即即C为为正交矩阵；正交矩阵；()(i,j)=(c1i 1+c2i 2+cni n,c1j 1+c2j 2+cnj n)kjnkkisksjnskinkcccc 111),(jijiECCT,0,1即即 1,2,n为为n维欧氏空间维欧氏空间V的标准的标准正交基正交基.|1.将下列向量组正交化、单位化将下列向量组正交化、单位化(1)(2,0),(1,1);(2)(2,0,0),(0,1,-1),(5,6,0).111111111111.232
25、1单单位位向向量量都都正正交交的的，求求与与向向量量 思考练习思考练习9.4 正交变换正交变换定义定义 设设 是是欧氏空间欧氏空间V的线性变换的线性变换,若若 保持内积不变，保持内积不变，即即 ,V，有，有 (),()=(,)称称 是是V的的正交变换正交变换.定理定理 设设 是是n维维欧氏空间欧氏空间V的线性变换的线性变换,则有如下等价则有如下等价命题：命题：是是正交变换正交变换；保持向量长度不变，即保持向量长度不变，即 V，有，有|()|=|；若若 1,2,n 为为V的一组标准的一组标准正交基，则正交基，则(1),(2),(n)也是标准也是标准正交基；正交基；在任一组在任一组标准标准正交基下
26、的矩阵是正交矩阵正交基下的矩阵是正交矩阵.说明：说明：由于在由于在标准标准正交基下正交基下正交变换对应于正交矩阵，正交变换对应于正交矩阵，因此易知：因此易知：正交变换是可逆的；逆变换也是正交变换；正交变换是可逆的；逆变换也是正交变换；正交变换的乘积是正交变换正交变换的乘积是正交变换.若若 在标准在标准正交基下的正交矩阵为正交基下的正交矩阵为A，则当，则当|A|=1时，时，称称正交变换正交变换 为旋转，或第一类的为旋转，或第一类的；|A|=-1时，时，称称正交变换正交变换 为第二类的为第二类的.9.5 子空间子空间 欧氏子空间的正交关系欧氏子空间的正交关系1.正交子空间与正交补的定义正交子空间与
27、正交补的定义 设设V1,V2是欧氏空间是欧氏空间V中两个子空间中两个子空间,如果如果 V且且 V1,恒有恒有(,)=0，称，称 与子空与子空间间V1正交正交，记为，记为 V1；如果如果 V1和和 V2,恒有恒有(,)=0，则称，则称 V1,V2 为为正交的正交的，记为，记为V1 V2；如果如果V1 V2，且，且V=V1+V2 称称V2 为为V1 的正交补的正交补，记为记为V1 .2.正交子空间的有关结果正交子空间的有关结果定理定理 设设V是欧氏空间，是欧氏空间，,i,j V,则则 L(1,2,t)j（j=1,2,t）L(1,2,s)L(1,2,t)i j （i=1,2,s;j=1,2,t）若欧
28、氏空间若欧氏空间V的的子空间子空间V1，V2，Vs两两正交，两两正交，则和则和V1+V2+Vs为直和；为直和；n维欧氏空间维欧氏空间V的每一个子空间的每一个子空间V1都有唯一的正交都有唯一的正交补，且补，且V1 恰由所有与恰由所有与 V1 正交的向量组成；正交的向量组成；设设V1是是 n维欧氏空间维欧氏空间V的子空间，则的子空间，则 维维(V)=维维(V1)+维维(V1 )正交和与直和有无区别？正交和与直和有无区别？正交和与直和有区别：正交和与直和有区别：V=V1+V1 称为称为正交和，而正交和，而V=V1 V2称为直和称为直和.正交和必为与直和正交和必为与直和；由教材由教材P375定理定理5
29、及定义及定义11即得；即得；直和不一定为正交和：直和不一定为正交和：例如例如V=R2（标准内积），（标准内积），V1=L()，=(1,1),V2=L(),=(1,2)，则，则V=V1 V2但两但两(,)=3 0，故该和不是，故该和不是正交和正交和9.6 实对称矩阵的标准形实对称矩阵的标准形 利用对称变换刻画实对称矩阵的有关特征利用对称变换刻画实对称矩阵的有关特征.主要结果：主要结果：若若A为为n级实对称矩阵级实对称矩阵,则必存在正交矩阵则必存在正交矩阵T，使使 TT AT=T1 AT=为对角阵，为对角阵，的对角线上的元素为的对角线上的元素为A的的n个特征值个特征值.1.对称变换对称变换定义定义
