1、 1 安徽省黄山市屯溪区 2018 届高三数学上学期第二次月考试题 理 本试卷分第卷（选择题 60 分）和第卷（非选择题 90 分）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟 . 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合 ? ?xxxM ? 2 ， ? ?RxyyN x ? ,13 ，则 ?NM （ ） A . ? ?1?xx B .? ?1?xx C . ? ?10 ? xxx 或 D .? ?10 ?xx 2已 知 复 数 z 满足 izi 32)31( ? （ i 为虚数单位），则 复 数
2、z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3. 已知数列 ?na 满足 151?a ， 3432?a，且 212 ? ? nnn aaa 若 01 ? ?kk aa ，则正整数 ?k （ ） A.21 B.22 C.23 D.24 4. 设点 P 是双曲线 12222 ?byax )0,0( ? ba 上的一点， 21,FF 分别是双曲线的左、右焦点，已知 021 90? PFF ,且 21 2PFPF ? ，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C.2 D. 5 5 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 xyzO? 中的坐标分别是 )1,0,1(
3、, )0,1,1( , )1,1,0( ， )0,0,0( ， 则该四面体的正视图的面积不可能为（ ） A 23 B 3 C 415 D 87 6.公元 263 年前后，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的 边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆 的面积，由此创立了 割圆术利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的 近似值 3.14，这就是著名的徽率上图是某学生根据刘徽的割圆术 设计的程序框图，则输出的 n 值为 （参考数据： 732.13? ， 1305.05.7s in,2588.015s in ? ? 错误 !未找到引用源。 ） 开始 结束 3?n nnS ?360sin21
4、? nn ?2 ?10.3?S 输出 n 是 否 2 A. 48 B. 36 C.24 D.12 7 设 A 是由 x 轴，直线 ax? )10( ?a 和曲 线 3xy? 围成的曲边三角形区域， 集合 ? ?10,10),( ? yxyx ， 若向区域 ? 上随机投一点 P ，点 P 落在区域 A 内的概率为 641 ，则 实数 a 的值是 ( ) A. 161 B. 81 C. 41 D. 21 8 若把函数 xy ?sin? 的图象向左平移 3? 个单位，所得到的图象与函数 xy ?cos? 的图象重合，则 ? 的值可能是 （ ） A. 23 B.21 C. 31 D. 32 9. 设点
5、 ),( yxP 在不等式组?03020yxyxx 表 示的平面区域上，则1222 ? xyxz 的最小值为（ ） A.1 B.51 C.4 D. 54 10 对于平面向量 ba, ，给出下列四个命题： 命题 1p ：若 0?ba ，则 a 与 b 的夹角为锐角； 命题 2p ：“ baba ? ”是“ a b ”的充要条件； 命题 3p ：当 ba, 为非零向量时，“ 0?ba ”是“ baba ? ”的必要不充分条件； 命题 4p ：若 bba ? ，则 bab 22 ? . 其中的真命题是 （ ） A 31,pp B. 42,pp C. 21,pp D. 43,pp 11 已知函数 2y
6、x? 的图象在点 ? ?200,xx 处的切线为 l ，若 l 也与函数 lnyx? ， )1,0(?x 的图象相切，则 0x 必满足 （ ） 3 A0 10 2x?B012 x? ?C 2220 ? xD 023x? 12.已知 抛物线 pxy 22 ? )0( ?p 的焦点为 F ，点 BA, 在此抛物线上，且 090?AFB ，弦 AB 的中点 M 在其准线上的射影为 M? ,则ABMM?的最大值为（ ） .A 22 .B 23 .C 1 .D 3 第卷 （非选择题 满分 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置上） 13已知函数
7、? ? ? ,3 ),1()( xxfxf 22?xx，则 ?)2(log3f _. 14. 5)12)( xxxax ? 的展开式中各项系数的和为 2 ，则该展开式中常数项为 _. 15已知在直角梯形 ABCD 中， ADCDADAB ? , , 222 ? CDADAB ,将直角梯形 ABCD 沿 AC 折叠成三棱锥 ABCD? ，当三棱锥 ABCD? 的体积取最大值时，其外接球的体积为 _ 16用 na 表示自然数 n 的所有因数中最大的那个奇数，例如： 9 的因数有 9,3,1 ，则 99 ?a ；10的因数有 10,5,2,1 ，则 510?a ，记数列 ?na 的前 n 项和为 n
8、S ，则 ?122016S _. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分 12 分） 如图，正三角形 ABC 的边长为 2 ， FED , 分别在三边CABCAB , 上，且 D 为 AB 的中点 090?EDF ，?BDE )900( 00 ? （ ） 当 23tan ?DEF 时，求 角 ? 的大小； （ ） 求 DEF? 的面积 S 的最小值 以及 使得 S 取最小值时 ? 的值 4 A B C D M P 18 （本小题满分 12 分） 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的10
9、0位顾客的相关数据，如下表所示 ： 一次购物量 1至 4 件 5 至 8 件 9 至 12件 13至 16件 17 件及以上 顾客数（人） x 30 25 y 10 结算时间（分钟 /人） 1 5.1 2 5.2 3 已知这 100位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55 （ ）确定 yx, 的值，并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列 与数学期望； （ ）若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过 5.2 分钟的概率（注：将频率视为概率） 19. （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 是
