1、测量不确定度培训测量不确定度培训内容内容第一章第一章 概述概述第二章第二章 基本术语及其概念基本术语及其概念第三章第三章 测量不确定度的评定测量不确定度的评定第四章第四章 测量结果及其不确定度的报告测量结果及其不确定度的报告第五章第五章 测量不确定度的应用测量不确定度的应用第六章第六章 测量不确定度评定举例测量不确定度评定举例第一章第一章 概述概述l学习测量不确定度的意义学习测量不确定度的意义l测量不确定度的发展历史测量不确定度的发展历史l测量不确定度的适用范围测量不确定度的适用范围学习测量不确定度的意义学习测量不确定度的意义一、测量的重要性一、测量的重要性1 1在科学技术研究、工农业生产、国
2、内外贸易、工程在科学技术研究、工农业生产、国内外贸易、工程项目、以及日常生活的各个领域中不可缺少测量；项目、以及日常生活的各个领域中不可缺少测量；2 2测量的准确性直接影响到国家和企业的经济利益；测量的准确性直接影响到国家和企业的经济利益；3 3测量的结果是科学研究成果的评价依据，也是产品测量的结果是科学研究成果的评价依据，也是产品检验合格判定，司法裁定等裁判的依据；检验合格判定，司法裁定等裁判的依据；4 4测量的质量还往往成为科学试验成败的重要因素，测量的质量还往往成为科学试验成败的重要因素，也影响到人民的健康和安全；也影响到人民的健康和安全；5 5由测量结果得出的结论还可能成为决策的重要依
3、据。由测量结果得出的结论还可能成为决策的重要依据。学习测量不确定度的意义学习测量不确定度的意义二、以科学合理和完整的信息给出测量结果二、以科学合理和完整的信息给出测量结果1 1当完成测量时，应该给出测量结果；当完成测量时，应该给出测量结果；2 2给出测量结果时，必须给出其可信程度或可信的范给出测量结果时，必须给出其可信程度或可信的范围，这种测量结果才是完美的；围，这种测量结果才是完美的；3 3所以测量结果必须有不确定度说明时，才是完整的所以测量结果必须有不确定度说明时，才是完整的和有意义的；和有意义的；4 4以前，用测量误差来说明测量结果的准确程度，由以前，用测量误差来说明测量结果的准确程度，
4、由于测量误差是测量结果与真值之差，真值往往是未于测量误差是测量结果与真值之差，真值往往是未知的，这种表示方法虽然我们已经长期使用过，但知的，这种表示方法虽然我们已经长期使用过，但国际计量界现在认为这是不够科学的。国际计量界现在认为这是不够科学的。学习测量不确定度的意义学习测量不确定度的意义三、规范测量不确定度的评定与表示方法三、规范测量不确定度的评定与表示方法1 1测量不确定度表示导则测量不确定度表示导则（Guide to the exprGuide to the expression of uncertainty in measurementession of uncertainty in
5、measurement，简称，简称G GUMUM）是由国际标准化组织等七个国际权威组织联合）是由国际标准化组织等七个国际权威组织联合发布的，自发布的，自19931993年以来的推广和应用，现已在国际年以来的推广和应用，现已在国际上广泛使用，成为各国在表示测量结果时统一遵循上广泛使用，成为各国在表示测量结果时统一遵循的准则。的准则。2 2最新版的国家技术规范最新版的国家技术规范JJF1059JJF1059规定了测量不确定规定了测量不确定度的评定与表示方法，与国际接轨。度的评定与表示方法，与国际接轨。JJF1059.1-2JJF1059.1-2012012是采用是采用GUMGUM的方法，的方法，J
6、JF1059.2-2012JJF1059.2-2012是采用蒙是采用蒙特卡洛的方法评定测量不确定度。特卡洛的方法评定测量不确定度。学习测量不确定度的意义学习测量不确定度的意义1.1.在市场竞争激烈、经济全球化的今天，在市场竞争激烈、经济全球化的今天，测量不确定度评定与表示方法的统一，测量不确定度评定与表示方法的统一，乃是科技交流和国际贸易的迫切要求。乃是科技交流和国际贸易的迫切要求。2.2.我国用统一的准则对测量结果及其质我国用统一的准则对测量结果及其质量进行评定和表示是与国际接轨的需量进行评定和表示是与国际接轨的需要，也是我国经济发展的必然趋势。要，也是我国经济发展的必然趋势。学习测量不确定
