1、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法第二章第二章 分离变量法分离变量法2.1、分离变量法的基本思想和解题步骤 有界弦的自由振动、圆柱体稳态温度分布2.2、一般格式、固有值问题2.3、非齐次问、非齐次方程的解法、非齐次边界条件的处理2.4、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由
2、解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。22222,0,0(0,)0,(,)0,0(,0)(,0)(),(),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法令(,)()()u x tX x T t代入方程：2()()()()X x Tta Xx T t2()()()()XxTtX xa T t 令2()()0()()0XxX xTta T t代入边界条件(0)()0,()()0XT tX l T t(0)0,()0XX l22222,0,0(0,)0,(,)0,0(,0)(,0
3、)(),(),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 一 求两端固定的弦自由振动的规律2.1、分离变量法的基本思想和解题步骤数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法()()0(0)0,()0XxX xXX l特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条 件下的求解问题特征（固有）值：使方程有非零解的常数值特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：20,01）()xxX xAeBe00llABAeBe00ABX02）()X xAxB00ABX()cossinX xAxBx0sin0ABl3）20(1,2,3,)nnl222(1
4、,2,3,)nnnl222nl()sin(1,2,3,)nnnXxBxnl110llee数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法0ypyqy二阶常系数微分方程二阶常系数微分方程：特征方程：特征方程：20rprq根的三种情况：根的三种情况：1212rrrrrri12121212(cossin)r xr xrxrxxyC eC eyC eC xeyeCxCx得常系数微分得常系数微分方程的通解：方程的通解：附录附录:数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法2222()()0nna nTtT tl()cos sin(1,2,3,)nn
5、nn atn atT tCDnll(,)(cossin)sin(1,2,3,)nnnn an anux tCtDtxnlll11(,)(,)(cossin)sin(1,2,3,)nnnnnu x tux tn an anCtDtxnlll2()()0()()0XxX xTta T t22222,0,0(0,)0,(,)0,0(,0)(,0)(),(),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 222(1,2,3,)nnnl()sin(1,2,3,)nnnXxBxnl数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法01(,)(,0)sin()ntnnu
6、 x tu xCxxl10(,)sin()nntu x tn anDxxtll1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanCu2001 cos 2/sindd22llnlnlx xxl001sinsindcoscosd02llnmnmnmxx xxxxllll xxlmxlnCxxlmxlnnldsinsindsin)(010 mCl2lmxxlmxlC0dsin)(2lnxxlnxanD0dsin)(2lnxxlnxlC0dsin)(2数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法)()(),(tTxXtxu2/lnnxlnBxXnnsin)(tlanD
7、tlanCTnnnsincos1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanC11nnnnnTXuulnxxlnxanD0dsin)(2lnxxlnxlC0dsin)(20 XX02 TaT分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。lxxtxuxxuttlututlxxuatu0),()0,(),()0,(0,0),(,0),0(0,0,22222数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法2 解的性质 x=x0时：(,)(cossin)sinnnnn an anux tCtDtxlll其中：2
8、2arctannnnnnnnDn aACDlC00(,)sincos()nnnnnux tAxtlcos()sinnnnnAtxl这表示在任意一点0 x处都作简谐振动。t=t0时：00(,)cos()sinnnnnnux tAtxl(1,2,3,)n 这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波，其振幅随不同的时间0t而不同。0cos()nnnAt数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法振幅:sinnn xAl频率:n初位相:n波节:120,nlllxlnnn2135,2222nllllxnnnn波腹:驻波法 l数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变
