1、1 江苏省南京市 2021 届高三上学期期初考试 数学试题 20209 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知集合 A 2 20 x xx，B13xx，则 AB A13xx B11xx C12xx D23xx 2已知(34i)z1i，其中 i 为虚数单位，则在复平面内 z 对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知向量a，b满足a1，b2，且3ab，则a与b的夹角为 A 6 B 3 C 5 6 D 2 3 4在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P
2、(4 3，0)到双曲线 C： 22 2 1 9 xy a 的一条渐近线的 距离为 6，则双曲线 C 的离心率为 A2 B4 C2 D3 5在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 2bcosC2ac，则角 B 的取值范 围是 A(0， 3 B(0， 2 3 C 3 ，) D 2 3 ，) 6设 4 log 9a ， 1.2 2b ， 1 3 8 () 27 c ，则 Aabc Bbac Cacb Dcab 7在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 A： 22 (1)1xy，点 B(3，0)，过动点 P 引圆 A 的切线，切点为 T若 PT2PB，则动点 P 的轨迹方程为 A 22
3、 14180 xyx B 22 14180 xyx C 22 10180 xyx D 22 10180 xyx 8已知奇函数( )f x的定义域为 R，且(1)(1)fxfx若当 x(0，1时，( )f x 2 2 log (23)x，则 93 () 2 f的值是 A3 B2 C2 D3 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 95G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的 快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的
4、关联效应，间接带动国民经 济各行业的发展，创造出更多的经济增加值如图，某单位结合近年数据，对今后几年 的 5G 经济产岀做出预测 由上图提供的信息可知 A运营商的经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D信息服务商与运营商的经济产岀的差距有逐步拉大的趋势 10将函数( )sin2f xx的图象向左平移 6 个单位后，得到函数( )yg x的图象，则 A函数( )g x的图象关于直线 12 x 对称 B函数( )g x的图象关于点( 6 ，0)对称 C函数( )g x在区间( 5 12 ， 6 )上单调递增 3 D函数(
5、)g x在区间(0， 7 6 )上有两个零点 11已知 523456 0123456 (2)(1 2 )xxaa xa xa xa xa xa x，则 A 0 a的值为 2 B 5 a的值为 16 C 123456 aaaaaa的值为5 D 135 aaa的值为 120 12 记函数( )f x与( )g x的定义域的交集为 I 若存在 0 x I， 使得对任意xI， 不等式 ( )f x 0 ( )()0g xxx恒成立，则称( )f x，( )g x)构成“M 函数对” 下列所给的两个函 数能构成“M 函数对”的有 A( )lnf xx， 1 ( )g x x B( )exf x ，( )
6、eg xx C 3 ( )f xx， 2 ( )g xx D 1 ( )f xx x ，( )3g xx 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13如图，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适 量的水若放入一个半径为 r 的实心铁球（小球 完全浸入水中） ，水面高度恰好升高 3 r ，则 R r 14被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前 287前 212） ，是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学 第 13 题 家， 他最早利用逼近的思想证明了如下结论： 抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的 面积， 等于抛物线的弦与经过弦的端点的
