1、 第 1 页 共 28 页 高考数学压轴题解法策略研究高考数学压轴题解法策略研究 专题一专题一. 函数与导数函数与导数 (一一) 关于结构图关于结构图知识，方法，思维，易错点知识，方法，思维，易错点. 1.高中函数知识结构图高中函数知识结构图 2. 导数知识结构图导数知识结构图 3. 函数的思维方法函数的思维方法 第 2 页 共 28 页 4. 函数的思维特征函数的思维特征 (二二)典型例题典型例题 例题例题 1.设函数设函数 1 ( )ln x x be f xaex x ，曲线，曲线( )yf x在点在点(1,(1)f处的切线为处的切线为(1)2ye x. () 求求, a b； （）证明
2、：）证明：( )1f x . 分析：第一问考查导数的几何意义，面向全体考生；注意函数问题定义域优先的原则！分析：第一问考查导数的几何意义，面向全体考生；注意函数问题定义域优先的原则！ 解： （解： （）函数）函数( )f x的定义域为的定义域为(0,)， 11 2 ( )ln xxxx abb fxaexeee xxx 由题意可得由题意可得(1)2,(1)ffe 第 3 页 共 28 页 故故1,2ab. （）分析：常规方法证明）分析：常规方法证明 1 2 ( )ln1 x x e f xex x ， 即证：即证： m i n ( )1f x 所以所以 11 2 22 ( )ln xxx x
3、exee fxex xx 所以所以 1 2 12(1) ( )(l n) x x ex f xex xx ， 太复杂了！ ！无从下手！ ！太复杂了！ ！无从下手！ ！ 再次分析：证明再次分析：证明 1 2 ln1 x x e ex x 难点在哪里？难点在哪里？ 困难在于存在困难在于存在ln x ex，求导后还存在，求导后还存在ln x ex，麻烦！ ！，麻烦！ ！ 初步思考必须把初步思考必须把 x e与与lnx分离，怎么分离？分离，怎么分离？ 不外乎加减乘除！ ！不外乎加减乘除！ ！ 仔细观察：仔细观察： 1 2 ln1 x x e ex x ， 其中其中0 x e ，定义域别忘了，还有，定义
4、域别忘了，还有0 x ； (1) 1 2 ln1 x x e ex x 1 ln2 xx xexex 2 ln x xxxe e 2 ln x xxxe e (2) 1 2 ln1 x x e ex x 11 ln10 xx x ee ex xx 1 11 (ln)()0 xx exex exx (3) 1 2 ln1 x x e ex x 2 (ln)1 x ex ex . （）方法一：）方法一： 第 4 页 共 28 页 由（由（）知，）知， 1 2 ( )ln xx f xexe x ，0,0 x ex 从而从而( )1f x 等价于等价于 2 ln x xxxe e 设设( )l ng
5、 xxx， 2 ( ) x h xx e e . 若若 m i nm a x ( )( )g xh x，是否可行？试一试吧！，是否可行？试一试吧！ ( )l ng xxx,( )1lng xx . 当当 1 ( 0 ,)x e 时，时，( )0g x，当，当 1 (,)x e 时，时，( )0g x. ( )g x在在 1 ( 0 ,) e 上单调递减，在上单调递减，在 1 (,) e 上单调递增上单调递增. m i n 11 ( )( )g xg ee , 注意注意“0 x” 2 ( ) x h xx e e ,( )(1) xxx h xex eex . 当当( 0, 1)x时，时，( )
6、0h x，当，当(1,)x 时，时，( )0h x. ( )h x在在(0,1)上单调递增，在上单调递增，在(1,)上单调递减上单调递减. m a x 1 ( )(1)h xh e . 综上，综上，0 x时，时， 1 ( )g x e ， 1 ( )h x e , 而两个等号不可能同时取到，而两个等号不可能同时取到， 所以所以( )( )g xh x，即，即( )1f x . 方法二：分析：方法二：分析： 1 2 ln1 x x e ex x 等价于等价于 2 ln10 x x e ex ex . 等价于等价于 1 11 (ln)()0 xx exex exx . ( )( )0g xh x即