9、量法章分离变量法于是我们可以说u(x,t)是由一系列频率不同(成倍增长)、位相不同、振幅不同的(固有振动)驻波叠加而成的。所以分离变量法又称驻波法各驻波振幅的大小和位相的差异，由初始条件决定，而频率(na)/l与初始条件无关，所以也称为弦的固有频率。基频，n1al111,sinsinxaux tAtll基波,432称为谐频，相应的,432uuu称为谐波。基波的作用往往最显著 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法第一步第一步:分离变量。分离变量。令()()()u x tX x T t适合方程和边界条件，()X x从而 定出所适合的固有值问题，以及()T t适
10、合的常微分方程.第二步第二步:解固有值问题，的分离变量形状的解。解固有值问题，的分离变量形状的解。求出全部特征值和特征函数.并求出相应的()T t的表达式.第三步第三步:叠加定系数。叠加定系数。将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定常数.综上所述，分离变量法的解题步骤可以分成三步：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法)()(),(tTxXtxuTXTX TTXX 0 XX0 TT0)()1(),1(0)()0(),0(tTXtutTXtu0)1(,0)0(XX 0)1(,0)0(10,0XXxXX10,0)0,(,sin)0,(0,0
11、),1(),0(0,10,2222xtxuxxuttututxxutu例(1):求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法 0)1(,0)0(10,0XXxXX0202 XX(0)0(1)0XABXAeBe0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X02xBxAxXsincos)(0sin)1(,0)0(BXAX,3,2,1,nnn22nnxnBxXnnsin)(02 XX10,0)0,(,sin)0,(0,0),1(),0(0,10,2222xtxuxxuttututxxutu数学物理方程与特殊函数数学物理方
12、程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法,3,2,1,22nnnxnBxXnnsin)(0 TT022 nnTnTtnDtnCTnnnsincos11sin)sincos(nnnnnxntnDtnCuunnnTXu)sincos(sintnDtnCxnBnnnxntnDtnCnnsin)sincos(xxnCxunnsinsin)0,(10sin)0,(1nnxnnDtxu0nD1011nnCn，xtusincos10,0)0,(,sin)0,(0,0),1(),0(0,10,2222xtxuxxuttututxxutu数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量
13、法)()(),(tTxXtxu2XTa X T21XTXaT0 XX20Ta T0)()0(),0(tTXtu0,0(0)0,()0XXxlXX l0)0(X(,)()()0u l tX l T tx()0X l222222,0,0(,)(0,)0,0,0(,0)(,0)2,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt解：例(2)求下列定解问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法0,0(0)0,()0XXxlXX l20 02 XX(0)0()0llXABX lA eB e0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA
14、0)(xX0 X20(0)0()cos0XAX lBl(21)/2,1,2,3,nnln222(21)/4nnl(21)()sin2nnnXxBxlxBxAxXsincos)(02 XX数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法222(21)/4nnl(21)()sin2nnnXxBxl20Ta T2222(21)04nnnaTTl(21)(21)cossin1,2,3,22nnnnanaTCtDtnll11(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnnnnananuuCtDtxlllnnnTXu(21)(21)(21)(cossin)sin222
15、nnnananCtDtxlll222222,0,0(,)(0,)0,0,0(,0)(,0)2,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt0 XX20Ta T数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法1(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnnananuCtDtxlll21(21)(,0)sin22nnnu xCxxlxl1(,0)(21)(21)sin022nnu xnanDxtll0nD202(21)(2)sind2lnnCxlxx xll2331321(21)(21)cossin(21)22nlnanutxnll 2
16、3332(21)ln 2(,0)(,0)2,0u xu xxlxt初始条件数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法例(3)磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由纵振动,即定解问题 20,(0,)0,(,)0,(,0)(,0)(),(),(0)ttxxxxua uutu l tu xu xxxxlt20XTa X T(0)()0()()0XT tXl T t(0)0X()0Xl解:设并代入方程得(,)()()u x tX x T t2TXa TX用用 遍除各项即得遍除各项即得 2a XT2TXa TX 数学
