1、首页上页返回下页结束三重积分的变量代换三重积分的变量代换 柱面坐标代换柱面坐标代换 球面坐标代换球面坐标代换三重积分的对称性三重积分的对称性首页上页返回下页结束.),(),(),(),(:)3(;0),(),(),()2(),(),(),()1(),(),(),(:),(3dwdudvJwvuzwvuywvuxfdxdydzzyxfTwvuzyxwvuJwvuzwvuywvuxxyzuvwwvuzzwvuyywvuxxTRzyxf 是一对一的，则有是一对一的，则有变换变换上雅可比式上雅可比式在在；上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在，且满足，且满足空间中的空间中的变为变为闭区域闭区域空
2、间中的空间中的将将上连续，变换上连续，变换中的有界闭区域中的有界闭区域在在设设定理定理 一、三重积分的换元法一、三重积分的换元法首页上页返回下页结束例例1.求由下面方程表示的曲面所围立体的体积求由下面方程表示的曲面所围立体的体积:其中其中,)()()(2233322222111hzcybxazcybxazcybxa .0:333222111 cbacbacba解解:令令,333222111zcybxawzcybxavzcybxau 则则 ),(),(wvuzyxJ.01 2222|1hwvududvdwV.|343h 首页上页返回下页结束oxyz1.利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分
3、,R),(3zyxM设,代代替替用用极极坐坐标标将将 ryx),zr（则则就称为点M 的柱坐标.zr 200 sinry zz cosrx 直角坐标与柱面坐标的关系:常数常数 r坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面oz),(zyxMr)0,(yx首页上页返回下页结束zrrvdddd 因此 zyxzyxfddd),(.ddd),sin,cos(zrrzrrf 适用范围适用范围:1)积分域积分域是圆柱或它在某坐标面上的投影为圆(或一部分);2)被积函数被积函数中含有x2+y2(相应地,y2+z2,x2+z2)形式.,1000cossin0sincos,rrrzrJ 首页上页返回下页结束其中为由例
4、例2.计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(,0yaazz所围解解:在柱面坐标系下:cos202drrdcos342032a cos20 r20az 0及平面2axyzozrrvdddd 20d azz0dzrrzddd2 原原式式398a柱面 cos2 r成半圆柱体.首页上页返回下页结束o oxyz例例3.计算三重积分解解:在柱面坐标系下h:hrz42d hrdrhrr2022)4(12 4)41ln()41(4hhhhz hr20 20 hrrr202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0(hhz所围成.与平面其中由抛物面42r原式=zrrvdddd 首页上页
5、返回下页结束2.利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分,R),(3zyxM设),(z其柱坐标为就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,ZOMMoxyzzr),(r则0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面,rOM 令),(rMsinrcosrz 首页上页返回下页结束 dddsind2rrv 因此有 zyxzyxfddd),(.dddsin)cos,sinsin,cossin(2 rrrrrf适用范围适用范围:1)积分域积分域表面是球面或顶点在原点的圆锥面;2)被积函数被积函数含 x2+y2+z2 一类式子.0sincosc
6、ossinsincossinsinsinsinsincoscossin,rrrrrrJ ,sin2 r 首页上页返回下页结束例例4.计算三重积分,)(222zdydxdzyx22yxz为锥面2222Rzyx解解:在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr 020其中 与球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr 首页上页返回下页结束3.广义球坐标变换广义球坐标变换 直角坐标与广义球坐标的关系0200r cossinrax sinsinrby cosrcz ,rJ sin2rabc例例13.3.9.椭球椭球 的体积的体积.34si
7、n102020abcdrrddabcV 1222222czbyax首页上页返回下页结束内容小结内容小结zyxdddzrrddd dddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:),(),(wvuzyxJ对应雅可比行列式为*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离.围成;首页上页返回下页结束二、利用对称性化简三重积分计算二、利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：.积分区域关于坐标面的对称性；.被积函数在积分区域上的关于
8、三个坐标轴的奇偶性.,0),(相相应应地地）面面对对称称或或（或或则则曲曲面面所所围围立立体体关关于于）以以偶偶次次方方形形式式出出现现，或或（或或中中若若曲曲面面xyxzyzzyxzyxF 首页上页返回下页结束例例利利用用对对称称性性简简化化计计算算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222其其中中积积分分区区域域1|),(222 zyxzyx.解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,z.01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz首页上页返回下页结束解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 其其中中yz
9、xy 是是关关于于y的的奇奇函函数数,且且 关关于于zox面面对对称称,0)(dvyzxy,首页上页返回下页结束同同理理 zx是是关关于于x的的奇奇函函数数,且且 关关于于yoz面面对对称称,0 xzdv由由对对称称性性知知 dvydvx22,则则 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx首页上页返回下页结束在在柱柱面面坐坐标标下下：,20 ,10 r,222rzr ,122 yx投投影影区区域域 xyD：2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 首页上页返回下页结束例例7.求曲面)0()(32222azazyx所围立体体积.解解:由曲面方程可