7、可即可. 1 (=( l n) x g xex ex ）， 1 1 ( )() x h xex x . 令令 1 ( ) = l nxx ex ， 22 111 (= ex x xexex ）. 第 5 页 共 28 页 知知( )x在在 1 ( 0 ,) e 上单调递减，在上单调递减，在 1 (,) e 上单调递增；上单调递增； m i n 1 ( )()0 x e . ( )0 x，即，即( )0g x ，当且仅当，当且仅当 1 x e 时取等号时取等号. 令令 1 ( ) =xxex ， 1 ( )1 x xe . 知知 m i n ( )(1)0 x. ( )0 x，即，即( )0h
8、x ，当且仅当，当且仅当1x 时取等号时取等号. 综上所述，当综上所述，当0 x时，时， 1 11 (ln)()0 xx exex exx ，即，即( )1f x 方法三：方法三： 分析：题目中有分析：题目中有,ln , x ex x，应该联想到重要熟知的，应该联想到重要熟知的 不等式不等式1 x ex，就能得到下面流畅的证明，就能得到下面流畅的证明. 用导数易证用导数易证1 x ex，当且仅当，当且仅当0 x时取等号时取等号. 1x ex ,当且仅当当且仅当1x 时取等号时取等号. 于是方法二中，于是方法二中， 1 1 ( )()0 x h xex x x eex,当且仅当当且仅当1x 时取
9、等号时取等号. ln ( ln ) x eex ，当且仅当，当且仅当ln1x时取等号，时取等号， 即当且仅当即当且仅当 1 x e 时取等号时取等号. 1 ln () ln x eex . 1 ln 1 ln x e x eex . (也可以用也可以用 1 ( )lng xxx e 证明证明) 即即 1 ln0 x ex ，当且仅当，当且仅当 1 x e 时取等号时取等号. 于是证法于是证法 2 中的中的( )0g x ，( )1f x . 总结：总结：1 x ex 第 6 页 共 28 页 1x ex x ee x ln ( ln ) x eex 公式关系清晰，一气呵成！公式关系清晰，一气呵
10、成！ 方法四：方法四： 分析：欲证分析：欲证 2 ln1 x x e ex ex . 即证即证 2 (ln)1 x ex ex 即可即可. 由方法三，可得由方法三，可得 1 ln0 x ex ，当且仅当，当且仅当 1 x e 取等号取等号. 又又 x eex 当且仅当当且仅当1x 取等号取等号. 21 ln x exex 由由和和可得：可得： 2 (ln)1 x ex ex ， 这里关键是等号不能同时成立这里关键是等号不能同时成立. ( )1f x . 方法五： （与方法四证明类似）方法五： （与方法四证明类似） 1 ln x ex ，当且仅当，当且仅当 1 x e 取等号取等号. 1 ln
11、x x e ex x . 11 2 ln xx x ee ex xx . 1 x ex. 1x ex ，当且仅当，当且仅当1x 取等号取等号. 1 1 x e x . 第 7 页 共 28 页 由由、可知可知 1 2 ln1 x x e ex x . （注意：两个等号不能同时成立）（注意：两个等号不能同时成立） 即即( )1f x . 方法六：欲证方法六：欲证 2 ln1 x x e ex ex 即证即证 2 ln x xxx e e . 主要还是等价变形主要还是等价变形. 设设( )lng xxx. 则则()ln xxxx g eeex e . （这里关键是注意到（这里关键是注意到( )ln