10、60ADC? 的菱形，侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直 , M 为 PB 的中点 （ ）求证： PA? 平面 CDM ； （ ）求二面角 D MC B?的余弦值 20（本小题满分 12 分） 已知 椭圆 C ： 12222 ?byax )0( ?ba 过点 )23,1(Q ，且离心率 21?e （ ） 求椭圆 C 的方程； （ ） 椭圆 C 长轴两端点分别为 BA, ，点 P 为椭圆上异于 BA, 的动点，直线 l ： 4?x 与直线 PBPA, 分别交于 NM, 两点，又点 )0,7(E ，过 NME , 三点的圆是否过 x 轴上不同于点 E 的定点？若经过，求出定点坐标
11、；若不存在，请说明理由 21. （本小 题满分 12 分） 5 设函数 xexf ?1)( . （ ） 证明：当 1?x 时， )(xf 1?xx ； （ ） 设当 x 0 时， )(xf 1?axx 成立，求实数 a 的取值范围 . 22. （本小题满分 10 分）已知函数2321)( ? xxxf （ ）解不等式 3)( ?xf ； （ 2）若关于 x 的不等式 axf ? 121)( 的解集为空集，求实数 a 的取值范围 6 2016 届高三 数学（理科）参考答案 一、 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12、 12 答案 A D C D B A D A D B D A 二、填空题 （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 181 ； 14 40 ； 15 34? ； 16 3 142016? 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答须写在答题卡上的指定区域内） 17 （本小题满分 12 分） （ ） 在 BDE? 中，由正弦定理得 )60s in (2 3)120s in ( 60s in 000? ? BDDE， 在 ADF? 中，由正弦定理得 )30s in (2 3)30s in ( 60s in 000? ? ADDF 由
13、23tan ? DEDFD EF 得23)30sin( )60sin( 00 ?， 整理得 3tan ? ，所以 060? ? 6 分 （ ） ? DFDES 21)30s in ()60s in (8 3 00 ? ?)s in3) ( c o ss inc o s3(2 3 ? ? 322sin4 3? ? 当 045? 时， S 取 得 最小值 为2 336324 3 ? ? 12 分 18 （本小题满分 12 分） （ ）由已知得 551025 ? y ， 4530?x ， 所以 20,15 ? yx 该超市所有顾 客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100位顾客一次购7 A
14、B C D M P 物的结算时间可视为总体的一个容量为 100的简单随机样本，将频率视为概率得 203)1( ?XP , 103)5.1( ?XP , 41)2( ?XP , 51)5.2( ?XP , 101)3( ?XP ， 所以 的分布 列为 1 5.1 2 5.2 3 32041 1110X的数学期望为 3 3 1 1 1( ) 1 1.5 2 2.5 3 1.920 10 4 5 10EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 分 （ ） 记 A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 5.2 分钟”， ( 1,2)iXi?为该顾客前面第i位顾客的结算 时间，则 )15.1
15、()5.11()11()( 212121 ? XXPXXPXXPAP 且且且 809203103103203203203 ? 故该顾客结算前的等候时间不超过 5.2 分钟的概率为980 ? 12 分 19 （本小题满分 12 分） （ ） 法一：作 PO CD? 于 O ,连接 OA 由侧面 PDC 与底面 ABCD 垂直，则 PO? 面 ABCD 所以 PO CD? ，又由 060ADC?, 1, 2DO AD?, 则 090DOA?,即 OA CD? 所以 ?CD 平面 POA ,所以 PACD? 取 PA 的中点 N ,连接 MNON, 由 M 为 PB 的中点， 则四边形 MNOC 为
16、平行四边形， 所以 CM ON ,又在 POA? 中 , 3?OAOP , N 为 PA 中点，所以 PAON? , 所以 CM PA? ,有由 CM DC C? 所以 PA? 面 CDM ? 6 分 法二：作 PO CD? 于 O ,连接 OA 8 由侧面 PDC 与底面 ABCD 垂直，则 PO? 面 ABCD 所以 PO OA? 且 PO OC? , 又由 060ADC?, 1, 2DO AD?, 则 090DOA?,即 OA CD? 分别以 OPOCOA , 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直 角坐标系， 由已知 33( 0 , 0 , 3 ) , ( 3 , 0 , 0
17、 ) , ( 3 , 2 , 0 ) , ( 0 , - 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) ( , 1 , )22P A B D C M， 33( 3 ,0 ,- 3 ) , ( 0 ,2 ,0 ) , ( ,0 , )22P A D C C M? ? ? 所以 0, 0P A C M P A D C? ? ? ?， 所以 ,PA CM PA DC? 又由 CM DC C?，所以 PA? 面 CDM ? 6 分 （ ） 设面 MCB 的法向量为 )1,(1 yxn ? 由 33( ,0 , ),C B ( 3 ,1, 0 )22CM ? ?310302323yxyxx ， )1,3,1(1 ?n 由 （ ） 知 PA? 面 CDM ，取面 CDM 的法向量为 2 ( 3,0,- 3)n ? 所以 510,cos21 ?nn， 设二面角