17、物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法0XX(0)0()0XXl关于关于 T 的方程的方程 20Ta T关于关于 X 的方程的方程 分离为分离为(iii)0 xCxCxXsincos)(21(i)0 情况的固有值、固有函数情况的固有值、固有函数 合在一起：合在一起：固有值固有值只有只有 222(0,1,2,3.)nnl1()cos (0,1,2,3.)nX xCxnl(C1为任意常数）为任意常数）傅里叶余弦级数的基本函数族傅里叶余弦级数的基本函数族数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法当当 0 时，将时，将本征值代入本征值代入
18、 T 的方程：的方程：22220 (0)nTaTnl其解其解000()()cossin(1,2,)nnnT tAB tn atn atT tABnll0T 其中其中A0、B0、An、Bn 均为独立的任意常数。均为独立的任意常数。(,)()()u x tXx T t代回代回(,)(cossin)cos (=1,2,.)nnnn atn atn xux tABnlll000(,)ux tAB t傅里叶余弦级数的基本函数族傅里叶余弦级数的基本函数族数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法001(,)(cossin)cosnnnn atn atn xu x tAB t
19、ABlll由初始条件由初始条件所有本征振动的叠加所有本征振动的叠加 一般解一般解 系数系数A0、B0、An、Bn由初始条件确定由初始条件确定(0)xl)()(00 xuxuttt0101cos()cos()(0)nnnnn xAAxln an xBBxxlll得得数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法001()lAdl 001()lBdl 02()coslnnAdll 02()coslnnBdn al 把右边的函数展成傅里叶余弦级数把右边的函数展成傅里叶余弦级数,比较两边的系数比较两边的系数,得得 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量
20、法章分离变量法定解问题定解问题 答答 案案02xxttuau00,0 xxxxluu00(),()tttuxux(0)xl001(,)(cossin)cosnnnn atn atn xu x tAB tABlll001()lAdl 001()lBdl 02()coslnnAdll 02()coslnnBdn al 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法lxtxuxxuttlhuxtlututlxxuatu0,0)0,(),()0,(0,0),(),(,0),0(,0,0,22222)()(),(tTxXtxuTXaTX 2TTaXX 210 XX02 TaT
21、0)()0(),0(tTXtu0)()(,0)0(lhXlXX 0)()(,0)0(0,0lhXlXXlxXX0)()()()()()()(),(),(tTlhXlXtTlhXtTlXtlhuxtlu*例(4)求下列定解问题令带入方程：解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法lxtxuxxuttlhuxtlututlxxuatu0,0)0,(),()0,(0,0),(),(,0),0(,0,0,222221sinsincosnnnnnnxatDatCu0sin)0,(1xaDtxunnnn0nD)(sin)0,(1xxCxunnnlmmlmxxxxxC02
22、0dsindsin)(1sincosnnnnxatCuxxxxxxClmlmnnndsin)(dsinsin001 lmmxxC02dsin00sinsind0lmnmnxx xmn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法二 有限长杆上的热传导222,0,0,(,)(0,)0,(,)0,0(,0)()0uuaxl ttxu l tuthu l ttxu xxxl)()(),(tTxXtxu2XTa X T 21XTXaT0 XX20Ta T0)()0(),0(tTXtu0)()(,0)0(lhXlXX0)()()()()()()(),(),(tTlhXlXtT
23、lhXtTlXtlhuxtlu令带入方程：解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法 0)()(,0)0(0,0lhXlXXlxXX02xxBeAexX)(0)()(0)0(llllBhehAeeBeAlhXlXBAX0 BA0)(xX02 XX0BAxxX)(0)()(hAlAlhXlX0A0)(xX0 X0)0(BX02xBxAxXsincos)(0)0()()cossin0XAX lhX lBlBhlhl/tan,3,2,1,nn2nnxBxXnnnsin)(02 XX数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法,3,2,
24、1,n2nnxBxXnnnsin)(20Ta T220nnnTa T22na tnnTC ennnTXu 2211sinna tnnnnnuuC ex22sinna tnnnC B ex22sinna tnnC ex222,0,0,(,)(0,)0,(,)0,0(,0)()0uuaxl ttxu l tuthu l ttxu xxxl数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法00sinsind0lmnmnxx xmn)(sin)0,(1xxCxunnnlmmlmxxxxxC020dsindsin)(1sincosnnnnxatCuxxxxxxClmlmnnnds
25、in)(dsinsin001 lmmxxC02dsin221sinna tnnnuC ex222,0,0,(,)(0,)0,(,)0,0(,0)()0uuaxl ttxu l tuthu l ttxu xxxlhl/tan数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法例(5)研究细杆导热问题,初始时刻杆的一端温度为零度,另一端温度为 u0，杆上温度梯度均匀,零度的一端保持温度不变,另一端跟外界绝热,试求细杆上温度的变化。解解杆上温度满足下列泛定方程和定解条件杆上温度满足下列泛定方程和定解条件 200000,0/(0)txxxxx ltua uuuuu x lxl泛定