12、g xxx与与() xx g ex e 之间隐含着复合函数的关系）之间隐含着复合函数的关系） 只需证明只需证明 2 ( )() x g xg e e . 由方法一可知由方法一可知(0,)x ， 1 ( )g x e ， 当且仅当当且仅当 1 x e 取等号取等号. 1 () x g e e ，当且仅当，当且仅当1x 取等号取等号. 2 ( )() x g xg e e ， （两个等号不能同时成立）， （两个等号不能同时成立） ( )1f x . 点评：这种方法实在很难想！点评：这种方法实在很难想！ 基于上述基于上述 7 种方法的思考：种方法的思考： 看来我们有必要梳理一下，其中重要的不等式：看
13、来我们有必要梳理一下，其中重要的不等式： 泰勒展开式及其变形泰勒展开式及其变形. 2 1 1!2! n x xxx e n 这个式子也叫麦克劳林公式这个式子也叫麦克劳林公式. 当当01x时，时， 有有 2 1 11 1 xn xexxx x 第 8 页 共 28 页 即即 1 ln(1)lnln(1) 1 xxx x ln(1)xx ，其中，其中x用用 1 x x 替换替换. ln(1)ln(1) 11 xx x xx 由由得：得：ln(1),(01) 1 x xxx x 还有，还有，1 x ex.()xR 注意等号成立条件注意等号成立条件. 1 1 x e x .(1)x 加强加强可得可得l
14、n(1),(1) 1 x xx x x 还有：还有：ln,() x xxexo ln1xx， （当且仅当， （当且仅当1x 取等号）取等号） 1x ex ， x ee x， 1 x x ee ， 1 ln x ex ， 1 lnxx e 等等等等. 基于上面的思考基于上面的思考: 证法证法 7: 1 x x ee ,当且仅当当且仅当1x 取等号取等号. 1 lnxx e ，当且仅当，当且仅当 1 x e 取等号取等号. 11 ln x x xx eee . ln xx x ee x exx ee . 2 ln1 x x e ex ex . 即即 1 2 ln1 x x e ex x 成立成立.
15、 是否很帅！是否很帅！ 最后，关注以下函数，课下练习巩固最后，关注以下函数，课下练习巩固. 1、( ) x f xxe， ( ) x f xxe 第 9 页 共 28 页 ( ) x f xx e， ( ) x x f x e ， ( ) x e f x x 2、( )lnf xxx， ( )lnf xxx， ( )lnf xxx， ( ) ln x f x x ， ln ( ) x f x x 3、( ) nx f xxe， ( ) n x x f x e ， ( ) x n e f x x 4、( )ln n f xxx， ( ) ln n x f x x ， ln ( ) n x f x
16、 x 例例 2. (2013 全国全国 2 理科理科 21)已知函数已知函数( )ln() x f xexm (1)设设0 x 是是( )f x的极值点，求的极值点，求m，并讨论，并讨论( )f x的单调性；的单调性； (2)当当2m时，证明时，证明( )0f x . 解：解：(1)f(x)ex 1 xm 由由 x0 是是 f(x)的极值点得的极值点得 f(0)0，所以，所以 m1. 于是于是 f(x)exln(x1)，定义域为，定义域为(1，)，f(x)ex 1 x1. 函数函数 f(x)ex 1 x1在 在(1，)单调递增，且单调递增，且 f(0)0，因此当，因此当 x(1，0)时，时，f
17、(x)0. 所以所以 f(x)在在(1，0)单调递减，在单调递减，在(0，)单调递增单调递增 (2)证明：方法一：证明：方法一： 当当 m2，x(m，)时，时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当，故只需证明当 m2 时，时，f(x)0. 当当 m2 时，函数时，函数 f(x)ex 1 x2在 在(2，)单调递增单调递增 又又 f(1)0，故，故 f(x)0 在在(2，)有唯一实根有唯一实根 x0，且，且 x0(1，0) 当当 x(2，x0)时，时，f(x)0，从而当，从而当 xx0时，时，f(x)取得最小值取得最小值 由由 f(x0)0 得得 ex0 1 x02， ，ln(x02)x0，故
