1、化学化学数学数学第二课时函数的最大第二课时函数的最大(小小)值值化学化学数学数学 目标导航目标导航 课标要求课标要求1.1.理解函数的最大理解函数的最大(小小)值及其几何意义值及其几何意义.2.2.会求一些简单函数的最大值或最小值会求一些简单函数的最大值或最小值.3.3.体会数形结合思想、分类讨论思想在求函数最体会数形结合思想、分类讨论思想在求函数最值问题中的应用值问题中的应用.素养达成素养达成通过利用函数的单调性求函数最值通过利用函数的单调性求函数最值,培养学生逻培养学生逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养辑推理、数学运算、数学建模的核心素养;通过通过数形结合求函数最值数形结合求函数最值,
2、培养学生直观想象的核心培养学生直观想象的核心素养素养.数学数学新知导学新知导学素养养成素养养成课堂探究课堂探究素养提升素养提升化学化学数学数学新知导学新知导学素养养成素养养成1.1.最大值最大值(1)(1)定义定义:一般地一般地,设函数设函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为I,I,如果存在实数如果存在实数M M满足满足:对于任意的对于任意的xI,xI,都有都有f(x)f(x)M;M;存在存在x x0 0I,I,使得使得 .那么那么,称称M M是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最大值的最大值.(2)(2)几何意义几何意义:函数函数y=f(x)y=f(x)的最大值是图象最的最大值是
3、图象最 点的点的 坐标坐标.f(xf(x0 0)=M)=M高高纵纵化学化学数学数学思考思考1:1:假设函数假设函数f(x)M,f(x)M,那么那么M M一定是函数的最大值吗一定是函数的最大值吗?答案答案:不一定不一定,只有定义域内存在一点只有定义域内存在一点x0,x0,使使f(x0)=Mf(x0)=M时时,M,M才是函数的最才是函数的最大值大值,否那么不是否那么不是.2.2.最小值最小值(1)(1)定义定义:一般地一般地,设函数设函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为I,I,如果存在实数如果存在实数M M满足满足;对于任意的对于任意的xI,xI,都有都有f(x)M;f(x)M;存在存
4、在x0I,x0I,使得使得 .那么那么,称称M M是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最小值的最小值.(2)(2)几何意义几何意义:函数函数y=f(x)y=f(x)的最小值是图象最的最小值是图象最 点的点的 坐标坐标.f(xf(x0 0)=M)=M低低纵纵化学化学数学数学思考思考2:2:函数函数y=f(x)y=f(x)在定义域在定义域a,ba,b上单调上单调,如何求函数的最值如何求函数的最值?答案答案:如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在定义域在定义域a,ba,b上单调递增上单调递增,那么那么 f(x)max=f(b),f(x)max=f(b),f(x)min=f(a);f(x)min
5、=f(a);如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在定义域在定义域a,ba,b上单调递减上单调递减,那么那么f(x)max=f(a),f(x)min=f(b).f(x)max=f(a),f(x)min=f(b).思考思考3:3:函数的最大函数的最大(小小)值与函数值域有什么关系值与函数值域有什么关系?答案答案:(1):(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质函数的最值和值域反映的是函数的整体性质,针对的是整个定针对的是整个定义域义域.(2)(2)函数的值域一定存在函数的值域一定存在,而函数的最大而函数的最大(小小)值不一定存在值不一定存在.(3)(3)假设函数的最值存在假设函数的最值存在
