1、21.2.3 因式分解法因式分解法九年级上册九年级上册 RJ解一元二次方程解一元二次方程第一课时第一课时（一）因式分解的方法1.提公因式法:一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.2.公式法:利用平方差公式 利用完全平方公式 分解因式.22()()aba b a b2222aab ba b（）知识回顾知识回顾3.十字相乘法:利用x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)分解因式.(二)解一元二次方程的方法1.直接开平方法：形如 的方程，用直接开平方法.02nnmx2.配方法:通过配成完全平方形式
2、来解一元二次方程.3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式=b2-4ac 的值，当 b2-4ac0 时，利用求根公式 x=求方程的根.242bbaca会用因式分解法解一元二次方程学习目标学习目标 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为10 x4.9x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m，即 10 x4.9x20.课堂导入课堂导入用配方法或公式法解方程都不简单，你能想到别的简单方法解这个方程吗？x(10-4.9x)=0，观察方程
3、10 x4.9x20，它有什么特点？你能根据它的特点找到更简便的方法吗？10 x-4.9x 2=0,x=0 或10-4.9x=0，知识点新知探究新知探究ab=0a=0或b=0右边为0左边可以因式分解解方程10 x4.9x20时，二次方程是如何降为一次的？可以发现，上面的解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法理论依据:ab=0a=0或b=0.降次结构特征：等号左边是两个因式的乘积，右边是0.解法一：因式分解，得 (x2)(x1)0.于是得 x20，或，或x10，x12，x21
4、.例1 解方程：x(x2)x20.整体思想:公因式x-2易错点:这里提取公因式x-2后，还剩下1，不是0.解法二：整理，得x2-x-2=0 因式分解，得(x2)(x1)0.于是得 x20，或，或x10，x12，x21.解法一用到了整体思想，解法二用到了十字相乘法新知探究新知探究跟踪训练例2 解方程：2213522.44xxxx平方差公式解：移项、合并同类项，得 4x210.因式分解，得 (2x1)(2x1)0.于是得 2x10，或2x10，用因式分解法解一元二次方程的步骤：1.移项：将方程的右边化为0；2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；3.转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一
5、次方程；4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.注意：不能随意在方程两边约去含未知数的代数式，如 x(x-1)=x，若约去 x，则会导致丢掉 x=0 这个根.常见类型常见类型因式分解因式分解方程的解方程的解x2+bx=0 x(x+b)=0 x1=0，x2=-bx2-a2=0(x-a)(x+a)=0 x1=-a，x2=ax22ax+a2=0(xa)2=0 x1=x2=ax2+(a+b)x+ab=0(a，b为常数)(x+a)(x+b)=0 x1=-a，x2=-b常见的可以用因式分解法求解的方程的类型常见的可以用因式分解法求解的方程的类型(2)(5x+1)2=1；用适当的方法解
6、下列方程：解法一用到了整体思想，解法二用到了十字相乘法分别用配方法、公式法和因式分解法解方程 10 x-4.将方程左边因式分解，右边=0.=b2-4ac=28 0，一元二次方程解法的比较(2)2x2-7x+6=0；9，b=-10，c=0.(3)3x2-6x=-3;解得x12，x23配方，得(x-1)2=9，若一元二次方程的二次项系数为 1，一次项系数为偶数，则宜选用配方法；所以 x-3=0 或 2-3x=0，解：(1)因式分解，得x(x1)0，于是得x0，或x10，即x10，x21.随堂练习随堂练习用因式分解法解下列方程:(1)x2+x=0;(2)(2x-3)2=(3x-2)2;(3)3x2-
7、6x=-3;(2)(2x-3)2=(3x-2)2;(2)解法一：移项，得(2x-3)2-(3x-2)2 =0.因式分解，得(2x-3)+(3x-2)(2x-3)-(3x-2)0.即(5x-5)(-x-1)=0，所以5x-50，或-x-10，x11，x2-1.整体思想(2)(2x-3)2=(3x-2)2;(2)解法二：整理，得x2-1=0，因式分解，得(x-1)(x+1)=0，所以x-10，或x+10，x11，x21.解：(3)移项、化简，得x2-2x+1=0，因式分解，得(x-1)2=0，于是得x-1=0，即x1=x2=1.(3)3x2-6x=-3;因式分解法概念步骤右化零 左分解 两因式 各
8、求解如果 a b=0，那么a=0或b=0.原理将方程左边因式分解，右边=0.因式分解的方法有ma+mb+mc=m(a+b+c);a2 2ab+b2=(a b)2；a2-b2=(a+b)(a-b).课堂小结课堂小结简记1.解方程：2(x-3)=3x(x-3).对接中考对接中考解：移项，得 2(x-3)-3x(x-3)=0，即(x-3)(2-3x)=0，所以 x-3=0 或 2-3x=0，2.用因式分解法解下列方程：(1)(x-5)(x-6)=x-5；(2)16(x-3)2-25(x-2)2=0.解：(1)移项，得(x-5)(x-6)-(x-5)=0，因式分解，得(x-5)(x-6-1)=0，所以
9、 x-5=0 或 x-6-1=0，所以 x1=5，x2=7.2.用因式分解法解下列方程：(1)(x-5)(x-6)=x-5；(2)16(x-3)2-25(x-2)2=0.解：(2)整理方程，得 4(x-3)2-5(x-2)2=0，因式分解，得 4(x-3)+5(x-2)4(x-3)-5(x-2)=0，即(9x-22)(x+2)=0，所以 9x-22=0 或 x+2=0，3.由多项式乘法：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).示例：分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+