7、度的意义学习测量不确定度的意义采用测量不确定度有利于：采用测量不确定度有利于：1 1测量结果间的比较；测量结果间的比较；2 2科学技术成果的评价与交流；科学技术成果的评价与交流；3 3商品贸易中减少技术壁垒和避免误会；商品贸易中减少技术壁垒和避免误会；4 4对计量标准、标准物质和标准参考数据的评定与发对计量标准、标准物质和标准参考数据的评定与发布；布；5 5用户对校准证书或检测报告的理解和使用；用户对校准证书或检测报告的理解和使用；6 6校准或检测实验室技术能力认可和国际互认；校准或检测实验室技术能力认可和国际互认；7 7在生产中的质量控制以及质量体系认证时对产品质在生产中的质量控制以及质量体
8、系认证时对产品质量保证能力的评价；量保证能力的评价；8 8根据测量结果做出有效的决策等。根据测量结果做出有效的决策等。测量不确定度的发展历史测量不确定度的发展历史1 1早在早在19631963年美国国家标准局（年美国国家标准局（NBSNBS）的数理统计专家埃森哈）的数理统计专家埃森哈特（特（EisenhartEisenhart）在研究）在研究“仪器校准系统的精密度和准确度仪器校准系统的精密度和准确度的估计的估计”时提出了定量表示不确定度的概念和建议，受到时提出了定量表示不确定度的概念和建议，受到了国际上的普遍关注。了国际上的普遍关注。2 219861986年年CIPMCIPM要求国际标准化组织
9、（要求国际标准化组织（ISOISO）能在）能在INC-1INC-1（19801980）建议书的基础上起草一份能广泛应用的指导性文件，该项建议书的基础上起草一份能广泛应用的指导性文件，该项工作得到了工作得到了7 7个国际组织的支持和倡议，这个国际组织的支持和倡议，这7 7个国际组织是个国际组织是I ISOSO（国际标准化组织）、（国际标准化组织）、IECIEC（国际电工委员会）、（国际电工委员会）、CIPMCIPM（国际计量委员会）、（国际计量委员会）、OIMLOIML（国际法制计量组织）、（国际法制计量组织）、IFCCIFCC（国际临床化学联合会）、（国际临床化学联合会）、IUPACIUPAC
10、（国际纯化学和应用化学（国际纯化学和应用化学联合会）、联合会）、IUPAPIUPAP（国际纯物理和应用物理联合会）。（国际纯物理和应用物理联合会）。测量不确定度适用的领域测量不确定度适用的领域适用于所有具有定量测量的测量结果的表示，包括：适用于所有具有定量测量的测量结果的表示，包括：1 1建立国家计量基准和各级计量标准；建立国家计量基准和各级计量标准；2 2计量标准装置间的国内外比对以及检测设备的实验计量标准装置间的国内外比对以及检测设备的实验室间的比对；室间的比对；3 3标准物质的定值，标准参考数据的发布；标准物质的定值，标准参考数据的发布；4 4编制测量方法、检定规程、校准规范等技术文件或
11、编制测量方法、检定规程、校准规范等技术文件或标准；标准；5 5科学技术研究及工程领域的测量；科学技术研究及工程领域的测量；测量不确定度适用的领域测量不确定度适用的领域适用于所有具有定量测量的测量结果的表示，包括：适用于所有具有定量测量的测量结果的表示，包括：6 6计量认证、计量确认、质量认证以及实验室认可；计量认证、计量确认、质量认证以及实验室认可；7 7测量仪器的校准和检定；测量仪器的校准和检定；8 8产品或商品的检验和测量；产品或商品的检验和测量；9 9生产过程的质量保证；生产过程的质量保证；1010贸易结算、医疗卫生、安全防护、环境监测及资源贸易结算、医疗卫生、安全防护、环境监测及资源测
12、量。测量。JJF1059.1-2012JJF1059.1-2012的适用范围的适用范围1 1适用于涉及有明确定义的，并可以用唯一值表征的适用于涉及有明确定义的，并可以用唯一值表征的被测量估计值的不确定度。被测量估计值的不确定度。例如：用数字电压表测量频率为例如：用数字电压表测量频率为50Hz50Hz的某实验室的电的某实验室的电源电压，电压是被测量，它有明确的定义和特定的源电压，电压是被测量，它有明确的定义和特定的测量条件，用的测量仪器是数字电压表，进行测量条件，用的测量仪器是数字电压表，进行3 3次次测量，取其平均值为测量结果，测量结果为测量，取其平均值为测量结果，测量结果为220.5220.