26、方程和定解条件都是齐次的，可以应用分离变量法。泛定方程和定解条件都是齐次的，可以应用分离变量法。设设(,)()()u x tX x T t代入方程和边界条件得代入方程和边界条件得 0(0)0()0XXXX l关于关于 T 的方程的方程 20Ta T本征值问题本征值问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法仅讨论仅讨论 的情况：的情况：01212()cossin0,cos0X xCxCxCCl(i)0 或或0：()0X x 无意义无意义cos01()(0,1,2,3)2llkk2222221()(21)2 (=0,1,2,.)4kkkll固有值固有值 只有只有
27、2(21)()sin (=0,1,2,.)2kxXxCkl相应的固相应的固有函数有函数 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法22221()20kTaTl22221()2()katlT tCe关于关于 T 的方程的方程 20Ta T2221()2 (=0,1,2,.)kkl22221()201()2(,)sinkatlkkkxu x tC el00/(0)tuu x lxl由初始条件确定系数由初始条件确定系数001()2sin (0)kkkxuCxxlll000221()222sin(1)1()2lkkkuu lCdlllk 数学物理方程与特殊函数数学物理方
28、程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法22221()202201()212(,)(1)sin1()2katklkkxu lu x telk可以看出可以看出:t0时，随着时，随着t 的增大级数解收敛得很快的增大级数解收敛得很快,t 越大越大,级数收敛级数收敛越快。越快。t时，时，u(x,t)0，即细杆内的温度从开始时的分布趋向即细杆内的温度从开始时的分布趋向于均匀的零摄氏度，热量从左端一处，体系从热力学非平于均匀的零摄氏度，热量从左端一处，体系从热力学非平衡态趋向于热力学平衡态。衡态趋向于热力学平衡态。答案答案数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法lxxx
29、utxtluxtutlxxuatu0),()0,(0,0),(,0),0(0,0,222)()(),(tTxXtxuXTaXT 2XXTaT 2002 TaTXX 0)(,0)0(00lXXlxXX0)()(),(0)()0(),0(tTlXxtlutTXxtu0)(,0)0(lXX例(6)一长度为l的均匀细杆，其侧面与左右两端都保持绝热，杆内初始时刻的温度分布是不均匀的，求杆内温度随时间的变化。解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法lxxxutxtluxtutlxxuatu0),()0,(0,0),(,0),0(0,0,22200BX xlnBXnnc
30、os,3,2,1,2nlnn02TaT000T00TA002222nnTlnaTtlnanneAT2222nnnTXu xlneBAtlnanncos2222xlneCtlnancos2222000CAB100cos2222ntlnannnxlneCCuu000TXu 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法lxxxutxtluxtutlxxuatu0),()0,(0,0),(,0),0(0,0,222100cos2222ntlnannnxlneCCuu10cos)()0,(nnxlnCCxxuxxlCld)(100 xxlnxlClndcos)(20数学物理
31、方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法xxtuau20|0 xx luu)(|0 xut)()(xXtTu0)()0(LXXXXTaT/)/(2220TaT20XX22exp()T Aatsin,nlXx)()(xXtTukkkkkXTu),(txuu分离变量流程图数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法20(0)()0,/,1,2,sinkkXXXX lkl kXx2120(0)()0,()/,0,1,2,sinkkXXXX lkl kXx2120(0)()0,()/,0,1,2,coskkXXXX lkl kXx20(0)()0
32、,/,0,1,2,coskkXXXX lkl kXx常用本征方程 齐次边界条件数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法 拉普拉斯方程 矩形区域问题 圆形区域问题三 稳定场方程(拉普拉斯方程)的定解问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法byxbxuxxuaxyauyubyaxyuxu0),(),(),()0,(0,0),(),0(0,0,02222XYu 0 YXYXYYXX 0 XX0 YY 0)()0(0,0aXXaxXX0)()(),(0)()0(),0(yYaXyauyYXyu0)(,0)0(aXX1 直角坐标系下
33、的拉普拉斯问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法ayxbxuxxuaxyauyubyaxyuxu0),(),(),()0,(0,0),(),0(0,0,02222 0)()0(0,0aXXaxXX0202 XXxxBeAeX0X0)0(BAX0)(aaBeAeaX0 BA00 XBAxX0X0202 XXxBxAXcossinannxanAXnnsin0)0(BX0sin)(aAaX,3,2,1,22nannn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法xanAXnnsin,3,2,1,2nann0 YY0222 nnY