10、23=(x+2)(x+3).(1)尝试：分解因式：x2+6x+8=(x+)(x+)；24解:(2)因为 x2-3x-4=x2+(-4+1)x+(-4)1=(x-4)(x+1)=0，所以 x-4=0 或 x+1=0，所以 x1=4，x2=-1.(2)应用：请用上述方法解方程：x2-3x-4=0.21.2.3 因式分解法因式分解法九年级上册九年级上册 RJ第二课时第二课时解一元二次方程解一元二次方程解一元二次方程的方法：直接开平方法配方法公式法因式分解法知识回顾知识回顾会选择适当的方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）解一元二次方程学习目标学习目标配方法：配方法：分别用配方法、公式法和因
11、式分解法解方程 10 x-4.9x2=0.课堂导入课堂导入解：10 x-4.9x2=0化为一般式为4.9x2-10 x=0.公式法：公式法：分别用配方法、公式法和因式分解法解方程 10 x-4.9x2=0.课堂导入课堂导入 a=4.9，b=-10，c=0.b2-4ac=(-10)2-44.90=100.解：10 x-4.9x2=0,x(10-4.9x)=0,x=0或10-4.9x=0,因式分解法：因式分解法：分别用配方法、公式法和因式分解法解方程 10 x-4.9x2=0.课堂导入课堂导入一元二次方程解法的比较方法理论依据适用方程关键步骤主要特点直接开平方法平方根的定义(ax+b)2=n(a0
12、，n0)型方程开平方求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程因式分解法若ab=0，则 a=0或b=0能化为一边为0，另一边为两个因式乘积的形式的方程分解因式求解迅速、准确，但适用范围小配方法完全平方公式所有一元二次方程配方解法烦琐，当二次项系数为1时用此法比较简单公式法配方所有一元二次方程代入求根公式计算量大，易出现符号错误知识点新知探究新知探究分解因式：x2+6x+8=(x+)(x+)；若ab=0，则 a=0或b=0一元二次方程解法的比较示例：分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+23=(x+2)(x+3).4x210.解一元二次方程的方法的选择技巧若一元二次方程可化为(mx+n
13、)2=p(m0，p0)的形式，则宜选用直接开平方法；求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程分别用配方法、公式法和因式分解法解方程 10 x-4.(2)2x2-7x+6=0；解：(1)化简，得(3x-5)(x+5)=0.（2020荆州中考）转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；(2)应用：请用上述方法解方程：x2-3x-4=0.若一元二次方程的二次项系数为 1，一次项系数为偶数，则宜选用配方法；例 用适当的方法解方程：(1)3x(x+5)=5(x+5)；(2)(5x+1)2=1；(3)x2-12x=4；(4)3x2=4x+1.解：(1)化简，得(3x-5)(x+5)=0.即3x
14、-5=0 或 x+5=0.新知探究新知探究跟踪训练(1)式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.(2)(5x+1)2=1；解：(2)开平方，得 5x+1=1.方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法.解：(3)配方，得 x2-12x+62=4+62，即 (x-6)2=40.(3)x2-12x=4;二次项的系数为1，用配方法解题较快.解：(4)化为一般形式为 3x2-4x-1=0.=b2-4ac=28 0，(4)3x2=4x+1.二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.解一元二次方程的方法的选择技巧 若一元二次方程可化为(mx+n)2=
15、p(m0，p0)的形式，则宜选用直接开平方法；若一元二次方程的二次项系数为 1，一次项系数为偶数，则宜选用配方法；若一元二次方程整理后右边为 0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法；若直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便，则宜选用公式法.x2-3x+1=0；3x2-1=0；-3t2+t=0；x2-4x=2；2x2-x=0；5(m+2)2=8；3y2-y-1=0；2x2+4x-1=0；(x-2)2=2(x-2).适合运用直接开平方法 ；适合运用因式分解法 ；适合运用公式法 ；适合运用配方法 .1.填空：随堂练习随堂练习2.用适当的方法解下列方程：(1)x2-2x-8=0；(2)2x2-
16、7x+6=0；(3)(x-1)2-2x+2=0.解：(1)移项，得 x2-2x=8，配方，得(x-1)2=9，所以x-1=3，所以x1=4，x2=-2.解：(2)因为 a=2，b=-7，c=6，所以 b2-4ac=10，2.用适当的方法解下列方程：(2)2x2-7x+6=0；解:(3)原方程可化为(x-1)2-2(x-1)=0，因式分解，得(x-1)(x-1-2)=0，所以 x-1=0或 x-3=0，所以 x1=1，x2=3.2.用适当的方法解下列方程：(3)(x-1)2-2x+2=0.易错点：添括号，括号前是负号，各项要变号.解一元二次方程解法根的判别式直接开平方法配方法公式法因式分解法求根
17、公式前提：0课堂小结课堂小结对接中考对接中考1.(2020大兴安岭中考大兴安岭中考)解方程：x25x+60解：因式分解，得(x2)(x3)0，则x20或x30，解得x12，x232.（2020荆州荆州中考中考）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值【问题】解方程：【提示】可以用“换元法”解方程解：设 则有x2+2xt2，原方程可化为：t2+4t50.【续解】222425 0 xxxx22(0),xxt t原方程可化为：t2+4t50.【续解】因式分解，得(t+5)(t-1)0，则t+50或t-10，t15，t21，因为t0,所以t=1，所以221,xx即x2+2x-1=0，配方，得(x+1)2=2，12=-1+2=-1-2,，xx12=-1+2=-1-2.，xx经检验，方程的解为解得
