1、创设情境 2002年国际数学家年国际数学家大会在我国北大会在我国北京召开京召开，大会会徽是根据中国古代数学家，大会会徽是根据中国古代数学家赵爽的赵爽的“弦图弦图”设计的设计的。第一第一章章 三角形三角形的的证明证明达州市第一中学校达州市第一中学校 赵恩赵恩直角三角形有直角三角形有哪哪些性质？些性质？反之反之,一个三角形满足什么条件一个三角形满足什么条件 才能是直角三角形呢才能是直角三角形呢?温故知新cab新知讲解想一想：直角三角形的两个锐角为什么互余呢？已知：如图(1)所示，在RtABC中，C90.求证：A+B90.证明：在RtABC中，A+B+C90.又C90，A+B90.即：直角三角形的两
2、个锐角互余.ABC(1)一、我们一起观察直角三角形的角和边，思考它的性质和判定方法。（一）仅观察角 反之，如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？已知：如图(2)所示，在ABC中，A+B90.求证：ABC是直角三角形证明：在ABC中，A+B+C90.又A+B90，C90.ABC是直角三角形.即：有两个角互余的三角形是直角三角形.新知讲解ABC(2)直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余.直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.符号描述：在RtABC中，C=90，A+B=90.符号描述：在ABC中，A+B=90，ABC是直角三角形.ABC(2)A
3、BC(1)新知讲解 想一想：在上学期，我们通过数方格和割补法得到了勾股定理，你能说一说勾股定理的内容吗？勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.符号描述：ABC是直角三角形，且C90 ，AC 2+BC 2=AB 2.（二）仅观察边新知讲解ABC证明：如图,作Rt AB C ,使A90,AB AB,AC AC,则AB 2AC 2 B C 2（勾股定理）.AB2AC2BC2，BC2 B C 2.BC B C.ABCAB C(SSS).AA90(全等三角形的对应角相等）.因此，ABC是直角三角形.反之：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形吗？已知：如图
4、所示，在ABC中，AB2AC2BC2.求证：ABC是直角三角形新知讲解BACCAB直角三角形的判定定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.符号描述：在ABC中 AC 2+BC 2=AB 2，ABC是直角三角形.新知讲解ABC议一议：观察下面两组定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？定理：直角三角形的两个锐角互余.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.议一议定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.条件 结论条件 结论再观察下面三组命题：（1）如果两个角是对顶角，那么它们相
5、等；如果两个角相等，那么它们是对顶角.（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等.每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？新知讲解条件 结论条件 结论 注：互逆命题是一对命题的称呼，其中一个命题称原命题，另一个命题称原命题的逆命题 你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?如果两个有理数的平方相等,那么这两个有理数相等.它们都是真命题吗?第一个命题是真命题，它的逆命题是假命题.注意：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理
6、，判断一个命题是假命题只需要举反例就可以新知讲解 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题一、互逆命题、逆命题的定义二、命题一定是真命题吗？如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理定理：直角三角形的两个锐角互余.定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.互逆定理新知讲解互逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.议一议：你还能想到其它互逆定
7、理吗？练一练例1：说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假？w四边形是多边形;w直角三角形有一个角是直角；w两直线平行,同旁内角互补;w如果ab=0,那么a=0,b=0.游戏1：请甲同学说出一个命题,乙同学回答出它的逆命题,并判断这个逆命题的真假.若乙同学回答的逆命题和真假都正确，则乙胜，否则甲胜。轮流各出两次题，决出最终胜者。读一读2、中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。勾股定理的证明1、请阅读教材P16勾股定理的
8、证明材料，读完后与同伴交流证明过程中使用了哪些数学方法，并相互合作探究其他证明方法。ca(弦弦)c(勾勾)a c(股股)b ca c2=4ab/2+(b-a)2 c2=2ab+b2-2ab+a2 c2=a2+b2a2+b2=c2 赵爽赵爽创制创制的的“勾股圆方图勾股圆方图”如图：如图：大大正方形的面积可以表示为正方形的面积可以表示为 ；c24ab/2+(b-a)2赵爽的证法如下：也也可以用可以用4个直角三角形和中间小正方个直角三角形和中间小正方形的形的面积之和面积之和表示表示为为解解:(1)中间中间的小的小正方形边正方形边长可表示为长可表示为b-a,当当b-a=0,即即b=a时，时，中间的小正
9、中间的小正方形面积最小。方形面积最小。知识拓展：赵爽创制赵爽创制的的“勾股圆方图勾股圆方图”如图如图：请探究：请探究：（1）勾）勾a,股股b满足什么关系时？中间的小正方形面积最小。满足什么关系时？中间的小正方形面积最小。（2）当勾）当勾a对应的锐角为对应的锐角为30时，此图最和谐美丽，请问时，此图最和谐美丽，请问此时大正方形的面积和中间小正方形的面积有何关系？此时大正方形的面积和中间小正方形的面积有何关系？Aca(弦弦)c(勾勾)a c(股股)b ca BC（2）当勾）当勾a对应的锐角为对应的锐角为30时，此时，此图最和谐美丽，请问此时大正方形的图最和谐美丽，请问此时大正方形的面积和中间小正方
10、形的面积有何关系？面积和中间小正方形的面积有何关系？Aca(弦弦)c(勾勾)a c(股股)b ca BC解：在解：在RtABC中中,CAB=30,BC=a，AB=2BC=2a 大正方形的大正方形的面积为：面积为：S大大=c2=(2a)2=4a2,小小正方形正方形的面积为的面积为：知识拓展：1、说一说直角三角形在角上的性质与判定？性质：直角三角形的两个锐角互余.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.2、说一说直角三角形在边上的性质与判定？勾股定理（性质）：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的逆定理（判定）：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.我会总结：3、什么是互逆命题、互逆定理？在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理我会总结：1、家庭作业教科书习题1.52、调查研究 利用课余时间，去调查勾股定理在生活中的运用，并写出简要的调查过程和结论。我的作业