13、5V V，它是被测量的估计值，并用一个值表征的。规，它是被测量的估计值，并用一个值表征的。规范对这样的测量结果进行测量不确定度评定和表示范对这样的测量结果进行测量不确定度评定和表示是适用的。是适用的。又如：通过对电路中电流和电压的测量，用公式计算又如：通过对电路中电流和电压的测量，用公式计算出功率的测量结果，由于它也符合上述条件，因此出功率的测量结果，由于它也符合上述条件，因此也是适用的。也是适用的。JJF1059.1-2012JJF1059.1-2012的适用范围的适用范围2 2当被测量为导出量，其测量模型（即函数关系式）当被测量为导出量，其测量模型（即函数关系式）中的多个变量又由另外的函数
14、关系确定时，对于其中的多个变量又由另外的函数关系确定时，对于其测量结果的不确定度评定，本规范的基本原则也是测量结果的不确定度评定，本规范的基本原则也是适用的，但是评定起来比较复杂。适用的，但是评定起来比较复杂。3 3对于被测量呈现为一系列值的分布，或对被测量的对于被测量呈现为一系列值的分布，或对被测量的描述为一组量时，则测量结果的描述也应该是一组描述为一组量时，则测量结果的描述也应该是一组量值，测量不确定度应相应于每一个测量结果给出，量值，测量不确定度应相应于每一个测量结果给出，并应给出一组值相应的关系及分布情况。并应给出一组值相应的关系及分布情况。JJF1059.1-2012JJF1059.
15、1-2012的适用范围的适用范围4 4当被测量取决于一个或多个参变量时测量结果的不当被测量取决于一个或多个参变量时测量结果的不确定度评定，例如以时间为参变量时，被测量的测确定度评定，例如以时间为参变量时，被测量的测量结果是随时间变化的直线或曲线，对于在直线或量结果是随时间变化的直线或曲线，对于在直线或曲线上任意一点测量结果的测量不确定度是不同的。曲线上任意一点测量结果的测量不确定度是不同的。测量不确定度的评定可能要用到最小二乘法、矩阵测量不确定度的评定可能要用到最小二乘法、矩阵等数学运算，本规范也是适用的。等数学运算，本规范也是适用的。5 5本规范也可用于对于统计控制下的测量过程的测量本规范也
16、可用于对于统计控制下的测量过程的测量不确定度的评定，但评定时需要考虑测量过程的合不确定度的评定，但评定时需要考虑测量过程的合并标准偏差作为并标准偏差作为A A类标准不确定度。类标准不确定度。第二章第二章 基本术语及其概念基本术语及其概念l基本统计学术语基本统计学术语l通用计量学术语通用计量学术语l测量不确定度术语测量不确定度术语基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念1.1.概率（概率（probabilityprobability）概率是一个概率是一个0 0和和1 1之间隶属于随机事件的实数。之间隶属于随机事件的实数。概率与在一段较长事件内的事件发生的相对频概率与在一段较长事件内的事件发生
17、的相对频率有关，或与事件发生的可信程度（率有关，或与事件发生的可信程度（degree of bdegree of beliefelief）有关，在可信度高时概率接近）有关，在可信度高时概率接近1 1。基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念1.1.概率（概率（probabilityprobability）若对某一个被测量重复测量，我们可以得到一系列测若对某一个被测量重复测量，我们可以得到一系列测量数据，这些数据称测量值或观测值。量数据，这些数据称测量值或观测值。a)a)测量值是随机变量，它们分散在某个区间内，概率测量值是随机变量，它们分散在某个区间内，概率是测量值在区间内出现的相对频率，即
18、出现的可能是测量值在区间内出现的相对频率，即出现的可能值大小的度量；值大小的度量；在此定义的基础上奠定了测量不确定度在此定义的基础上奠定了测量不确定度A A类评定的理类评定的理论基础。论基础。基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念1.1.概率（概率（probabilityprobability）b)b)由于测量的不完善或人们对被测量及其影响量的认由于测量的不完善或人们对被测量及其影响量的认识不足，使测量结果仅仅是被测量的估计值，使人识不足，使测量结果仅仅是被测量的估计值，使人们对测量结果提出可信程度的问题，概率是测量值们对测量结果提出可信程度的问题，概率是测量值落在某个区间内可信度大小的
19、度量。落在某个区间内可信度大小的度量。在这个新的定义中，对于那些我们不知道其大小的系在这个新的定义中，对于那些我们不知道其大小的系统误差，可以认为是以一定的概率落在区间的某个统误差，可以认为是以一定的概率落在区间的某个位置。或者说测量值落在该区间内的可信程度也可位置。或者说测量值落在该区间内的可信程度也可以用概率表征。以用概率表征。这是测量不确定度这是测量不确定度B B类评定的理论基础。类评定的理论基础。基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念1.1.概率（概率（probabilityprobability）以上两种情况都可认为是随机事件，这是对经典概率以上两种情况都可认为是随机事件，这是