10、知,立体位于xoy面上部,cos0:3ar 利用对称性,所求立体体积为vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar,202020dsin20d4yoz面对称,并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于 xoz dddsind2rrv yzxar首页上页返回下页结束轮换对称性轮换对称性：若积分区域若积分区域的表达式中将的表达式中将 x,y,z 依次轮换依次轮换,表达式表达式不变不变,则称则称关于关于 x,y,z 轮换对称轮换对称.此时有此时有 dvzyxf),(dvxzyf),(.),(dvyxzf例例8.设是由平面 x+y+z=1和三个坐标面所围成的 区域,求
11、.)(dvzyxI解解:由轮换对称性由轮换对称性,xdvI3 yxxdzdyxdx1010103首页上页返回下页结束说明说明：二重积分也有轮换对称性：二重积分也有轮换对称性.若积分区域若积分区域 D 的表达式中将的表达式中将 x,y 依次轮换依次轮换,表达式不表达式不变变,则称则称 D 关于关于 x,y 轮换对称轮换对称.此时有此时有.),(),(DDdxyfdyxf 例例9.设.)()()(,02abdxdyyfxfbabaDfD 则则连连续续函函数数证证:由轮换对称性由轮换对称性,Ddxdyyfxf)()(Ddxdyxfyfyfxf)()()()(21.)(2abdxdyD 首页上页返回下
12、页结束2,zxz1.将.)(),(Czyxf用三次积分表示,2,0 xx,42,1yxyvzyxfId),(其中由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x综合例子综合例子六个平面围成,:首页上页返回下页结束zoxy22.设由锥面22yxz和球面4222zyx所围成,计算.d)(2vzyxI提示提示:4利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标 rr d420dsin4020d221564首页上页返回下页结束3.计算,ddd12zyxxyI所围成.其中 由1,1,12222 yzxzxy分析：分析：若用“先二后
13、一”,则有zxxyyIyDdd1d201zxxyyyDdd1d210计算较繁!采用“先一后二”较好.1zxy1o1首页上页返回下页结束:4528 1122yzx2211xzx11x1zxy1o1xxId1211zxxd2211yyzxd11221,1,1222yzxzxy由所围,故可 表为 解解:首页上页返回下页结束4.计算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中.4,1),(2122围成由zzyxz解解:zyxxIddd2利用对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin52220
14、首页上页返回下页结束思考题思考题则则上的连续函数上的连续函数为为面对称的有界闭区域，面对称的有界闭区域，中关于中关于为为若若,),(3 zyxfxyR ;0),(,_),(dvzyxfzyxf为为奇奇函函数数时时关关于于当当 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf为偶函数时为偶函数时关于关于当当.1面面上上方方的的部部分分在在为为其其中中xy zz2首页上页返回下页结束一、一、填空题填空题:1 1、若若 由曲面由曲面和和)(3222yxz 16222 zyx所所围围,则三重积分则三重积分 dvzyxf),(表示成直角坐标下表示成直角坐标下的三次积分是的三次积分是_;在柱面坐
15、标下在柱面坐标下的三次积分是的三次积分是_;在球面坐标下在球面坐标下的三次积分是的三次积分是_.2 2、若若 由曲面由曲面及及222yxz 22yxz 所围所围,将将 zdv表为柱面坐标下的三次积分表为柱面坐标下的三次积分_,其值为其值为_.练练 习习 题题首页上页返回下页结束 3 3、若空间区域、若空间区域 为二曲面为二曲面azyx 22及及 222yxaz 所围所围,则其体积可表为三重积分则其体积可表为三重积分_;或二重积分或二重积分_;或柱面坐标下的三次积分或柱面坐标下的三次积分_.4 4、若由不等式、若由不等式2222)(aazyx ,222zyx 所确定所确定,将将 zdv表为球面坐
16、标下的三次积分为表为球面坐标下的三次积分为_；其值为；其值为_.二、计算下列三重积分二、计算下列三重积分:1 1、dvyx)(22,其中其中 是由曲面是由曲面 24z)(2522yx 及平面及平面5 z所围成的闭区域所围成的闭区域.首页上页返回下页结束 2 2、dvyx)(22,其中其中 由不等式由不等式 0,0222 zAzyxa所确定所确定.3 3、dxdydzczbyax)(222222,其中其中 1),(222222czbyaxzyx.三、求曲面三、求曲面225yxz 及及zyx422 所围成的立所围成的立体的体积体的体积.四、曲面四、曲面2224aazyx 将球体将球体azzyx42
17、22 分分成两部分成两部分,试求两部分的体积之比试求两部分的体积之比.五五、求求由由曲曲面面,0,22 xayxyxz0,0 zy 所所围围成成立立体体的的重重心心(设设密密度度1 ).首页上页返回下页结束六、求半径为六、求半径为a,高为高为h的均匀圆柱体对于过中心而垂的均匀圆柱体对于过中心而垂 直于母线的轴的转动惯量直于母线的轴的转动惯量(设密度设密度)1 .首页上页返回下页结束一、一、1 1、22222216)(34422),(yxyxxxdzzyxfdydx )(3164422222222),(yxyxxxdzzyxfdydx,21632020),sin,cos(rrdzzrrfrdrd rrdzzrrfrdrd31620202),sin,cos(,406020,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2 406520,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2；练习题答案练习题答案首页上页返回下页结束 2 2、2221020rrzdzrdrd,127；3 3、dv,Ddxdyayxyxa)2(2222,raaradzrdrd20202；4 4、4cos203402067,cossinadrrdda .二、二、1 1、8；2 2、)(15455aA ；3 3、abc 54.三、三、)455(32 .
