1、(Advanced Mathematics)M yz x0 重积分习题课重积分习题课第九章第九章 重积分重积分三重积分三重积分积分的应用积分的应用习题课习题课重积分习题课重积分习题课,(求体积求体积 计计算算的的基基本本方方法法二重积分的应用二重积分的应用 计算技巧计算技巧 恰当选择坐标系恰当选择坐标系计计算算利利用用对对称称性性奇奇偶偶性性简简化化,恰当选择投影法恰当选择投影法一、复习一、复习分分积积重重三三)曲面面积曲面面积 ,定义定义 几何意义几何意义),(球面球面柱面柱面直角直角 截截面面法法重积分习题课重积分习题课1 1、二重积分的应用、二重积分的应用(1)体积体积的的体体积积为为之
2、之间间曲曲顶顶柱柱体体与与区区域域在在曲曲面面Dyxfz),(DdxdyyxfV.),(1)设设S曲面的方程为：曲面的方程为：).,(yxfz 曲面曲面S的面积为的面积为 ;122dxdyAxyDyzxz (2)曲面面积曲面面积重积分习题课重积分习题课(3)设曲面的方程为设曲面的方程为),(xzhy 曲面面积公式曲面面积公式zdxyyAxzd122 (2)设曲面的方程为设曲面的方程为),(zygx 曲面面积公式曲面面积公式zyxxAzydd122 yzDzxD重积分习题课重积分习题课2 2、三重积分的定义、三重积分的定义设设),(zyxf是空间有界闭区域是空间有界闭区域上的有界函上的有界函数，
3、将闭区域数，将闭区域任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1v，2v,nv，其中，其中nv 表示第表示第i个小闭区域，也表示它的个小闭区域，也表示它的体积体积,在每个在每个iv上任取一点上任取一点),(iii 作乘积作乘积iiiivf ),(，),2,1(ni，并作和，并作和,如果当各如果当各小闭区域的直径中的最大值小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数的极限存在，则称此极限为函数),(zyxf在闭区域在闭区域上的三重积分，记为上的三重积分，记为 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .重积分习题课重积分习题课3、三重积分的几何
4、意义、三重积分的几何意义表示空间区域的体积表示空间区域的体积时时当当 Vdvzyxf,1),(4 4、三重积分的性质、三重积分的性质类似于二重积分的性质类似于二重积分的性质重积分习题课重积分习题课5 5、三重积分的计算、三重积分的计算.);()();,(),(:2121bxaxyyxyyxzzyxz .),(),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf.,),(),(21czcDyxzyxz .),(),(21 zDccdxdyzyxfdzdvzyxf()直角坐标直角坐标重积分习题课重积分习题课 .,sin,coszzryrx ()柱面坐标柱面坐
5、标.),sin,cos(),(dzrdrdzrrfdvzyxf ,dzrdrddv 重积分习题课重积分习题课 .cos,sinsin,cossin zyx,sin2 ddddv dxdydzzyxf),(.sin)cos,sinsin,cossin(2 dddf()球面坐标球面坐标重积分习题课重积分习题课,dddzyxzI .0 ,1:222 zzyx14 Oxz yDxy例例 计算计算1 解解 法法1 球面坐标球面坐标 其中其中 1022020sincosdd dI 法法2 截面法截面法 zDdxdyzzI10d 102d1zzz 4 重积分习题课重积分习题课例例.1:222 zyxdvez
6、，计计算算 解解，故故采采用用截截面面法法圆圆域域为为的的函函数数，截截面面被被积积函函数数仅仅为为2221)(zyxzDz 上上dvedvezz2 10)(2zDzdxdydze 102)1(2dzezz.2 xyzO111重积分习题课重积分习题课zxyO例例 计算计算 解解利用球面坐标利用球面坐标计算计算.0d Vx有有 VzVzxdd)(1024020dsincosdd 8 其中其中 由由,d)(Vzx 与与 所围成所围成.22yxz 221yxz ,),(的的奇奇函函数数为为xxzyxf 因因 由关于由关于yOz面对称面对称,重积分习题课重积分习题课2a2aOxz yaraz 2azr
7、 2L)0(22 aazyx222yxaz razzar2 2联立联立例例 求曲面求曲面解解 azarL ：解解得交线得交线所围体积所围体积.与与重积分习题课重积分习题课2aOxz yaLD arzD0:raz 2azr 2 DraarzrrV22ddd arrarra0220d2d 365a 重积分习题课重积分习题课例例 计算计算利用柱面坐标利用柱面坐标“先一后二先一后二”计算计算 解解1xyzO22yxz ,ddd)(22zyxyxI 2220212122010ddddddrzrrrzrrrI 213103)d(22d2rrrrr 10315132 其中其中 是是由锥面由锥面 与平面与平面
8、 所围成所围成.21 zz、22yxz 重积分习题课重积分习题课例例 计算计算 解解2 利用柱面坐标利用柱面坐标“先二后一先二后一”计算计算xyzO22yxz zrrrzI022021ddd 214d412zz 1031,ddd)(22zyxyxI 由锥面由锥面 与平面与平面 所围成所围成.21 zz、22yxz 其中其中 是是重积分习题课重积分习题课 解解3 利用球面坐标利用球面坐标计算计算 1031cos41cos215624042 xyzO例例 计算计算,ddd)(22zyxyxI sec2sec2224020dsinsinddI 4053dcossin562 4052cosdcos1c