20、对经典概率论的一个突破。论的一个突破。测量值测量值x落在（落在（a，b）区间内的概率可以表示为：）区间内的概率可以表示为：P(axb)概率也可简写为概率也可简写为P，其值在，其值在0到到1之间。之间。0P1基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念2.2.概率分布（概率分布（probability distributionprobability distribution）a)a)概率分布是一个随机变量取任何给定值或属于某一概率分布是一个随机变量取任何给定值或属于某一给定值集的概率随取值而变化的函数。给定值集的概率随取值而变化的函数。b)b)概率分布通常用概率密度函数随随机变量变化的曲概率分布
21、通常用概率密度函数随随机变量变化的曲线来表示。线来表示。c)c)随机变量在整个值集的概率为随机变量在整个值集的概率为1 1。基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念2.2.概率分布（概率分布（probability distributionprobability distribution）d)d)通俗地说，概率分布是单位区间内（当区间趋于无通俗地说，概率分布是单位区间内（当区间趋于无穷小时）测量值出现的概率随测量值大小的分布情穷小时）测量值出现的概率随测量值大小的分布情况。如下图所示，横坐标为测量值，纵坐标为概率况。如下图所示，横坐标为测量值，纵坐标为概率密度函数密度函数p(x)。基本统计
22、学术语及其概念基本统计学术语及其概念概率密度函数概率密度函数p(x)设设X是在实数域内连续取值的随机变量，是在实数域内连续取值的随机变量，x是任一是任一实数，若存在一个非负的函数实数，若存在一个非负的函数p(x)，使，使X X的分布函的分布函数数F(x)满足以下关系：满足以下关系：则则X是连续随机变量，是连续随机变量，p(x)是是X的概率密度函数。的概率密度函数。()()()baF xP axbp x dx基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念概率密度函数概率密度函数p(x)若已知某个量的概率密度函数若已知某个量的概率密度函数p(x)，则测量值，则测量值X落落在区间在区间(a,b)内的概
23、率内的概率P可用下式计算：可用下式计算：数学上，积分代表了面积。由此可见，概率数学上，积分代表了面积。由此可见，概率P是概是概率分布曲线下，在区间率分布曲线下，在区间(a,b)内包含的面积。内包含的面积。a)a)当当P=0.9=0.9，表明测量值有，表明测量值有90%90%的可能性落在该区间的可能性落在该区间内，该区间包含了概率分布下总面积的内，该区间包含了概率分布下总面积的90%90%。在。在(-(-,+,+)区间内的概率为区间内的概率为1 1。b)b)当当P=1=1，即概率为，即概率为1 1，表明测量值以，表明测量值以100%100%的可能性的可能性落在该区间内，也就是测量值必定在此区间内
24、。落在该区间内，也就是测量值必定在此区间内。()()baP axbp x dx基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念c)c)在概率论中通常用置信因子乘标准偏差（在概率论中通常用置信因子乘标准偏差（k）得到）得到置信区间的半宽度。置信区间的半宽度。在在GUMGUM中将为获得扩展不确定度（置信区间的中将为获得扩展不确定度（置信区间的半宽度）而用作合成标准不确定度的被乘因子称为半宽度）而用作合成标准不确定度的被乘因子称为包含因子，也用符号包含因子，也用符号k表示。表示。基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念经典的概率论统计学术语经典的概率论统计学术语与不确定度评定中所用术语的比较与不确定
25、度评定中所用术语的比较概率论术语概率论术语不确定度导则术语不确定度导则术语概率概率置信概率置信概率P包含概率包含概率（置信水平）（置信水平）P置信区间置信区间区间半宽度区间半宽度a=k统计包含区间统计包含区间区间半宽度区间半宽度a置信因子置信因子k包含因子包含因子k基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念3.3.概率分布的特征参数概率分布的特征参数a)a)期望（期望（expectationexpectation）期望又称（概率分布期望又称（概率分布或随机变量的）均值（或随机变量的）均值（m meanean）或期望值（）或期望值（expectexpected valueed value），有