18、，故 f(x)f(x0) 1 x02 x0（ （x01）2 x02 0. 综上，当综上，当 m2 时，时，f(x)0. 方法二：方法二：1x时，时，ln(1) 1 x xx x . +1ln( +2)xx, 当且仅当当且仅当1x取等号取等号. 又又m2 , ln( +2)ln()xxm 又又+1 x ex，当且仅当，当且仅当0 x取等号取等号. 第 10 页 共 28 页 +1ln( +2)ln() x exxxm 不等式中前两个等号不可能同时取得不等式中前两个等号不可能同时取得. ln() x exm. 即即ln()0 x exm成立成立. (上式中，上式中，1x时，时，ln( +1)xx，
19、 xR时，时，+1 x ex，均可以用导数知识证明，均可以用导数知识证明) 总结一：常规方法遇阻碍，分而治之显神奇总结一：常规方法遇阻碍，分而治之显神奇泰勒公式藏天机！泰勒公式藏天机！ 总结二：分离分类寻零点，对数平均爱偏移总结二：分离分类寻零点，对数平均爱偏移数形结合显神通！数形结合显神通！ 1. 降龙十八掌降龙十八掌分类讨论，不重不漏！分类讨论，不重不漏！ 例题例题 3.已知函数已知函数 3 1 ( ) 4 f xxax, ( )lng xx . ()当当 a 为何值时，为何值时，x 轴为曲线轴为曲线( )yf x 的切线；的切线； ()用用min , m n表示表示,m n中的最小值，设
20、函数中的最小值，设函数( )min ( ), ( )(0)h xf x g xx ，讨论，讨论( )h x零点的个数零点的个数. 分析： （分析： （）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a值； （值； （）根据对数函）根据对数函 数的图像与性质将数的图像与性质将x分为分为1,1,01xxx研究研究( )h x的零点个数，的零点个数， 若零点不容易求解，则对若零点不容易求解，则对a再再 分类讨论分类讨论. 解： （解： （）设曲线）设曲线( )yf x与与x轴相切于点轴相切于点 0 (,0)x，则，则 0
21、 ()0f x， 0 ()0fx，即，即 3 00 2 0 1 0 4 30 xax xa ， 解得解得 0 13 , 24 xa . 因此，当因此，当 3 4 a 时，时，x轴是曲线轴是曲线( )yf x的切线的切线. （）当）当(1,)x时，时，( )ln0g xx ，从而，从而( )min ( ), ( )( )0h xf x g xg x， ( )h x在（在（1，+）无零点）无零点. 当当x=1 时，若时，若 5 4 a ，则，则 5 (1)0 4 fa，(1)min (1), (1)(1)0hfgg, 故故x=1 是是( )h x的零点；的零点； 第 11 页 共 28 页 若若
22、5 4 a ，则，则 5 (1)0 4 fa，(1)min (1), (1)(1)0hfgf,故故x=1 不是不是( )h x的零点的零点. 当当(0,1)x时，时，( )ln0g xx ， 所以只需考虑所以只需考虑( )f x在（在（0,1）的零点个数）的零点个数. ()若若3a或或0a，则，则 2 ( )3fxxa在（在（0,1）无零点，故）无零点，故( )f x在（在（0,1）单调，而）单调，而 1 (0) 4 f， 5 (1) 4 fa，所以当，所以当3a时，时，( )f x在（在（0，1）有一个零点；）有一个零点； 当当a 0 时，时，( )f x在（在（0，1）无零点）无零点. (
23、)若若30a ，则，则( )f x在（在（0， 3 a ）单调递减，）单调递减， 在（在（ 3 a ，1）单调递增，故当）单调递增，故当x= 3 a 时，时，( )f x取的最小值，取的最小值， 最小值为最小值为() 3 a f= 21 334 aa . 若若() 3 a f0，即，即 3 4 a0，( )f x在（在（0,1）无零点）无零点. 若若() 3 a f=0，即，即 3 4 a ，则，则( )f x在（在（0,1）有唯一零点；）有唯一零点； 若若() 3 a f0，即，即 3 3 4 a ，由于，由于 1 (0) 4 f, 5 (1) 4 fa，所以当，所以当 53 44 a 时，