34、anYyannyannneDeCYnnnYXu 1nnuu1sinnyannyannxaneDeCxaneDeCyannyannsinsinnnyyaannnnnuC eD eAxaayxbxuxxuaxyauyubyaxyuxu0),(),(),()0,(0,0),(),0(0,0,02222数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法1sinnyannyannxaneDeCuxanDCxxunnn1sin)()0,(xaneDeCxbxunabnnabnn1sin)(),(xxanxaDCnndsin)(2a0 xxanxaeDeCabnnabnndsin)(
35、2a0022()()sind1n baann banx exx xaaCe022()()sind1n baann banx exx xaaDeayxbxuxxuaxyauyubyaxyuxu0),(),(),()0,(0,0),(),0(0,0,02222数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法拉普拉斯方程 矩形区域 定解问题 未知函数分离 泛定方程分离 X边界条件分离 分离解 叠加 Y边界条件要求)(|),(|0|,0|0,0,0210021xuxuuuLyLxuuLyyLxxyyxx)()(),(yYxXyxu2/YYXXyLnnyLnnnnnneDeCY
36、nLnxX11,2,1,/),sin(10)()0(1LXX)()(1yYxXunnnxLneDeCxxLnDCxnLLnnLLnnnnn1111sin)(,sin)(1212数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法2 圆域内的拉普拉斯问题2222yuxuu22,arctanyxxysin,cos221cos,sin/1122222yxyxxyxyxyxuu2222222222222sincoscos2sinsinuuuuuyuxuxuxu2222222222222sinsinsin2sincosuuuuuxuuuuyuxu11222222222cossinu
37、uyuyuyusincosuu22211uu数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法22222222220,xyauuxyaxyuF x y例9 圆柱体稳态温度分布222110,cos,sin(),r auurrarrrruF aaf解：(1)设(,)()()u rR r2110rRRrr 211rRrRr),0(u(,)(,2)u ru r数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法欧拉方程0()(2)自然周期条件0,()(2)()()(2)()R rR r(2)解固有值问题20,01）00ABAeBe 02）0 0BAB002
38、C 20 3）20cossinAB nn22,1,2,3,nnn ncossincossinnnnAnBnnn 简并220r RrRn RZnnT/2/2数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法欧拉方程220r RrRn Rlntretr令ddd1 ddd ddRRtRRrtrrt222d1 d1dd()()ddddRRRRr rtrtt2220d Rn Rdt222110,cos,sin(),r auurrar rrruF aaf2,0,1,2,nnnnBnAnnnsincosntntnnnnnnnnnRC eD eC rD rC r通解：00101coss
39、in2cossin2nnnnnnnnnnCuuCnDnrCCnDrnacossincossinnnnnnnnnnnuRAnBnC rCnDnr数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法1010cossin2(,)cossin2(),0,1,2,nnnnnnnCCnCu aCnDnafnDn202200201()cosd1()1()cosd,0,1,2,1()sind,1,2,3,sindnnnnCfnnaDfnffnnna 2200120111(,)()d()coscossinsind21()1 2cosd2nnnnru rffnnnnarfna 级数解：数学物
40、理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法01,cosRe,1ninnnrrzenzzaaz 若令则利用公式100222212cos12cos112Re12Re12cosnnnnnnrrnnaazzaraarr 222220()(,)d22cosarfu raarrPoisson从而即为。积积分分公公式式数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法01(,)cossin2nnnnra LaplaceCau rCnDnrar圆外方程有界解的一般形式为：1200121(,)lncossin22nnnnnnnara LaplaceCDu rrC
41、 rD rAnBnara 环域方程有界解的一般形式为：常用本征方程 周期边界条件mxBmxAXmmxXxXXXmmmsincos,2,1,0,)2()(0 2数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法拉普拉斯方程 圆形区域 定解问题 未知函数分离 泛定方程分离 自然边界条件 分离结果 固有值问题求解 固有值 固有函数)(|,021fuauuua)()(),(Ru2222/)(RRRRRRuuu)()2()0(有界，R有界)0(0,)()2(0222RRRRsincos)(BAZmmT/2/2mBmAmmmsincos)(数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函
42、数第第2章分离变量法章分离变量法拉普拉斯方程 圆形区域 径向方程求解 分离解 叠加 边界条件要求mmmmxmmxReeRRmdxRdddRddRddRdddxRdxdddxdxdRddR0lnln2222222)sincos()()(mBmARummmmmm0)()(mmmRu0)sin()cos()(mmmmmBmAaf数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法20,cos),(20,01100222uuu)2,()0,(uu),(u)()(),(u0112 0112 21102 0)2()0()2()0(20,0)()2()()0(例10 求下列定解问题解：
