1、正定二次型正定二次型 正定二次型的判别正定二次型的判别 1掌握正定二次型、正定矩阵、顺序主子式、负掌握正定二次型、正定矩阵、顺序主子式、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型、不定定二次型、半正定二次型、半负定二次型、不定二次型的概念。二次型的概念。实二次型实二次型 AXXxxxfn),(21正定的判定。正定的判定。2掌握实二次型掌握实二次型 AXXxxxfn),(21正定的判正定的判 定定理。定定理。正定二次型正定二次型四四.教具、教学素材准备：教具、教学素材准备：1.教具：教具：多媒体教室、黑板、刷子多媒体教室、黑板、刷子、粉笔等。、粉笔等。2.教学素材：网上各大学的电子课件。教学素材：网
2、上各大学的电子课件。花树忠，二次型理论在求解多元二次函数最值方面上的应用，职花树忠，二次型理论在求解多元二次函数最值方面上的应用，职大学报，大学报，2002（4）3.参考书：参考书：1、丘维声，、丘维声，高等代数高等代数（上、下册），高等教育出版社，（上、下册），高等教育出版社，2002年，第二版。年，第二版。2、张禾瑞、郝炳新，、张禾瑞、郝炳新，高等代数高等代数，高等教育出版社，高等教育出版社，1999年，年，第四版。第四版。3、王向东、周士藩，、王向东、周士藩，高等代数常用方法高等代数常用方法，科学出版社，科学出版社，1989年，第二版。年，第二版。4、杨子胥，、杨子胥，高等代数习题解高等
3、代数习题解(上、下册上、下册)，山东科学技术出版，山东科学技术出版社，社，2001年，第二版。年，第二版。五五.教学方法：教学方法：启发式讲授法、课外阅读法、练习法等。启发式讲授法、课外阅读法、练习法等。六六.教学时数：教学时数：3学时学时七七.教学过程：教学过程：在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位.因因为正定二次型与正定矩阵在工程技术和最优化等问为正定二次型与正定矩阵在工程技术和最优化等问题中有着广泛的应用，讨论多元函数极值的充分条题中有着广泛的应用，讨论多元函数极值的充分条件也要用到它件也要用到它.在这一节中，我们给出它的定义以在这一节中，我们给出
4、它的定义以及常用的判别条件及常用的判别条件.例如例如例如例如二次型二次型2222121),(nnxxxxxxf是正定的，因为只有在是正定的，因为只有在 c1=c2=cn=0 时，时，c12+c22+cn2 才为零才为零.212322213212),(xxxxxxxxf二次型二次型不是正定的，因为不是正定的，因为23221321)(),(xxxxxxf所以，有所以，有 f(1,-1,0)=0.222221121),(nnnxdxdxdxxxf 证证明明证证明明 1 1设设实实二二次次型型nijiijnjjiijnaaxxaxxxf1121,),(是是正正定定的的.X=CY变变成成关关于于 y1,
5、y2,yn的的二二次次型型nijiijnjjiijnbbyybyyyg1121,),(作作非非退退化化线线性性替替换换下下面面来来证证明明关关于于 y1,y2,yn的的二二次次型型也也是是正正定定的的.证明证明证明证明 2 2设实二次型设实二次型f=XTAX是正定的是正定的.作非退化线性替换作非退化线性替换X=CY所得的二次型为所得的二次型为f=YT(CTAC)Y.对任意的对任意的 Y0 0，相应的相应的 X0=CY0 0，因为如果因为如果X0=0，则则 Y0=C-1X0=0.于是由于是由 f=XTAX 的正定的正定性，即得性，即得f=Y0T(CTAC)Y0=X0TAX0 0.证毕证毕证毕证毕
6、 设二次型设二次型 f(x1,x2,xn)经过非退经过非退化实线性替换变成标准形化实线性替换变成标准形d1x12+d2x22+dnxn2 由前面讨论的基本结论由前面讨论的基本结论 1 知，该标准形是正定的当知，该标准形是正定的当且仅当且仅当 di 0,i=1,2,n,即正惯性指数为即正惯性指数为 n.再再由基本结论由基本结论 2 即得即得.定理定理 6 说明，正定二次型说明，正定二次型 f(x1,x2,xn)的的规范形为规范形为 因为二次型因为二次型 x12+x22+xn2 的矩阵是单位的矩阵是单位矩阵矩阵 E，所以，所以，由此得：，由此得：设设 A 为实对称矩阵，则由为实对称矩阵，则由实对称