24、时， ( )f x在（在（0,1）有两个零点；）有两个零点； 当当 5 3 4 a 时，时，( )f x在（在（0,1）有一个零点）有一个零点 综上，当综上，当 3 4 a 或或 5 4 a 时，时，( )h x由一个零点；由一个零点； 当当 3 4 a 或或 5 4 a 时，时，( )h x有两个零点；有两个零点； 第 12 页 共 28 页 当当 53 44 a 时，时，( )h x有三个零点有三个零点. 考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想. 上面是我们在各种途径中可以看到的答
25、案！但是同学们，通过阅读答案可能还是一头雾水，如何分类讨上面是我们在各种途径中可以看到的答案！但是同学们，通过阅读答案可能还是一头雾水，如何分类讨 论，如何准确的找到分类讨论点，才能做到不重不漏，轻松应对呢？论，如何准确的找到分类讨论点，才能做到不重不漏，轻松应对呢？ 研究函数研究函数 32 ( )f xaxbxcxd，0a 的图像的图像. 可以详细研究函数可以详细研究函数( )f x的单调性，极值情况，方程的单调性，极值情况，方程( )0f x 的根的情况！的根的情况！ 因为因为 2 ( )32fxaxbxc， 所以这里所以这里 22 4124(3)bacbac ， (1) 当当 2 30b
26、ac，方程，方程( )0fx 有两个不同的实数根有两个不同的实数根 12 ,x x，不妨设，不妨设 12 xx， 单调性：在单调性：在 1 (,)x， 2 (,)x 上单调递增，上单调递增， 在在 12 ( ,)x x上单调递减上单调递减. 极极 值：值： 当当 2 30bac， 当当 2 30bac， (2)方程方程( )0f x 根的情况，如图：根的情况，如图： x y 3 2 1 1 2 3 4 5 32112345 O x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5432112345 O x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5432112345 O x y 4 3 2 1 1 2 3
27、4 5 32112345 O x y 3 2 1 1 2 3 4 5 32112345 O x y 3 2 1 1 2 3 32112345 O 第 13 页 共 28 页 方法二：因为方法二：因为 3 1 ( ) 4 f xxax, ( )lng xx . 所以所以 2 ( )3fxxa， 1 ( 0 ) 4 f， (1) 当当0a 时，函数时，函数 3 1 ( ) 4 f xx单调递增，如图单调递增，如图 (2) 当当0a 时，时， 2 ( )30fxxa， 函数函数( )f x单调递增，如图单调递增，如图 图（图（1） 图（图（2） (3) 当当0a时，时， 2 ( )30fxxa，有，
28、有 1 0 3 a x ， 2 0 3 a x ， 可作如下可作如下 5 种情况思考！种情况思考！ x y 2 1 1 2 3 1123 O x y 2 1 1 2 3 1123 O x y 2 1 1 2 3 1123 O x y 2 1 1 2 3 1123 O x y 2 1 1 2 3 1123 Ox y 2 1 1 2 3 1123 O x y 2 1 1 2 3 1123 O 第 14 页 共 28 页 例题例题 4. 已知函数已知函数 2 ( )ln(1) 2 k f xxxx ()当当 k=2 时，求曲线时，求曲线 y=f(x)在点在点(1, f(1)处的切线方程；处的切线方程