7、两条切线所围成的三角形面积的三分之二 这 个结论就是著名的阿基米德定理， 其中的三角形被称为阿基米德三角形 在平面直角坐 标系心中，已知直线 l：y4 与抛物线 C： 2 1 4 yx交于 A，B 两点，则弦与拋物线 C 所围成的封闭图形的面积为 15已知数列 n a的各项均为正数，其前 n 项和为 n S，且 1 2 nnn Sa a ，nN，则 4 a ；若 1 a2，则 20 S （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 16 若不等式 2 (1)e1 x axbx对一切 xR 恒成立， 其中 a， bR， e 为自然对数的底数， 4 则 ab 的取值范围是 四、解答题（本大题共 6 小题
8、，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 已知向量m(2cosx，1)，n(3sinx，2cos2x)，xR，设函数( )1f xm n （1）求函数( )f x的最小正周期； （2）若 a 3 ， 7 12 ，且 8 ( ) 5 f a ，求 cos2a 的值 18 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a是公比为 2 的等比数列，其前 n 项和为 n S， （1）在 132 22SSS， 3 7 3 S ， 234 4a aa，这三个条件中任选一个，补 充到上述题干中 求数列 n a的通项公式， 并判断此时数列
9、n a是否满足条件 P： 任意 m， nN， mn a a均为数列 n a中的项，说明理由； （2）设数列 n b满足 1 1 ()n n n n a bn a ，nN，求数列 n b的前 n 项和 n T 注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 19 （本小题满分 12 分） 为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校 100 名学生（男生 60 人，女生 40 人） ， 统计了他们的课外阅读达标情况 （一个学期中课外阅读是否达到规定时间） ， 结果如下： 是否达标 性别 不达标 达标 男生 36 24 女生 10 30 （1）是否有 99%的把握认为课外阅读达标与
10、性别有关? 5 附： 2 2 () ()()()() n adbc ab cd ac bd P( 2 k) 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （2）如果用这 100 名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和 女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立现从该校学生中随机抽 取 3 人（2 男 1 女） ，设随机变量 X 表示“3 人中课外阅读达标的人数” ，试求 X 的分布列和 数学期望 20 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 A
11、BCD，ADBC，ABBCPA1， AD2，PADDAB90 ，点 E 在棱 PC 上，设 CECP （1）求证：CDAE； （2）记二面角 CAED 的平面角为，且 10 cos 5 ，求实数的值 21 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 2 2 1 4 x y （1）设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，T 是椭圆 C 上的一个动点，求 12 TF TF的 取值范围； （2）设 A(0，1)，与坐标轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 B，D 两点，若ABD 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 l 的方程 6 22 （本小题满分 12 分）
12、 已知函数( )lnf xkxxx，kR （1）当 k2 时，求函数( )f x的单调区间； （2）当 0 x1 时，( )f xk恒成立，求 k 的取值范围； （3）设 nN，求证： ln1ln2ln(1) 2314 nn n n 7 江苏省南京市 2021 届高三上学期期初考试 数学试题 20209 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知集合 A 2 20 x xx，B13xx，则 AB A13xx B11xx C12xx D23xx 答案：C 解析：集合 A 2 2
13、0 x xx，集合 A12xx ， 又B13xx，AB12xx，故选 C 2已知(34i)z1i，其中 i 为虚数单位，则在复平面内 z 对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案：B 解析： 1 i1 7i 34i25 z ，故在复平面内 z 对应的点为( 1 25 ， 7 25 )，在第二象限，故选 B 3已知向量a，b满足a1，b2，且3ab，则a与b的夹角为 A 6 B 3 C 5 6 D 2 3 答案：D 解析： 22 3+2=31ababa ba b ， 11 cos, 1 22 a b a b a b ，故a与b的夹角为 2 3 ，故选 D 4在平面直角坐