26、时又称），有时又称数学期望。数学期望。常用符号常用符号表示，也表示，也可用可用E(X)表示。表示。基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念3.3.概率分布的特征参数概率分布的特征参数a)a)期望（期望（expectationexpectation）测量值的期望：测量值的期望：离散随机变量：离散随机变量：连续随机变量：连续随机变量：通俗的讲，期望是无穷多次测量的平均值。通俗的讲，期望是无穷多次测量的平均值。1=()iiiE XPx=()()E Xxp x dx基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念3.3.概率分布的特征参数概率分布的特征参数a)a)期望（期望（expectationex
27、pectation）期望是概率分布曲线与横坐标轴所构成面积的重心所在期望是概率分布曲线与横坐标轴所构成面积的重心所在的横坐标，所以期望是决定概率分布曲线位置的量。对于的横坐标，所以期望是决定概率分布曲线位置的量。对于单峰、对称的概率分布来说，期望值在分布曲线峰顶对应单峰、对称的概率分布来说，期望值在分布曲线峰顶对应的横坐标。的横坐标。正因为实际上不可能进行无穷多次测量，因此测量中是正因为实际上不可能进行无穷多次测量，因此测量中是可望而不可得的。可望而不可得的。基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念3.3.概率分布的特征参数概率分布的特征参数按计量学定义得到：按计量学定义得到：进行无穷多次
28、测量时，测得值与其期望值之差为测量的随进行无穷多次测量时，测得值与其期望值之差为测量的随机误差。机误差。测量值的期望值与真值之差是测量的系统误差。测量值的期望值与真值之差是测量的系统误差。真值是被测量的定义值。真值是被测量的定义值。由此可见，虽然真值、期望值和误差都是客观存在，但是，由此可见，虽然真值、期望值和误差都是客观存在，但是，都是理想条件下的概念，因为不可能进行无穷多次测量，都是理想条件下的概念，因为不可能进行无穷多次测量，并且真值未知，也就不可能准确得到测量误差有多大。并且真值未知，也就不可能准确得到测量误差有多大。测量不可能没有误差，因此不可能通过测量获得真值。测量不可能没有误差，
29、因此不可能通过测量获得真值。基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念3.3.概率分布的特征参数概率分布的特征参数b)b)方差（方差（VarianceVariance）（随机变量或概率分布的）方差用符号（随机变量或概率分布的）方差用符号 表示。表示。221()limniinxn2基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念3.3.概率分布的特征参数概率分布的特征参数b)b)方差（方差（VarianceVariance）测量值与期望值之差是随机误差，用测量值与期望值之差是随机误差，用表示，表示，方差就是随机误差平方的期望值。方差就是随机误差平方的期望值。测量值测量值X的方差还可写成的方差还可写
30、成V(X)，是随机变量，是随机变量X的每一个可的每一个可能值对其期望能值对其期望E(X)的偏差的平方的期望。也就是测量的随的偏差的平方的期望。也就是测量的随机误差平方的期望。机误差平方的期望。iix22()()V XE EE X基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念3.3.概率分布的特征参数概率分布的特征参数b)b)方差（方差（VarianceVariance）已知测量值的概率密度函数时，方差可表示为：已知测量值的概率密度函数时，方差可表示为：当期望值为零时，方差可表示为：当期望值为零时，方差可表示为：方差说明了随机误差的大小和测量值的分散程度。但由方差说明了随机误差的大小和测量值的分散
31、程度。但由于方差的量纲是单位的平方，使用不方便、不直观，因此于方差的量纲是单位的平方，使用不方便、不直观，因此引出了标准偏差这个术语。引出了标准偏差这个术语。22xp x dx 22x p x dx基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念3.3.概率分布的特征参数概率分布的特征参数c)c)标准偏差（标准偏差（standard deviation standard deviation）（概率分布或随机变量的）标准偏差是方差的正平方根值，（概率分布或随机变量的）标准偏差是方差的正平方根值，用符号用符号 表示。又可称标准差。表示。又可称标准差。21()limniinxn基本统计学术语及其概念基本