43、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法20,cos),(20,01100222uuu)2()0(20,00202 BeAe000 AB00A02sincosBAnn,3,2,1,22nnnnnBnAnnnsincos02 欧拉方程 lntet令ddd1 ddd ddPPtPtt 222d1 d1dd()()ddddPPPttt 0 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法20,cos),(20,01100222uuu000A,3,2,1,2nnnnBnAnnnsincos000000lnCD tCD 0C02 nntntnn
44、nnnnnC eD eCD nnC000unnnu100sincosnnnnnnnFnEEuu000ECAnnnnnnnnFnECnBnAsincossincos1000sincoscos),(nnnnnFnEEu01Ecos0u其它为零0 02 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法20,1),(,0),(20,011222buaubauu)2,()0,(uu)()(),(u0112 0112 21102 0)2()0()2()0(20,0)()2()()0(例12 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量
45、法20,1),(,0),(20,011222buaubauu)2()0(20,00202 BeAe000 AB00A02sincosBAnn,3,2,1,22nnnnnBnAnnnsincos数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法20,1),(,0),(20,011222buaubauu000A,3,2,1,2nnnnBnAnnnsincos02 欧拉方程 00002 ln000DC 02 n022 nnnnnnnnDC000unnnulnln00000FEDCAnnnnnnDCnBnAsincosnHGnFEnnnnnnnnsincos1000sincos
46、lnnnnnnnnnnnnnHGnFEFEuu数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法20,1),(,0),(20,011222buaubauu1000sincoslnnnnnnnnnnnnnHGnFEFEuu0sincosln),(100nnnnnnnnnnaHaGnaFaEaFEau1sincosln),(100nnnnnnnnnnbHbGnbFbEbFEbu0ln00aFE0nnnnaHaG0nnnnaFaE1ln00bFE0nnnnbHbG0nnnnbFbEabaElnln0abFln10其他为零ababaulnlnlnlnabalnln数学物理方程与
47、特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法2.2、一般格式、固有值问题2.2.1 一般格式和问题 11220,0,0txx ax bLuc t L utI axbuuuuxxt关于 的定解条件 22012012220,0,1,2,0,1,2t,jjtxtxc tatjIbtjxLatatatLbxbxbxttxxabLLtx是 上的连续函数；是上的连续函数。关于 的定解条件可以是初始条件也可以是边界条件。其中，分别是关于 和 的线性微分算子数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法第一步，分离变量。112200,00 xtuXL X xX xX
48、 aXaX bXbLT tc t T tx T taxb设代入齐次方程和齐次边界条件，分离得固有值问题和常微分方程,第二步，解固有值问题，得分离变量形状特解。,nnnXxTt根据 的不同情况，求通解。由边界条件求固有值和固有函数然后代入固有值求。第三步，叠加定系数。1)固有值是否存在；2)如果存在的话，固有函数系是否正交。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法2.2.2 固有值问题的施图姆刘维尔(Sturm-Liouville)定理一般的二阶齐次线性常微分方程 01203bxxbxxbxxxXXXX 100111100000010011000210213ex
49、p,111expexpexp1exp01expexpbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbxdxdx b XdxXdx b XdxXxdxk xdxq xk x将式两边乘以得其中令，=-，数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法 04ddXk xq x Xx Xdxdx施图姆刘维尔型方程下面就施图姆刘维尔(Sturm-Liouville)方程讨论固有值问题 11,2,0,0,0k xCa bxq xC a ba bk xxq x首先对方程中的系数作以假定：连续性；在上，。10,02k ak bk ak b配以边界条件：时配以第一、二、三种边界条件。时，
50、根据u周期性条件，可以配周期性边界条件。以上称为正则的施图姆刘维尔(Sturm-Liouville)的固有值问题。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法有如下结论：1)可数性1212,lim,nnnnXXX 一定存在一串实固有值和相应的固有函数(1)(1)1(2)(2)1,nnXXXX对于周期条件，2)非负性012 3nn所有的，00001q xX的充要条件是，两端不出现一、三类边界条件，且。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法3)正交性 ,0nmnmbnmaXXa bxx X X dx设是任意两个不同固有值，则相应的固