29、； ()求求 f(x)的单调区间的单调区间 解： （解： （I）当）当 k=2 时，时，f(x)=ln(1+x)x+x2， 1 ( )12 1 fxx x 由于由于 f(x)=ln2， 3 (1) 2 f， 所以曲线所以曲线 y=f(x)在点在点(1, f(1)处的切线方程为处的切线方程为 3 l n 2(1) 2 yx 即即 . （II） 依题意，依题意，x(1，+)， 1 ( )1 1 fxkx x ， (1) ( ) 1 x kxk fx x 当当 k=0 时，时，( ) 1 x fx x . 所以，在区间所以，在区间(1，0)上，上，f(x)0；在区间；在区间(0，+)上，上，f(x)
30、0. 故故 f(x)得单调递增区间是得单调递增区间是(1，0)，单调递减区间是，单调递减区间是(0，+). 当当 0k0； 在区间在区间(0， 1k k )上，上，f(x)0 故故 f(x)得单调递增区间是得单调递增区间是(1，+). 当当 k1 时，时， 1 (1) (1) ( ) 11 kx x x kxk k fx xx ， 第 15 页 共 28 页 1 110 k 在区间在区间(1， 1 1 k )和和(0，+)上，上，f(x)0; 在区间在区间( 1 1 k ，0)上，上，f(x)0; 故故 f(x)得单调递增区间得单调递增区间(1， 1 1 k )和和(0，+)， 单调递减区间是
31、单调递减区间是( 1 1 k ，0). 当当 k=0 时，时，f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(1，0)， 单调递减区间是单调递减区间是(0，+). 当当 0k1 时，时，f(x)的单调递增区间的单调递增区间(1， 1 1 k )和和(0，+)， 单调递减区间是单调递减区间是( 1 1 k ，0). 例题例题 4 变式变式 1：已知函数：已知函数 2 1 ( )ln(1) 2 f xxkxx， 求求( )f x的单调区间的单调区间 解：依题意，函数解：依题意，函数( )f x定义域为定义域为( 1,) ， 22 11(1)(1)1 ( ) 111 kxxxxk xk fxkx xxx
32、令令 ( )0fx 即即 2 (1)1 0 1 xk xk x ，所以有，所以有 2 (1)10 xk xk 22 (1)4(1)23(3)(1)kkkkkkV （1）当）当31k 时，时，0V恒成立，所以恒成立，所以( )0fx 函数函数( )f x的单调增区间为的单调增区间为( 1,) ； （2）当）当1k 时，时，0V，方程，方程 2 (1)10 xk xk 的二根为的二根为 2 1 123 2 kkk x ， 2 1 123 2 kkk x （考虑当（考虑当1k 时，方程的两个根是否在定义域里）时，方程的两个根是否在定义域里） 22 1 123123 ( 1)( 1)0 22 kkkk
33、kk x 所以在区间所以在区间 2 123 (1,) 2 kkk 上，上， ( )0fx 第 16 页 共 28 页 在区间在区间 22 123123 (,) 22 kkkkkk 上，上， ( )0fx 在区间在区间 2 123 (,) 2 kkk 上，上， ( )0fx 函数函数( )f x的单调增区间为的单调增区间为 2 123 (1,) 2 kkk ， 2 123 (,) 2 kkk 函数函数( )f x的单调减区间为的单调减区间为 22 123123 (,) 22 kkkkkk . （3）当）当3k 时，时，0V，方程，方程 2 (1)10 xk xk 的二根为的二根为 2 1 123
34、 2 kkk x ， 2 1 123 2 kkk x （考虑当（考虑当3k 时，方程的两个根是否在定义域里）时，方程的两个根是否在定义域里） 22 2 123123 ( 1)( 1)0 22 kkkkkk x 所以在区间所以在区间( 1,) 上，上，( )0fx 函数函数( )f x的单调增区间为的单调增区间为( 1,) . 综上：当综上：当1k 时，函数时，函数( )f x的单调增区间为的单调增区间为( 1,) . 当当1k 时，时， 函数函数( )f x的单调增区间为的单调增区间为 2 123 (1,) 2 kkk ， 2 123 (,) 2 kkk 函数函数( )f x的单调减区间为的单