32、统计学术语及其概念3.3.概率分布的特征参数概率分布的特征参数 和和 对正态分布曲线的影对正态分布曲线的影响。响。影响分布曲线的位置。影响分布曲线的位置。影响曲线的形状，表明影响曲线的形状，表明测量值的分散性。测量值的分散性。基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念3.3.概率分布的特征参数概率分布的特征参数c)c)标准偏差（标准偏差（standard deviation standard deviation）标准偏差是表明测量值分散性的参数，标准偏差是表明测量值分散性的参数，小表明测量值小表明测量值比较集中，比较集中，大表明测量值比较分散。所以，实际工作中，大表明测量值比较分散。所以，实
33、际工作中，用标准偏差表示测量值的分散性。用标准偏差表示测量值的分散性。期望和方差是表征概率分布的两个特征参数。由于期望、期望和方差是表征概率分布的两个特征参数。由于期望、方差和标准偏差都是以无穷多次测量的理想情况定义的，无方差和标准偏差都是以无穷多次测量的理想情况定义的，无法由测量值得到法由测量值得到 ，和和 ，因此都是概念性的术语。，因此都是概念性的术语。2基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念4.有限次测量时有限次测量时 和和 的估计值的估计值a)算数平均值（算数平均值（arithmetic meanarithmetic mean）期望的最佳估计值。期望的最佳估计值。在相同条件下对被
34、测量在相同条件下对被测量X进行有限次独立重复测量，得到进行有限次独立重复测量，得到一系列测量值一系列测量值 ，其算数平均值为：，其算数平均值为：12,nx xx11niiXxn基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念4.有限次测量时有限次测量时 和和 的估计值的估计值a)算数平均值（算数平均值（arithmetic meanarithmetic mean）由大数定理证明，测量值的算数平均值是其期望的最佳估由大数定理证明，测量值的算数平均值是其期望的最佳估计值。计值。大数定理：大数定理：即：即：若干个独立同分布的随机变量的平均值以无限接近于若干个独立同分布的随机变量的平均值以无限接近于1的概
35、的概率接近于其期望值率接近于其期望值 。所以算数平均值所以算数平均值 是期望是期望 最佳估计值。最佳估计值。11lim1nniiPxnlim()1nP XX基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念4.有限次测量时有限次测量时 和和 的估计值的估计值a)算数平均值（算数平均值（arithmetic meanarithmetic mean）由于测量值的算数平均值是其期望的最佳估计值，因此，由于测量值的算数平均值是其期望的最佳估计值，因此，通常用算数平均值作为测量结果。通常用算数平均值作为测量结果。算数平均值是有限次测量的均值，所以是由样本构成的算数平均值是有限次测量的均值，所以是由样本构成的统
36、计量。即使在同一条件下对同一量进行多组测量，每组的统计量。即使在同一条件下对同一量进行多组测量，每组的平均值都不相同，说明算数平均值本身也是随机变量。平均值都不相同，说明算数平均值本身也是随机变量。基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念4.有限次测量时有限次测量时 和和 的估计值的估计值b)实验标准偏差（实验标准偏差（experimental standard deviationexperimental standard deviation）有限次测量时标准偏差的估计值。有限次测量时标准偏差的估计值。实际工作中不可能测量无穷多次，因此无法得到总体标实际工作中不可能测量无穷多次，因此无法得
37、到总体标准偏差准偏差。用有限次测量的数据得到标准偏差的估计值称为实验标用有限次测量的数据得到标准偏差的估计值称为实验标准偏差，用符号准偏差，用符号s表示。表示。现介绍几种常用的实验标准偏差的估计方法。现介绍几种常用的实验标准偏差的估计方法。在相同条件下，对被测量在相同条件下，对被测量X作作n次独立重复测量，每次测次独立重复测量，每次测得值为得值为xi，测量次数为，测量次数为n，则实验标准偏差可按以下几种方法，则实验标准偏差可按以下几种方法估计：估计：基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念4.有限次测量时有限次测量时 和和 的估计值的估计值b)实验标准偏差（实验标准偏差（experimen