6、,那么一定是值域中的元素那么一定是值域中的元素.化学化学数学数学名师点津名师点津关于函数最值的说明关于函数最值的说明(1)(1)最大最大(小小)值必须是一个函数值值必须是一个函数值,是值域中的一个元素是值域中的一个元素,如函数如函数y=x2(xR)y=x2(xR)的最小值是的最小值是0,0,有有f(0)=0.f(0)=0.(2)(2)最大最大(小小)值定义中的值定义中的“任意是说对于定义域内的每一个值都任意是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式必须满足不等式,即对于定义域内的全部元素即对于定义域内的全部元素,都有都有f(x)M(f(x)M)f(x)M(f(x)M)成立成立,也就是说也就是说
7、,函数函数y=f(x)y=f(x)的图象不能位于直线的图象不能位于直线y=My=M的上的上(下下)方方.(3)(3)最大最大(小小)值定义中的值定义中的“存在是说定义域中至少有一个实数满存在是说定义域中至少有一个实数满足等号成立足等号成立,也就是说也就是说y=f(x)y=f(x)的图象与直线的图象与直线y=My=M至少有一个交点至少有一个交点.化学化学数学数学课堂探究课堂探究素养提升素养提升题型一题型一单调性法求函数最值单调性法求函数最值化学化学数学数学化学化学数学数学(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)在在1,41,4上的最值上的最值.化学化学数学数学方法技巧方法技巧利用函数单调性求最值
8、的步骤利用函数单调性求最值的步骤:确定函数的单调性确定函数的单调性;借助最值与单借助最值与单调性的关系写出函数的最值调性的关系写出函数的最值.化学化学数学数学化学化学数学数学化学化学数学数学(1)(1)证明证明:设设x1x1和和x2x2是任意的两个实数是任意的两个实数,且且x1x2,x10,x2-x10,因为因为x0 x0时时,f(x)0,f(x)0,所以所以f(x2-x1)0,f(x2-x1)0,又因为又因为x2=(x2-x1)+x1,x2=(x2-x1)+x1,所以所以f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-x1)+f(x1),f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-x1)+f
9、(x1),所以所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)0,f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)0,所以所以f(x2)f(x1).f(x2)f(x1).所以所以f(x)f(x)是是R R上的单调减函数上的单调减函数.化学化学数学数学(2)(2)求求f(x)f(x)在在-3,3-3,3上的最小值上的最小值.化学化学数学数学题型二题型二分段函数的最值分段函数的最值解解:作出函数作出函数f(x)f(x)的图象的图象(如图如图).).由图象可知由图象可知,当当x=x=1 1时时,f(x),f(x)取最大值为取最大值为f(f(1)=1.1)=1.当当x=0 x=0时时,f(x),f(x)取最小值取
10、最小值f(0)=0,f(0)=0,故故f(x)f(x)的最大值为的最大值为1,1,最小值为最小值为0.0.化学化学数学数学方法技巧方法技巧(1)(1)分段函数的最大分段函数的最大(小小)值是各段函数在其定义域上的最大值是各段函数在其定义域上的最大(小小)值中较值中较大大(小小)的一个的一个.(2)(2)分段函数的最值问题分段函数的最值问题,假设函数在各段上均为单调函数假设函数在各段上均为单调函数,可根据函数可根据函数单调性确定最值单调性确定最值.假设函数在各段上不具有单调性假设函数在各段上不具有单调性,可借助函数图象求可借助函数图象求最值最值.化学化学数学数学答案答案:(1)(1)B B化学化
11、学数学数学(2)(2)函数函数f(x)=|x-2|-2f(x)=|x-2|-2在区间在区间0,30,3上的最小值为上的最小值为,最大值为最大值为.答案答案:(2)-2(2)-20 0化学化学数学数学题型三题型三二次函数的最值二次函数的最值 例例3 f(x)=x2-4x+3,3 f(x)=x2-4x+3,求函数求函数f(x)f(x)在以下区间上的值域在以下区间上的值域.(1)-1,1;(1)-1,1;解解:因为因为f(x)=xf(x)=x2 2-4x+3=(x-2)-4x+3=(x-2)2 2-1,-1,所以函数所以函数f(x)f(x)在在(-,2(-,2上是减函数上是减函数,在在2,+)2,+