35、调减区间为 22 123123 (,) 22 kkkkkk . 例题例题 4 变式变式 2：已知函数：已知函数 2 1 ( )ln(1) 2 f xkxxx， 求求( )f x的单调区间的单调区间 解：依题意，函数解：依题意，函数( )f x定义域为定义域为( 1,) ， 22 (1)1 ( )1 111 kkxxxxk fxx xxx 令令 ( )0fx ，即，即 2 1 0 1 xk x ， 2 10 xk （1）当）当1k 时，时，( )0fx 函数函数( )f x的单调增区间为的单调增区间为( 1,) ； 第 17 页 共 28 页 （2）当）当1k 时，方程时，方程 2 10 xk
36、的二根为的二根为 1 1xk ， 2 1xk 当当01k时，时，111kk 所以在区间所以在区间( 1,1)k上，上， ( )0fx 在区间在区间(1,1)kk上，上， ( )0fx 在区间在区间(1,)k 上，上， ( )0fx 函数函数( )f x的单调增区间为的单调增区间为( 1,1)k ，( 1,)k 函数函数( )f x的单调减区间为的单调减区间为(1, 1)kk. 当当0k 时，时， 2 1 ( ) 1 x fx x 所以在区间所以在区间(1, 1)上，上， ( )0fx 在区间在区间(1,)上，上， ( )0fx 函数函数( )f x的单调增区间为的单调增区间为(1,)， 函数函
37、数( )f x的单调减区间为的单调减区间为( 1,1). 当当0k 时时,111kk 所以在区间所以在区间( 1,1)k上，上， ( )0fx 在区间在区间(1,)k 上，上， ( )0fx 函数函数( )f x的单调增区间为的单调增区间为( 1, 1)k， 函数函数( )f x的单调减区间为的单调减区间为( 1,)k. 综上：当综上：当1k 时，函数时，函数( )f x的单调增区间为的单调增区间为( 1,) ； 当当01k时，时， 函数函数( )f x的单调增区间为的单调增区间为( 1,1)k ，( 1,)k 函数函数( )f x的单调减区间为的单调减区间为(1, 1)kk. 当当0k 时，
38、时， 函数函数( )f x的单调增区间为的单调增区间为(1,)， 函数函数( )f x的单调减区间为的单调减区间为( 1,1). 当当0k 时时, 函数函数( )f x的单调增区间为的单调增区间为( 1, 1)k， 第 18 页 共 28 页 函数函数( )f x的单调减区间为的单调减区间为( 1,)k. 2. 乾坤大挪移乾坤大挪移分离参数，转化划归分离参数，转化划归. 例题例题 5. (2016 全国全国 1 理理 21) 已知函数已知函数 2 ( )(2)(1) x f xxea x有两个零点有两个零点. (I)求求 a 的取值范围；的取值范围； (II)设设 1 x， 2 x是是( )f
39、 x的两个零点，证明：的两个零点，证明： 12 2xx. 解：解： （）方法一：）方法一：(分类讨论分类讨论) ( )(1)2 (1)(1)(2 ) xx fxxea xxea （i）设）设0a ，则，则( )(2) x f xxe，( )f x只有一个零点只有一个零点 （ii）设）设0a ，则当，则当(,1)x 时，时，( )0fx ； 当当(1,)x时，时，( )0fx 所以所以( )f x在在(,1)上单调递减，在上单调递减，在(1,)上单调递增上单调递增 又又(1)fe ，如图：，如图： 我们希望能够找到我们希望能够找到 12 1,1xx， 并且有并且有 1 ( )0f x， 2 ()
40、0f x，任务就完成了！ ！，任务就完成了！ ！ 方法一：静态取点，附近尝试！方法一：静态取点，附近尝试！ 这种情况下，不妨就近取值进行尝试这种情况下，不妨就近取值进行尝试 (2)0fa，满足题意！，满足题意！ 2 1x ， 2 ()0f x完成完成. x y 1123 O 第 19 页 共 28 页 而而(0)2fa ， 1 ( 1)34fea 等等都依赖于等等都依赖于a，怎么办？，怎么办？ 麻烦在于麻烦在于 x e身上，我们有什么办法把它身上，我们有什么办法把它“干掉干掉”呢？呢？ 方法二：动态找点，适当放缩！方法二：动态找点，适当放缩！ 我们不妨向负方向走远一点，在我们不妨向负方向走远一