14、标系 xOy 中，若点 P(4 3，0)到双曲线 C： 22 2 1 9 xy a 的一条渐近线的 距离为 6，则双曲线 C 的离心率为 A2 B4 C2 D3 答案：A 解析：双曲线 C： 22 2 1 9 xy a 的一条渐近线为30 xay， 8 则 2 12 3 6 9a ，解得3a ， 2 3 2 3 c e a ，故选 A 5在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 2bcosC2ac，则角 B 的取值范 围是 A(0， 3 B(0， 2 3 C 3 ，) D 2 3 ，) 答案：A 解析：2bcosC2ac，2sinBcosC2sinAsinC，故 cosB 1
15、2 ， 0B 3 ，故选 A 6设 4 log 9a ， 1.2 2b ， 1 3 8 () 27 c ，则 Aabc Bbac Cacb Dcab 答案：C 解析：98，3 3 2 2，故 3 2 22 3 log 3log 2 2 ， 从而有 1.2 42 3 log 9log 312 2 acb ，故选 C 7在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 A： 22 (1)1xy，点 B(3，0)，过动点 P 引圆 A 的切线，切点为 T若 PT2PB，则动点 P 的轨迹方程为 A 22 14180 xyx B 22 14180 xyx C 22 10180 xyx D 22 10180 xyx
16、 答案：C 解析：设 P(x，y)，PT2PB，PT22PB2， 2222 (1)12(3)xyxy ，整理得： 22 10180 xyx，故选 C 8已知奇函数( )f x的定义域为 R，且(1)(1)fxfx若当 x(0，1时，( )f x 2 log (23)x，则 93 () 2 f的值是 A3 B2 C2 D3 答案：B 9 解析：根据奇函数( )f x，满足(1)(1)fxfx，可知函数的周期为 4， 2 933331 ()(48)()( )( )log 42 22222 fffff ，故选 B 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给
17、出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 95G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的 快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经 济各行业的发展，创造出更多的经济增加值如图，某单位结合近年数据，对今后几年 的 5G 经济产岀做出预测 由上图提供的信息可知 A运营商的经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D信息服务商与运营商的经济产岀的差距有逐步拉大的趋势 答案：ABD 解析：从图表中可以看出 2029
18、 年、2030 年信息服务商在总经济产出中处于领先地位，C 错 误，故选 ABD 10将函数( )sin2f xx的图象向左平移 6 个单位后，得到函数( )yg x的图象，则 A函数( )g x的图象关于直线 12 x 对称 10 B函数( )g x的图象关于点( 6 ，0)对称 C函数( )g x在区间( 5 12 ， 6 )上单调递增 D函数( )g x在区间(0， 7 6 )上有两个零点 答案：ACD 解析：可得( )sin(2) 3 g xx ，当 12 x ，2 32 x ，故 A 正确； 当 6 x ， 2 2 33 x ，故 B 错误； 当x( 5 12 ， 6 )，2 3 x
19、 ( 2 ，0)，故 C 正确； 当x(0， 7 6 )，2 3 x ( 3 ， 8 3 )，故 D 正确 故选 ACD 11已知 523456 0123456 (2)(1 2 )xxaa xa xa xa xa xa x，则 A 0 a的值为 2 B 5 a的值为 16 C 123456 aaaaaa的值为5 D 135 aaa的值为 120 答案：ABC 解析：令 x0，得 0 2a ，故 A 正确； 5544 55 2 ( 2)( 2)16CC ，故 5 16a ，B 正确； 令 x1，得 0123456 3aaaaaaa，又 0 2a ， 123456 5aaaaaa ，故 C 正确；
20、 令 x1，得 0123456 243aaaaaaa，由得： 135 123aaa ，D 错误 故选 ABC 11 12 记函数( )f x与( )g x的定义域的交集为 I 若存在 0 x I， 使得对任意xI， 不等式 ( )f x 0 ( )()0g xxx恒成立，则称( )f x，( )g x)构成“M 函数对” 下列所给的两个函 数能构成“M 函数对”的有 A( )lnf xx， 1 ( )g x x B( )exf x ，( )eg xx C 3 ( )f xx， 2 ( )g xx D 1 ( )f xx x ，( )3g xx 答案：AC 解析：选项 B 满足( )( )f x