7、矩阵实对称矩阵 A 正定正定实二次型实二次型 XTAX 正定正定实二次型实二次型 XTAX 的规范的规范型是型是 x12+x22+xn2 实二次型实二次型 XTAX 的规范的规范型是型是 x12+x22+xn2 存在可逆矩阵存在可逆矩阵 C，使，使 A=CTEC=CTC.矩阵矩阵 A 与与 E 合同合同有有 设设 A 是一正定矩阵，则由推论是一正定矩阵，则由推论 1 知，知，存在可逆矩阵存在可逆矩阵 C，使，使A=CTC.两边取行列式，就有两边取行列式，就有|A|=|CT|C|=|C|2 0.证明：若证明：若 A 是正定矩阵，则是正定矩阵，则 A-1 也是正也是正定的定的.由正定矩阵的定义知，
8、正定矩阵是实对由正定矩阵的定义知，正定矩阵是实对称矩阵，称矩阵，由推论由推论 2 知，正定矩阵知，正定矩阵 A 是可逆的，是可逆的，且且(A-1)T=(AT)-1=A-1，所以所以 A-1 也是实对称矩阵也是实对称矩阵.证明其正定性的方法很证明其正定性的方法很多多.方法方法方法方法 2 2 由于正定矩阵由于正定矩阵 A 合同于单位矩阵合同于单位矩阵 E，即存在可即存在可逆矩阵逆矩阵 C 使得使得CTAC=E.上式两边求逆，得上式两边求逆，得(C-1)A-1(C-1)T=E，故故 A-1合同于单位矩阵合同于单位矩阵 E，因此因此 A-1 是正定矩阵是正定矩阵.用惯性指数法判断三元二次型用惯性指数
9、法判断三元二次型3221232221321),(xxxxxxxxxxf是否是正定二次型是否是正定二次型.有时我们需要直接从二次型的矩阵来判别这个有时我们需要直接从二次型的矩阵来判别这个二次型是不是正定的，而不希望通过它的标准形或二次型是不是正定的，而不希望通过它的标准形或规范形规范形.下面来解决这个问题下面来解决这个问题.为此，引入为此，引入 ),2,1(212222111211niaaaaaaaaaPiiiiiii ninjjiijnAXXxxaxxxf1T121),(先证先证设二次型设二次型ninjjiijnxxaxxxf1121),(是正定的是正定的.对于每个对于每个 k，1 k n,令
10、令kikjjiijkkxxaxxxf1121.),(我们来证我们来证 fk 是一个是一个 k 元的正定二次型元的正定二次型.对于任意一对于任意一组不全为零的实数组不全为零的实数 c1,ck 有有kikjjiijkkccacccf1121),(.0)0,0,(21kcccf因此因此),(21kkxxxf是正定的是正定的.由由fk 的矩阵的行列式的矩阵的行列式.,1,01111nkaaaakkkk这就证明了矩阵这就证明了矩阵 A 的顺序主子式全大于零的顺序主子式全大于零.再证再证对对 n 作数学归纳法作数学归纳法.当当 n=1 时，时，f(x1)=a11x12,由条件由条件 a11 0 显然有显然
11、有 f(x1)是正定的是正定的.假设充分性的论断对于假设充分性的论断对于 n-1 元二次型已成立元二次型已成立,现在来证现在来证 n 元的情形元的情形.令令,111,11,11,1111nnnnnnnaaaaaaA于是矩阵于是矩阵 A 可以分块成可以分块成.T1nnaAA既然既然 A 的顺序主子式全大于零，当然的顺序主子式全大于零，当然 A1 的顺的顺序主子式也全大于零序主子式也全大于零.由归纳法假设，由归纳法假设，A1 是正定是正定矩阵，换句话说，有可逆的矩阵，换句话说，有可逆的 n-1 级矩阵级矩阵 G 使使GTA1G=En-1,这里这里 En-1 代表代表 n-1 级单位矩阵级单位矩阵.
12、令令,11OOGC于是于是11T1T1T1OOGaAOOGACCnn11T1T1T1OOGaAOOGACCnn.TT1nnnaGGE再令再令,1T12OGECn有有11T1TT1T121T1T2OGEaGGEGOECACCCnnnnn.TT1GGaOOEnnn令令C=C1C2,ann-TGGT =a,就有就有.11TaACC两边取行列式，两边取行列式，|C|2|A|=a.由条件由条件|A|0 得得 a 0.这就说明，矩阵这就说明，矩阵 A 与单与单位矩阵合同，所以，位矩阵合同，所以，A 是正定矩阵，或者说二次是正定矩阵，或者说二次型型),(21nxxxf是正定的是正定的.充分性得证充分性得证.