12、)上是增函数上是增函数.(1)(1)因为因为x-1,1,x-1,1,所以所以f(x)f(x)在在-1,1-1,1上是减函数上是减函数,又又f(-1)=8,f(1)=0,f(-1)=8,f(1)=0,所以函数所以函数f(x)f(x)在在-1,1-1,1上的值域为上的值域为0,8.0,8.化学化学数学数学(2)-2,3;(2)-2,3;解解:(2)(2)因为因为x-2,3,x-2,3,且且f(x)f(x)的对称轴方程是的对称轴方程是x=2,x=2,所以当所以当x-2,2x-2,2时时,函数函数f(x)f(x)是减函数是减函数,此时函数的值域为此时函数的值域为y|f(2)yf(-2),y|f(2)y
13、f(-2),即即y|-1y15.y|-1y15.当当x2,3x2,3时时,函数函数f(x)f(x)是增函数是增函数,此时函数的值域为此时函数的值域为y|f(2)yf(3),y|f(2)yf(3),即即y|-1y0.y|-1y0.所以所以x-2,3x-2,3时时,函数的值域为函数的值域为y|-1y15.y|-1y15.化学化学数学数学(3)0,a.(3)0,a.解解:(3)(3)因为因为f(x)f(x)的对称轴方程是的对称轴方程是x=2,x=2,所以当所以当a2a2时时,函数函数f(x)f(x)在在0,a0,a上是减函数上是减函数,此时函数的值域为此时函数的值域为y|f(a)yf(0),y|f(
14、a)yf(0),即即aa2 2-4a+3,3,-4a+3,3,当当2a424a4时时,函数在函数在x=2x=2处取得最小值处取得最小值,最大值为最大值为f(a),f(a),故函数的值域为故函数的值域为-1,a-1,a2 2-4a+3.-4a+3.化学化学数学数学一题多变一题多变:(1)(1)求求f(x)=xf(x)=x2 2-4x+3-4x+3在在-2,7-2,7和和3,73,7上的值域上的值域;解解:(1)(1)由本例题由本例题(2)(2)的解答知的解答知,x-2,2,x-2,2时时,函数函数f(x)f(x)是减函数是减函数,当当x2,7x2,7时时,函数函数f(x)f(x)是增函数是增函数
15、,且且f(-2)=15,f(2)=-1,f(7)=24,f(-2)=15,f(2)=-1,f(7)=24,所以所以x-2,7x-2,7时时,函数的值域为函数的值域为-1,24.-1,24.又因为又因为x3,7,x3,7,所以所以f(x)f(x)在在3,73,7上是增函数上是增函数,因为因为f(3)=0,f(7)=24,f(3)=0,f(7)=24,所以函数的值域为所以函数的值域为0,24.0,24.故当故当x-2,7x-2,7时时,函数值域为函数值域为-1,24,-1,24,当当x3,7x3,7时时,函数值域为函数值域为0,24.0,24.化学化学数学数学(2)(2)求函数求函数f(x)=xf
16、(x)=x2 2-4x+3-4x+3在区间在区间t,t+1(tt,t+1(tR R)上的最大值上的最大值g(t)g(t)与最小值与最小值h(t);h(t);解解:(2)(2)由由f(x)=(x-2)f(x)=(x-2)2 2-1-1知知,当当t+12t+12时时,即即t1t1时时,函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-4x+3-4x+3在在t,t+1t,t+1上是减函数上是减函数,最大值为最大值为g(t)=f(t)=tg(t)=f(t)=t2 2-4t+3,-4t+3,最小值为最小值为h(t)=f(t+1)=(t-1)h(t)=f(t+1)=(t-1)2 2-1=t-1=t2 2-2t,-2
17、t,当当t2t2时时,函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-4x+3-4x+3在在t,t+1t,t+1上是增函数上是增函数,最大值为最大值为g(t)=f(t+1)=tg(t)=f(t+1)=t2 2-2t,-2t,最小值为最小值为h(t)=f(t)=th(t)=f(t)=t2 2-4t+3,-4t+3,当当t2t+1,t2t+1,即即1t21t2时时,函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-4x+3-4x+3在在t,t+1t,t+1上的最小值为上的最小值为h(t)=f(2)=-1.h(t)=f(2)=-1.化学化学数学数学化学化学数学数学(3)(3)假设将函数假设将函数f(x)=x2-4x+