21、g x，故不成立；选项 D，( )( )F xf x( )g x存在两个非零 的零点，故不成立 故选 AC 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13如图，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适 量的水若放入一个半径为 r 的实心铁球（小球 完全浸入水中） ，水面高度恰好升高 3 r ，则 R r 答案：2 解析： 2 23 2 4 42 33 rRR Rr rr 14被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前 287前 212） ，是古希腊伟大的物理学家、数 学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成
22、 的封闭图形的面积， 等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的 三分之二 这个结论就是著名的阿基米德定理， 其中的三角形被称为阿基米德三角形 在 平面直角坐标系心中，已知直线 l：y4 与抛物线 C： 2 1 4 yx交于 A，B 两点，则弦 与拋物线 C 所围成的封闭图形的面积为 答案： 64 3 解析：首先得到弦的两个端点的坐标分别为(4，4)，(4，4)，其次得在该两点处的抛物线 的切线方程分别为 y2x4， y2x4， 从而抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线 所围成的三角形面积为 1 8 832 2 ， 故弦与拋物线 C 所围成的封闭图形的面积为 64 3 12 15
23、已知数列 n a的各项均为正数，其前 n 项和为 n S，且 1 2 nnn Sa a ，nN，则 4 a ；若 1 a2，则 20 S （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 答案：4；220 解析：根据 1 2 nnn Sa a ，得 11 2 nnn Sa a ，得 11 2 nn aa ， 故 42 24aa；当 1 a2，可得该数列满足 212kk aa ，且 21k a 与 2k a均为 公差为 2 的等差数列，即可求得 20 S220 16 若不等式 2 (1)e1 x axbx对一切 xR 恒成立， 其中 a， bR， e 为自然对数的底数， 则 ab 的取值范围是 答案：(，
24、1 解析：令 2 ( )(1)exf xaxbx，( )(0)f xf恒成立，显然 a0， 2 ( )e ( 2)1 x fxaxab xb，则(0)101fbb ， 2 ( )e (21) e (21) xx fxaxaxxaxa， 当 a0 时，( )f x在(，0)递增，(0，)递减，( )(0)f xf符合题意， a0 时，( )f x在(，1 2a a )递减，(1 2a a ，0)递增，(0，)递减 x1 2a a ， 2 10( )0axxf x ，故( )(0)f xf符合题意， 综上，a0，b1，因此 ab(，1 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区
25、域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 已知向量m(2cosx，1)，n(3sinx，2cos2x)，xR，设函数( )1f xm n （1）求函数( )f x的最小正周期； （2）若 a 3 ， 7 12 ，且 8 ( ) 5 f a ，求 cos2a 的值 解：解：因为 m(2cosx，1)，n( 3sinx，2cos2x)， 所以 f(x)m n12 3sinxcosx2cos2x1 3sin2xcos2x2sin(2x 6) 13 （1）T2 2 （2）由 f()8 5，得 sin(2 6) 4 5 由 3， 7 12，得 22 6， 所以
26、 cos(2 6) 1sin2(2 6) 1(4 5) 23 5， 从而 cos2cos(2 6) 6cos(2 6)cos 6sin(2 6)sin 6 3 5 3 2 4 5 1 2 43 3 10 18 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a是公比为 2 的等比数列，其前 n 项和为 n S， （1）在 132 22SSS， 3 7 3 S ， 234 4a aa，这三个条件中任选一个，补 充到上述题干中 求数列 n a的通项公式， 并判断此时数列 n a是否满足条件 P： 任意 m， nN， mn a a均为数列 n a中的项，说明理由； （2）设数列 n b满足 1 1 ()n