9、os562 22yxz 重积分习题课重积分习题课例例 计算计算 解解1 利用柱面坐标利用柱面坐标计算计算 解解2 利用球面坐标利用球面坐标计算计算.d)(dd111222112222 yxxxzzyxyxI 1222010d)(ddrzzrrrI 1032d)1(31)1(2rrrrr 103 sec0224020dsinddI 405dcossin52 103 重积分习题课重积分习题课轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的绕绕是是由由曲曲线线zxzy 022.d)(22Vyx 解解轴轴旋旋转转一一周周而而成成绕绕由由曲曲线线zxzy 022zyx222 8xyzO例例 设设求求围围成成的的空空间间
10、区区域域曲曲面面与与平平面面,8 z的旋转曲面方程为的旋转曲面方程为法法一一 利用柱面坐标利用柱面坐标计算计算Vyxd)(22 zrrrddrd82240202 4023d282rrr 31024 重积分习题课重积分习题课 80204d42zrz 法法二二“先二后一先二后一”Vyxd)(22 yxyxdd)(22 zyx222 80dzrrrzzddd2022080 8xyzO 31024 重积分习题课重积分习题课练练 习习 题题一、选择题一、选择题1 1、计算、计算 ,其其 围成围成的立体的立体,则正确的解法为则正确的解法为()()和和().().zdvI1,222 zyxz为为中中BD重积
11、分习题课重积分习题课2 2、曲面曲面 之内及曲面之内及曲面 zzyx2222 22yxz 之外所围成的立体的体积之外所围成的立体的体积.ddd)(2211020 rrzrrA .ddd)(2111020 rrzrrB .ddd)(110202 rrzrrC .ddd)(22111020 rrzrrD D).(VxyzOxyzOxyzO1:22 yxxy 重积分习题课重积分习题课二、计算下列三重积分二、计算下列三重积分:1 1 球体球体 1:222 zyx，求三重积分，求三重积分 dxdydzx 11123,)3tansin(2zyxydvxzyeI3 3 设设求求.I2重积分习题课重积分习题课
12、22yxz 与与4 z4 4 求求围成立体的体积围成立体的体积.5 5 设设是由是由 22yxz 和和 1 z所围成，将所围成，将积分积分 dxdydzzyxf),(化为球面坐标系下的累化为球面坐标系下的累次积分次积分.6 6 计算三重积分计算三重积分 222222122221212121yxyxxxdz)zyx(dydxI重积分习题课重积分习题课7 7 将三重积分将三重积分 dvzyxfI),(直角坐标、柱面坐标与球面坐标系下的直角坐标、柱面坐标与球面坐标系下的三次积分，其中三次积分，其中 分别化为分别化为)(3,4:)322222yxzzyx );0(2:)1222 RRzzyx.)0()
13、222222所所围围成成与与由由 RyxRzyxz积分区域积分区域是：是：重积分习题课重积分习题课.,222围围成成的的闭闭区区域域平平面面与与由由锥锥面面求求hzzyxzdxdydz .0,02,2222区域区域在第一卦限所围成的闭在第一卦限所围成的闭与平面与平面面面由圆柱由圆柱求求 yazzxyxdxdydzyxzI89重积分习题课重积分习题课绕绕 轴旋转而成的曲面为：轴旋转而成的曲面为：xxy22 平面上曲线平面上曲线 xoy、2xzy222 的交线为的交线为平面平面与与椭圆抛物面椭圆抛物面5222 xxzy 51022xzy:yzDyoz面面上上投投影影得得投投影影区区域域向向将将 1
14、022 zy返回返回解答解答二、计算题二、计算题重积分习题课重积分习题课 3250 rdrrrd 201004225 dxzydydzdvzyyzDzy 52222222)(返回返回dxrrdrdr 522201002 重积分习题课重积分习题课 11123,)3tansin(2zyxydvxzyeI3 3的奇函数，的奇函数，是是的奇函数，的奇函数，是是由于被积函数由于被积函数xxyytansin3面面都都对对称称，积积分分区区域域关关于于三三个个坐坐标标 111111233)3tansin(2zyxzyxydvdvxzyeI则：则：.24233 返回返回重积分习题课重积分习题课22yxz 与与
15、4 z4 4围成立体的体积为围成立体的体积为 dzdxdydvVxyDyx 422,4:22 yxDxy其其中中 202042.8rdzrdrd返回返回重积分习题课重积分习题课 dfdd2cos104020)cos,sinsin,cossin(sin5 、2040104sin6ddd、返回返回)221(52 返回返回重积分习题课重积分习题课7、1)直角坐标直角坐标 柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标 dsin)cos,sinsin,cossin(dd2cos202020 RfI RRyxRRyxRRxRxRzzyxfyxI2222222222d),(dd 2222d),sin,cos(dd020
16、rRRrRRRzrzrrfrI 返回返回重积分习题课重积分习题课2)直角坐标直角坐标 柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标 222121222222222d),(ddRRyxRyxxRxRzzyxfyxI 22d),sin,cos(dd2020rRrRzrzrrfrI dsin)cos,sinsin,cossin(dd204020 RfI返回返回重积分习题课重积分习题课3)3)直角坐标：直角坐标：2222224)(31111),(yxyxxxdzzyxfdydxI柱面坐标：柱面坐标：2431020),sin,cos(rrrdzzrrfdrdI 球面坐标：球面坐标：2026020sin)cos,sinsin,cossin(dfddI返回返回重积分习题课重积分习题课 zdxdyzdzzdxdydzh 0用截面法：用截面法：.8 4402hdzzzh 返回返回重积分习题课重积分习题课,0,2:.922azxyxDxy 法一：投影法：法一：投影法：dxdydzyxzI 22返回返回 20cos2022 rdrrda298a da 20323cos82 ardzzrdrd020cos20 重积分习题课重积分习题课,2:,0:22xyxazz 法法二二：截截面面法法dxdydzyxzI 22dxdyyxzdzza 220298a 返回返回 20cos200 rdrrdzdza