18、3f(x)=x2-4x+3变为变为“f(x)=x2-2ax+3“f(x)=x2-2ax+3,求函数求函数f(x)f(x)在区在区间间-1,1-1,1上的最小值上的最小值.解解:(3)f(x)=x(3)f(x)=x2 2-2ax+3=(x-a)-2ax+3=(x-a)2 2+3-a+3-a2 2,其图象开口向上其图象开口向上,对称轴为对称轴为x=a,x=a,a-1a0a0和和a0a0a0时时,由由(2a+1)-(a+1)=2(2a+1)-(a+1)=2得得a=2.a=2.当当a0a0时时,函数函数f(x)=ax+1f(x)=ax+1在在1,21,2上是减函数上是减函数,最大值为最大值为f(1)=
19、a+1,f(1)=a+1,最最小值为小值为f(2)=2a+1,f(2)=2a+1,故故(a+1)-(2a+1)=-a=2,(a+1)-(2a+1)=-a=2,此时此时a=-2.a=-2.应选应选C.C.化学化学数学数学学霸经验分享区学霸经验分享区假设函数假设函数f(x)f(x)在闭区间在闭区间a,ba,b上单调上单调,那么那么f(x)f(x)的最值必在区间端的最值必在区间端点处取得点处取得,即最大值是即最大值是f(a)f(a)或或f(b),f(b),最小值是最小值是f(b)f(b)或或f(a).f(a).化学化学数学数学(2)(2)二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在
20、给定区间上的最值问题探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出二次函数在给一般要先作出二次函数在给定区间上的图象定区间上的图象,结合图象求最值结合图象求最值,而对于含参数的二次函数在给定区而对于含参数的二次函数在给定区间上的最值间上的最值,应按二次函数的对称轴与区间的相对位置关系分类讨论应按二次函数的对称轴与区间的相对位置关系分类讨论(一般是按对称轴在区间两侧或对称轴在区间内分类讨论一般是按对称轴在区间两侧或对称轴在区间内分类讨论).).化学化学数学数学课堂达标课堂达标1.1.函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间-4,3-4,3上的图象如下图上的图象如下图,那么此函数的最大、小值
21、那么此函数的最大、小值分别是分别是()(A)4,f(2)(A)4,f(2)(B)f(2),-3(B)f(2),-3(C)4,-3(C)4,-3(D)4,-4(D)4,-4C C化学化学数学数学2.2.函数函数f(x)=x2-2,f(x)=x2-2,其中其中x0,2,x0,2,那么这个函数的最大值和最小值分别那么这个函数的最大值和最小值分别为为()(A)-2(A)-2和和1 1(B)2(B)2和和-2-2(C)2(C)2和和-1-1(D)-1(D)-1和和2 2B B解析解析:当当x=0 x=0时时,f(x),f(x)有最小值有最小值f(0)=-2,f(0)=-2,当当x=2x=2时时,f(x)
22、,f(x)有最大值有最大值f(2)=2.f(2)=2.化学化学数学数学3.3.设定义在设定义在R R上的函数上的函数f(x)=x|x|,f(x)=x|x|,那么关于那么关于f(x)f(x)的最值的说法正确的选的最值的说法正确的选项是项是()(A)(A)只有最大值只有最大值(B)(B)只有最小值只有最小值(C)(C)既有最大值既有最大值,又有最小值又有最小值(D)(D)既无最大值既无最大值,又无最小值又无最小值D D化学化学数学数学解析解析:令令f(x)=-x2+2x=-(x2-2x+1)+1=-(x-1)2+1,0 x2,f(x)=-x2+2x=-(x2-2x+1)+1=-(x-1)2+1,0 x2,图象如下图图象如下图所以所以f(x)f(x)的最小值为的最小值为f(0)=f(2)=0.f(0)=f(2)=0.而而a-x2+2xa-x2+2x恒成立恒成立,所以所以a0.a0.应选应选C.C.4.4.当当0 x20 x2时时,a-x2+2x,a-x2+2x恒成立恒成立,那么实数那么实数a a的取值范围是的取值范围是()(A)(0,+)(A)(0,+)(B)0,+)(B)0,+)(C)(-,0)(C)(-,0)(D)(-,0(D)(-,0C C化学化学数学数学化学化学数学数学点击进入点击进入 课时作业课时作业
