1、 1 2014 级高三上学期第 3 次月考数学（理）试卷 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 0,1, Am? ， | 0 2B x x? ? ?，若 1, A B m? ，则 m 的取值范围是（ ） A (0,1) B (1,2) C (0,1) (1,2) D (0,2) 2.已知命题 : (0, )px? ? ?， 32xx? ，命题 : ( ,0)qx? ? ? ， | | 2xx? ，则下列命题为真命题的是（ ） A pq? B ()pq? C ( ) ( )pq? ? ? D
2、 ()pq? 3.已知向量 (cos ,sin )a ? ， ( 3,1)b? ，则 |ab? 最大值为（ ） A 1 B 3 C.3 D 9 4.等比数列 na 中， 1 2a? ， 8 4a? ，函数 1 2 8( ) ( ) ( ) ( )f x x x a x a x a? ? ? ?，则 (0)f ? （ ） A 62 B 92 C. 122 D 152 5某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形，则此 四面体的外接球的体积为 （） A 34? B ?3 C ?23 D ? 6.设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若8 1113 2aa?，则
3、9S 的值等于（ ） A 54 B 45 C.36 D 27 7.已知向量 (sin( ),1)6a ?， (4, 4 cos 3)b ?，若 ab? ，则 4sin( )3?（ ） A 34? B 14? C. 34 D 14 8已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的棱长为 1， E 为 1BB 的中点，则点 C 到平面 11ADE 的距离为（ ） A 55 B 52 C 53 D 35 9已知 ABC? 的内角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，若 3 cos 2 cosa C c A? ， 1tan 3A? ，则角 B的度数为（ ） BCOA2 A 120 B 135
4、 C 60 D 45 10.若函数 ( ) 2 sin ( 0)f x x?的图象在 (0,2)? 上恰有一个极大值和一个极小值，则 ? 的取值范围是（ ） A 3( ,14 B 5(1, 4 C. 34( , 45 D 35( , 44 11已知函数? ? 0,log 0,1)( 2 xx xxxf，若方 程axf ?)(有四个不同的解1x，2，3，4x，且 432 xxxx ?，则4232131)( xxxxx ?的取值范 围是（ ） A),1( ?B? ?,C1,(?D? ?1?12. 定 义在 R 上的函数 )(xf 对任意 )(, 2121 xxxx ? 都有 0)()(2121 ?
5、 xx xfxf ，且函数 )1( ? xfy的图象关于原点对称，若 ts, 满足不等式 )22()2( 22 ? ttfssf ，则当 41 ?s 时， ts st?2的取值范围是（ ） A )21,3 ? B 21,3 ? C )21,5 ? D 21,5 ?二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.不等式 (1 2 ) 0xx?的解集为 _. 14.若数列 na 是正项数列，且 212 3na a a n n? ? ? ? ?，则122 3 1naaa n? ? ? ?_. 15.在 ABC? 中， 60A? ， 10BC? ， D 是 AB 边上的一点， 2
6、CD? ， CBD? 的面积为 1，则 AC 边的长为 _. 16.已知直线 ()y mx m R?与函数312 ( ) , 02()1 1, 02x xfxxx? ? ? ?的图象恰有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是 _. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17（本小题满分 12 分） 3 已知函数 2 1( ) s in 2 c o s 2 s in 2 2f x x x x? ? ?. （ 1）求函数 ()fx的最小正周期及对称中心； （ 2）在 ABC? 中，角 B 为钝角，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a
7、、 b 、 c ， 2()42Bf ? ，且sin 2 sinCA? ， 4ABCS? ? ，求 c 的值 . 18. (本小题满分 12 分 )如图，在直三棱柱 111 CBAABC? 中， D 是 BC 的中点 . （ 1）求证： /1BA 平面 1ADC ； （ 2）若 ACAB? ， 1?ACAB ， 21?AA ，求平面 1ADC 与平面 1ABA 所成二面角的正弦值 . 19（本小题满分 12 分） 已知数列 na 错误 !未找到引用源。 的前 n 项和 1nnSa? 错误 !未找到引用源。 ， 错误 !未找到引用源。 其中 0? （ I）证明 na 错误 !未找到引用源。 是等比
8、数列，并求其通项公式； （ II）若5 3132S?错误 !未找到引用源。 ，求 ? 20. （本题满分 12 分） 已知函数 ( ) ln ( 0)f x a x a?， e 为自然对数的底数 . （ 1）当 0x? 时，求证： 1( ) (1 )f x a x?； （ 2）在区间 (1,)e 上 ()11fxx ? 恒成立，求实数 a 的取值范围 . 21.（本题满分 12 分） 设数列 na 的各项均为正数，它的前 n 项的和为 nS ，点 ( , )nnaS 在函数 21 1 18 2 2y x x? ? ?的图象上；数列 nb 满足 11ba? ， 11()n n n nb a a
9、b?，其中 *nN? . （ 1）求数列 na ， nb 的通项公式； 4 （ 2）设 nn nac b?，求证：数列 nc 的前 n 项的和 *5 ()9nT n N?. 请考生在 22、 23 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分 ,做答时请写清题号 22（本小题满分 10 分）选 修 4-4：极坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为?sin51cos52yx （ ? 为参数），以直角坐标系原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （）求曲线 C 的极坐标方程； （）若直线 l 的极坐标方程为 ? ? 1cossin ? ? ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长