38、tal standard deviationexperimental standard deviation）贝塞尔公式法贝塞尔公式法式中：式中：n次测量的算数平均值次测量的算数平均值 残差残差 自由度自由度 （测量值（测量值x的）实验标准偏差的）实验标准偏差 21()()1niixXs xnXiixX1n s x基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念4.有限次测量时有限次测量时 和和 的估计值的估计值b)实验标准偏差（实验标准偏差（experimental standard deviationexperimental standard deviation）贝塞尔公式法贝塞尔公式法残差：是
39、测量值与算数平均值之差。残差：是测量值与算数平均值之差。测量值的误差不可能通过测量得到，但残差可以获得。由测量值的误差不可能通过测量得到，但残差可以获得。由贝塞尔公式估计的标准偏差是被测量残差的统计平均值。贝塞尔公式估计的标准偏差是被测量残差的统计平均值。自由度：在方差计算中，和的项数减去对和的限制数。自由度：在方差计算中，和的项数减去对和的限制数。上式中，自由度是指计算残差平方和时具有独立项的个数。上式中，自由度是指计算残差平方和时具有独立项的个数。因为因为n较大时，残差和为较大时，残差和为0，因此，因此n个残差中任何一个残差个残差中任何一个残差可以从另外可以从另外n-1个残差中推算出来，独
40、立的残差项只有个残差中推算出来，独立的残差项只有n-1个，个，也就是自由度为也就是自由度为n-1。可理解为：被测量只有一个时，为估计。可理解为：被测量只有一个时，为估计被测量，只需测量一次，但为了提高测量的可靠度而多测了被测量，只需测量一次，但为了提高测量的可靠度而多测了n-1次，多测的次数可以酌情规定，所以称自由度。次，多测的次数可以酌情规定，所以称自由度。基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念4.有限次测量时有限次测量时 和和 的估计值的估计值b)实验标准偏差（实验标准偏差（experimental standard deviationexperimental standard de
41、viation）贝塞尔公式法贝塞尔公式法由此可以推论，当带测量为由此可以推论，当带测量为t个，测量次数为个，测量次数为n时，则自由度为时，则自由度为n-t；如果另有如果另有r个约束条件，则自由度为个约束条件，则自由度为n-t-r。在给出标准偏差的估计值时，最好同时给出其自由度，自在给出标准偏差的估计值时，最好同时给出其自由度，自由度越大，表明估计值的可信度高。由度越大，表明估计值的可信度高。基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念4.有限次测量时有限次测量时 和和 的估计值的估计值b)实验标准偏差（实验标准偏差（experimental standard deviationexperime
42、ntal standard deviation）最大残差法最大残差法 从有限次独立重复测量的一系列测量值中找出最大残从有限次独立重复测量的一系列测量值中找出最大残差差 ，并根据测量次数查表得到，并根据测量次数查表得到cn 值，代入下式得到估计值，代入下式得到估计的标准偏差：的标准偏差：maxvn23456789101520cn1.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.45基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念4.有限次测量时有限次测量时 和和 的估计值的估计值b)实验标准偏差（实验标准偏差（experimental standard deviat
43、ionexperimental standard deviation）极差法极差法 从有限次独立重复测量的一系列测量值中找出最大值从有限次独立重复测量的一系列测量值中找出最大值 xmax 和最小值和最小值xmin，得到极差，得到极差 ，根据测量次数查，根据测量次数查表得到表得到R值，代入下式得到估计的标准偏差：值，代入下式得到估计的标准偏差：maxmin()Rxxmaxmin/()/nnsR dxxdn23456789101520dn1.131.692.062.332.532.702.852.973.083.473.74基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念4.有限次测量时有限次测量时
44、和和 的估计值的估计值b)实验标准偏差（实验标准偏差（experimental standard deviationexperimental standard deviation）较差法较差法 从有限次独立重复测量的一列测量值中，将每次测量值与从有限次独立重复测量的一列测量值中，将每次测量值与后一次测量值比较得到差值，代入下式得到估计的标准偏差：后一次测量值比较得到差值，代入下式得到估计的标准偏差：222122312(1)nnxxxxxxsn基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念4.有限次测量时有限次测量时 和和 的估计值的估计值b)实验标准偏差（实验标准偏差（experimental