27、n n n a bn a ，nN，求数列 n b的前 n 项和 n T 注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解：解： （1）选， 因为 S1S32S22， 所以 S3S2S2S12，即 a3a22， 又数列an是公比为 2 的等比数列， 所以 4a12a12，解得 a11， 因此 an1 2n 12n1 此时任意 m，nN*，aman2m 1 2n12mn2， 由于 mn1N*，所以 aman是数列an的第 mn1 项， 因此数列an满足条件 P 选， 因为 S37 3，即 a1a2a3 7 3， 又数列an是公比为 2 的等比数列， 14 所以 a12a14a17
28、 3，解得 a1 1 3， 因此 an1 3 2 n1 此时 a1a22 9a1an，即 a1a2不为数列an中的项， 因此数列an不满足条件 P 选， 因为 a2a34a4， 又数列an是公比为 2 的等比数列， 所以 2a1 4a14 8a1，又 a10，故 a14， 因此 an4 2n 12n1 此时任意 m，nN*，aman2m 1 2n12mn2， 由于 mn1N*，所以 aman是为数列an的第 mn1 项， 因此数列an满足条件 P （2）因为数列an是公比为 2 的等比数列， 所以an 1 an 2，因此 bnn 2n 1 所以 Tn1 202 213 22n 2n1， 则 2
29、Tn1 212 22(n1) 2n1n 2n， 两式相减得Tn121222n1n 2n 12 n 12 n 2n (1n)2n1， 所以 Tn(n1)2n1 19 （本小题满分 12 分） 为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校 100 名学生（男生 60 人，女生 40 人） ， 统计了他们的课外阅读达标情况 （一个学期中课外阅读是否达到规定时间） ， 结果如下： 是否达标 性别 不达标 达标 男生 36 24 女生 10 30 （1）是否有 99%的把握认为课外阅读达标与性别有关? 15 附： 2 2 () ()()()() n adbc ab cd ac bd P( 2 k) 0.
30、050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （2）如果用这 100 名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和 女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立现从该校学生中随机抽 取 3 人（2 男 1 女） ，设随机变量 X 表示“3 人中课外阅读达标的人数” ，试求 X 的分布列和 数学期望 解解： （1）假设 H0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得 2 100 (36 3024 10)2 (3624) (1030) (3610) (2430) 2450 207 11.8366
31、.635， 因为当 H0成立时，26.635 的概率约为 0.01， 所以有 99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关 （2）记事件 A 为：从该校男生中随机抽取 1 人，课外阅读达标； 事件 B 为：从该校女生中随机抽取 1 人，课外阅读达标 由题意知：P(A)24 60 2 5，P(B) 30 40 3 4 随机变量 X 的取值可能为 0，1，2，3 P(X0)(12 5) 2 (13 4) 9 100， P(X1)C1 2 2 5 (1 2 5) (1 3 4) 3 4 (1 2 5) 239 100， P(X2)(2 5) 2 (13 4)C 1 2 2 5 (1 2 5) 3 4
32、2 5， P(X3)(2 5) 23 4 3 25 所以随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 9 100 39 100 2 5 3 25 期望 E(X)0 9 1001 39 1002 2 53 3 251.55 20 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ADBC，ABBCPA1， AD2，PADDAB90 ，点 E 在棱 PC 上，设 CECP （1）求证：CDAE； 16 z x P A B C D E y （2）记二面角 CAED 的平面角为，且 10 cos 5 ，求实数的值 （1）证明：证明：因为PAD90 ，所以 PA
33、AD 因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PA平面 PAD， 所以 PA平面 ABCD 又 CD平面 ABCD，所以 CDPA 在四边形 ABCD 中，AD/BC，DAB90 ，所以ABC90 ， 又 ABBC1，所以ABC 是等腰直角三角形，即BACCAD45 ，AC 2 在CAD 中，CAD45 ，AC 2，AD2， 所以 CD AC2AD22 AC AD cosCAD 2，从而 AC2CD24AD2 所以 CDAC 又 ACPAA，AC，PA平面 PAC，所以 CD平面 PAC 又 AE平面 PAC，所以 CDAE （2）解：解：因为 PA平面 ABCD，BA