41、点，在(,0)内找找看！内找找看！ 分析分析 2 (2)(1) x xea x的结构特征，的结构特征， 因为因为0 x， x ee，20 x， 所以所以(2)(2) x xee x， “干掉干掉” x e！ 所以所以 2 ( )(2)(1) x f xxea x 22 (2)(1)2 (1)(1)e xa xe xa x 令令 2 2 (1)(1)0e xa x，即，即2(1)0ea x， 解得解得 2 11 e x a 2 (1)0 e f a ， 我们的我们的 1 1x ， 1 ()0f x完成完成. 方法三：极限思想很重要！ ！方法三：极限思想很重要！ ！ 2 lim (2)(1) x
42、x xea x ， 此时一定有我们的此时一定有我们的 1 1x ， 1 ( )0f x完成完成 此处应该用左手猛拍右手吧！ ！此处应该用左手猛拍右手吧！ ！ （iii）设）设0a，由，由( )0fx 得得1x 或或ln( 2 )xa 若若 2 e a ，则，则ln( 2 )1a，故当，故当(1,)x时，时，( )0fx ， 因此因此( )f x在在(1,)上单调递增上单调递增 又当又当1x时，时，( )0f x ，所以，所以( )f x不存在两个零点不存在两个零点 若若 2 e a ，则，则ln( 2 )1a，故当，故当(1,ln( 2 )xa时，时，( )0fx ； 当当(ln( 2 ),)
43、xa时，时，( )0fx 第 20 页 共 28 页 因此因此( )f x在在(1,ln( 2 )a单调递减，单调递减， 在在(ln( 2 ),)a单调递增单调递增 又当又当1x时，时，( )0f x ，所以，所以( )f x不存在两个零点不存在两个零点 综上，综上，a的取值范围为的取值范围为(0,) 方法二：参变量分离方法二：参变量分离 函数函数 2 ( )(2)(1) x f xxea x有两个零点等价于方程有两个零点等价于方程 2 (2)(1)0 x xea x有两个不等的实数根有两个不等的实数根. 所以所以 2 (1)(2) x a xxe ，又因为，又因为1x 不是方程的根，不是方程
44、的根， 所以有所以有 2 (2) (1) x xe a x ， 设设 2 (2) ( ) (1) x xe g x x ， 于是问题就转化为于是问题就转化为ya与与 2 (2) ( ) (1) x xe g x x 有两个交点有两个交点 时求时求a的取值范围的取值范围. 因为因为 22 33 (45)(2)1 ( ) (1)(1) xx xxexe g x xx ， 这里这里( )g x的导数千万不能出错！ ！的导数千万不能出错！ ！ 不用睁大眼睛就能发现，当不用睁大眼睛就能发现，当(,1)时，时，( )0g x ， ( )g x单调递增且恒有单调递增且恒有( )0g x ; 当当(1,)时，
45、时，( )0g x ，( )g x单调递减；单调递减； 下面我们要结合函数增长速度快慢，下面我们要结合函数增长速度快慢， 分析函数分析函数 2 (2) ( ) (1) x xe g x x 的值域：的值域： (1)当当x时，时，(2)0 x xe， 2 (2) ( )0 (1) x xe g x x ， 当当1x (x从从1的负方向趋近于的负方向趋近于1)， 第 21 页 共 28 页 2 (2) ( ) (1) x xe g x x ； (2) 当当1x (x从从1的负方向趋近于的负方向趋近于1)， 2 (2) ( ) (1) x xe g x x ； 当当x 时，时， 2 (2 ) ( ) (1) x xe g x x ; 由上可知：当由上可知：当(, 1)时，时，( )g x的值域是的值域是( 0 ,)； 当当(1,)时，时，( )g x的值域是的值域是(,) ； 综上所述，综上所述，a的取值范围为的取值范围为( 0,) （）设）设 1 x， 2 x是是(