45、standard deviationexperimental standard deviation）各种估计方法的比较：各种估计方法的比较：l贝塞尔公式法是一种基本的方法，但贝塞尔公式法是一种基本的方法，但n很小时其估计的不确很小时其估计的不确定度很大，例如定度很大，例如n=9时，由这种方法标准偏差估计值的标准时，由这种方法标准偏差估计值的标准不确定度为不确定度为25%，而，而n=3时，标准偏差估计值的标准不确定时，标准偏差估计值的标准不确定度达度达50%，因此它适合于测量次数较多的情况。，因此它适合于测量次数较多的情况。l极差法和最大残差法使用起来比较简便，但当数据的概率分极差法和最大残差法
46、使用起来比较简便，但当数据的概率分布偏离正态分布较大时，应该以贝塞尔公式法的结果为准。布偏离正态分布较大时，应该以贝塞尔公式法的结果为准。l较差法更适用于随机过程的方差分析，例如频率测量的阿伦较差法更适用于随机过程的方差分析，例如频率测量的阿伦方差就属于这种方法。方差就属于这种方法。基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念4.有限次测量时有限次测量时 和和 的估计值的估计值c)算术平均值的实验标准偏差算术平均值的实验标准偏差 若测量值的实验标准偏差为若测量值的实验标准偏差为 ，则算术平均值的实验标，则算术平均值的实验标准偏差为准偏差为 ：有限次测量的算术平均值的实验标准偏差与有限次测量的算
47、术平均值的实验标准偏差与 成反比。成反比。测量次数增加，测量次数增加，减小，即算术平均值的分散性减小。一减小，即算术平均值的分散性减小。一般般n=320。通常算术平均值作为测量结果，则算术平均值的实验标准通常算术平均值作为测量结果，则算术平均值的实验标准偏差是测量结果的偏差是测量结果的A类标准不确定度。类标准不确定度。s X s x()s xs Xnn s X基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念4.有限次测量时有限次测量时 和和 的估计值的估计值d)实验标准偏差的可靠性与自由度的关系实验标准偏差的可靠性与自由度的关系 实验标准偏差是标准偏差的估计值，它本身存在着标准偏实验标准偏差是标准
48、偏差的估计值，它本身存在着标准偏差，实验标准偏差的标准偏差估计值用差，实验标准偏差的标准偏差估计值用 表示。表示。即：即：实验标准偏差实验标准偏差s的相对标准偏差为：的相对标准偏差为：由此可见，标准偏差估计值的可靠程度是与自由度大小成由此可见，标准偏差估计值的可靠程度是与自由度大小成反比的，自由度越大，评定的标准偏差估计值越可靠。反比的，自由度越大，评定的标准偏差估计值越可靠。()s()2(1)ssn()2ss()12ss基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念概率统计术语概率统计术语无限次测量的理想条件下概率论无限次测量的理想条件下概率论术语术语有限次测量条件下的统计学术语（测有限次测量
49、条件下的统计学术语（测量结果及其不确定度评定中使用）量结果及其不确定度评定中使用）数学期望数学期望算数平均值算数平均值标准偏差标准偏差实验标准偏差实验标准偏差 算数平均值的实验标准偏差算数平均值的实验标准偏差X s x s X基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念5.描述描述“相关相关”的术语的术语a)相关性（相关性（correlation）描述两个或多个随机变量间的相互依赖关系的特性称为描述两个或多个随机变量间的相互依赖关系的特性称为相关性。相关性。如果两个随机变量如果两个随机变量X和和Y，其中一个量的变化会导致另一，其中一个量的变化会导致另一个量的变化，就说这两个量是相关的。个量的变
50、化，就说这两个量是相关的。例如：例如：Y=X1+Y1中中X2=bX1，则，则X2随随X1变化而变化，说明量变化而变化，说明量X2与与X1量是相关的。量是相关的。基本统计学术语及其概念基本统计学术语及其概念5.描述描述“相关相关”的术语的术语a)相关性（相关性（correlation）如果被测量如果被测量Y是是X1和和X2的函数，的函数，Y=f(X1,X2)。若。若X1与与X2本本来是不相关的量，但我们对来是不相关的量，但我们对X1和和X2都进行了温度修正，修正都进行了温度修正，修正值都根据同一个温度计测得的值确定的，则它们的修正值就值都根据同一个温度计测得的值确定的，则它们的修正值就相关了，经