34、AD， 故以AB， AD，AP为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 因为 ABBCPA1，AD2， 所以 A(0，0，0)，P(0，0，1)， C(1，1，0)，D(0，2，0)， 则 CD(1，1，0)， AD(0，2，0) 因为点 E 在棱 PC 上，且 CECP， 所以CECP， 设 E(x，y，z)，则(x1，y1，z)(1，1，1)， 17 故 E(1，1，)，所以AE(1，1，) 由（1）知，CD平面 PAC，所以平面 ACE 的一个法向量为 n CD(1，1，0) 设平面 AED 的法向量为 m(x1，y1，z1)， 由 m AE0， m AD0， 得 (1)x1(1)y1z
35、10， y10， 令 z11，所以平面 AED 的一个法向量为 m(，0，1) 因此 |cos|cos| m n |m|n| 2 2(1)2 | 10 5 ， 化简得 32840，解得 2 3或 2 因为 E 在棱 PC 上，所以 0，1，所以 2 3 所以当|cos| 10 5 时，实数 的值为2 3 21 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 2 2 1 4 x y （1）设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，T 是椭圆 C 上的一个动点，求 12 TF TF的 取值范围； （2）设 A(0，1)，与坐标轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 B，D 两
36、点，若ABD 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 l 的方程 解：解： （1）因为椭圆 C：x 2 4 y21，所以 F1( 3，0)，F2( 3，0) 设 T(x0，y0)，则 TF1 TF 2 ( 3x 0，y0) ( 3x0，y0)x0 2y 0 23 因为点 T(x0， y0)在椭圆 C 上， 即x0 2 4 y021，所以TF1 TF 2 3 4x0 22， 且 x 0 20， 4， 所以TF1 TF 2 的取值范围是2，1 （2）因为直线 l 与坐标轴不垂直，故设直线 l 方程 ykxm (m1，k0) 设 B(x1，y1)，(x2，y2) 由 ykxm， x2 4 y2
37、1得(14k 2)x28kmx4m240， 18 所以 x1x2 8km 14k2，x1x2 4(m21) 14k2 因为ABD 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以 ABAD，即 AB AD0， 因此 (y11)( y21)x1x20，即(kx1m1)( kx2m1)x1x20， 从而 (1k2) x1x2k(m1)( x1x2)(m1)20， 即 (1k2) 4(m21) 14k2 k(m1) 8km 14k2(m1) 20， 也即 4(1k2)( m1)8k2m(14k2) (m1)0， 解得 m3 5 又线段 BD 的中点 M( 4km 14k2， m 14k2)，且 AMBD，
38、 所以 m 14k21 4km 14k2 1 k，即 3m14k 2，解得 k5 5 又当 k 5 5 ，m3 5时，64k 2m24(14k2)( 4m24)576 25 0， 所以满足条件的直线 l 的方程为 y 5 5 x3 5. 22 （本小题满分 12 分） 已知函数( )lnf xkxxx，kR （1）当 k2 时，求函数( )f x的单调区间； （2）当 0 x1 时，( )f xk恒成立，求 k 的取值范围； （3）设 nN，求证： ln1ln2ln(1) 2314 nn n n 解：解： （1）当 k2 时，f (x)2xxlnx，f(x)1lnx， 由 f(x)0，解得 0
39、 xe；由 f(x)0，解得 xe， 因此函数 f (x)单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，) （2）f (x)kxxlnx，故 f(x)k1lnx 当 k1 时，因为 0 x1，所以 k10lnx， 因此 f(x)0 恒成立，即 f (x)在(0，1上单调递增， 所以 f (x)f (1)k 恒成立 当 k1 时，令 f(x)0，解得 xek 1(0，1) 19 当 x(0，ek 1)，f(x)0，f (x)单调递增；当 x(ek1，1)，f(x)0，f (x)单调递减； 于是 f (ek 1)f (1)k，与 f (x)k 恒成立相矛盾 综上，k 的取值范围为1，) （3）由（2）知，当 0 x1 时，xxlnx1 令 x 1 n2(nN *)，则 1 n2 2 n2lnn1，即 2lnnn 21， 因此 lnn n1 n1 2 所以ln1 2 ln2 3 lnn n1 0 2 1 2 n1 2 n(n1) 4