13、利用下列模型判别矩阵的正定性利用下列模型判别矩阵的正定性A=三三阶阶矩矩阵阵的的判判定定模模型型三三阶阶矩矩阵阵的的判判定定模模型型三三个个顺顺序序主主子子式式分分别别计计算算如如下下：判别二次型判别二次型43424131212423222143211262421993),(xxxxxxxxxxxxxxxxxxf的正定性的正定性.二次型的矩阵为二次型的矩阵为,19631690230311211它的顺序主子式分别为它的顺序主子式分别为,01|1|1P,0231112P9020312113P,06 196316902303112114P,024 由此可知二次型是正定的由此可知二次型是正定的.例例4
14、 正定矩阵的行列式大于零正定矩阵的行列式大于零.逆命题不成立。逆命题不成立。1 0 0 1A反例：反例：的行列式大于零，但它对应的二次型的行列式大于零，但它对应的二次型 不是正定的。不是正定的。A222121),(xxxxf (所谓主子式是指行指标与列指标相同的子式所谓主子式是指行指标与列指标相同的子式)，在，在(5)中，仅有顺序主子式大于或等于中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的零是不能保证半正定性的.比如比如212122211000),(),(xxxxxxxf就是一个反例就是一个反例.对于负定和半负定二次型的判别有以下定理：对于负定和半负定二次型的判别有以下定理：A 负定与负
15、定与(-A)正定是等价的正定是等价的.所以所以 判别二次型判别二次型3121232221432144465),(xxxxxxxxxxxf的正定性的正定性.在本节的最后，我们来看一个正定矩阵的简单在本节的最后，我们来看一个正定矩阵的简单应用应用.设设 A 为为 n 阶正定矩阵，阶正定矩阵，X=(x1,xn)T,X Rn,b 是一固定的实是一固定的实 n 维列向量维列向量.证明：证明：bXAXXXpTT2)(在在 X0=A-1b 处取得最小值，且处取得最小值，且.211TminbAbp当当 A 为一阶正定矩阵时为一阶正定矩阵时,A=(a),a0,X=(x)T=x R1,bxaxxp221)(是一条
16、抛是一条抛物线，它在物线，它在abx处，取得最小值处，取得最小值.22minabp本例是把一元二次函数的最小值问题推广到本例是把一元二次函数的最小值问题推广到 n 元二元二次函数次函数(其二次项部分是正定二次型其二次项部分是正定二次型).这里欲证这里欲证 p(X0)是是 p(X)的最小值，只要证恒的最小值，只要证恒有有 p(X)-p(X0)0.由于由于 b=AX0(X0=A-1b),所以所以bXAXXbXAXXXpXpT00T0TT02121)()(0T00TT2121AXXAXXAXX)(21)(210T00T00TTAXXAXXAXXAXX又因为又因为 XTAX0 是一阶矩阵，所以是一阶矩
17、阵，所以AXXAXXAXXT0T0T0T)(.2121T00TAXXAXX0T00TT02121)()(AXXAXXAXXXpXp0T00TT2121AXXAXXAXX0T0T00TT21)2121(21AXXAXXAXXAXX)(21)(210T00TT0TAXXAXXAXXAXX0T0TT0T)(21)(21AXXXAXXX.)()(210T0XXAXX因此，由因此，由 A 的正定性，即得的正定性，即得 (X-X0)0，即，即 X X0，恒有，恒有 p(X)-p(X0)0，故，故 p(X0)是是p(X)的最小值，且的最小值，且bXAXXXppT00T00min21)(bXbXT0T021b
18、XT021bbAT1)(21.211TbAb练习练习1：若若 是是 阶实矩阵，则满足（阶实矩阵，则满足（）时，）时，是正定矩阵。是正定矩阵。AnAAA ，B.非退化，非退化，C.的元素的元素全是正实数，全是正实数，D.的主对角上元素全为正。的主对角上元素全为正。0|AAAA练习练习2：若若 是正定矩阵，则下列结论错误的是是正定矩阵，则下列结论错误的是（）。）。A练习练习3：设设 1 11 2A，1 11 3B，1 11 2C，易知易知 都是正定矩阵，但都是正定矩阵，但 CBA,2 43 7AB，2 33 4AC，不是正定矩阵。不是正定矩阵。小结小结:课外作业课外作业:P234.8:P234.8（1 1），），1313小结小结:1.学习了关于二次型的（半）正定、（半）负定、不定的定义。2.学习了二次型的正定的判定方法。3.学习了关于二次型的（半）正定、（半）负定的判定。教学后记：教学后记：