30、 设设 是是欧氏空间欧氏空间V的线性变换的线性变换,V，有，有 (),)=(,()称称 是是V的的对称变换对称变换.定理定理1 V为为n维维欧氏空间欧氏空间,是是V的对称变换的对称变换 在在V的的标准标准正交基下的矩阵为实对称矩阵正交基下的矩阵为实对称矩阵.证明证明()设设 1,2,n 为为V的一组标准的一组标准正交基正交基,在在 1,2,n 下的矩阵下的矩阵A=(aij)n n.由由 (i)=a1i 1+a2i 2+ani n(i=1,2,n)得得 aji=(a1i 1+a2i 2+ani n,j)=(i),j)=(i,(j)=(i,a1j 1+a2j 2+anj n)=aij,i,j=1,
31、2,n 故故A为对称矩阵为对称矩阵.()设设 在在V的的标准标准正交基正交基 1,2,n下的矩阵为实对下的矩阵为实对称矩阵称矩阵.由由(i)=a1i 1+a2i 2+ani n(i=1,2,n)及及 (i),j)=aji=aij=(i,(j)i,j=1,2,n 则则 =x1 1+x2 2+xn n,=y1 1+y2 2+yn n V有有 (),)=(x1(1)+xn(n),y1 1+y2 2+yn n)(,(),(1111jijnjinijijnjiniyxyx =(,()故故 是是V的对称变换的对称变换.定理定理2 欧氏空间欧氏空间V的对称变换的属于不同特征值的特的对称变换的属于不同特征值的
32、特征向量正交征向量正交.证明证明 是是V的对称变换的对称变换,、为为 的两个不同特征值，的两个不同特征值，,为对应的特征向量为对应的特征向量，即，即 ()=，()=由由 (),)=(,()得得 (,)=(,)但但 故故 (,)=0即即 ,正交正交.定理定理3 设设 是是V的对称变换的对称变换,V1是是-不变子空间不变子空间,则则V1 也也是是-不变子空间不变子空间.(证明略证明略)V1中任一向量中任一向量 的的像像()仍在仍在V1中中.若若V1 V2,且且V1+V2=V,称称V2为为V1的正交补的正交补,记作记作V1 由于由于n维维欧氏空间欧氏空间V的对称变换的对称变换在在标准标准正交基下正交
33、基下的矩阵为实对称矩阵的矩阵为实对称矩阵,因此对实对称矩阵有以下结论因此对实对称矩阵有以下结论.2.实对称矩阵实对称矩阵定理定理4 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交.定理定理5 实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵的特征值都是实数.证明证明 设设A为为n级实对称矩阵级实对称矩阵,是是A的特征值的特征值,对应的特对应的特征向量为征向量为 naaa21 有有令令,21 naaa 则则 设设A=.从从而而 AA)()()(TTTTTTAAA )()(TT0),(212121 niinnTaaaaaaa 但但0)(T即即.因因此此定理定理6 对于任意对于任意
34、n级实对称矩阵级实对称矩阵A为为,必存在必存在n级正交矩级正交矩阵阵T，使，使 TT AT=T1 AT=为对角阵为对角阵,的对角线上的元素为的对角线上的元素为A的的n个特征值个特征值.证明证明 只须证只须证V的对称变换的对称变换 有有n个特征向量做成个特征向量做成V的的标标准准正交基即可正交基即可.对空间的维数对空间的维数n作归纳法作归纳法.1.欧氏空间欧氏空间V的线性变换的线性变换 在以在以n个特征个特征向量为基底时，对应的矩阵为对角阵；向量为基底时，对应的矩阵为对角阵；2.欧氏空间欧氏空间V的对称变换的对称变换在在标准标准正交基正交基下的矩阵为实对称矩阵下的矩阵为实对称矩阵3.由由标准标准