10、23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ? ?f x x a? ，不等式 ? ? 3fx? 的解集为 ? ?15? ， （）求实数 a 的值； （）若 ? ? ? ? mxfxf ? 5 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围 5 高三理数月考答案 一、选择题 1-5:CDCCC 6-10:ABABD 11、 12： BD 二、填空题 13. 1 |0 2xx? 14. 226nn? 15. 233 16. 3( , )2? 17 解 ：（ 1）由题意得： xxxxxxf 4c o s214s i n21212s i n2c o s2s i n)( 2 ? )4
11、4sin(22 ? x ， 3 分 函数 )(xf 的最小正周期为 242 ? ?T ， 由 )(44 Zkkx ? ? ，解得 )(164 zkkx ? ? ， 函数 )(xf 的对称中心为 )(0,164( zkk ? ? 6 分 （ 2）由（ 1）得 )44sin (22)( ? xxf ， 22)4( ?Bf ， 22)4s in (22)4( ? ?BBf 1)4sin( ?B 8 分 43?B ， AC sin2sin ? ， ac 2? 10 分 42221 ? as ABC 22?a 进一步解出 4?c 12 分 18.（ 1）证明：如图，连接 CA1 ，交 1AC 于点 E
12、，则点 E 是 CA1 和 1AC 的中点，连接 DE ，则 BADE 1/ . ?DE 平面 1ADC ， ?BA1 平面 1ADC ， /1BA 平面 1ADC （ 2）解：如图建 立空间直角坐标系 xyzA? ，则 )0,0,0(A ， )0,0,1(B ， )0,1,0(C ， )2,1,0(1C ，)0,21,21(D ，则 )0,21,21(?AD ， )2,1,0(1 ?AC ， 6 设平面 1ADC 的法向量为 ),( zyxm? ，则?001ACmADm ，得?0202121zyyx ， 取 1?z ，得 2?y ， 2?x ，得 )1,2,2( ?m ， 易得平 面 1AB
13、A 的法向量为 )0,1,0(?n ，故32|,c o s ? nm nmnm. 故 平面 1ADC 与平面 1ABA 所成二面角的正弦值为35)32(1 2 ?. （ 19）（本小题满分 12 分） 【答案】 （） 1)1(1 1 ? nna ?；（） 1? 由 01?a ， 0? 得 0?na ，所以11 ? ?nnaa. 因此 na 是首项为 ?11 ，公比为 1? 的等比数列，于是 1)1(1 1 ? nna ? （）由（）得 nnS )1(1 ? ?，由 32315?S得 3231)1(1 5 ? ? ，即 ? 5)1(? 321 ， 解得 1? 7 考点： 1、 数列通项 na 与
14、前 n 项和为 nS 关系； 2、等比数列的定义与通项及前 n 项和为 nS 20.（ 1）令 11( ) ( ) (1 ) ( ln 1 )g x f x a a xxx? ? ? ? ? ?； 则函数的导数211( ) ( )g x a xx?. 令 ( ) 0gx? ，即211( ) 0a xx?，解得 1x? ， ()gx在 (0,1) 上递减，在 (1, )? 上递增 . ()gx最小值为 (1) 0g ? ，故 1( ) (1 )f x a x?成立 . 5 分 （ 2）令 ( ) ln 1h x a x x? ? ?，则 2( ) 1hx x?， 令 ( ) 0hx? ，解得 x
15、a? . 8 分 当 ae? 时， ()hx 在 (1,)e 是增函数，所以 ( ) (1) 0h x h?. 当 1 ae?时， ()hx 在 (1, )a 上递增， (,)ae 上递减， 只需 ( ) 0hx? ，即 1ae?. 10 分 当 1a? 时， ()hx 在 (1,)e 上递减，则需 ( ) 0he? ， ( ) 1 0h e a e? ? ? ?不合题意， 11 分 综上， 1ae?. 12 分 21.解：（ 1）点 ( , )nnaS 在函数 21 1 18 2 2y x x? ? ?的图象上， 21 1 18 2 2n n nS a a? ? ?， 当 2n? 时， 21
16、 1 11 1 18 2 2n n nS a a? ? ? ? ?， -得： 221111( ) ( )82n n n n na a a a a? ? ? ?， 即1 1 11 ( ) ( )4n n n n n na a a a a a? ? ? ? ? ?. 数列 na 的各项均为正数， 1 4( 2)nna a n? ? ?， 又 1 2a? ， 42nan?； 8 11ba? ， 11()n n n nb a a b?， 1 2b? ， 1 14nnbb? ?， 112 ( )4 nnb ?； 6 分 （ 2） 1(2 1)4 nnn nacnb ? ? ?， 2 2 11 3 4 5
17、 4 ( 2 3 ) 4 ( 2 1 ) 4nnnT n n? ? ? ? ? ? ? ?， 2 3 14 4 3 4 5 4 ( 2 3 ) 4 ( 2 1 ) 4nnnT n n? ? ? ? ? ? ? ?， 两式相减得 21 5 5 53 1 2 ( 4 4 4 ) ( 2 1 ) 4 ( 2 ) 43 3 3n n nnT n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 59nT?. 12 分 22曲线 C的参数方程为2 5 cos1 5 sinxy ? ? ? （ ?为参数） 曲线 的普通方程为 ? ? ? ?222 1 5xy? ? ? ?， 将cossinxy ? ?代入并化简得： 4 cos 2 sin? ? ?， 即曲线 C的极坐标方程为 4 cos 2 sin? ? ? 5 分 （ 2） l的直角坐标方程为 10xy? ? ?， 圆心 C到直线 l的距离为2 22d?，弦长 为 2 5 2 2 3? 10 分 233xa?， 33a x a? ? ? ?， ? ?3fx?的解集为? ?15? ，3135aa? ? ?， 2a? 5 分 ? ? ? ? ? ? ? ?5 2 3 2 3 5f x f x