35、正交基到正交基到标准标准正交基的过渡正交基的过渡矩阵为正交矩阵矩阵为正交矩阵4.在不同基下的矩阵相似在不同基下的矩阵相似.当当n=1时时,在在V的任一标准的任一标准正交基下的矩阵均为正交基下的矩阵均为1阶矩阵，因而定理成立阶矩阵，因而定理成立.假设假设n-1时定理结论成立时定理结论成立,下证下证对对n维欧氏空间定理也成立维欧氏空间定理也成立.事实上，由事实上，由,是是n维维欧氏空间欧氏空间V的对称变换，知的对称变换，知 的特征值都是实数的特征值都是实数.设设 1是是 的一个的一个特征值，对应的特特征值，对应的特征向量为征向量为 1,则则(1)=1.令令.,1)(,111111111上的对称变换
36、上的对称变换是是从而从而不变子空间不变子空间维维是是不变子空间，而不变子空间，而是一维是一维的单位特征向量，的单位特征向量，的属于特征值的属于特征值是是则则 VnVLV 由归纳法假设由归纳法假设,在在V1 中有中有n-1个特征向量个特征向量 1,2,n构构成成V1 的的标准标准正交基正交基,从而从而 1,2,n是是n维欧氏空间维欧氏空间V的的标准标准正交基，也是正交基，也是 的的n个特征向量个特征向量.|(i)由由|E A|=0求出求出A的全部特征值的全部特征值 1,2,n;(ii)对每个对每个 i,求方程组求方程组(i EA)x=0 的的基础解系基础解系即为即为A的属于特征值的属于特征值 i
37、 的线性无关特征向量的线性无关特征向量;(iii)将线性无关特征向量将线性无关特征向量正交化正交化、单位化单位化，令令 T=(1 1,2,n)则则T为正交矩阵，且使为正交矩阵，且使 T1 AT=TT AT=用正交矩阵化用正交矩阵化A为对角阵的步骤：为对角阵的步骤：.21 n 例例1 1解解(i).,1111111111为为对对角角阵阵，使使求求一一个个正正交交矩矩阵阵设设 ATTATTTAT；的的特特征征值值得得3,0321 A),3(1111111112 AE由由.0)0(032 xAE时时，解解当当 0000001111111111110AE由由(ii)321xxx 得得.0)3(33 x
38、AE时，解时，解当当 2111013121011112000EA 由由;11133231 线线性性无无关关特特征征向向量量为为得得xxxx;101,01121 线线性性无无关关特特征征向向量量为为(iii)正交化、单位化正交化、单位化,01111 取取.;2112101121101),(),(331111222 1116323121111232631232163,.0 令令 T=(1 1,2,3)则则T为正交矩阵，且使为正交矩阵，且使 T1 AT=TT AT 31623161213161210.300 都可经过正交线性替换都可经过正交线性替换X=TY化为标准形化为标准形其中其中 1,2,n为为
39、A的特征多项式的全部根的特征多项式的全部根.3.3.实二次型的有关结论实二次型的有关结论定理定理 任意任意n元实二次型元实二次型AXXxxxfTn),(212222211,nnyyy p 经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量p Study Constantly,And You Will Know Everything.The More You Know,The More Powerful You Will Be写在最后谢谢你的到来学习并没有结束，希望大家继续努力Learning Is Not Over.I Hope You Will Continue To Work Hard演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
